Rachunek prawdopodobieństwa • Strona 2 z 3 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Pozostałe treści z rachunku prawdopodobieństwa znajdziecie w kursie z poziomu podstawowego.
- Prawdopodobieństwo warunkowe
  - Zadanie 1.
    Spośród liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 3, pod warunkiem, że jest to liczba nieparzysta.
  - Zadanie 2.
    W czterdziestoosobowej grupie 12 osób zna tylko język angielski, 10 osób tylko język niemiecki, a 18 osób zna oba języki. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej grupy zna język niemiecki, jeżeli wiadomo, ze zna język angielski.
  - Zadanie 3.
    W pudełku są 3 kule białe, 4 kule czerwone i 5 kul niebieskich. Z pudełka wybieramy losowo jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej, pod warunkiem, że wylosowana kula nie jest niebieska.
  - Zadanie 4.
    Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że w pierwszym rzucie otrzymamy mniejszą liczbę oczek niż w drugim rzucie, jeśli wiemy, że w drugim rzucie wypadło jedno lub dwa oczka?
  - Zadanie 5.
    Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana karta będzie asem, jeśli wiadomo, że wylosowana karta jest pikiem.
  - Zadanie 6.
    Z talii 52 kart losujemy dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane karty są figurami, pod warunkiem, że obie są kierami.
  - Zadanie 7.
    Oblicz $P\left ( A \mid B\right )$ , jeśli wiadomo, że $P\left ( A\cup B \right )=\frac{7}{12}$ , $P\left ( B \right )=\frac{2}{3}$ , $P(A)=\frac{1}{4}$
  - Zadanie 8.
    Wykaż, że jeżeli zdarzenia losowe $A,B\subset \Omega$ są takie, że oraz to $P(A\mid B)\geq 0,5$
- Prawdopodobieństwo całkowite
  - Zadanie 1.
    W pierwszym pudełku jest 6 kul niebieskich i 4 kule czerwone, zaś w drugim pudełku jest 5 kul czerwonych i 4 kule niebieskie. Losujemy jedną kulę z pudełka pierwszego i nie oglądając jej wrzucamy do pudełka drugiego. Następnie wybieramy losowo kulę z pudełka drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze druga wylosowana kula będzie czerwona.
  - Zadanie 2.
    Wśród wyrobów pierwszej firmy towary wadliwe stanowią 5%, a wśród wyrobów drugiej firmy towary wadliwe stanowią 3%. Pierwsza firma dostarcza do hurtowni dwa razy więcej wyrobów niż druga. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupiona w hurtowni jedna sztuka towaru pochodząca z tych firm okaże się dobra.
  - Zadanie 3.
    Daltonizm to wada wzroku polegająca na zaburzeniu rozpoznawania barwy zielonej i czerwonej. Dotyka ona przeciętnie pięć kobiet na tysiąc i ośmiu mężczyzn na stu. Z grupy osób w której stosunek liczby kobiet do liczby mężczyzn wynosi 2:8 wylosowano jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze wybrana osoba jest daltonistą.
  - Zadanie 4.
    W dwóch piórnikach znajdują się długopisy: w pierwszym jest 6 zielonych i 4 niebieskie, w drugim jest 5 zielonych i 5 niebieskich. Rzucamy kostką do gry: jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez 3 losujemy jeden długopis z piórnika pierwszego, w przeciwnym razie z piórnika drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy długopis zielony.
  - Zadanie 5.
    W szufladzie jest 5 nowych i 8 używanych piłek do gry w tenisa. Do pierwszej gry wzięto losowo z tej szuflady dwie piłki i po grze włożono je z powrotem do szuflady. Do drugiej gry wzięto losowo z tej szuflady 3 piłki. Oblicz prawdopodobieństwo wzięcia do drugiej gry 3 nowych piłek.
- Twierdzenie Bayesa
  - Zadanie 1.
    Wiadomo, że 5% wszystkich mężczyzn i 0,25% wszystkich kobiet to daltoniści. Spośród grupy 60 mężczyzn i 400 kobiet wybrano losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny pod warunkiem wylosowania osoby, która jest daltonistą?
  - Zadanie 2.
    W hurtowni znajdują się detale pochodzące z trzech zakładów produkcyjnych: Z₁_,Z_2,Z₃. Zapotrzebowanie pokrywane jest przez zakłady odpowiednio w 25%, 35% i 40%. Produkcja tych zakładów zawiera odpowiednio 2%, 4% i 5% braków. Losowo wybrany detal okazał się dobry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukował go zakład Z_1.
- Schemat Bernoulliego
  - Zadanie 1.
    Rozważmy sześciokrotny rzut symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 4 razy orła.
  - Zadanie 2.
    Rzucamy 6-krotnie symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że ściana z jednym oczkiem wypadnie co najwyżej raz.
  - Zadanie 3.
    W urnie mamy jednakowe kule: 4 białe i 6 czarnych. Losujemy 4 razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem wylosowaną kule do urny. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu kuli białej co najmniej dwa razy.
  - Zadanie 4.
    Gra polega na jednoczesnym rzucie symetryczną monetą i symetryczną kostką sześcienną. Wygrana następuje przy jednoczesnym wyrzuceniu orła i jedynki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 3 gry wygrana wystąpi co najmniej jeden raz?
  - Zadanie 5.
    W schemacie Bernoullego o n próbach prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi 0,1. Jakie musi być n, aby prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu przy n próbach było większe od 0,7?
  - Zadanie 6.
    W schemacie Bernoullego o 5 próbach prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu wynosi 0,76. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie?