Graniastosłupy

• Sześcian

  • Zadanie 1.

    Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.

  • Zadanie 2.

    Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany  A’B’C’D’ .
    a) Wyznacz długość odcinka AK.
    b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i  AM.

  • Zadanie 3.

    Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.

  • Zadanie 4.

    Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

  • Zadanie 5.

    Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

  • Zadanie 6.

    Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

  • Zadanie 7.

    Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

  • Zadanie 8.

    Na przekątnych AB i CD  sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)

• Inne graniastosłupy

  • Zadanie 1.

    Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .

  • Zadanie 2.

    W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

  • Zadanie 3.

    Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.

  • Zadanie 4.

    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

  • Zadanie 5.

    Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i , a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.

  • Zadanie 6.

    Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ  (β γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

  • Zadanie 7.

    Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

• Przekroje graniastosłupów

  • Zadanie 1.

    Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez  krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.

  • Zadanie 2.

    Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.

  • Zadanie 3.

    Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.

  • Zadanie 4.

    Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.