WYBIERZ POZIOM

Byś szybciej znalazł to, czego szukasz...

Szkoła podstawowa

Gimnazjum

Szkoła średnia - PP

  • Szkoła podstawowa

    • Liczby i działania na nich

      Często nawet proste działania na liczbach naturalnych, całkowitych, czy wymiernych sprawiają problem uczniom szkół podstawowych. Opanowanie tych umiejętności to przepustka do bardziej zaawansowanych dziedzin matematyki. W sposób przystępny tłumaczę zasady, uczę logiki w wykonywaniu działań. Pomagam stworzyć swoistą bazę, na której łatwiej rozwijać zdobytą wiedzę.

      • Liczby naturalne

        • Liczby pierwsze i liczby złożone

          • Zadanie 1.

            Podaj wszystkie liczby pierwsze a) mniejsze od 25 b) mniejsze od 33 i większe od 11

          • Zadanie 2.

            Zadanie 2. Podaj wszystkie liczby złożone a) mniejsze od 24 b) mniejsze od 30 i większe od 12

          • Zadanie 3.

            Oceń prawdziwość zdania a) suma pierwszych siedmiu liczb pierwszych jest parzysta b) iloczyn liczb pierwszych może być liczbą parzystą c) iloczyn dowolnych dwóch liczb pierwszych jest liczba złożoną

        • Podzielność liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Podaj wszystkie dzielniki naturalne liczby a) 38 b) 52

          • Zadanie 2.

            Oblicz ile dzielników naturalnych ma liczba 7200

          • Zadanie 3.

            Uzasadnij, że liczba  a) 123456789 jest podzielna przez 3 b) 268013570 jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 3

          • Zadanie 4.

            Uzasadnij, że liczba  12342345345645675678 jest podzielna przez 6.

          • Zadanie 5.

            Uzasadnij, że liczba  12345+234561+345672  jest podzielna przez 3

          • Zadanie 6.

            Uzasadnij, że liczba 111111111+333333333+666666666 jest podzielna przez 9

          • Zadanie 7.

            Uzasadnij, że liczba  a) 234567812 jest podzielna przez 4 b) 1234 +100000020 + 100000010 jest podzielna przez 4

          • Zadanie 8.

            Uzasadnij, że liczba  a) 123456 + 654321 + 15 dzieli się przez 5 b) 12341 +23452 + 34563 nie dzieli się przez 5

          • Zadanie 9.

            Uzasadnij, że liczba  1234567899876543210 dzieli się przez 90

          • Zadanie 10.

            Wyznacz cyfrę k, jeżeli liczba 123456789k876543210 dzieli się przez 9

        • NWD i NWW

          • Zadanie 1.

            Wyznacz największy wspólny dzielnik liczb a) 112 i 48 b) 96 i 144

          • Zadanie 2.

            Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a) 18 i 48 b) 72 i 108

          • Zadanie 3.

            Wyznacz a) NWD(x , y) oraz NWW(x, y) jeżeli: a) x = 60 y = 210 b) y = 348 x = 186

          • Zadanie 4.

            Oblicz  \frac{NWW(x,y)}{NWD(x,y)},  jeżeli  x=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7,y=3^{3}\cdot 5\cdot 7^{2} 

        • System dziesiątkowy zapisu liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Zapisz w systemie dziesiątkowym liczbę naturalną trzycyfrową , której cyfra setek to 2, cyfra dziesiątek jest trzy razy większa od cyfry setek, a liczba jedności jest o 3 mniejsza od cyfry dziesiątek

          • Zadanie 2.

            Karol zapisał pewna liczbę dwucyfrową. O ile zwiększy się ta liczba jeżeli: a) przed jej cyfrą dziesiątek dopiszemy cyfrę 7 b) po jej cyfrze jedności dopiszemy cyfrę 6

          • Zadanie 3.

            Cyfrą dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej jest cyfra a, cyfra jedności tej liczby wynosi b, zapisz symbolicznie tę liczbę oraz liczbę o przestawionych cyfrach.

          • Zadanie 4.

            Do liczby naturalnej dwucyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

          • Zadanie 5.

            Do liczby naturalnej trzycyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

          • Zadanie 6.

            Suma cyfr pewnej liczby naturalnej dwucyfrowej wynosi 9. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną dwucyfrową o 45 większą od liczby początkowej. Jaka liczba dwucyfrowa spełnia warunki zadania?

