Szkoła średnia - PR • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PR

Szkoła średnia - PR
Kurs do szkoły średniej – poziom rozszerzony (PR). Treści z poziomu podstawowego znajdziesz w kursie szkoła średnia – poziom podstawowy (PP).
- Wartość bezwzględna
  Jeżeli rozpoczynasz naukę o wartości bezwzględnej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam własności wartości bezwzględnej, interpretację geometryczną wartości bezwzględnej, zastosowanie interpretacji geometrycznej do rozwiazywania prostych równań i nierówności oraz działań z wartością bezwzględną.
  - Równania z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie
      a) |x + 3| = 2
      b) |2x – 1| = 3
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $\sqrt{9x^{2}+6x+1}=1$
      b) |4x – 3| = -3
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie 2|x – 1| – 3|1 – x| = 2 – 3|-x +1|
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie $\frac{5\left | -2x-4 \right |-1}{3}=\frac{1}{2}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie ||x +2| – 3| = 5
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie ||x – 1| – 7| = 2
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż równanie 2|x – 2| = 3x – 1
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie |x – 1| + |x + 2| = 5
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż równanie $\left | -10x-15 \right |=\sqrt{4x^{2}+12x+9}+8$
  - Nierówności z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówności
      a) |x + 1| > 3
      b) |2x – 1| ≥ 2
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\sqrt{4x^{2}-4x+1}\geq 2$
      b) |-2x – 1| > -3
      c) |2x – 5| > 0
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówności
      a) |x – 5| < 2
      b) |3x + 2| ≤ 2
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\sqrt{25x^{2}-10x+1}\leq 3$
      b) |1 – 3x| < -3
      c) |2x + 4| ≤ 0
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność ||x – 4| – 3| < 5
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $\left | 6-\sqrt{4x^{2}+12x+9} \right |\geq 3$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $\left | \left | x \right |-3 \right |< \sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż nierówność |1 – 3x| > 2x +3
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż nierówność |x + 2| + 2 ≥ 3x – |x – 3|
  - Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| – 3
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = ||x| + 3| – 4
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |2x – 4| – x + 2
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| + |x + 3| – 1
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{4x^{2}+16x+16}-\left | x \right |-x$
    - Zadanie 6.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | \left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right ) \right |}{x^{3}+4x^{2}+x-6}$
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż graficznie nierówność $\left | x-1 \right |+1> x+2$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż graficznie nierówność |x + 3| + 2|x| > x + 5
    - Zadanie 3.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania ||x – 2| – 4| = m w zależności od parametru m.
    - Zadanie 4.
      Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{\sqrt{a^{2}-4ab+4b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+4ab+4b^{2}}}-\frac{8ab}{a^{2}-4b^{2}}+\frac{2b}{a-2b}$ dla
    - Zadanie 5.
      Dana jest nierówność |x – 1|+ |x + 2| < m. Wyznacz te wartości m, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań.
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametru m, równanie |x – 1| = m² – 2m +1 ma dwa pierwiastki dodatnie?
    - Zadanie 7.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających równanie |x| + |y| = 2
    - Zadanie 8.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających nierówność |x + 1| + |y + 1| ≤ 1
- Funkcja kwadratowa
  Jeżeli jesteś na początku nauki o funkcji kwadratowej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcji kwadratowej na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
  - Równania sprowadzalne do równań kwadratowych
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie x⁴ – 3x² + 2 = 0
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie x⁴ – x² – 2 = 0
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie x⁴ + 5x² + 6 = 0
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie x⁶ + 7x³ – 8 = 0
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie $x+\sqrt{x}-12=0$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie x² + |x| – 10 =0
    - Zadanie 7.
      Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{x^{4}-7x^{2}+6}$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie x² – 3|x + 2| = 0
  - Nierówności sprowadzalne do nierówności kwadratowych
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność (x – 2)(2x – 3) < (x + 5)(x – 2)
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność (x – 1)(3x – 2) – (x – 5)(1 – x) ≥ 0
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność x² – 5|x| < 0
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność x² + |x| -2 ≤ 0
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność x² – |x – 2| ≥ 0
    - Zadanie 6.
      Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
  - Układy równań i nierówności stopnia drugiego
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=x^{2}+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}-4x-1\\y=x^{2}+2x-1 \end{matrix}\right.$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}+3\\y=\left | x \right |-3 \end{matrix}\right.$
    - Zadanie 4.
      Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny opisany układem nierówności $\left\{\begin{matrix} y\geq x^{2}-3\\y< x-1 \end{matrix}\right.$
  - Wzory Vietea
    - Zadanie 1.
      Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego x² – 8x + 7 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 2.
      Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego -x² -5x +1 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 3.
      Oblicz kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x² – 4x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 4.
      Oblicz wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania kwadratowego 2x² + 3x – 7 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 5.
      Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego x² + 2x – 4 = 0bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 6.
      Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 2 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 7.
      Oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania kwadratowego x² – 2x – 1 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 8.
      Oblicz sumę czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
    - Zadanie 9.
      Określ znaki pierwiastków ( o ile istnieją ) równania kwadratowego bez obliczania tych pierwiastków
      a) x² – 3x + 2 = 0
      b) x² + 3x + 2 = 0
      c) x² + x – 2 = 0
  - Równania kwadratowe z parametrem
    - Zadanie 1.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania $x^{2}-\left ( 3m-1 \right )x+\frac{9}{4}m+\frac{1}{4}=0$ w zależności od parametru m.
    - Zadanie 2.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania mx² + 2mx – 3 = 0 w zależności od parametru m.
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k+2)x + 9k – 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki
      a) jednakowych znaków
      b) ujemne
      c) dodatnie
    - Zadanie 4.
      Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k-3)x + 2k + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków.
    - Zadanie 5.
      Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x² + (3m-2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x₁² + x₂² > 8.
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametru m równanie x² – (m-3)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 2.
    - Zadanie 7.
      Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (k-1)x + k + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x₁| + |x₂| < 3
    - Zadanie 8.
      Dla jakich wartości parametru m równanie x² – 2mx + m² – 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1.
    - Zadanie 9.
      Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x² – (m-5)x + 6 – 2m = 0 osiąga wartość najmniejszą?
    - Zadanie 10.
      Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x⁴ – 2(m+3)x² + m – 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki?
  - Nierówności kwadratowe z parametrem
    - Zadanie 1.
      Dla jakich wartości parametru m nierówność x² – mx + m + 3 > 0 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x?
    - Zadanie 2.
      Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności (5-m)x² – 2(1-m)x + 2 – 2m < 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2mx-m}$ jest zbiór R?
    - Zadanie 4.
      Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left ( m-1 \right )x^{2}-\left ( m-1 \right )x+1}}$ jest zbiór R?
    - Zadanie 5.
      Dla jakich wartości m wartości funkcji f(x) = (2m+1)x² + (m-1)x + 3m są mniejsze od wartości funkcji g(x) = (1-m)x + 3 dla każdego x∈R?
- Wielomiany
  Jeżeli rozpoczynasz naukę o wielomianach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o sumach algebraicznych (wielomianach) na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
  - Równość wielomianów
    - Zadanie 1.
      Dla jakich wartości parametru a wielomiany W(x) = 3x³ + (a²-3)x² – 5 i G(x) = 3x³ + 6x² – 5 są równe?
    - Zadanie 2.
      Dla jakich wartości parametru a iloczyn wielomianów W(x) = ax – 4 i G(x) = ax – 1 jest równy wielomianowi H(x) = 9x² + 15x + 4?
    - Zadanie 3.
      Dane są wielomiany W(x) = x² + x -1, G(x) = ax + b, H(x) = x³ + 4x + 6x² – 5. Wyznacz współczynniki a, b tak, aby W(x)·G(x) = H(x).
    - Zadanie 4.
      Dane są wielomiany F(x) = 2x – 3, G(x) = x² + bx + c, H(x) = 2x³ + x² – 8x + 3. Wyznacz współczynniki b, c tak, aby wielomian F(x)·G(x) – H(x) był wielomianem zerowym.
    - Zadanie 5.
      Przedstaw wielomian W(x) = x⁴ + 2x³ + x² – 1 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
    - Zadanie 6.
      Przedstaw wielomian W(x) = x⁴ + x³ – 6x² – 11x – 5 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
  - Dzielenie wielomianów
    - Zadanie 1.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ – 2x² + 3x – 12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
    - Zadanie 2.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ + 3x -12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
    - Zadanie 3.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 4x³ + 8x² + 4x – 9 przez wielomian Q(x) = 2x + 1. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
    - Zadanie 4.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 2x⁴ – 3x³ + 4x + 2 przez wielomian Q(x) = x² + x. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + R(x).
  - Schemat Hornera
    - Zadanie 1.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ – 9x² + 2x – 1 przez dwumian Q(x) = x – 1 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.
    - Zadanie 2.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 3x⁴ – 10x³ – 29x + 2 przez dwumian Q(x) = x – 4 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.
    - Zadanie 3.
      Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 8x³ + 27 przez dwumian Q(x) = x + 1 wykorzystując schemat Hornera, wykonaj działanie sprawdzające.
  - Twierdzenie o reszcie
    - Zadanie 1.
      Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x³ – 7x² – 2x + 3 przez dwumian Q(x) = x + 1.
    - Zadanie 2.
      Sprawdź czy wielomian W(x) = -x⁴ + 2x² – 3x + 1 jest podzielny przez dwumian G(x) = x – 2.
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości a wielomian W(x) = x³ + (a²-1)x – 3 jest podzielny przez P(x) = x – 1.
    - Zadanie 4.
      Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x⁴ – (m+1)x² – 3(m-1)x – 5 przez dwumian x – 1 wynosi 2
    - Zadanie 5.
      Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 5, 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
      Q(x) = (x – 2)(x – 3).
    - Zadanie 6.
      Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 1, x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
      Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).
    - Zadanie 7.
      Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x⁹⁹ – 1 przez wielomian Q(x) = x² – 1.
    - Zadanie 8.
      Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x⁵ – x³ + x² – 1 przez wielomian Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).
  - Twierdzenie Bezouta
    - Zadanie 1.
      Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ – x² – 10x – 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
    - Zadanie 2.
      Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x³ + 5x² – 4x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Rozłóż wielomian na czynniki
    - Zadanie 3.
      Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ + 2x² – 11x + 20. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
    - Zadanie 4.
      Liczby -2 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x⁴ + x³ – 5x² – 4x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
    - Zadanie 5.
      Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x) = x³ + (2m – 3)x -2 jest podzielny przez dwumian x – 3.
    - Zadanie 6.
      Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x³ – 6x² + ax + b. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
    - Zadanie 7.
      Wielomian W(x) = 2x³ + mx² – 13x + n jest podzielny przez dwumiany x – 2 i x – 3. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
  - Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie x³ – 6x² + 9x – 4 = 0.
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie 3x³ + 3x² – 5x + 2 = 0.
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie x⁴ – 4x³ + 8x² – 20x + 15 = 0.
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie x⁴ + 3x³ -5x² – 12x + 4 = 0.
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie 2x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie 2x³ + 9x² + x – 3 = 0.
  - Pierwiastki wielokrotne
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie x³ + 5x² + 7x + 3 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie x⁴ – 6x³ + 13x² – 12x + 4 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.
    - Zadanie 3.
      Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = 3x³ – 11x² + 8x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
    - Zadanie 4.
      Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
    - Zadanie 5.
      Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania x³ + 4x² + ax + b = 0. Wyznacz współczynniki a i b.
    - Zadanie 6.
      Liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ – 3x³ + ax² + bx – 18. Wyznacz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu.
    - Zadanie 7.
      Podaj przykład wielomianu stopnia czwartego, którego
      a) jedynymi pierwiastkami są liczby 2 i -2
      b) jedynym pierwiastkiem jest 1 i jest to pierwiastek dwukrotny.
  - Nierówności wielomianowe
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność
      a) 2(x – 1)(x + 3)(x – 5) > 0
      b) -3(x – 1)(x – 3)(x +7) > 0
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność
      a) 2(x² – 1)(-x + 3)(x – 5) < 0
      b) -3(2x² + x -1)(x – 3)(x + 7) < 0
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność
      a) -5(x – 1)²(x + 3)(x – 5) > 0
      b) 3(x – 1)³(x – 3)²(x + 7)⁴ < 0
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność
      a) x³ – 6x² – x + 6 ≥ 0
      b) -x³ – 3x² – x + 1 < 0
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność 2x³ – 3x² – 10x +15 ≤ 0. Wyznacz najmniejsza liczbę całkowitą dodatnią spełniającą tę nierówność.
    - Zadanie 6.
      Wyznacz dziedzinę funkcji
      a) $f(x)=\sqrt{x^{3}-3x}$
      b) $f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x^{3}-5x+4}}$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność x⁴ + x³ – 7x² + ax + b > 0, jeżeli liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x⁴ + x³ – 7x² + ax + b
- Funkcje wymierne
  Jeżeli zaczynasz naukę o funkcji wymiernej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcji wymiernej na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
  - Funkcja homograficzna
    - Zadanie 1.
      Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{2x+8}{x+3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
    - Zadanie 2.
      Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+10}{x-3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
    - Zadanie 3.
      Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{3x-11}{x-4}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
    - Zadanie 4.
      Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+8}{-x+2}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
    - Zadanie 5.
      Przedstaw wzór funkcji homograficznej w postaci kanonicznej wykonując odpowiednie dzielenie
      a) $f(x)=\frac{3x-11}{2x-3}$ b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-5}$
    - Zadanie 6.
      Podaj równania asymptot wykresu funkcji $f(x)=\frac{3x-2}{x+5}$
    - Zadanie 7.
      Wyznacz wzór funkcji homograficznej wiedząc, że równanie asymptoty pionowej to x = 2, poziomej y = -3 i wykres przechodzi przez punkt A=(1,5).
  - Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej
    - Zadanie 1.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{x-1}{x+2} \right |$
    - Zadanie 2.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | x \right |-2}$
    - Zadanie 3.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |+1}{\left | x \right |-1} \right |$
    - Zadanie 4.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |-1}{\left | x \right |+1} \right |$
    - Zadanie 5.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | 3-x \right |}+1$
    - Zadanie 6.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{-2}{\left | x \right |-1}$ . Dla jakiej wartości parametru k równanie f(x) = k ma dwa rozwiązania.
    - Zadanie 7.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | x-1 \right |}{x}$
    - Zadanie 8.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x+2}{\left | x+3 \right |}$ . Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) =m w zależności od parametru m.
  - Nierówności wymierne
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\frac{x-2}{x+3}> 0$
      
      b) $\frac{x+2}{x-4}< 2$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+5 \right )}{x+3}> 0$
      
      b) $\frac{x+2}{x-1}\leq 3$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $\frac{(x^{2}-4)\left ( x-5 \right )}{x+3}\geq 0$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność $\frac{x-3}{x-4}\leq \frac{x-1}{x-3}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2}\leq \frac{6x+2}{x^{2}-4}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $\frac{x-1}{x+1}\leq x-1$
    - Zadanie 7.
      Dla jakich wartości funkcji $f(x)=\frac{-4}{x-3}$ są nie większe od wartości funkcji $g(x)=\frac{5x+6}{x+2}$
  - Równania i nierówności z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie
      a) $\frac{2}{\left | x+3 \right |}=1$
      
      b) $\frac{-2}{\left | 2x-3 \right |}=-1$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie
      a) $\frac{-2}{\left | x+1 \right |}=3$
      
      b) $\frac{-4}{\left | x-3 \right |}=0$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{6x+3} \right |=1$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{-x+3} \right |=2$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie $\frac{x}{\left | 2x-1 \right |}=1$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie $\frac{2x}{\left | x-3 \right |}=x-2$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $\frac{4}{\left | x-3 \right |}> 1$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż nierówność $\frac{2}{\left | x+3 \right |}\leq 1$
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż nierówność $\left | \frac{3-x}{x+1} \right |> 2$
    - Zadanie 10.
      Rozwiąż nierówność $\left | \frac{2x-3}{x-2} \right |\leq 2$
    - Zadanie 11.
      Rozwiąż nierówność $\frac{\left | x \right |}{x+2}> 2$
    - Zadanie 12.
      Rozwiąż nierówność $\frac{1}{\left | 5-x \right |}<\frac{1}{\left | x+1 \right |}$
  - Zadania z parametrem
    - Zadanie 1.
      Dla jakich wartości parametru m równanie (m-1)x² – 2mx + 3 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?
    - Zadanie 2.
      Dla jakich wartości parametru m równanie mx² + 2(m-1)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki których suma kwadratów jest większa od sumy tych rozwiązań?
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości parametru nierówność $\frac{3x^{2}-2x+1}{-x^{2}+mx-1}< 0$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej .
    - Zadanie 4.
      Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań równania $\frac{x+k}{x-m}=\frac{x-m}{x+k}$ i ich liczby w zależności od parametrów $m\, \, i\, \, k$ .
    - Zadanie 5.
      Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x-1}{x^{2}-kx++k}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{mx^{2}+mx+1}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
- Funkcje trygonometryczne
  Jeżeli jesteś na początku nauki o funkcjach trygonometrycznych, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
  - Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
    - Zadanie 1.
      Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli do ramienia końcowego tego kąta należy punkt A
      a) A=(-2,-4) b) A=(3,-2)
    - Zadanie 2.
      Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 120⁰.
    - Zadanie 3.
      Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 225⁰.
    - Zadanie 4.
      Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 300⁰.
    - Zadanie 5.
      Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 870⁰.
    - Zadanie 6.
      Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta -480⁰.
  - Miara łukowa kąta
    - Zadanie 1.
      Podaj miarę łukową kątów
      a) 360° b) 180° c) 90° d) 45° e) 270° f) 120° g) 300° h) 1140°
    - Zadanie 2.
      Podaj miarę stopniową kątów
      a) $\frac{5}{6}\pi$ b) $-\frac{4}{5}\pi$ c) $1\frac{2}{3}\pi$ d)
    - Zadanie 3.
      Oblicz a) $sin\frac{7}{3}\pi$ b) $cos\left ( -\frac{15}{4}\pi \right )$ c) $tg\left ( \frac{13}{6}\pi \right )$
  - Wykresy funkcji trygonometrycznych
    - Przekształcenia wykresu funkcji y=sinx
      - Zadanie 1.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $g(x)=sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )+1$
      - Zadanie 2.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left | sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-\frac{1}{2} \right |$
      - Zadanie 3.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=sin\left ( \left | x \right |+\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 4.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=-sin\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )-1$
      - Zadanie 5.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=sin\left ( -x-\frac{\pi }{2} \right )$
      - Zadanie 6.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $g(x)=sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 7.
        Sporządź wykresy funkcji
        a) $f(x)=sin\frac{1}{2}x$
        b) $g(x)=sin\left (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4} \right )$
      - Zadanie 8.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $g(x)=-2sin\left ( -x-\frac{\pi }{2} \right )$
      - Zadanie 9.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | sinx \right |}{sinx}$
      - Zadanie 10.
        Sporządź wykres funkcji f(x) =|sinx|-sinx
    - Przekształcenia wykresu funkcji y=cosx
      - Zadanie 1.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $f(x)=cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )+1$
      - Zadanie 2.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left | cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )-\frac{1}{2} \right |$
      - Zadanie 3.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos\left ( \left | x \right |-\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 4.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=-cos\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )-1$
      - Zadanie 5.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos\left ( -x+\frac{\pi }{2} \right )$
      - Zadanie 6.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $g(x)=cos\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 7.
        Sporządź wykresy funkcji
        a) $f(x)=cos\frac{1}{2}x$
        b $g(x)=cos\left ( \frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4} \right )$
      - Zadanie 8.
        Sporządź wykresy funkcji
        a) $f(x)=\frac{1}{2}cosx$
        b) $g(x)=-\frac{1}{2}cos\left ( -x+\frac{\pi }{2} \right )$
      - Zadanie 9.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left |cosx \right |}{cosx}$
      - Zadanie 10.
        Sporządź wykres funkcji f(x) =|cosx|- cosx
    - Przekształcenia wykresu funkcji y=tgx
      - Zadanie 1.
        Sporządź wykres funkcji
        a)
        b) $g(x)=tg\left ( -x-\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 2.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=tg\left | x-\frac{\pi }{3} \right |$
      - Zadanie 3.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=tg\left ( \left | x \right |-\frac{2}{3}\pi \right )$
      - Zadanie 4.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | tgx \right |}{tgx}$
      - Zadanie 5.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{1-cos^{2}x}}{cosx},gdzie\, x\in \left ( -\frac{3}{2}\pi ,-\frac{\pi }{2} \right )\cup \left ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right )\cup \left ( \frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \right )$
    - Przekształcenia wykresu funkcji y=ctgx
      - Zadanie 1.
        Sporządź wykresy funkcji
        a)
        b) $g(x)=ctg\left ( -x+\frac{\pi }{3} \right )$
      - Zadanie 2.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=ctg\left | x+\frac{\pi }{6} \right |$
      - Zadanie 3.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=ctg\left ( \left | x \right |+\frac{2}{3}\pi \right )$
      - Zadanie 4.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{ctgx}{\left | ctgx \right |}$
      - Zadanie 5.
        Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{1-cos^{2}x}},\, gdzie\, x\in \left ( -\pi ,0 \right )\cup \left ( 0,\pi \right )$
  - Tożsamości trygonometryczne
    - Zadanie 1.
      Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
      $sinx=-\frac{3}{4}\,\, i\,\, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )$
    - Zadanie 2.
      Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
      $cosx=-\frac{12}{13}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi \right )$
    - Zadanie 3.
      Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
      $tgx=3\, \, i\, \, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )$
    - Zadanie 4.
      Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli:
      $ctgx=-\frac{1}{4}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$
    - Zadanie 5.
      Udowodnij tożsamość trygonometryczną
      $\left ( tgx+ctgx \right )^{2}=\frac{1}{sin^{2}x\cdot cos^{2}x}$
    - Zadanie 6.
      Udowodnij tożsamość trygonometryczną
      $ctgx+\frac{sinx}{1+cosx}=\frac{1}{sinx}$
    - Zadanie 7.
      Udowodnij tożsamość trygonometryczną
      $\left ( \frac{1}{sinx}-\frac{1}{cosx} \right )\left ( sinx+cosx \right )=ctgx-tgx$
    - Zadanie 8.
      Udowodnij tożsamość trygonometryczną
      $\frac{tgx}{tgx+ctgx}=sin^{2}x$
  - Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
    - Zadanie 1.
      Oblicz cos75°
    - Zadanie 2.
      Oblicz sin15°
    - Zadanie 3.
      Oblicz sin33°·cos12°+sin12°·cos33°
    - Zadanie 4.
      Oblicz $sin\frac{\pi }{18}\cdot sin\frac{4}{9}\pi -cos\frac{\pi }{18}\cdot cos\frac{4}{9}\pi$
    - Zadanie 5.
      Oblicz sin15°·cos15°
    - Zadanie 6.
      Oblicz cos²22,5° – sin²22,5°
    - Zadanie 7.
      Udowodnij prawdziwość wzoru sin3α = 3sinα – 4sin³α
    - Zadanie 8.
      Oblicz $cos\left ( x+y \right )$ , gdy:
      $tgx=-2\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$ oraz $ctgy=-2\, \, i\, \, y\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi \right )$
    - Zadanie 9.
      Oblicz jeżeli:
      $cos2x=-\frac{1}{3}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )$
    - Zadanie 10.
      Wyprowadź wzór $\left | cos\frac{x}{2} \right |=\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$
      Na podstawie wzoru oblicz wartość $cos\frac{\pi }{12}$
    - Zadanie 11.
      Wyprowadź wzór $\left | sin\frac{x}{2} \right |=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$
      
