Stereometria • Strona 5 z 6 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR
Stereometria

Stereometria
Jeżeli jesteś na początku nauki z geometrii przestrzennej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania ze stereometrii z kursu na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
- Graniastosłupy
  - Sześcian
    - Zadanie 1.
      Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.
    - Zadanie 2.
      Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany A’B’C’D’ .
      a) Wyznacz długość odcinka AK.
      b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM.
    - Zadanie 3.
      Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
    - Zadanie 4.
      Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 5.
      Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 6.
      Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 7.
      Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 8.
      Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)
  - Inne graniastosłupy
    - Zadanie 1.
      Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .
    - Zadanie 2.
      W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
    - Zadanie 3.
      Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.
    - Zadanie 4.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 5.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i $\sqrt{33}$ , a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 6.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ (β γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 7.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
  - Przekroje graniastosłupów
    - Zadanie 1.
      Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 2.
      Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.
    - Zadanie 3.
      Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.
    - Zadanie 4.
      Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.
- Ostrosłupy
  - Kąt dwuścienny
    - Zadanie 1.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego długość krawędzi podstawy jest równa 6, a kąt miedzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 120°.
    - Zadanie 2.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.
    - Zadanie 3.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Wyznacz cosinus kata między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.
    - Zadanie 5.
      Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny. Stosunek długości wysokości ostrosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy $\frac{\sqrt{6}}{6}$ . Wykaż, że kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.
    - Zadanie 6.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 7.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
  - Twierdzenie o ostrosłupach
    - Zadanie 1.
      Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 3.
      Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość 10 cm. Przekątna tego trapezu jest prostopadła do ramienia i ma 8 cm długości, a wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają po 13 cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Przekroje ostrosłupów
    - Zadanie 1.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym pole podstawy jest równe $18\sqrt{3}$ cm², zaś krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i wierzchołek.
    - Zadanie 2.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Oblicz tangens kąta ostrego β, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.
    - Zadanie 3.
      Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przeciętego płaszczyzną przechodząca przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa, jest równe S. Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 3α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 5.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa a, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
      a) Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      b) Wyznacz sinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
    - Zadanie 6.
      Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H, przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.
    - Zadanie 7.
      W ostrosłupie , którego podstawą jest prostokątny trójkąt równoramienny o przyprostokątnej 5, jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z tą płaszczyzną kąt α taki, że $sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Oblicz pole tego kwadratu.
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny wiedząc, że kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa ma miarę α, zaś wysokość ostrosłupa ma długość H.
    - Zadanie 2.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu długości R wiedząc, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
    - Zadanie 3.
      Podstawą ostrosłupa jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°. Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny postawy pod kątem α=60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli promień okręgu wpisanego w romb ma długość r.
    - Zadanie 4.
      Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 1 i 2. Wysokość ostrosłupa ma długość 3, a jej spodek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
    - Zadanie 5.
      W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa jest równy α, zaś krawędź podstawy ma długość α. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
    - Zadanie 6.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości przekątnej podstawy AC do długości ramienia AS jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 7.
      Sześcian o krawędzi α wpisano w ostrosłup prawidłowy czworokątny tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych, zaś cztery pozostałe do podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
- Figury obrotowe
  - Zadanie 1.
    Stożek o objętości V i wysokości h przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $\frac{1}{3}h$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 2.
    W kulę wpisano walec, w którym długość promienia podstawy jest mniejsza od długości promienia kuli o 2 cm, a wysokość stanowi $\frac{4}{3}$ promienia kuli. Oblicz pole powierzchni kuli.
  - Zadanie 3.
    Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
  - Zadanie 4.
    Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $\frac{2}{3}$ . Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 5.
    Oblicz objętość kuli wpisanej w stożek o promieniu długości R i kącie rozwarcia 2α.
  - Zadanie 6.
    Romb o kącie ostrym 60°, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.
  - Zadanie 7.
    W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstaw kąty α i β. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.
  - Zadanie 8.
    Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi
    68 cm². Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
  - Zadanie 9.
    Trójkąt o bokach 10,17,21 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
  - Zadanie 10.
    Puszka ma kształt walca zakończonego z obu stron półsferami. Wysokość walca jest o 2 większa od promienia jego podstawy, a objętość puszki jest dwa razy większa od objętości walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej puszki.
  - Zadanie 11.
    W trójkącie równoramiennym o obwodzie p stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $\sqrt{3}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dookoła prostej zawierającej jego ramię.
  - Zadanie 12.
    Wykaż, że objętość walca o polu powierzchni P, opisanego na kuli o promieniu r, jest równa $\frac{Pr}{3}$ .
  - Zadanie 13.
    Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45° i 60° Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m² papieru zużyto.
  - Zadanie 14.
    W stożek o wysokości H=9 i objętości V=108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
    a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
    b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?
  - Zadanie 15.
    Na stożku, którego pole przekroju osiowego jest równe S, a kąt między wysokością i tworzącą ma miarę α, opisano kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.