Funkcje trygonometryczne • Strona 2 z 15 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne
Jeżeli jesteś na początku nauki o funkcjach trygonometrycznych, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
- Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
  - Zadanie 1.
    Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli do ramienia końcowego tego kąta należy punkt A
    a) A=(-2,-4) b) A=(3,-2)
  - Zadanie 2.
    Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 120⁰.
  - Zadanie 3.
    Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 225⁰.
  - Zadanie 4.
    Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 300⁰.
  - Zadanie 5.
    Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 870⁰.
  - Zadanie 6.
    Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta -480⁰.
- Miara łukowa kąta
  - Zadanie 1.
    Podaj miarę łukową kątów
    a) 360° b) 180° c) 90° d) 45° e) 270° f) 120° g) 300° h) 1140°
  - Zadanie 2.
    Podaj miarę stopniową kątów
    a) $\frac{5}{6}\pi$ b) $-\frac{4}{5}\pi$ c) $1\frac{2}{3}\pi$ d)
  - Zadanie 3.
    Oblicz a) $sin\frac{7}{3}\pi$ b) $cos\left ( -\frac{15}{4}\pi \right )$ c) $tg\left ( \frac{13}{6}\pi \right )$
- Wykresy funkcji trygonometrycznych
  - Przekształcenia wykresu funkcji y=sinx
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $g(x)=sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )+1$
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left | sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-\frac{1}{2} \right |$
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=sin\left ( \left | x \right |+\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=-sin\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )-1$
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=sin\left ( -x-\frac{\pi }{2} \right )$
    - Zadanie 6.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $g(x)=sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 7.
      Sporządź wykresy funkcji
      a) $f(x)=sin\frac{1}{2}x$
      b) $g(x)=sin\left (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4} \right )$
    - Zadanie 8.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $g(x)=-2sin\left ( -x-\frac{\pi }{2} \right )$
    - Zadanie 9.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | sinx \right |}{sinx}$
    - Zadanie 10.
      Sporządź wykres funkcji f(x) =|sinx|-sinx
  - Przekształcenia wykresu funkcji y=cosx
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $f(x)=cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )+1$
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left | cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )-\frac{1}{2} \right |$
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos\left ( \left | x \right |-\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=-cos\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )-1$
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos\left ( -x+\frac{\pi }{2} \right )$
    - Zadanie 6.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $g(x)=cos\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 7.
      Sporządź wykresy funkcji
      a) $f(x)=cos\frac{1}{2}x$
      b $g(x)=cos\left ( \frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4} \right )$
    - Zadanie 8.
      Sporządź wykresy funkcji
      a) $f(x)=\frac{1}{2}cosx$
      b) $g(x)=-\frac{1}{2}cos\left ( -x+\frac{\pi }{2} \right )$
    - Zadanie 9.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left |cosx \right |}{cosx}$
    - Zadanie 10.
      Sporządź wykres funkcji f(x) =|cosx|- cosx
  - Przekształcenia wykresu funkcji y=tgx
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykres funkcji
      a)
      b) $g(x)=tg\left ( -x-\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=tg\left | x-\frac{\pi }{3} \right |$
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=tg\left ( \left | x \right |-\frac{2}{3}\pi \right )$
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | tgx \right |}{tgx}$
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{1-cos^{2}x}}{cosx},gdzie\, x\in \left ( -\frac{3}{2}\pi ,-\frac{\pi }{2} \right )\cup \left ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right )\cup \left ( \frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \right )$
  - Przekształcenia wykresu funkcji y=ctgx
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykresy funkcji
      a)
      b) $g(x)=ctg\left ( -x+\frac{\pi }{3} \right )$
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=ctg\left | x+\frac{\pi }{6} \right |$
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=ctg\left ( \left | x \right |+\frac{2}{3}\pi \right )$
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{ctgx}{\left | ctgx \right |}$
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{1-cos^{2}x}},\, gdzie\, x\in \left ( -\pi ,0 \right )\cup \left ( 0,\pi \right )$
- Tożsamości trygonometryczne
  - Zadanie 1.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
    $sinx=-\frac{3}{4}\,\, i\,\, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )$
  - Zadanie 2.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
    $cosx=-\frac{12}{13}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi \right )$
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
    $tgx=3\, \, i\, \, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )$
  - Zadanie 4.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
    $ctgx=-\frac{1}{4}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$
  - Zadanie 5.
    Udowodnij tożsamość trygonometryczną
    $\left ( tgx+ctgx \right )^{2}=\frac{1}{sin^{2}x\cdot cos^{2}x}$
  - Zadanie 6.
    Udowodnij tożsamość trygonometryczną
    $ctgx+\frac{sinx}{1+cosx}=\frac{1}{sinx}$
  - Zadanie 7.