      Na podstawie wzoru oblicz wartość $sin\frac{\pi }{8}$
    - Zadanie 12.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sinx – cosx
    - Zadanie 13.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx$
    - Zadanie 14.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=2\left | cosx \right |\cdot sinx$ dla $\left \langle -2\pi ,2\pi \right \rangle$
    - Zadanie 15.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | sinx \right |\cdot cosx$ dla $x\in \left \langle -2\pi ,2\pi \right \rangle$
    - Zadanie 16.
      Naszkicuj wykres funkcji f(x) = cos²x – sinx · |sinx|
    - Zadanie 17.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left ( sin\frac{1}{4}x-cos\frac{1}{4}x \right )^{2}$
    - Zadanie 18.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=cos^{2}\frac{1}{2}x$
    - Zadanie 19.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{2}\left ( sinx+cosx \right )$
  - Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
    - Zadanie 1.
      Oblicz sin15° + sin105° korzystając ze wzoru na sumę sinusów
    - Zadanie 2.
      Oblicz cos15° + cos75° korzystając ze wzoru na sumę cosinusów
    - Zadanie 3.
      Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: $\frac{1}{2}+sinx$
    - Zadanie 4.
      Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: 2cosα – 1
    - Zadanie 5.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sinx + cosx
    - Zadanie 6.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\sqrt{3}sinx-\sqrt{3}cosx$
    - Zadanie 7.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{2}\left ( sinx-cosx \right )$
  - Wzory redukcyjne
    - Zadanie 1.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
      a) 150° b) 210° c) 300°
    - Zadanie 2.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
      a) $\frac{2}{3}\pi$ b) $\frac{7}{6}\pi$ c) $\frac{7}{4}\pi$
    - Zadanie 3.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
      a) -120° b) 870°
    - Zadanie 4.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
      a) $\frac{37}{6}\pi$ b) $-\frac{11}{6}\pi$
    - Zadanie 5.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
      $\frac{sin(-120^{o})}{tg300^{o}}+\frac{ctg570^{o}}{cos\left ( -330^{o} \right )}$
    - Zadanie 6.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
      $sin\left ( -\frac{5}{4}\pi \right )+cos\frac{7}{6}\pi \cdot ctg\frac{11}{6}\pi$
    - Zadanie 7.
      Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
      $sin\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )-tg\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )$
    - Zadanie 8.
      Naszkicuj wykres funkcji:
      $f(x)=cos\left ( \frac{3}{2}\pi -x \right )\cdot cos\left ( \pi -x \right )-sin\left ( \pi +x \right )\cdot sin\left ( \frac{3}{2}\pi +x \right )$
  - Równania trygonometryczne
    - Równania trygonometryczne z funkcją y=sinx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż równania
        a)
        b) $sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=0$
        c) $sin\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right )=-1$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż równania
        a) $sin3x=\frac{1}{2}$
        b) $sin\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
        c) $sin(2x+\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż równania
        a) $sin^{2}2x=1$
        b) $4sin^{2}\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=3$
        c) $\left | sin\left (2x-\frac{\pi }{2} \right ) \right |=1$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż równania
        a) $sin^{2}x=sinx$
        b) $4sin^{3}x-sinx=0$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż równanie $2sin^{2}x-2=-3sinx$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż równanie $-2sin^{2}x+1=sinx$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż równanie
      - Zadanie 8.
        Rozwiąż równanie $sinx-sin\frac{\pi }{5}=0$
      - Zadanie 9.
        Rozwiąż równanie $sin\left ( x-\pi \right )-sin\left ( 3x+\pi \right )=0$
      - Zadanie 10.
        Rozwiąż równanie $sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}$
      - Zadanie 11.
        Rozwiąż równanie $sinx\cdot cosx=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
      - Zadanie 12.
        Rozwiąż równanie $2sinx-cos^{2}x+2=0$
      - Zadanie 13.
        Rozwiąż równanie $2sin^{3}x-2sin^{2}x-sinx+1\, \, dla\, \, x\in \left \langle -\pi ,\pi \right \rangle$
    - Równania trygonometryczne z funkcją y=cosx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż równania
        a)
        b) $cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=0$
        c) $cos\left ( 3x-\frac{\pi }{2} \right )=-1$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż równania
        a) $cos3x=\frac{1}{2}$
        b) $cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
        c) $cos\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż równania
        a) $cos^{2}3x=1$
        b) $4cos^{2}\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )=3$
        c) $\left | cos\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right ) \right |=1$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż równania
        a) $cos^{2}x=cosx$
        b) $4cos^{3}x-cosx=0$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż równanie $2cos^{2}x-2+3cosx=0$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż równanie $cos^{2}x+5+6cosx=0$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż równanie
      - Zadanie 8.
        Rozwiąż równanie $cosx-cos\frac{\pi }{7}=0$
      - Zadanie 9.
        Rozwiąż równanie $cos\left ( x-\pi \right )-cos\left ( 3x+\pi \right )=0$
      - Zadanie 10.
        Rozwiąż równanie $cos^{3}x-cos2x=1$
      - Zadanie 11.
        Rozwiąż równanie $sin^{4}x-cos^{4}x=\frac{1}{2}$
      - Zadanie 12.
        Rozwiąż równanie $4cos^{3}x-4cos^{2}x-cosx+1=0\, \, dla\, \, x\in \left \langle -\frac{\pi }{2},\pi \right \rangle$
    - Równania trygonometryczne z funkcją y=tgx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż równania
        a) b) $tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=-\sqrt{3}$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż równania
        a) $3tg^{2}\pi x=1$ b) $\left | \sqrt{3}tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) \right |=3$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż równanie $3tg^{2}x-4\sqrt{3}tgx+3=0$
    - Równania trygonometryczne z funkcją y=ctgx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż równania
        a)
        b) $ctg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż równania
        a) $-3ctg^{2}\pi x=-1$
        b) $\left | \sqrt{3}ctg\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right ) \right |=1$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż równanie $ctgx+tgx=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż równanie ctgx + tgx =sin2x
  - Nierówności trygonometryczne
    - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=sinx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż nierówność $2sinx\leq 1$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż nierówność $sinx\leq -\frac{1}{2}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż nierówność $sin^{2}x< \frac{1}{2}$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż nierówność $sin3x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż nierówność $2\left | sinx \right |>\sqrt{3}$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż nierówność $sin\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\leq \frac{1}{2}$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż nierówność $sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$
      - Zadanie 8.
        Rozwiąż nierówność $sin\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )\geq \frac{1}{2}$ . Podaj rozwiązania nierówności należące do przedziału $\left \langle 0,2\pi \right \rangle$
      - Zadanie 9.
        Rozwiąż nierówność $sin^{2}x< 2sinx\, \, dla\, \, x\in \left ( 0,2\pi \right )$
    - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=cosx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż nierówność $2cosx\leq 1$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż nierówność $cosx\leq -\frac{1}{2}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż nierówność $cos^{2}x< \frac{1}{2}$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż nierówność $cos2x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż nierówność $2\left | cosx \right |< \sqrt{3}$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż nierówność $cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )\leq \frac{1}{2}$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż nierówność $cos\left ( 3x-\frac{\pi }{3} \right )\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
      - Zadanie 8.
        Rozwiąż nierówność $cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )\geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Podaj rozwiązania nierówności należące do przedziału $\left \langle 0,2\pi \right \rangle$ .
      - Zadanie 9.
        Rozwiąż nierówność $cos^{2}x> -2cosx\, \, dla\, \, x\in \left ( 0,2\pi \right )$
    - Nierówności trygonometryczne z funkcją y=tgx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż nierówność $tgx\leq 1$
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż nierówność $tgx\geq -\sqrt{3}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż nierówność $tg^{2}x< \frac{1}{3}$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż nierówność $tg3x\geq \sqrt{3}$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż nierówność $3\left | tgx \right |> \sqrt{3}$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż nierówność $tg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )\leq -\sqrt{3}$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż nierówność $tg\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{3}$
    - Nierówności trygonometryczne z funkcja y=ctgx
      - Zadanie 1.
        Rozwiąż nierówność ctg x ≤1
      - Zadanie 2.
        Rozwiąż nierówność $ctgx\geq -\sqrt{3}$
      - Zadanie 3.
        Rozwiąż nierówność $ctg^{2}x< \frac{1}{3}$
      - Zadanie 4.
        Rozwiąż nierówność $ctg5x\geq \sqrt{3}$
      - Zadanie 5.
        Rozwiąż nierówność $3\left | ctgx \right |> \sqrt{3}$
      - Zadanie 6.
        Rozwiąż nierówność $ctg\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )< -\sqrt{3}$
      - Zadanie 7.
        Rozwiąż nierówność $ctg\left ( 3x-\frac{\pi }{3} \right )\leq -\frac{\sqrt{3}}{3}$
- Ciągi
  Jeżeli rozpoczynasz naukę o ciągach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o ciągach na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam treści dotyczące ciągów arytmetycznego i geometrycznego.
  - Ciągi monotoniczne
    - Zadanie 1.
      Wykaż, że ciąg a_n = n² +4n jest rosnący.
    - Zadanie 2.
      Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+1}{2n+1}$ jest rosnący
    - Zadanie 3.
      Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+2}{4n-1}$ jest malejący
    - Zadanie 4.
      Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{2}{n^{2}+2}$ jest malejący
    - Zadanie 5.
      Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{n^{2}}{n+4}$ jest monotoniczny
    - Zadanie 6.
      Wykaż, że ciąg a_n = 6n -n² nie jest monotoniczny
  - Ciągi określone rekurencyjnie
    - Zadanie 1.
      Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\a_{n+1}=2a_{n}+3,\, gdy\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
    - Zadanie 2.
      Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=0\\a_{2}=3\\a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
    - Zadanie 3.
      Określ rekurencyjnie ciąg a_n = n² + 1
    - Zadanie 4.
      Określ rekurencyjnie ciąg a_n = 5·3ⁿ
    - Zadanie 5.
      Określ rekurencyjnie ciąg $a_{n}=\sqrt{n+2}$
    - Zadanie 6.
      Uzasadnij, że ciąg $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}+2n^{2}-1,\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ jest monotoniczny
  - Granica ciągu
    - Zadanie 1.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{5-3n}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n^{2}+1}{5n^{2}-3n+3}$ c) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n-4}{5-3n^{3}}$
    - Zadanie 2.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 2n+1 \right )\left ( 5n-1 \right )}{\left ( 4n-3 \right )\left ( n+5 \right )}$
      
