Funkcja logarytmiczna • Strona 4 z 5 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna
Jeżeli rozpoczynasz naukę o logarytmach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam wszystkie wzory i oparte na nich zadania potrzebne do rozwiązywania bardziej złożonych przykładów związanych z logarytmami.
- Działania na logarytmach
  - Zadanie 1.
    Wyznacz A, jeśli A = 2^B + 6^C, gdzie $B=\frac{2}{log_{\sqrt{3}}2}$ , $C=\frac{1}{log_{2}6}$
  - Zadanie 2.
    Wiadomo, że log₆2 = a. Wyznacz log₂₄36 w zależności od a.
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartość $\left ( 5^{\frac{log_{100}3}{log3}}\cdot 3^{\frac{log_{100}5}{log5}} \right )^{2log_{15}8}$
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że jeżeli są liczbami dodatnimi takimi, że $a\neq 1,b\neq 1,c\neq 1$ i $a\cdot b\neq 1$ , to zachodzi równość $log_{ab}c=\frac{log_{a}c\cdot log_{b}c}{log_{a}c+log_{b}c}$
  - Zadanie 5.
    Uporządkuj rosnąco liczby: $\frac{1}{log_{3}\pi }+\frac{1}{log_{4}\pi }$ , $\left ( 0,125 \right )^{-\frac{1}{3}}$ , $log_{3}11$
  - Zadanie 6.
    Oblicz log₆2·log₆18 + log₆²3
  - Zadanie 7.
    Wykaż, że liczby $\frac{1}{log_{3}2},\frac{1}{log_{6}2},\frac{1}{log_{12}2}$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
    a) oblicz różnicę tego ciągu arytmetycznego b) wyraź sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego.
  - Zadanie 8.
    Wiedząc, że log₂5 = a i log₅3 = b oblicz log₈9
  - Zadanie 9.
    Wiedząc, że log₃4 = a i log₃5 = b wyznacz log₂₇0,8 w zależności od a i b.
  - Zadanie 10.
    Wiedząc, że log₃20 = a i log₃15 = b, wyznacz log₂360 w zależności od a i b.
  - Zadanie 11.
    Wiedząc, że $a=\frac{log8}{log81}$ i $b=\frac{1}{log64}$ , oblicz wartość wyrażenia $27^{4a}+16^{3b}$ .
  - Zadanie 12.
    Oblicz $\frac{log^{3}4+log^{3}25}{4\left ( log^{2}2-log2\cdot log5+log^{2}5 \right )}$
- Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej
  - Zadanie 1.
    Sporządź wykresy funkcji f(x) = log₂x i g(x) = log₂(x-2) + 3
  - Zadanie 2.
    Sporządź wykresy funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{2}}x$ i $g(x)=\left |log _{\frac{1}{2}}\left ( x+3 \right )-1 \right |$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej do wykresu której należy punkt A=(3,-2) . Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $\left ( -\frac{2}{3} \right )$ ?
    Sporządź wykres funkcji g(x) = f(-x+2)
  - Zadanie 4.
    Punkt A=(2,-1) należy do wykresu funkcji f(x) = log₂(x+k) + m. Wyznacz k i m wiedząc, że dziedziną funkcji f jest przedział (-2,∞).
    Sporządź wykres funkcji f.
  - Zadanie 5.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\sqrt{x^{2}}$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 6.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=7^{log_{7}\left ( x^{2}-2 \right )}$ . Dla jakich wartości parametru równanie f(x)=m ma rozwiązanie?
  - Zadanie 7.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | g(x) \right |}$ , gdzie funkcja g jest funkcją logarytmiczną do wykresu której należy punkt $A=\left ( \frac{1}{8},-3 \right )$ .
  - Zadanie 8.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left | \left | x \right |-3 \right |$
  - Zadanie 9.
    Sporządź wykres funkcji $g(x)=log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1}$ przekształcając wykres funkcji $f(x)=log_{3}x$
  - Zadanie 10.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = log₂(4x²)
  - Zadanie 11.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{2}\frac{1}{x^{2}}\cdot log_{x^{2}}\left ( x+2 \right )$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 12.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=-log_{\frac{1}{2}}\left | -x-2 \right |$
  - Zadanie 13.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\frac{x^{2}-4}{\left | x \right |-2}$ . Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=m nie ma rozwiązań?
  - Zadanie 14.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-2x+10 \right )$
- Równania logarytmiczne
  - Zadanie1.
    Rozwiąż równanie $log_{\sqrt{2}}x+log_{\sqrt{2}}\left ( x-6 \right )-8=0$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie $log_{\frac{1}{2}}\left ( x-1 \right )-log_{\frac{1}{2}}\left ( x-2 \right )=-1$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie 9^log₃(x-3) = 4
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie x^1+logx = 100x²
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie x – log5 = xlog5 + 2log2 – log(1 + 2^x)
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie $logx+4\sqrt{logx}=5$
- Nierówności logarytmiczne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność log₃(2x-3) < log₃x
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność $2log_{\frac{1}{2}}x< log_{\frac{1}{2}}\left ( 5x-6 \right )$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność log_x(x+2) < 2
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność 1 – log₅(5^x-4) ≥ x
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $log_{2}\left [ log_{\frac{1}{2}}\left ( x-4 \right ) \right ]\leq 1$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $\frac{2}{1+logx}+\frac{1}{logx}> 2$
- Zadania różne
  - Zadanie 1.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają równanie log_x²+y²(2y)=1.
  - Zadanie 2.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{2}\frac{xy}{2}=log_{2}x\cdot log_{2}y$
  - Zadanie 3.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $\frac{x+3}{log_{2}\left ( x+2 \right )}=log_{x+2}\left ( y+2 \right )$ i $y^{2}\leq 36$
  - Zadanie 4.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{\frac{1}{3}}\left ( y-x^{2} \right )\geq -1$
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = log[(m-2)x² – 3x + mx + 1] jest zbiór liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = x³log²m – 3x²logm – 6m -2logm jest podzielny przez dwumian (x+1)
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości parametru m równanie $x^{2}-2x-log_{\frac{1}{3}}m^{2}=0$ ma takie dwa różne pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 6?