    Udowodnij tożsamość trygonometryczną
    $\left ( \frac{1}{sinx}-\frac{1}{cosx} \right )\left ( sinx+cosx \right )=ctgx-tgx$
  - Zadanie 8.
    Udowodnij tożsamość trygonometryczną
    $\frac{tgx}{tgx+ctgx}=sin^{2}x$
- Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
  - Zadanie 1.
    Oblicz cos75°
  - Zadanie 2.
    Oblicz sin15°
  - Zadanie 3.
    Oblicz sin33°·cos12°+sin12°·cos33°
  - Zadanie 4.
    Oblicz $sin\frac{\pi }{18}\cdot sin\frac{4}{9}\pi -cos\frac{\pi }{18}\cdot cos\frac{4}{9}\pi$
  - Zadanie 5.
    Oblicz sin15°·cos15°
  - Zadanie 6.
    Oblicz cos²22,5° – sin²22,5°
  - Zadanie 7.
    Udowodnij prawdziwość wzoru sin3α = 3sinα – 4sin³α
  - Zadanie 8.
    Oblicz $cos\left ( x+y \right )$ , gdy:
    $tgx=-2\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$ oraz $ctgy=-2\, \, i\, \, y\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi \right )$
  - Zadanie 9.
    Oblicz jeżeli:
    $cos2x=-\frac{1}{3}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$
  - Zadanie 10.
    Wyprowadź wzór $\left | cos\frac{x}{2} \right |=\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$
    Na podstawie wzoru oblicz wartość $cos\frac{\pi }{12}$
  - Zadanie 11.
    Wyprowadź wzór $\left | sin\frac{x}{2} \right |=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$
    
    Na podstawie wzoru oblicz wartość $sin\frac{\pi }{8}$
  - Zadanie 12.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sinx – cosx
  - Zadanie 13.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx$
  - Zadanie 14.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=2\left | cosx \right |\cdot sinx$ dla $\left \langle -2\pi ,2\pi \right \rangle$
  - Zadanie 15.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | sinx \right |\cdot cosx$ dla $x\in \left \langle -2\pi ,2\pi \right \rangle$
  - Zadanie 16.
    Naszkicuj wykres funkcji f(x) = cos²x – sinx · |sinx|
  - Zadanie 17.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left ( sin\frac{1}{4}x-cos\frac{1}{4}x \right )^{2}$
  - Zadanie 18.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos^{2}\frac{1}{2}x$
  - Zadanie 19.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{2}\left ( sinx+cosx \right )$
- Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
  - Zadanie 1.
    Oblicz sin15° + sin105° korzystając ze wzoru na sumę sinusów
  - Zadanie 2.
    Oblicz cos15° + cos75° korzystając ze wzoru na sumę cosinusów
  - Zadanie 3.
    Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: $\frac{1}{2}+sinx$
  - Zadanie 4.
    Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: 2cosα – 1
  - Zadanie 5.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sinx + cosx
  - Zadanie 6.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\sqrt{3}sinx-\sqrt{3}cosx$
  - Zadanie 7.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{2}\left ( sinx-cosx \right )$
- Wzory redukcyjne
  - Zadanie 1.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
    a) 150° b) 210° c) 300°
  - Zadanie 2.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
    a) $\frac{2}{3}\pi$ b) $\frac{7}{6}\pi$ c) $\frac{7}{4}\pi$
  - Zadanie 3.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
    a) -120° b) 870°
  - Zadanie 4.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
    a) $\frac{37}{6}\pi$ b) $-\frac{11}{6}\pi$
  - Zadanie 5.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
    $\frac{sin(-120^{o})}{tg300^{o}}+\frac{ctg570^{o}}{cos\left ( -330^{o} \right )}$
  - Zadanie 6.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
    $sin\left ( -\frac{5}{4}\pi \right )+cos\frac{7}{6}\pi \cdot ctg\frac{11}{6}\pi$
  - Zadanie 7.
    Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
    $sin\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )-tg\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )$
  - Zadanie 8.
    Naszkicuj wykres funkcji:
    $f(x)=cos\left ( \frac{3}{2}\pi -x \right )\cdot cos\left ( \pi -x \right )-sin\left ( \pi +x \right )\cdot sin\left ( \frac{3}{2}\pi +x \right )$
- Równania trygonometryczne
  - Równania trygonometryczne z funkcją y=sinx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równania
      a)
      b) $sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=0$
      c) $sin\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right )=-1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $sin3x=\frac{1}{2}$
      b) $sin\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
      c) $sin(2x+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równania
      a) $sin^{2}2x=1$
      b) $4sin^{2}\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=3$
      c) $\left | sin\left (2x-\frac{\pi }{2} \right ) \right |=1$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równania
      a) $sin^{2}x=sinx$
      b) $4sin^{3}x-sinx=0$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie $2sin^{2}x-2=-3sinx$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie $-2sin^{2}x+1=sinx$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż równanie
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie $sinx-sin\frac{\pi }{5}=0$
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż równanie $sin\left ( x-\pi \right )-sin\left ( 3x+\pi \right )=0$
    - Zadanie 10.