      b) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 3n-7 \right )^{4}}{\left ( 4n+1 \right )^{4}}$
    - Zadanie 3.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3}{2^{n}+5}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}+1}$
    - Zadanie 4.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3^{n+1}}{2^{n}+5\cdot 3^{n}}$
      
      b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3\cdot 7^{n+1}}{2^{n+1}+10^{n}}$
    - Zadanie 5.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+4+6+ ... + 2n}{3n^{2}-2}$
    - Zadanie 6.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+5+8+ ... +\left ( 3n+5 \right )}{n^{2}+3}$
    - Zadanie 7.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1+3+9+ ... +3^{n-1}}{3^{n}-2}$
    - Zadanie 8.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+2} \right )$
    - Zadanie 9.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{9n^{2}+n}-3n \right )$
    - Zadanie 10.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16n}-n}$
    - Zadanie 11.
      Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left (\sqrt[3]{n^{3}+12n}-n \right )$
    - Zadanie 12.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 2n^{3}-5n+7 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -2n+3n^{2}-5n^{4} \right )$
    - Zadanie 13.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 4^{n}-3\cdot 2^{n}+3 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -10^{n}+5^{n}+1 \right )$
    - Zadanie 14.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-5\cdot 16^{n}}{8^{n}-3}$ b) $\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+4}+\sqrt{n+2}$
    - Zadanie 15.
      Oblicz granicę ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{n}\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, n\leq 45\\\frac{n^{2}-3}{2-3n^{2}}\, \, dla\, \, n> 45 \end{array}\right.$
    - Zadanie 16.
      Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{kn+3}{\left ( k+1 \right )n-2}$ ma granicę równą 4.
    - Zadanie 17.
      Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{4n+5}{\left ( k-2 \right )n+2}$ ma granicę niewłaściwą?
  - Szereg geometryczny
    - Zadanie 1.
      Sprawdź czy szereg geometryczny jest zbieżny, jeżeli jest oblicz jego sumę
      a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...$ b) $\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\sqrt{3}-3+...$
    - Zadanie 2.
      Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły
      a) 1,(21) b) 0,2(17)
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
      a) 1 + (2x – 3) + (2x – 3)² + . . .
      b) $\frac{2}{x-1}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{3}}+...$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie (x + 3) + (x + 3)² + (x + 3)³ + . . . = 2 -x
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-7}{5+n^{2}}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność 1 + x + x² + . . . ≤ 4
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...< 2$
    - Zadanie 8.
      Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x) = -x + x² – x³ + . . .
    - Zadanie 9.
      Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^{2}}+...$
    - Zadanie 10.
      Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 64. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 56.
    - Zadanie 11.
      Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $\frac{4}{3}$ . Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy -1.
    - Zadanie 12.
      Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48.
    - Zadanie 13.
      W nieskończonym ciągu geometrycznym a₁ = 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest trzy razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
    - Zadanie 14.
      W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
    - Zadanie 15.
      Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 3. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma sześcianów jego wyrazów jest równa $\frac{27}{19}$ .
    - Zadanie 16.
      W kwadrat o boku długości a wpisujemy drugi kwadrat tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego kwadratu, następnie w analogiczny sposób wpisujemy kwadrat w drugi kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób kwadratów.
    - Zadanie 17.
      W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisujemy drugi trójkąt równoboczny tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego trójkąta, następnie w analogiczny sposób wpisujemy trójkąt w drugi trójkąt itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.
- Rachunek różniczkowy
  Zupełnie nowy dział w którym poznasz między innymi zasady obliczania granic funkcji, pojęcie ciągłości funkcji, pochodnej funkcji i jej wykorzystania w analizie matematycznej.
  - Granica funkcji
    - Granica właściwa funkcji w punkcie
      - Zadanie 1.
        Dana jest funkcja f(x) = 3 – x². Uzasadnij, na podstawie definicji granicy, że $\lim_{x \to 1}f(x)=2$
      - Zadanie 2.
        Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2}{x+3}$ . Uzasadnij na podstawie definicji granicy, że $\lim_{x \to 3}f(x)=\frac{1}{3}$
      - Zadanie 3.
        Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{matrix} 3\, \,\, \, \, \, dla\, \, x\geqslant -2\\ -1\, \, dla\, \, x< -2 \end{matrix}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=-2$
      - Zadanie 4.
        Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1\, \, dla\, \, x\geqslant 1\\-x\, \, \, \, \, \,\, dla\, \, x< 1 \end{array}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=1$
      - Zadanie 5.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to 3}\left ( 2x^{2}-3x+4 \right )$
        
        b) $\lim_{x \to 2}\frac{3x-2}{x+4}$
      - Zadanie 6.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to 2}\frac{4-x^{2}}{x-2}$
        
        b) $\lim_{x \to -2}\frac{x^{3}+8}{x+2}$
      - Zadanie 7.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to -4}\frac{x^{2}+2x-8}{x+4}$
        
        b) $\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}$
      - Zadanie 8.
        Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to-1 }\frac{x^{3}-3x-2}{2x^{3}+3x^{2}-1}$
      - Zadanie 9.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$
        
        b) $\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{4-x}-1}{x-3}$
      - Zadanie 10.
        Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 1}\frac{1-\sqrt{2-x}}{\sqrt{5-x}-2}$
      - Zadanie 11.
        Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to \frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{cosx-sinx}$
      - Zadanie 12.
        Oblicz granicę jednostronną
        a) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{4}{3+\sqrt{x^{2}-4}}$
        
        b) $\lim_{x \to 5^{-} }\left ( \sqrt{5-x}-4 \right )$
      - Zadanie 13.
        Wykaż, że funkcja $f(x)= \left\{\begin{array}{l} x\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x\geqslant 3\\ -2x+4\, \, dla\, \, x< 3 \end{array}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=3$
    - Granica niewłaściwa funkcji w punkcie
      - Zadanie 1.
        Oblicz granice
        a) $\lim_{x \to 2^{-}}\frac{4-x}{x-2}$
        
        b) $\lim_{x \to1^{+}}\frac{x^{3}+3}{x-1}$
      - Zadanie 2.
        Oblicz granice
        a) $\lim_{x \to 3^{-}}\frac{4}{\left ( x-3 \right )\left ( x+4 \right )}$
        
        b) $\lim_{x \to 2^{-}}\frac{1}{x^{2}-x-2}$
      - Zadanie 3.
        Oblicz granice
        a) $\lim_{x \to 1^{+}}\left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{x^{2}-1}\right )$
        
        b) $\lim_{x \to2^{+} }\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^{2}-4} \right )$
      - Zadanie 4.
        Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
        a) $f(x)=\frac{x^{2}-7}{x-1}$
        
        b) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}$
      - Zadanie 5.
        Wykaż, że funkcja $f(x)=\frac{x^{3}+4x-5}{2x-2}$ nie ma asymptoty pionowej w punkcie $x_{0}=1$
      - Zadanie 6.
        Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
        a) $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}$
        
        b) $f(x)=\frac{12x+4}{1-9x^{2}}$
    - Granica funkcji w nieskończoności
      - Zadanie 1.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to \infty }\left ( 2x^{3}-3x-7\right )$
        b) $\lim_{x \to -\infty }\left ( -x^{3}-3x-7 \right )$
      - Zadanie 2.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to -\infty }\frac{3x^{2}+2x-8}{x^{2}+4}$
        
        b) $\lim_{n \to \infty }\frac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3}$
      - Zadanie 3.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to-\infty }\frac{-3x^{3}+2x-8}{2x^{2}+4}$
        
        b) $\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$
      - Zadanie 4.
        Oblicz granice funkcji
        a) $\lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{x^{2}+2}-x \right )$
        
