Funkcje wymierne • Strona 2 z 4 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Funkcje wymierne

Funkcje wymierne
Jeżeli zaczynasz naukę o funkcji wymiernej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcji wymiernej na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
- Funkcja homograficzna
  - Zadanie 1.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{2x+8}{x+3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
  - Zadanie 2.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+10}{x-3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
  - Zadanie 3.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{3x-11}{x-4}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
  - Zadanie 4.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+8}{-x+2}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
  - Zadanie 5.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej w postaci kanonicznej wykonując odpowiednie dzielenie
    a) $f(x)=\frac{3x-11}{2x-3}$ b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-5}$
  - Zadanie 6.
    Podaj równania asymptot wykresu funkcji $f(x)=\frac{3x-2}{x+5}$
  - Zadanie 7.
    Wyznacz wzór funkcji homograficznej wiedząc, że równanie asymptoty pionowej to x = 2, poziomej y = -3 i wykres przechodzi przez punkt A=(1,5).
- Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej
  - Zadanie 1.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{x-1}{x+2} \right |$
  - Zadanie 2.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | x \right |-2}$
  - Zadanie 3.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |+1}{\left | x \right |-1} \right |$
  - Zadanie 4.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |-1}{\left | x \right |+1} \right |$
  - Zadanie 5.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | 3-x \right |}+1$
  - Zadanie 6.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{-2}{\left | x \right |-1}$ . Dla jakiej wartości parametru k równanie f(x) = k ma dwa rozwiązania.
  - Zadanie 7.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | x-1 \right |}{x}$
  - Zadanie 8.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x+2}{\left | x+3 \right |}$ . Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) =m w zależności od parametru m.
- Nierówności wymierne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\frac{x-2}{x+3}> 0$
    
    b) $\frac{x+2}{x-4}< 2$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+5 \right )}{x+3}> 0$
    
    b) $\frac{x+2}{x-1}\leq 3$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność $\frac{(x^{2}-4)\left ( x-5 \right )}{x+3}\geq 0$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x-3}{x-4}\leq \frac{x-1}{x-3}$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2}\leq \frac{6x+2}{x^{2}-4}$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x-1}{x+1}\leq x-1$
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości funkcji $f(x)=\frac{-4}{x-3}$ są nie większe od wartości funkcji $g(x)=\frac{5x+6}{x+2}$
- Równania i nierówności z wartością bezwzględną
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie
    a) $\frac{2}{\left | x+3 \right |}=1$
    
    b) $\frac{-2}{\left | 2x-3 \right |}=-1$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie
    a) $\frac{-2}{\left | x+1 \right |}=3$
    
    b) $\frac{-4}{\left | x-3 \right |}=0$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{6x+3} \right |=1$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{-x+3} \right |=2$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $\frac{x}{\left | 2x-1 \right |}=1$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie $\frac{2x}{\left | x-3 \right |}=x-2$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $\frac{4}{\left | x-3 \right |}> 1$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówność $\frac{2}{\left | x+3 \right |}\leq 1$
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż nierówność $\left | \frac{3-x}{x+1} \right |> 2$
  - Zadanie 10.
    Rozwiąż nierówność $\left | \frac{2x-3}{x-2} \right |\leq 2$
  - Zadanie 11.
    Rozwiąż nierówność $\frac{\left | x \right |}{x+2}> 2$
  - Zadanie 12.
    Rozwiąż nierówność $\frac{1}{\left | 5-x \right |}<\frac{1}{\left | x+1 \right |}$
- Zadania z parametrem
  - Zadanie 1.
    Dla jakich wartości parametru m równanie (m-1)x² – 2mx + 3 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru m równanie mx² + 2(m-1)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki których suma kwadratów jest większa od sumy tych rozwiązań?
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru nierówność $\frac{3x^{2}-2x+1}{-x^{2}+mx-1}< 0$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej .
  - Zadanie 4.
    Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań równania $\frac{x+k}{x-m}=\frac{x-m}{x+k}$ i ich liczby w zależności od parametrów $m\, \, i\, \, k$ .
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x-1}{x^{2}-kx++k}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{mx^{2}+mx+1}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?