      Rozwiąż równanie $sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}$
    - Zadanie 11.
      Rozwiąż równanie $sinx\cdot cosx=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
    - Zadanie 12.
      Rozwiąż równanie $2sinx-cos^{2}x+2=0$
    - Zadanie 13.
      Rozwiąż równanie $2sin^{3}x-2sin^{2}x-sinx+1\, \, dla\, \, x\in \left \langle -\pi ,\pi \right \rangle$
  - Równania trygonometryczne z funkcją y=cosx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równania
      a)
      b) $cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=0$
      c) $cos\left ( 3x-\frac{\pi }{2} \right )=-1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $cos3x=\frac{1}{2}$
      b) $cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
      c) $cos\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równania
      a) $cos^{2}3x=1$
      b) $4cos^{2}\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=3$
      c) $\left | cos\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right ) \right |=1$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równania
      a) $cos^{2}x=cosx$
      b) $4cos^{3}x-cosx=0$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie $2cos^{2}x-2+3cosx=0$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie $cos^{2}x+5+6cosx=0$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż równanie
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie $cosx-cos\frac{\pi }{7}=0$
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż równanie $cos\left ( x-\pi \right )-cos\left ( 3x+\pi \right )=0$
    - Zadanie 10.
      Rozwiąż równanie $cos^{3}x-cos2x=1$
    - Zadanie 11.
      Rozwiąż równanie $sin^{4}x-cos^{4}x=\frac{1}{2}$
    - Zadanie 12.
      Rozwiąż równanie $4cos^{3}x-4cos^{2}x-cosx+1=0\, \, dla\, \, x\in \left \langle -\frac{\pi }{2},\pi \right \rangle$
  - Równania trygonometryczne z funkcją y=tgx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równania
      a) b) $tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=-\sqrt{3}$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $3tg^{2}\pi x=1$ b) $\left | \sqrt{3}tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) \right |=3$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie $3tg^{2}x-4\sqrt{3}tgx+3=0$
  - Równania trygonometryczne z funkcją y=ctgx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równania
      a)
      b) $ctg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $-3ctg^{2}\pi x=-1$
      b) $\left | \sqrt{3}ctg\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right ) \right |=1$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie $ctgx+tgx=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie ctgx + tgx =sin2x
- Nierówności trygonometryczne
  - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=sinx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność $2sinx\leq 1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $sinx\leq -\frac{1}{2}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $sin^{2}x< \frac{1}{2}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność $sin3x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $2\left | sinx \right |>\sqrt{3}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $sin\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\leq \frac{1}{2}$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż nierówność $sin\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )\geq \frac{1}{2}$ . Podaj rozwiązania nierówności należące do przedziału $\left \langle 0,2\pi \right \rangle$
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż nierówność $sin^{2}x< 2sinx\, \, dla\, \, x\in \left ( 0,2\pi \right )$
  - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=cosx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność $2cosx\leq 1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $cosx\leq -\frac{1}{2}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $cos^{2}x< \frac{1}{2}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność $cos2x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $2\left | cosx \right |< \sqrt{3}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\leq \frac{1}{2}$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $cos\left ( 3x-\frac{\pi }{3} \right )\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż nierówność $cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )\geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Podaj rozwiązania nierówności należące do przedziału $\left \langle 0,2\pi \right \rangle$ .
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż nierówność $cos^{2}x> -2cosx\, \, dla\, \, x\in \left ( 0,2\pi \right )$
  - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=tgx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność $tgx\leq 1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $tgx\geq -\sqrt{3}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $tg^{2}x< \frac{1}{3}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność $tg3x\geq \sqrt{3}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $3\left | tgx \right |> \sqrt{3}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )\leq -\sqrt{3}$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $tg\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{3}$
  - Nierówności trygonometryczne z funkcja y=ctgx
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność ctg x ≤1
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $ctgx\geq -\sqrt{3}$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $ctg^{2}x< \frac{1}{3}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność $ctg5x\geq \sqrt{3}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $3\left | ctgx \right |> \sqrt{3}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $ctg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )< -\sqrt{3}$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $ctg\left ( 3x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{3}$