        b) $\lim_{x \to \infty }\frac{1}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}$
      - Zadanie 5.
        Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{-3x^{3}-2x+4}{2x^{3}-2}$
      - Zadanie 6.
        Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+2}$ ( o ile istnieją )
      - Zadanie 7.
        Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2-x}}$ ( o ile istnieją)
      - Zadanie 8.
        Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\sqrt{\frac{4x-1}{x-1}}$ ( o ile istnieją)
      - Zadanie 9.
        Oblicz granicę $\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{1+9x^{2}}}{x}$
  - Ciągłość funkcji
    - Zadanie 1.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4\, \, dla\, \, x\geqslant 2\\ x-2\, \,\, \, dla\, \, x< 2 \end{array}\right.$ jest ciągła w punkcie x₀ = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.
    - Zadanie 2.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1\, \, dla\, \, \, x\geqslant 1\\ x-2\, \, \, \, dla\, \, \, x< 1 \end{array}\right.$ nie jest ciągła w punkcie x₀ = 1 i naszkicuj wykres tej funkcji.
    - Zadanie 3.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-1\, \, dla\, \, x\neq 2\\ 1\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.$ nie jest ciągła w punkcie x₀ = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.
    - Zadanie 4.
      Zbadaj ciągłość funkcji $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-x-12}{x-4}\, \, dla\, \, x\neq 4\\ 5\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=4 \end{array}\right.$
    - Zadanie 5.
      Dla jakich wartości parametru m funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\, \, dla\, \, x\neq 2\\ m+3\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.$ jest ciągła?
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametrów k i m funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} k-x\, \,\, \, \, \, \, \, \,\, dla\, \, x< 1\\ 4\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=1\\ \frac{4}{x+3}+m\, \, dla\, \, x> 1 \end{array}\right.$ jest ciągła?
  - Własności funkcji ciągłych
    - Zadanie 1.
      Uzasadnij, że równanie x⁴ – 8x – 3=0 ma w przedziale $\left \langle 1,3 \right \rangle$ rozwiązanie.
    - Zadanie 2.
      Uzasadnij, że funkcja f(x) = x³ – x – 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe.
  - Pochodna funkcji
    - Definicja pochodnej funkcji w punkcie
      - Zadanie 1.
        Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=x^{2}+3$ w $x_{0}=-1$
      - Zadanie 2.
        Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=x^{3}-2$ w $x_{0}=2$
      - Zadanie 3.
        Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=\frac{2}{x}$ w $x_{0}=1$
      - Zadanie 4.
        Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=\sqrt{x+1}$ w $x_{0}=3$
      - Zadanie 5.
        Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^{2}$ w punkcie $A=\left ( 2,4 \right )$ . Oblicz miarę kąta jaki ta styczna tworzy z osią .
      - Zadanie 6.
        Uzasadnij, że funkcja $f(x)=\left | x-4 \right |$ nie ma pochodnej w punkcie $x_{0}=4$
    - Funkcja pochodna
      - Zadanie 1.
        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór (x³)’ = 3x².
      - Zadanie 2.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x³ w punkcie A=(-2-8).
      - Zadanie 3.
        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór $\left ( \frac{1}{x} \right )^{'}=-\frac{1}{x^{2}}\, \, dla\, \, x\neq 0$
      - Zadanie 4.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ wiedząc, że jest ona równoległa do prostej o równaniu y = -4x +1
      - Zadanie 5.
        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór $\left ( \sqrt{x} \right )^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\, \, dla\, \, x> 0$
      - Zadanie 6.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej o równaniu y = -2x +1
      - Zadanie 7.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² wiedząc, że jest ona nachylona do osi OX pod kątem 150°.
      - Zadanie 8.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² +1 wiedząc, że przechodzi ona przez punkt (0,0).
    - Działania na pochodnych
      - Zadanie 1.
        Wyznacz pochodną funkcji
        a) $f(x)=-3x^{4}$
        b) $f(x)=2x^{3}-3x+1$
        c) $f(x)=-\frac{4}{x}$
        d) $f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}$
      - Zadanie 2.
        Wyznacz pochodną funkcji
        a) $f(x)=\left ( 2x^{3}-1 \right )\left ( 3x^{2}+2x-1 \right )$
        b) $f(x)=-5x^{3}\sqrt{x}$
      - Zadanie 3.
        Wyznacz pochodną funkcji
        a) $f(x)=\frac{x^{2}-5}{x+2}$
        
        b) $f(x)=\frac{3x^{4}-2}{x^{3}}$
      - Zadanie 4.
        Wyznacz pochodną funkcji
        a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{x}$
        
        b) $f(x)=\frac{2}{x^{2}-3}-\frac{1}{2x^{3}}$
      - Zadanie 5.
        Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+1}{2x^{3}-5x^{2}-3}$ w punkcie o odciętej $x_{0}=1$
      - Zadanie 6.
        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=2x^{2}\sqrt{x}$ w punkcie o odciętej $x_{0}=4$
    - Interpretacja fizyczna pochodnej
      - Zadanie 1.
        Położenie punktu na osi liczbowej w chwili t opisuje wzór s(t) = t² . Oblicz prędkość średnią od chwili t₁ = 1 do chwili t₂ = 3 oraz prędkości w chwilach
        t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 3.
      - Zadanie 2.
        Przyjmując, że drogę przebytą przez spadające swobodnie ciało opisuje funkcja s(t) = 4,9·t² (gdzie droga mierzona jest w metrach , a czas w sekundach) oblicz prędkość ciała w chwili t₀ = 3, odpowiedź podaj w $\frac{m}{s}$ i $\frac{km}{h}$
  - Funkcje rosnące i malejące
    - Zadanie 1.
      Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x³ – 4x² + 5x – 2.
    - Zadanie 2.
      Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x³ – 3x² + 1.
    - Zadanie 3.
      Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^{2}+4x+4}{x+1}$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{1-x^{2}}{x+2}$
    - Zadanie 5.
      Dla jakiej wartości parametru funkcja $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+kx+1$ jest funkcją rosnącą w całej swojej dziedzinie
  - Ekstrema funkcji
    - Zadanie 1.
      Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = x³ – 2x² + x -1
    - Zadanie 2.
      Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = 3x⁴ – 4x³
    - Zadanie 3.
      Wyznacz ekstrema funkcji $f(x)=\frac{-x^{2}}{x^{2}-4}$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz ekstrema funkcji $f(x)=\frac{x^{2}}{2x-6}$
    - Zadanie 5.
      Uzasadnij, że funkcja f(x) = x⁵ + 5x³ + 20x nie ma ekstremum
    - Zadanie 6.
      Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x) = -mx³ + x² – x – 3 ma ekstremum lokalne w punkcie x_o = -1. Określ rodzaj tego ekstremum.
    - Zadanie 7.
      Styczna do wykresu funkcji $f(x)=\frac{ax+b}{\left ( x-1 \right )\left ( x-4 \right )}$ poprowadzona w punkcie o odciętej x=2 ma równanie y=-1. Znajdź współczynniki $a\, \, i\, \, b$ . Wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji.
  - Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji
    - Zadanie 1.
      Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji f(x) = x⁴ – 32x w przedziale $\left \langle0,3 \right \rangle$
    - Zadanie 2.
      Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ w przedziale $\left \langle 0,2 \right \rangle$
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma rozwiązanie w przedziale $\left \langle -1,2 \right \rangle$ , jeżeli $f(x)=\sqrt[3]{2x^{3}-6x}$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ w przedziale $\left \langle -2,0 \right \rangle$
  - Zagadnienia optymalizacyjne
    - Zadanie 1.
      Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi 24 cm. Przy jakiej wysokości objętość tego prostopadłościanu jest największa?
    - Zadanie 2.
      Który z prostopadłościanów o podstawie kwadratu i danym polu powierzchni całkowitej P ma największą objętość?
    - Zadanie 3.
      Jak należy dobrać wymiary puszki w kształcie walca o polu powierzchni całkowitej 150π cm², aby miała ona największą objętość?
    - Zadanie 4.
      Który z walców o objętości 100π cm³ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej?
    - Zadanie 5.
      Jaką największą objętość ma stożek o tworzącej równej 10?
    - Zadanie 6.
      Oblicz wymiary prostokąta o największym polu, którego dwa wierzchołki leżą na osi OX, a pozostałe dwa, o rzędnych dodatnich, należą do wykresu funkcji f(x) = 4 – x².
    - Zadanie 7.
      Przedstaw liczbę 12 jako sumę dwóch takich składników , aby suma ich sześcianów była najmniejsza.
    - Zadanie 8.
      Na paraboli o równaniu y = 3x² – 5x + 6 znajdź punkt leżący najbliżej punktu A=(3,2).
    - Zadanie 9.
      Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 1. Znajdź długości boków tego trójkąta tak, aby pole tego trójkąta było największe.
    - Zadanie 10.
      Trapez wpisano w okrąg o promieniu 12 w ten sposób, że podstawa trapezu jest średnicą okręgu. Oblicz długości boków tego trapezu, który ma największe pole.
  - Szkicowanie wykresu funkcji
    - Zadanie 1.
      Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}$
    - Zadanie 2.
      Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4}$
    - Zadanie 3.
      Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$
    - Zadanie 4.
      Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{-x^{2}}{x-3}$
- Planimetria
  Pozostałe treści z planimetrii znajdziecie w kursie z poziomu podstawowego.
  - Okrąg opisany na czworokącie
    - Zadanie 1.
      Na trapezie o kolejnych kątach $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ opisano okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu jeżeli $\alpha =\frac{1}{4}\gamma$
    - Zadanie 2.
      Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Miara kąta przy wierzchołku A jest mniejsza o 50° od miary kąta przy wierzchołku C i o 50° większa od miary kąta przy wierzchołku B. Oblicz miary kątów tego czworokąta.
    - Zadanie 3.
      Przekątna czworokąta wpisanego w okrąg o środku S jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku A jest ostry i $\left | \sphericalangle BSD \right |=100^{\circ}$ , oblicz miary kątów czworokąta ABCD.
    - Zadanie 4.
      Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz długości przekątnych tego trapezu wiedząc, że kąt ostry tego trapezu to 30° i promień okręgu ma długość 4 cm.
    - Zadanie 5.
      Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że kąt ostry między przekątnymi tego trapezu to 60° , a ramię trapezu ma długość 2 cm
    - Zadanie 6.
      W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30° oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.
    - Zadanie 7.
      W trapezie równoramiennym ABCD jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Pole tego trapezu wynosi 9 cm². Oblicz długości boków trapezu oraz pole koła opisanego na trapezie.
  - Okrąg wpisany w czworokąt
    - Zadanie 1.
      W czworokącie KLMN bok KL jest o 3 krótszy od boku MN. Wiedząc, że w ten czworokąt można wpisać okrąg i |LM|=8, |KN|=9 oblicz długości boków KL i MN.
    - Zadanie 2.
      W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Bok AB tego czworokąta jest siedem razy krótszy niż bok CD, zaś bok AD jest trzy razy krótszy niż bok BC. Ile razy bok BC jest dłuższy niż bok AB?
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole trapezu równoramiennego i długości jego ramion wiedząc, że długości jego podstaw wynoszą 6 cm, 10 cm i można w niego wpisać okrąg.
    - Zadanie 4.
      W trapez o kątach ostrych przy dłuższej podstawie 30° i 60° wpisano okrąg o promieniu 1. Oblicz długości podstaw trapezu.
    - Zadanie 5.
      Oblicz pole rombu o kącie rozwartym 150° w którego wpisano okrąg o promieniu 4 cm.
    - Zadanie 6.
      Trapez prostokątny o kącie ostrym 60° jest opisany na okręgu o promieniu długości 2. Oblicz pole trapezu.
  - Twierdzenie sinusów
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż trójkąt, mają dane: a=4, α=45°, β=60°.
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż trójkąt, mają dane: b=5 cm, c=4 cm, β=60°.
    - Zadanie 3.
      Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt w którym a=4, b=8, α=45°.
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż trójkąt w którym dane są a=3, b=5, α=30°.
    - Zadanie 5.
      W $\Delta \, ABC$ dane są: $\left | AC \right |=4,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ},\left | \sphericalangle ACB \right |=105^{\circ}$ . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
    - Zadanie 6.
      W trójkącie równoramiennym ramię ma długość b, kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz pole tego trójkąta i długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
    - Zadanie 7.
      Jeden z boków trójkąta ma długość a, zaś kąty przyległe do tego boku mają miary α, β. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości boków tego trójkąta.
    - Zadanie 8.
      Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt K, że |KB|:|KC|=4:1
      a) Oblicz stosunek pól trójkątów ABK i AKC
      b) Oblicz stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABK i AKC
      c) Wyznacz sinus kąta BAK
    - Zadanie 9.
      W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku C podzieliła bok AB na odcinki długości x i y licząc od punktu A. Przyjmując, że $\left | AC \right |=a,\left | BC \right |=b$ wykaż, że $\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$ .
  - Twierdzenie cosinusów
    - Zadanie 1.
      Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC w którym $\left | AB \right |=10,\left | AC \right |=6,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ}$
    - Zadanie 2.
      Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach długości $\sqrt{2},2,1+\sqrt{3}$
    - Zadanie 3.
      Sprawdź czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 długości jest trójkątem rozwartokątnym?
    - Zadanie 4.
      Oblicz długości boków równoległoboku o bokach długości 3 cm i 5 cm oraz kącie ostrym 30°.
    - Zadanie 5.
      Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie w którym, długości dwóch boków to 1 i 4, a miara kąta zawartego między tymi bokami to 60°.
    - Zadanie 6.
      Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.
    - Zadanie 7.
      W równoległoboku ABCD, gdzie $\left | AB \right |=a,\left | BC \right |=b,\left | \sphericalangle DAB \right |=\alpha \,$ , połączono wierzchołek A ze środkami boków BC i CD otrzymując odpowiednio punkty K i L. Oblicz obwód trójkąta AKL.
    - Zadanie 8.
      Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.
- Funkcja wykładnicza
  Jeżeli rozpoczynasz naukę o funkcji wykładniczej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o funkcji wykładniczej na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam treści dotyczące działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych, elementarnych równań i nierówności wykładniczych oraz wykresów funkcji wykładniczej i ich prostych przekształceń.
  - Działania na potęgach
    - Zadanie 1.
      Oblicz $\left [ 9^{-\frac{1}{4}}+\left ( 3\sqrt{3} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]\cdot \left [ 9^{-\frac{1}{4}}-\left ( 3\sqrt{3} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]$
    - Zadanie 2.
      Oblicz $\left [ 4^{-\frac{1}{4}}+\left ( \frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]\cdot\left [ 4^{-0,25}-\left ( 2\sqrt{2} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]$
    - Zadanie 3.
      Oblicz $\left [ \left ( 4+7^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}+\left ( 4-7^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right ]^{2}$
    - Zadanie 4.
      Oblicz $\left [ \left ( 3-5^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}-\left ( 3+5^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right ]^{2}$
    - Zadanie 5.
      Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania 9^x + 9^-x = 14. Nie obliczając a wyznacz wartość wyrażenia 3^a + 3^-a.
  - Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej
    - Zadanie 1.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | x \right |}$
    - Zadanie 2.
      Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2^|x-2|
    - Zadanie 3.
      Naszkicuj wykres funkcji f(x) = |3^-x+1 + 2|
    - Zadanie 4.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-\left ( \frac{1}{3} \right )^{\left | x \right |}-2$
    - Zadanie 5.
      Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left ( \sqrt{2} \right )^{x+\left | x \right |}$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż graficznie równanie 2^2|x| + |x| -5 = 0
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż graficznie równanie 3^3-x = |x² – 1|
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż graficznie nierówność: -|2^-x – 1| < 2x² + 8x + 5
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż graficznie układ równań $\left\{\begin{matrix} y=2^{x}\cdot 2^{\left | x \right |}\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4} \end{matrix}\right.$
    - Zadanie 10.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=2^{\sqrt{x^{2}}}$
    - Zadanie 11.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 25^x – 10·5^x + 9
    - Zadanie 12.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania $\left | \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-2}-4 \right |=m-2$ w zależności od parametru
    - Zadanie 13.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania $\left | \left ( \frac{1}{3} \right )^{x}-2 \right |=m^{2}-1$ w zależności od parametru
    - Zadanie 14.
      Dla jakich wartości parametru $m\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}$ , równanie
      
