Funkcja kwadratowa • Strona 2 z 5 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa
Jeżeli jesteś na początku nauki o funkcji kwadratowej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcji kwadratowej na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
- Równania sprowadzalne do równań kwadratowych
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie x⁴ – 3x² + 2 = 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie x⁴ – x² – 2 = 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie x⁴ + 5x² + 6 = 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie x⁶ + 7x³ – 8 = 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $x+\sqrt{x}-12=0$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie x² + |x| – 10 =0
  - Zadanie 7.
    Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{x^{4}-7x^{2}+6}$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż równanie x² – 3|x + 2| = 0
- Nierówności sprowadzalne do nierówności kwadratowych
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność (x – 2)(2x – 3) < (x + 5)(x – 2)
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność (x – 1)(3x – 2) – (x – 5)(1 – x) ≥ 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność x² – 5|x| < 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność x² + |x| -2 ≤ 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność x² – |x – 2| ≥ 0
  - Zadanie 6.
    Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
- Układy równań i nierówności stopnia drugiego
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=x^{2}+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}-4x-1\\y=x^{2}+2x-1 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}+3\\y=\left | x \right |-3 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 4.
    Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny opisany układem nierówności $\left\{\begin{matrix} y\geq x^{2}-3\\y< x-1 \end{matrix}\right.$
- Wzory Vietea
  - Zadanie 1.
    Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego x² – 8x + 7 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 2.
    Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego -x² -5x +1 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 3.
    Oblicz kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x² – 4x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 4.
    Oblicz wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania kwadratowego 2x² + 3x – 7 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 5.
    Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego x² + 2x – 4 = 0bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 6.
    Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 2 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 7.
    Oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania kwadratowego x² – 2x – 1 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 8.
    Oblicz sumę czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 9.
    Określ znaki pierwiastków ( o ile istnieją ) równania kwadratowego bez obliczania tych pierwiastków
    a) x² – 3x + 2 = 0
    b) x² + 3x + 2 = 0
    c) x² + x – 2 = 0
- Równania kwadratowe z parametrem
  - Zadanie 1.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania $x^{2}-\left ( 3m-1 \right )x+\frac{9}{4}m+\frac{1}{4}=0$ w zależności od parametru m.
  - Zadanie 2.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania mx² + 2mx – 3 = 0 w zależności od parametru m.
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k+2)x + 9k – 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki
    a) jednakowych znaków
    b) ujemne
    c) dodatnie
  - Zadanie 4.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k-3)x + 2k + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków.
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x² + (3m-2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x₁² + x₂² > 8.
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru m równanie x² – (m-3)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 2.
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (k-1)x + k + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x₁| + |x₂| < 3
  - Zadanie 8.
    Dla jakich wartości parametru m równanie x² – 2mx + m² – 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1.
  - Zadanie 9.
    Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x² – (m-5)x + 6 – 2m = 0 osiąga wartość najmniejszą?
  - Zadanie 10.
    Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x⁴ – 2(m+3)x² + m – 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki?
- Nierówności kwadratowe z parametrem
  - Zadanie 1.
    Dla jakich wartości parametru m nierówność x² – mx + m + 3 > 0 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x?
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności (5-m)x² – 2(1-m)x + 2 – 2m < 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2mx-m}$ jest zbiór R?
  - Zadanie 4.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left ( m-1 \right )x^{2}-\left ( m-1 \right )x+1}}$ jest zbiór R?
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości m wartości funkcji f(x) = (2m+1)x² + (m-1)x + 3m są mniejsze od wartości funkcji g(x) = (1-m)x + 3 dla każdego x∈R?