Ciągi • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Ciągi

Ciągi
Jeżeli rozpoczynasz naukę o ciągach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o ciągach na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam treści dotyczące ciągów arytmetycznego i geometrycznego.
- Ciągi monotoniczne
  - Zadanie 1.
    Wykaż, że ciąg a_n = n² +4n jest rosnący.
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+1}{2n+1}$ jest rosnący
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+2}{4n-1}$ jest malejący
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{2}{n^{2}+2}$ jest malejący
  - Zadanie 5.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{n^{2}}{n+4}$ jest monotoniczny
  - Zadanie 6.
    Wykaż, że ciąg a_n = 6n -n² nie jest monotoniczny
- Ciągi określone rekurencyjnie
  - Zadanie 1.
    Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\a_{n+1}=2a_{n}+3,\, gdy\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
  - Zadanie 2.
    Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=0\\a_{2}=3\\a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
  - Zadanie 3.
    Określ rekurencyjnie ciąg a_n = n² + 1
  - Zadanie 4.
    Określ rekurencyjnie ciąg a_n = 5·3ⁿ
  - Zadanie 5.
    Określ rekurencyjnie ciąg $a_{n}=\sqrt{n+2}$
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij, że ciąg $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}+2n^{2}-1,\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ jest monotoniczny
- Granica ciągu
  - Zadanie 1.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{5-3n}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n^{2}+1}{5n^{2}-3n+3}$ c) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n-4}{5-3n^{3}}$
  - Zadanie 2.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 2n+1 \right )\left ( 5n-1 \right )}{\left ( 4n-3 \right )\left ( n+5 \right )}$
    
    b) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 3n-7 \right )^{4}}{\left ( 4n+1 \right )^{4}}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3}{2^{n}+5}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}+1}$
  - Zadanie 4.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3^{n+1}}{2^{n}+5\cdot 3^{n}}$
    
    b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3\cdot 7^{n+1}}{2^{n+1}+10^{n}}$
  - Zadanie 5.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+4+6+ ... + 2n}{3n^{2}-2}$
  - Zadanie 6.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+5+8+ ... +\left ( 3n+5 \right )}{n^{2}+3}$
  - Zadanie 7.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1+3+9+ ... +3^{n-1}}{3^{n}-2}$
  - Zadanie 8.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+2} \right )$
  - Zadanie 9.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{9n^{2}+n}-3n \right )$
  - Zadanie 10.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16n}-n}$
  - Zadanie 11.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left (\sqrt[3]{n^{3}+12n}-n \right )$
  - Zadanie 12.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 2n^{3}-5n+7 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -2n+3n^{2}-5n^{4} \right )$
  - Zadanie 13.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 4^{n}-3\cdot 2^{n}+3 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -10^{n}+5^{n}+1 \right )$
  - Zadanie 14.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-5\cdot 16^{n}}{8^{n}-3}$ b) $\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+4}+\sqrt{n+2}$
  - Zadanie 15.
    Oblicz granicę ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{n}\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, n\leq 45\\\frac{n^{2}-3}{2-3n^{2}}\, \, dla\, \, n> 45 \end{array}\right.$
  - Zadanie 16.
    Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{kn+3}{\left ( k+1 \right )n-2}$ ma granicę równą 4.
  - Zadanie 17.
    Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{4n+5}{\left ( k-2 \right )n+2}$ ma granicę niewłaściwą?
- Szereg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Sprawdź czy szereg geometryczny jest zbieżny, jeżeli jest oblicz jego sumę
    a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...$ b) $\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\sqrt{3}-3+...$
  - Zadanie 2.
    Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły
    a) 1,(21) b) 0,2(17)
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
    a) 1 + (2x – 3) + (2x – 3)² + . . .
    b) $\frac{2}{x-1}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{3}}+...$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie (x + 3) + (x + 3)² + (x + 3)³ + . . . = 2 -x
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-7}{5+n^{2}}$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność 1 + x + x² + . . . ≤ 4
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...< 2$
  - Zadanie 8.
    Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x) = -x + x² – x³ + . . .
  - Zadanie 9.
    Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^{2}}+...$
  - Zadanie 10.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 64. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 56.
  - Zadanie 11.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $\frac{4}{3}$ . Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy -1.
  - Zadanie 12.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48.
  - Zadanie 13.
    W nieskończonym ciągu geometrycznym a₁ = 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest trzy razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
  - Zadanie 14.
    W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
  - Zadanie 15.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 3. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma sześcianów jego wyrazów jest równa $\frac{27}{19}$ .
  - Zadanie 16.
    W kwadrat o boku długości a wpisujemy drugi kwadrat tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego kwadratu, następnie w analogiczny sposób wpisujemy kwadrat w drugi kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób kwadratów.
  - Zadanie 17.
    W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisujemy drugi trójkąt równoboczny tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego trójkąta, następnie w analogiczny sposób wpisujemy trójkąt w drugi trójkąt itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.