      $4^{x}+4^{2x}+4^{3x}+...=\frac{m}{m-3}$ ma rozwiązanie?
  - Równania wykładnicze
    - Zadanie 1.
      Zadanie 1. Rozwiąż równanie $8^{3x-5}=0,125\cdot \left ( \frac{\sqrt{2}}{4} \right )^{6-5x}$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie 2·3^x+1 – 4·3^x-2 = 450
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie 2^x+1 + 4^x = 80
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie 5^x + 5^3-x = 30
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie 49^x + 6·7^x = -5
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie 2^3x · 7^x-2 = 4^x+1
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż równanie $\left ( \sqrt{5-2\sqrt{6}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{5+2\sqrt{6}} \right )^{x}=10$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie $\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{x}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{x}=6$
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż równanie 8^x + 18^x – 2·27^x = 0
    - Zadanie 10.
      Znajdź największą liczbę , dla której zachodzi równość
      
      $\left ( \frac{3}{4} \right )^{x-y}-\left ( \frac{3}{4} \right )^{y-x}=\frac{7}{12}$ i nierówność xy + y ≤ 9
  - Nierówności wykładnicze
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność $2^{2\left | x+1 \right |}> \frac{1}{256}$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $0< \left ( \frac{1}{3} \right )^{-x^{2}+x+6}< 1$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność $\frac{1}{2^{x}-1}< \frac{1}{1-2^{x-1}}$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność 4·9^x < 4·6^x + 3·4^x
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $\left ( \frac{1}{7} \right )^{\sqrt{x^{6}-2x^{3}+1}}< \left ( \frac{1}{7} \right )^{1-x}$
    - Zadanie 6.
      Dane są funkcje f(x) = 5^2x + 2^2x i g(x) = 5^x-4 + 2^x+2
      Rozwiąż nierówność g(x+2) ≥ f(0,5x)
  - Zadania z parametrem
    - Zadanie 1.
      Wyznacz wartości parametru , dla których równanie $0,5^{x^{2}-mx+0,5m-1,5}=\left ( \sqrt{8} \right )^{m-1}$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
    - Zadanie 2.
      Dla jakich wartości parametru , równanie $9^{\frac{1}{2}\left ( x^{2}-x \right )-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{3^{m-1}}$ ma takie dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności ich kwadratów jest równa 8?
    - Zadanie 3.
      Zbadaj ilość rozwiązań układu $\left\{\begin{matrix} \left ( 0,5 \right )^{m}\cdot x-2y=1\\x-y=\left ( 0,5 \right )^{m}\, \, \,\, \, \, \, \end{matrix}\right.$ w zależności od parametru
    - Zadanie 4.
      Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m-3)·9^x – (2m+6)·3^x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki.
- Funkcja logarytmiczna
  Jeżeli rozpoczynasz naukę o logarytmach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych. Znajdziesz tam wszystkie wzory i oparte na nich zadania potrzebne do rozwiązywania bardziej złożonych przykładów związanych z logarytmami.
  - Działania na logarytmach
    - Zadanie 1.
      Wyznacz A, jeśli A = 2^B + 6^C, gdzie $B=\frac{2}{log_{\sqrt{3}}2}$ , $C=\frac{1}{log_{2}6}$
    - Zadanie 2.
      Wiadomo, że log₆2 = a. Wyznacz log₂₄36 w zależności od a.
    - Zadanie 3.
      Oblicz wartość $\left ( 5^{\frac{log_{100}3}{log3}}\cdot 3^{\frac{log_{100}5}{log5}} \right )^{2log_{15}8}$
    - Zadanie 4.
      Wykaż, że jeżeli są liczbami dodatnimi takimi, że $a\neq 1,b\neq 1,c\neq 1$ i $a\cdot b\neq 1$ , to zachodzi równość $log_{ab}c=\frac{log_{a}c\cdot log_{b}c}{log_{a}c+log_{b}c}$
    - Zadanie 5.
      Uporządkuj rosnąco liczby: $\frac{1}{log_{3}\pi }+\frac{1}{log_{4}\pi }$ , $\left ( 0,125 \right )^{-\frac{1}{3}}$ , $log_{3}11$
    - Zadanie 6.
      Oblicz log₆2·log₆18 + log₆²3
    - Zadanie 7.
      Wykaż, że liczby $\frac{1}{log_{3}2},\frac{1}{log_{6}2},\frac{1}{log_{12}2}$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
      a) oblicz różnicę tego ciągu arytmetycznego b) wyraź sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego.
    - Zadanie 8.
      Wiedząc, że log₂5 = a i log₅3 = b oblicz log₈9
    - Zadanie 9.
      Wiedząc, że log₃4 = a i log₃5 = b wyznacz log₂₇0,8 w zależności od a i b.
    - Zadanie 10.
      Wiedząc, że log₃20 = a i log₃15 = b, wyznacz log₂360 w zależności od a i b.
    - Zadanie 11.
      Wiedząc, że $a=\frac{log8}{log81}$ i $b=\frac{1}{log64}$ , oblicz wartość wyrażenia $27^{4a}+16^{3b}$ .
    - Zadanie 12.
      Oblicz $\frac{log^{3}4+log^{3}25}{4\left ( log^{2}2-log2\cdot log5+log^{2}5 \right )}$
  - Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykresy funkcji f(x) = log₂x i g(x) = log₂(x-2) + 3
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykresy funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{2}}x$ i $g(x)=\left |log _{\frac{1}{2}}\left ( x+3 \right )-1 \right |$
    - Zadanie 3.
      Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej do wykresu której należy punkt A=(3,-2) . Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $\left ( -\frac{2}{3} \right )$ ?
      Sporządź wykres funkcji g(x) = f(-x+2)
    - Zadanie 4.
      Punkt A=(2,-1) należy do wykresu funkcji f(x) = log₂(x+k) + m. Wyznacz k i m wiedząc, że dziedziną funkcji f jest przedział (-2,∞).
      Sporządź wykres funkcji f.
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\sqrt{x^{2}}$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
    - Zadanie 6.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=7^{log_{7}\left ( x^{2}-2 \right )}$ . Dla jakich wartości parametru równanie f(x)=m ma rozwiązanie?
    - Zadanie 7.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | g(x) \right |}$ , gdzie funkcja g jest funkcją logarytmiczną do wykresu której należy punkt $A=\left ( \frac{1}{8},-3 \right )$ .
    - Zadanie 8.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left | \left | x \right |-3 \right |$
    - Zadanie 9.
      Sporządź wykres funkcji $g(x)=log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1}$ przekształcając wykres funkcji $f(x)=log_{3}x$
    - Zadanie 10.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = log₂(4x²)
    - Zadanie 11.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{2}\frac{1}{x^{2}}\cdot log_{x^{2}}\left ( x+2 \right )$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
    - Zadanie 12.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=-log_{\frac{1}{2}}\left | -x-2 \right |$
    - Zadanie 13.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\frac{x^{2}-4}{\left | x \right |-2}$ . Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=m nie ma rozwiązań?
    - Zadanie 14.
      Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-2x+10 \right )$
  - Równania logarytmiczne
    - Zadanie1.
      Rozwiąż równanie $log_{\sqrt{2}}x+log_{\sqrt{2}}\left ( x-6 \right )-8=0$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równanie $log_{\frac{1}{2}}\left ( x-1 \right )-log_{\frac{1}{2}}\left ( x-2 \right )=-1$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie 9^log₃(x-3) = 4
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie x^1+logx = 100x²
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie x – log5 = xlog5 + 2log2 – log(1 + 2^x)
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie $logx+4\sqrt{logx}=5$
  - Nierówności logarytmiczne
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówność log₃(2x-3) < log₃x
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność $2log_{\frac{1}{2}}x< log_{\frac{1}{2}}\left ( 5x-6 \right )$
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówność log_x(x+2) < 2
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność 1 – log₅(5^x-4) ≥ x
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność $log_{2}\left [ log_{\frac{1}{2}}\left ( x-4 \right ) \right ]\leq 1$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $\frac{2}{1+logx}+\frac{1}{logx}> 2$
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają równanie log_x²+y²(2y)=1.
    - Zadanie 2.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{2}\frac{xy}{2}=log_{2}x\cdot log_{2}y$
    - Zadanie 3.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $\frac{x+3}{log_{2}\left ( x+2 \right )}=log_{x+2}\left ( y+2 \right )$ i $y^{2}\leq 36$
    - Zadanie 4.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{\frac{1}{3}}\left ( y-x^{2} \right )\geq -1$
    - Zadanie 5.
      Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = log[(m-2)x² – 3x + mx + 1] jest zbiór liczb rzeczywistych?
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = x³log²m – 3x²logm – 6m -2logm jest podzielny przez dwumian (x+1)
    - Zadanie 7.
      Dla jakich wartości parametru m równanie $x^{2}-2x-log_{\frac{1}{3}}m^{2}=0$ ma takie dwa różne pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 6?
- Stereometria
  Jeżeli jesteś na początku nauki z geometrii przestrzennej, zacznij od kursu podstawowego. Zadania ze stereometrii z kursu na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.
  - Graniastosłupy
    - Sześcian
      - Zadanie 1.
        Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.
      - Zadanie 2.
        Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany A’B’C’D’ .
        a) Wyznacz długość odcinka AK.
        b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM.
      - Zadanie 3.
        Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
      - Zadanie 4.
        Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      - Zadanie 5.
        Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      - Zadanie 6.
        Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      - Zadanie 7.
        Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      - Zadanie 8.
        Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)
    - Inne graniastosłupy
      - Zadanie 1.
        Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .
      - Zadanie 2.
        W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
      - Zadanie 3.
        Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.
      - Zadanie 4.
        Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.
      - Zadanie 5.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i $\sqrt{33}$ , a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.
      - Zadanie 6.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ (β γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
      - Zadanie 7.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
    - Przekroje graniastosłupów
      - Zadanie 1.
        Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.
      - Zadanie 2.
        Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.
      - Zadanie 3.
        Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.
      - Zadanie 4.
        Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.
  - Ostrosłupy
    - Kąt dwuścienny
