fbpx

  • Wielomiany

    Jeżeli rozpoczynasz naukę o wielomianach, zacznij od kursu podstawowego. Zadania z kursu o sumach algebraicznych (wielomianach) na poziomie podstawowym, stanowią bazę do poznania treści rozszerzonych.

    • Równość wielomianów

      • Zadanie 1.

        Dla jakich wartości parametru a wielomiany W(x) = 3x3 + (a2-3)x2 – 5 i G(x) = 3x3 + 6x2 – 5 są równe?

      • Zadanie 2.

        Dla jakich wartości parametru a iloczyn wielomianów W(x) = ax – 4 i G(x) = ax – 1 jest równy wielomianowi H(x) = 9x2 + 15x + 4?

      • Zadanie 3.

        Dane są wielomiany W(x) = x2 + x -1, G(x) = ax + b, H(x) = x3 + 4x + 6x2 – 5. Wyznacz współczynniki a, b tak, aby W(x)·G(x) = H(x).

      • Zadanie 4.

        Dane są wielomiany F(x) = 2x – 3, G(x) = x2 + bx + c, H(x) = 2x3 + x2 – 8x + 3. Wyznacz współczynniki b, c tak, aby wielomian F(x)·G(x) – H(x) był wielomianem zerowym.

      • Zadanie 5.

        Przedstaw wielomian W(x) = x4 + 2x3 + x2 – 1 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.

      • Zadanie 6.

        Przedstaw wielomian W(x) = x4 + x3 – 6x2 – 11x – 5 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.

    • Dzielenie wielomianów

      • Zadanie 1.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 2x2 + 3x – 12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 2.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 + 3x -12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 3.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 4x3 + 8x2 + 4x – 9 przez wielomian Q(x) = 2x + 1. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 4.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 2x4 – 3x3 + 4x + 2 przez wielomian Q(x) = x2 + x. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + R(x).

    • Schemat Hornera

      • Zadanie 1.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 9x2 + 2x – 1 przez dwumian Q(x) = x – 1 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

      • Zadanie 2.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 3x4 – 10x3 – 29x + 2 przez dwumian Q(x) = x – 4 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

      • Zadanie 3.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 8x3 + 27 przez dwumian Q(x) = x + 1 wykorzystując schemat Hornera, wykonaj działanie sprawdzające.

    • Twierdzenie o reszcie

      • Zadanie 1.

        Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x3 – 7x2 – 2x + 3 przez dwumian Q(x) = x + 1.

      • Zadanie 2.

        Sprawdź czy wielomian W(x) = -x4 + 2x2 – 3x + 1 jest podzielny przez dwumian G(x) = x – 2.

      • Zadanie 3.

        Dla jakich wartości a wielomian W(x) = x3 + (a2-1)x – 3 jest podzielny przez P(x) = x – 1.

      • Zadanie 4.

        Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x4 – (m+1)x2 – 3(m-1)x – 5 przez dwumian x – 1 wynosi 2

      • Zadanie 5.

        Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 5, 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
        Q(x) = (x – 2)(x – 3).

      • Zadanie 6.

        Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 1, x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
        Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

      • Zadanie 7.

        Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x99 – 1 przez wielomian Q(x) = x2 – 1.

      • Zadanie 8.

        Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x5 – x3 + x2 – 1 przez wielomian Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

    • Twierdzenie Bezouta

      • Zadanie 1.

        Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 – x2 – 10x – 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 2.

        Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Rozłóż wielomian na czynniki

      • Zadanie 3.

        Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + 2x2 – 11x + 20. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 4.

        Liczby -2 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + x3 – 5x2 – 4x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 5.

        Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x) = x3 + (2m – 3)x -2 jest podzielny przez dwumian x – 3.

      • Zadanie 6.

        Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 – 6x2 + ax + b. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

      • Zadanie 7.

        Wielomian W(x) = 2x3 + mx2 – 13x + n jest podzielny przez dwumiany x – 2 i x – 3. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

    • Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równanie 3x3 + 3x2 – 5x + 2 = 0.

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż równanie x4 – 4x3 + 8x2 – 20x + 15 = 0.

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż równanie x4 + 3x3 -5x2 – 12x + 4 = 0.

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż równanie 2x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0.

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż równanie 2x3 + 9x2 + x – 3 = 0.

    • Pierwiastki wielokrotne

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie x3 + 5x2 + 7x + 3 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równanie x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 4 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.

      • Zadanie 3.

        Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = 3x3 – 11x2 + 8x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 4.

        Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 5.

        Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania x3 + 4x2 + ax + b = 0. Wyznacz współczynniki a i b.

      • Zadanie 6.

        Liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4 – 3x3 + ax2 + bx – 18. Wyznacz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu.

      • Zadanie 7.

        Podaj przykład  wielomianu stopnia czwartego, którego
        a) jedynymi pierwiastkami są liczby 2 i -2
        b) jedynym pierwiastkiem jest 1 i jest to pierwiastek dwukrotny.

    • Nierówności wielomianowe

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż nierówność
        a) 2(x – 1)(x + 3)(x – 5) > 0
        b) -3(x – 1)(x – 3)(x +7) > 0

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż nierówność
        a) 2(x2 – 1)(-x + 3)(x – 5) < 0
        b) -3(2x2 + x -1)(x – 3)(x + 7) < 0

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż nierówność
        a) -5(x – 1)2(x + 3)(x – 5) > 0
        b) 3(x – 1)3(x – 3)2(x + 7)4 < 0

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż nierówność
        a) x3 – 6x2 – x + 6 ≥ 0
        b) -x3 – 3x2 – x + 1 < 0

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż nierówność 2x3 – 3x2 – 10x +15 ≤ 0. Wyznacz najmniejsza liczbę całkowitą dodatnią spełniającą tę nierówność.

      • Zadanie 6.

        Wyznacz dziedzinę funkcji
        a) f(x)=\sqrt{x^{3}-3x}
        b) f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x^{3}-5x+4}}

      • Zadanie 7.

        Rozwiąż nierówność x4 + x3 – 7x2 + ax + b > 0, jeżeli liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + x3 – 7x2 + ax + b