fbpx

  • Planimetria

    Pozostałe treści z planimetrii znajdziecie w kursie z poziomu podstawowego.

    • Okrąg opisany na czworokącie

      • Zadanie 1.

        Na trapezie o kolejnych kątach \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta opisano okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu jeżeli \alpha =\frac{1}{4}\gamma

      • Zadanie 2.

        Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Miara kąta przy wierzchołku A jest mniejsza o 50° od miary kąta przy wierzchołku C i o 50° większa od miary kąta przy wierzchołku B. Oblicz miary kątów tego czworokąta.

      • Zadanie 3.

        Przekątna  czworokąta  wpisanego w okrąg o środku S jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku A jest ostry i  \left | \sphericalangle BSD \right |=100^{\circ}, oblicz miary kątów czworokąta ABCD.

      • Zadanie 4.

        Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz długości przekątnych tego trapezu wiedząc, że kąt ostry tego trapezu to 30° i promień okręgu ma długość 4 cm. 

      • Zadanie 5.

        Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że kąt ostry między przekątnymi tego trapezu to 60° , a ramię trapezu ma długość 2 cm

      • Zadanie 6.

        W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30° oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

      • Zadanie 7.

        W trapezie równoramiennym ABCD jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Pole tego trapezu wynosi 9 cm2. Oblicz długości boków trapezu oraz pole koła opisanego na trapezie.

    • Okrąg wpisany w czworokąt

      • Zadanie 1.

        W czworokącie KLMN bok KL jest o 3 krótszy od boku MN. Wiedząc, że w ten czworokąt można wpisać okrąg i |LM|=8, |KN|=9 oblicz długości boków KL i MN.

      • Zadanie 2.

        W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Bok AB tego czworokąta jest siedem razy krótszy niż bok CD, zaś bok AD jest trzy razy krótszy niż bok BC. Ile razy bok BC jest dłuższy niż bok AB?

      • Zadanie 3.

        Oblicz pole trapezu równoramiennego i długości jego ramion wiedząc, że długości jego podstaw wynoszą 6 cm, 10 cm i można w niego wpisać okrąg.

      • Zadanie 4.

        W trapez o kątach ostrych przy dłuższej podstawie 30° i 60° wpisano okrąg o promieniu 1. Oblicz długości podstaw trapezu.

      • Zadanie 5.

        Oblicz pole rombu o kącie rozwartym 150° w którego wpisano okrąg o promieniu 4 cm.

      • Zadanie 6.

        Trapez prostokątny o kącie ostrym 60° jest opisany na okręgu o promieniu długości 2. Oblicz pole trapezu.

    • Twierdzenie sinusów

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż trójkąt, mają dane: a=4, α=45°, β=60°.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż trójkąt, mają dane: b=5 cm, c=4 cm, β=60°.

      • Zadanie 3.

        Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt w którym a=4, b=8, α=45°.

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż trójkąt w którym dane są a=3, b=5, α=30°.

      • Zadanie 5.

        W \Delta \, ABC dane są: \left | AC \right |=4,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ},\left | \sphericalangle ACB \right |=105^{\circ} . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

      • Zadanie 6.

        W trójkącie równoramiennym ramię ma długość b, kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz pole tego trójkąta i długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

      • Zadanie 7.

        Jeden z boków trójkąta ma długość a, zaś kąty przyległe do tego boku mają miary α, β. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości boków tego trójkąta.

      • Zadanie 8.

        Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt K, że |KB|:|KC|=4:1 
        a) Oblicz stosunek pól trójkątów ABK i AKC
        b) Oblicz stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABK i AKC
        c) Wyznacz sinus kąta BAK

      • Zadanie 9.

        W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku C podzieliła bok AB na odcinki długości x i y licząc od punktu A. Przyjmując, że \left | AC \right |=a,\left | BC \right |=b  wykaż, że  \frac{a}{b}=\frac{x}{y}.

    • Twierdzenie cosinusów

      • Zadanie 1.

        Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC w którym \left | AB \right |=10,\left | AC \right |=6,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ}

      • Zadanie 2.

        Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach długości \sqrt{2},2,1+\sqrt{3}

      • Zadanie 3.

        Sprawdź czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 długości  jest trójkątem rozwartokątnym?

      • Zadanie 4.

        Oblicz długości boków równoległoboku o bokach długości 3 cm i 5 cm oraz kącie ostrym 30°.

      • Zadanie 5.

        Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie w którym, długości dwóch boków to 1 i 4, a miara kąta zawartego między tymi bokami to 60°.

      • Zadanie 6.

        Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.

      • Zadanie 7.

        W równoległoboku ABCD, gdzie \left | AB \right |=a,\left | BC \right |=b,\left | \sphericalangle DAB \right |=\alpha \,, połączono wierzchołek A ze środkami boków BC i CD otrzymując odpowiednio punkty K i L. Oblicz obwód trójkąta AKL.

      • Zadanie 8.

        Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.