      - Zadanie 1.
        Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego długość krawędzi podstawy jest równa 6, a kąt miedzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 120°.
      - Zadanie 2.
        W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.
      - Zadanie 3.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Wyznacz cosinus kata między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
      - Zadanie 4.
        W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.
      - Zadanie 5.
        Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny. Stosunek długości wysokości ostrosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy $\frac{\sqrt{6}}{6}$ . Wykaż, że kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.
      - Zadanie 6.
        W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 7.
        W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
    - Twierdzenie o ostrosłupach
      - Zadanie 1.
        Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz objętość ostrosłupa.
      - Zadanie 2.
        Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 3.
        Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość 10 cm. Przekątna tego trapezu jest prostopadła do ramienia i ma 8 cm długości, a wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają po 13 cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.
      - Zadanie 4.
        Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Przekroje ostrosłupów
      - Zadanie 1.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym pole podstawy jest równe $18\sqrt{3}$ cm², zaś krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i wierzchołek.
      - Zadanie 2.
        W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Oblicz tangens kąta ostrego β, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.
      - Zadanie 3.
        Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przeciętego płaszczyzną przechodząca przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa, jest równe S. Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α. Oblicz objętość ostrosłupa.
      - Zadanie 4.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 3α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      - Zadanie 5.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa a, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
        a) Oblicz pole otrzymanego przekroju.
        b) Wyznacz sinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
      - Zadanie 6.
        Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H, przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.
      - Zadanie 7.
        W ostrosłupie , którego podstawą jest prostokątny trójkąt równoramienny o przyprostokątnej 5, jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z tą płaszczyzną kąt α taki, że $sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Oblicz pole tego kwadratu.
    - Zadania różne
      - Zadanie 1.
        Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny wiedząc, że kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa ma miarę α, zaś wysokość ostrosłupa ma długość H.
      - Zadanie 2.
        Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu długości R wiedząc, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
      - Zadanie 3.
        Podstawą ostrosłupa jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°. Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny postawy pod kątem α=60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli promień okręgu wpisanego w romb ma długość r.
      - Zadanie 4.
        Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 1 i 2. Wysokość ostrosłupa ma długość 3, a jej spodek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
      - Zadanie 5.
        W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa jest równy α, zaś krawędź podstawy ma długość α. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
      - Zadanie 6.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości przekątnej podstawy AC do długości ramienia AS jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
      - Zadanie 7.
        Sześcian o krawędzi α wpisano w ostrosłup prawidłowy czworokątny tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych, zaś cztery pozostałe do podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
  - Figury obrotowe
    - Zadanie 1.
      Stożek o objętości V i wysokości h przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $\frac{1}{3}h$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 2.
      W kulę wpisano walec, w którym długość promienia podstawy jest mniejsza od długości promienia kuli o 2 cm, a wysokość stanowi $\frac{4}{3}$ promienia kuli. Oblicz pole powierzchni kuli.
    - Zadanie 3.
      Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
    - Zadanie 4.
      Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $\frac{2}{3}$ . Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 5.
      Oblicz objętość kuli wpisanej w stożek o promieniu długości R i kącie rozwarcia 2α.
    - Zadanie 6.
      Romb o kącie ostrym 60°, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.
    - Zadanie 7.
      W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstaw kąty α i β. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.
    - Zadanie 8.
      Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi
      68 cm². Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
    - Zadanie 9.
      Trójkąt o bokach 10,17,21 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
    - Zadanie 10.
      Puszka ma kształt walca zakończonego z obu stron półsferami. Wysokość walca jest o 2 większa od promienia jego podstawy, a objętość puszki jest dwa razy większa od objętości walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej puszki.
    - Zadanie 11.
      W trójkącie równoramiennym o obwodzie p stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $\sqrt{3}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dookoła prostej zawierającej jego ramię.
    - Zadanie 12.
      Wykaż, że objętość walca o polu powierzchni P, opisanego na kuli o promieniu r, jest równa $\frac{Pr}{3}$ .
    - Zadanie 13.
      Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45° i 60° Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m² papieru zużyto.
    - Zadanie 14.
      W stożek o wysokości H=9 i objętości V=108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
      a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
      b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?
    - Zadanie 15.
      Na stożku, którego pole przekroju osiowego jest równe S, a kąt między wysokością i tworzącą ma miarę α, opisano kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.
- Geometria analityczna
  Pozostałe treści z geometrii analitycznej znajdziecie w kursie z poziomu podstawowego.
  - Wektory w układzie współrzędnych
    - Zadanie 1.
      Dane są punkty A=(-1,-3), B=(5,1), C=(2,8). Oblicz
      a) współrzędne wektorów $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}$ b) długości wektorów $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}$
    - Zadanie 2.
      Dane są punkty A=(-2,0), B=(3,5), C=(6,4) .Wyznacz współrzędne punktu D, tak aby wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ były równe.
    - Zadanie 3.
      W równoległoboku ABCD dane są A=(-6,-3), B=(5,-1), C=(2,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
    - Zadanie 4.
      Wyznacz współrzędne wektora $\vec{a}=2\cdot \vec{u}+3\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}\cdot \vec{w}$ jeżeli $\vec{u}=\left [ -1,3 \right ],\vec{v}=\left [ 2-4 \right ],\vec{w}=\left [ 6,-2 \right ]$
    - Zadanie 5.
      Udowodnij, że środkiem odcinka AB, gdzie $A=(x_{A},y_{A})$ , $B=\left ( x_{B},y_{B} \right )$ jest punkt $S=\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )$ .
    - Zadanie 6.
      Na odcinku AB wyznacz taki punkt P, aby spełniony był warunek |AP|:|PB|=3:1 wiedząc, że A=(-2,3), B=(6,5).
    - Zadanie 7.
      Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC, jeżeli A=(2,2), B=(0,-2), C=(5/2,-3).
    - Zadanie 8.
      Punkty A, B, C nie są współliniowe i leżą w układzie współrzędnych. Punkty M, N są odpowiednio środkami odcinków AB i AC, a punkt P jest środkiem odcinka MN. Wykaż, że dla dowolnego punktu O, różnego od wymienionych punktów, zachodzi równość $2\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\cdot \overrightarrow{OP}$
    - Zadanie 9.
      W równoległoboku ABCD, punkt K dzieli bok CD w stosunku 4:1 licząc od punktu C, zaś punkt L dzieli przekątną BD w stosunku 5:1 licząc od punktu B. Udowodnij, że punkty A, K, L są współliniowe wiedząc, że A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1), D=(-1,4).
    - Zadanie 10.
      Punkt M jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC, w którym A=(0,0), B=(6,0) , a punkt C ma obie współrzędne dodatnie.
      Udowodnij, że $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ .
    - Zadanie 11.
      Wyznacz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez punkt P=(-12,9) wiedząc, że wektor $\vec{u}=\left [ 2,-3 \right ]$ jest prostopadły do prostej k.
    - Zadanie 12.
      Wyznacz, wykorzystując wektory, równanie symetralnej odcinka AB, jeżeli A=(-2,4), B=(6,8).
    - Zadanie 13.
      W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A=(-4,-1), środek S=(2,1) boku AB i wektor $\overrightarrow{BC}=\left [ -4,4 \right ]$ . Wyznacz równanie symetralnej boku BC.
    - Zadanie 14.
      Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(-2,-1), wektor $\overrightarrow{AB}=\left [ 8,4 \right ]$ , a punkt przecięcia środkowych M=(1,4). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
    - Zadanie 15.
      W trójkąt równoboczny wpisano okrąg o środku w punkcie S=(3,-1). Wiedząc, że C=(1,-3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.
    - Zadanie 16.
      Bok AB trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu y = 2x + 2, a środkowa poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w prostej x – 3y + 21 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC wiedząc, że $\overrightarrow{BC}=\left [ 4,-2 \right ]$ .
    - Zadanie 17.
      Punkt S=(0,0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że $\overrightarrow{AB}=\left [ 4,3 \right ]$ i $\overrightarrow{BC}=\left [ 6,2 \right ]$
    - Zadanie 18.
      Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok ML trójkąta KLM, jeśli wiadomo, że K=(-6,-2), $\overrightarrow{KL}=\left [ 10,1 \right ]$ i środkowe trójkąta przecinają się w punkcie E=(0,0).
    - Zadanie 19.
      Prosta o równaniu y = -x + 3 przecina parabolę o równaniu y = x² -6x +7 w punktach A i B. Napisz równanie obrazu tej paraboli w przesunięciu o wektor $\overrightarrow{WA}+\overrightarrow{WB}$ , gdzie W jest wierzchołkiem danej paraboli.
  - Prosta w układzie współrzędnych
    - Zadanie 1.
      Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A=(-2,3) nachylonej do osi OX pod kątem 30°.
    - Zadanie 2.
      Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez A=(4,-2) nachylonej do osi OX pod kątem 120°.
    - Zadanie 3.
      Wyznacz równanie prostej AB wiedząc, że A=(-2,5), B=(3,-4), a następnie wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, kąt nachylenia tej prostej do osi OX.
    - Zadanie 4.
      Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A=(-3,5), która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta jaki tworzy z tą osią prosta o równaniu y = 2x – 7.
    - Zadanie 5.
      Dwa wierzchołki trójkąta równobocznego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = x² – 4x + 7 zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
  - Kąt między prostymi
    - Zadanie 1.
      Wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta ostrego między dwiema prostymi o równaniach y = 2x – 1 i y = -5x + 2.
    - Zadanie 2.
      Wyznacz równanie prostej p, w której zawiera się ramię AC trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że podstawa AB zawiera się w prostej k: 3x + 2y – 12 = 0, ramię BC zawiera się w prostej
      l: x + 4 = 0 oraz punkt P=(1,-3) należy do ramienia AC.
    - Zadanie 3.
      Wyznacz miary kątów i równania prostych, w których zawierają się boki trapezu prostokątnego, jeśli wiadomo, że podstawa AB zawiera się w prostej k:y=x-1 , ramię AD zawiera się w prostej $l:y=\left ( 2-\sqrt{3} \right )x+4$ , zaś wierzchołek C=(6,13).
    - Zadanie 4.
      W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie AB. Podstawa AB zawiera się w prostej o równaniu y = -4, zaś ramię AD zawiera się w prostej o równaniu $y=\sqrt{3}x-2$ . Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe $9\sqrt{3}$ .
  - Odległość punktu od prostej
    - Zadanie 1.
      Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach 2x + y -5 = 0 i x – 2y = 0
    - Zadanie 2.
      Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach x + y – 8 = 0 i 7x – y – 8 =0
    - Zadanie 3.
      Prosta k o równaniu 3x – 2y – 6 = 0 przecina okrąg o środku w punkcie S=(1,5) w punktach P i Q. Wyznacz równanie tego okręgu wiedząc, że $\left | PQ \right |=2\sqrt{13}$
  - Styczna do okręgu
    - Zadanie 1.
      Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x² + y² = 4 przechodzących przez punkt P=(0,4).
    - Zadanie 2.
      Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 równoległych do prostej o równaniu y – 2x = 0.
    - Zadanie 3.
      Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2)² + (y + 1)² = 9 prostopadłych do prostej o równaniu x + y + 1 = 0.
    - Zadanie 4.
      Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2√3)² + (y – 1)² = 16 nachylonych do osi pod kątem 120°.
    - Zadanie 5.
      Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu o równaniu x² + y² + 2x – 2y – 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A=(2,0).
    - Zadanie 6.
      Wyznacz równania okręgu o promieniu r = 3 stycznego jednocześnie do prostych o równaniach x + y = 0 i x – y = 0.
    - Zadanie 7.
      Do współśrodkowych okręgów poprowadzono styczne przecinające się w punkcie P=(0,4) jak na rysunku (rysunek w filmie).
      Mniejszy okrąg ma równanie x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0, a styczna do większego okręgu ma równanie 12x – 5y + 20 = 0.
      a) Oblicz grubość pierścienia b) Wykaż, że te styczne są prostopadłe.
  - Wzajemne położenie dwóch okręgów
    - Zadanie 1.
      Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach (x – 2)² + (y + 3)² = 25 i x² + y² -2√3x + 2 = 0.
    - Zadanie 2.
      Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach x² + y² + 4x – 2y + 3 = 0 i x² + y² + 6x + 5 = 0.
    - Zadanie 3.
      Dla jakich wartości parametru okręgi o równaniach (x + 2)² + (y – m)² = 9 i (x + m)² + (y – 1)² = 4 mają tylko jeden punkt wspólny?
  - Zbiory punktów o danej własności
    - Zadanie 1.
      Wyznacz zbiór punktów (x,y), których odległość od punktu A=(-6,2) i prostej o równaniu y + 4 = 0 jest jednakowa.
    - Zadanie 2.
      Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu (0,0) była dwa razy większa niż odległość od prostej o równaniu x – √3y = 0.
    - Zadanie 3.
      Wykaż, że każdy punkt paraboli o równaniu $y=\frac{1}{4}{x^{2}}+1$ jest równoodległy od osi OX i od punktu F=(0,2).
    - Zadanie 4.
      Znajdź zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt A=(3,2) i stycznych do osi OX.
    - Zadanie 5.
      Wyznacz równanie krzywej, którą tworzą punkty jednakowo odległe od okręgu o równaniu x² + (y – 1)² = 1 i prostej o równaniu y + 1 =0.
    - Zadanie 6.
      Wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli o równaniu y = x² -1 przechodzących przez punkt A=(0,0).
- Rachunek prawdopodobieństwa
  Pozostałe treści z rachunku prawdopodobieństwa znajdziecie w kursie z poziomu podstawowego.
  - Prawdopodobieństwo warunkowe
    - Zadanie 1.
      Spośród liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 3, pod warunkiem, że jest to liczba nieparzysta.
    - Zadanie 2.
      W czterdziestoosobowej grupie 12 osób zna tylko język angielski, 10 osób tylko język niemiecki, a 18 osób zna oba języki. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej grupy zna język niemiecki, jeżeli wiadomo, ze zna język angielski.
    - Zadanie 3.
      W pudełku są 3 kule białe, 4 kule czerwone i 5 kul niebieskich. Z pudełka wybieramy losowo jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej, pod warunkiem, że wylosowana kula nie jest niebieska.
    - Zadanie 4.
      Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że w pierwszym rzucie otrzymamy mniejszą liczbę oczek niż w drugim rzucie, jeśli wiemy, że w drugim rzucie wypadło jedno lub dwa oczka?
    - Zadanie 5.
      Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana karta będzie asem, jeśli wiadomo, że wylosowana karta jest pikiem.
    - Zadanie 6.
      Z talii 52 kart losujemy dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane karty są figurami, pod warunkiem, że obie są kierami.
    - Zadanie 7.
      Oblicz $P\left ( A \mid B\right )$ , jeśli wiadomo, że $P\left ( A\cup B \right )=\frac{7}{12}$ , $P\left ( B \right )=\frac{2}{3}$ , $P(A)=\frac{1}{4}$
    - Zadanie 8.
      Wykaż, że jeżeli zdarzenia losowe $A,B\subset \Omega$ są takie, że oraz to $P(A\mid B)\geq 0,5$
  - Prawdopodobieństwo całkowite
    - Zadanie 1.
      W pierwszym pudełku jest 6 kul niebieskich i 4 kule czerwone, zaś w drugim pudełku jest 5 kul czerwonych i 4 kule niebieskie. Losujemy jedną kulę z pudełka pierwszego i nie oglądając jej wrzucamy do pudełka drugiego. Następnie wybieramy losowo kulę z pudełka drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze druga wylosowana kula będzie czerwona.
    - Zadanie 2.
      Wśród wyrobów pierwszej firmy towary wadliwe stanowią 5%, a wśród wyrobów drugiej firmy towary wadliwe stanowią 3%. Pierwsza firma dostarcza do hurtowni dwa razy więcej wyrobów niż druga. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że zakupiona w hurtowni jedna sztuka towaru pochodząca z tych firm okaże się dobra.
    - Zadanie 3.
      Daltonizm to wada wzroku polegająca na zaburzeniu rozpoznawania barwy zielonej i czerwonej. Dotyka ona przeciętnie pięć kobiet na tysiąc i ośmiu mężczyzn na stu. Z grupy osób w której stosunek liczby kobiet do liczby mężczyzn wynosi 2:8 wylosowano jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze wybrana osoba jest daltonistą.
    - Zadanie 4.
      W dwóch piórnikach znajdują się długopisy: w pierwszym jest 6 zielonych i 4 niebieskie, w drugim jest 5 zielonych i 5 niebieskich. Rzucamy kostką do gry: jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez 3 losujemy jeden długopis z piórnika pierwszego, w przeciwnym razie z piórnika drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy długopis zielony.
    - Zadanie 5.
      W szufladzie jest 5 nowych i 8 używanych piłek do gry w tenisa. Do pierwszej gry wzięto losowo z tej szuflady dwie piłki i po grze włożono je z powrotem do szuflady. Do drugiej gry wzięto losowo z tej szuflady 3 piłki. Oblicz prawdopodobieństwo wzięcia do drugiej gry 3 nowych piłek.
  - Twierdzenie Bayesa
    - Zadanie 1.
      Wiadomo, że 5% wszystkich mężczyzn i 0,25% wszystkich kobiet to daltoniści. Spośród grupy 60 mężczyzn i 400 kobiet wybrano losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny pod warunkiem wylosowania osoby, która jest daltonistą?
    - Zadanie 2.
      W hurtowni znajdują się detale pochodzące z trzech zakładów produkcyjnych: Z₁_,Z_2,Z₃. Zapotrzebowanie pokrywane jest przez zakłady odpowiednio w 25%, 35% i 40%. Produkcja tych zakładów zawiera odpowiednio 2%, 4% i 5% braków. Losowo wybrany detal okazał się dobry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukował go zakład Z_1.
  - Schemat Bernoulliego
    - Zadanie 1.
      Rozważmy sześciokrotny rzut symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 4 razy orła.
    - Zadanie 2.
      Rzucamy 6-krotnie symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że ściana z jednym oczkiem wypadnie co najwyżej raz.
    - Zadanie 3.
      W urnie mamy jednakowe kule: 4 białe i 6 czarnych. Losujemy 4 razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem wylosowaną kule do urny. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu kuli białej co najmniej dwa razy.
    - Zadanie 4.
      Gra polega na jednoczesnym rzucie symetryczną monetą i symetryczną kostką sześcienną. Wygrana następuje przy jednoczesnym wyrzuceniu orła i jedynki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 3 gry wygrana wystąpi co najmniej jeden raz?
    - Zadanie 5.
      W schemacie Bernoullego o n próbach prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi 0,1. Jakie musi być n, aby prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu przy n próbach było większe od 0,7?
    - Zadanie 6.
      W schemacie Bernoullego o 5 próbach prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu wynosi 0,76. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie?
- Arkusze maturalne CKE (nowa formuła) - poziom rozszerzony - pdf
  Arkusze maturalne z rozwiązaniami w formacie pdf (bez rozwiązań w formie filmów video)
  - Arkusz maturalny CKE - PR - maj 2024 + rozwiązania
    - Arkusz maturalny CKE – PR – maj 2024 + rozwiązania
  - Arkusz maturalny - CKE - PR - maj 2023 + rozwiązania
    - Arkusz maturalny CKE – PR – maj 2023 + rozwiązania
  - Arkusz próbny CKE- PR - grudzień 2022 + rozwiązania
    - Próbna matura CKE – PR – grudzień 2022 + rozwiązania
- Wybrane zadania maturalne + rozwiazania pdf
  - Wybrane zadania maturalne + rozwiązania pdf