          • Zadanie 7.

            Suma cyfry setek i jedności  pewnej liczby naturalnej trzycyfrowej wynosi 10, cyfra dziesiątek jest równa 2. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną trzycyfrową o 396 większą od liczby początkowej. Jaka liczba naturalna trzycyfrowa spełnia warunki zadania?

        • System rzymski zapisu liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 52 b) 110 c) 1530

          • Zadanie 2.

            Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 45 b) 498 c) 989

          • Zadanie 3.

            Rok urodzenia Marka w systemie rzymskim to MCMLXXXVIII. Zapisz rok urodzenia w systemie dziesiątkowym.

          • Zadanie 4.

            Pewien filozof grecki urodził się w roku CDLXIX p.n.e., a zmarł w roku CCCXCIX p.n.e.. Oblicz ile żył lat ten filozof.

          • Zadanie 5.

            W jakich latach, w systemie dziesiątkowym, budowano katedrę w Krakowie, jeżeli lata budowy w systemie rzymskim to MCCCXII – MCCCLXIV

      • Liczby całkowite

        • Zadanie 1.

          Podaj wszystkie liczby całkowite ujemne a) większe od -5 b) większe od -8 i mniejsze od -4

        • Zadanie 2.

          Zaznacz na osi liczbowej liczby całkowite, które są: a) dodatnie i nie większe od 6 b) nieparzyste ujemne i większe od -10

        • Zadanie 3.

          Wyznacz liczbę przeciwną do liczby a) -5  b) -3-(-4)  c)  -7+(-2)\cdot (-1)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wartość bezwzględną liczby , jeżeli:
          a)  a=(-16):(-8)-(-3)\cdot (-2)-(-3) 
          b)  a=(-1)\cdot (-8)-(-2)\cdot (-2)-(-3)\cdot 0

        • Zadanie 5.

          Oblicz a) o ile liczba 144 jest większa od liczby 72 b) ile razy liczba 72 jest większa od liczby 12

        • Zadanie 6.

          Wykonaj obliczenia stosując zasady dotyczące kolejności działań:
          (207+495:15):(27\cdot 3:9-3)

      • Liczby wymierne

      • Sprawdź czy umiesz

    • Potęgowanie

      Poznaj definicję potęgi i reguły związane z potęgowaniem. Czy to podstawowe działania na potęgach, czy bardziej skomplikowane obliczenia, wszystkiego możesz się nauczyć w tempie przystosowanym do Twoich predyspozycji. Zdobyte umiejętności sprawdzisz, rozwiązując ćwiczenia o różnym stopniu trudności, skonstruowane w oparciu o poznany materiał.

    • Pierwiastkowanie

      Jak znaleźć liczbę, która podniesiona do określonej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem? To i inne zagadnienia z dziedziny pierwiastkowania poznasz od podstaw, aby poradzić sobie również z zadaniami na wyższym poziomie i na kolejnych szczeblach edukacji. Przy okazji powtórzysz tabliczkę mnożenia, utrwalisz ją, aby jej używanie stało się naturalne.

    • Wyrażenia algebraiczne

      Kolejny etap zmagań z matematyką to połączenie liter oraz liczb, pozwalających zapisać określone wartości. Tutaj również występować mogą potęgi oraz pierwiastki, a także różne stałe oraz zmienne, dlatego w przypadku braków z powyższych dziedzin nadrobimy także i te zaległości. Z wyrażeniami algebraicznymi spotkasz się też przy poszczególnych wzorach i twierdzeniach.

    • Równania

      Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości – brzmi poważnie, ale jest do opanowania zaledwie podczas kilku lekcji. Obecność zmiennych, redukcja wyrazów podobnych oraz inne właściwości, które należy poznać, to niezbędne kwestie. Będziesz wiedzieć, kiedy należy zastosować dodawanie lub odejmowanie, a kiedy mnożenie albo dzielenie stron równania.

      • Pierwiastek równania

        • Zadanie 1.

          Sprawdź, które z liczb a,b spełniają równanie
          a) 2x-3=5x+9, a=4,b=-4   
          b) 3(x-2)-5(x+2)=-4,a=-5,b=-6

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem równania
          a) 3(-x+4)-3=2x-1 
          b) x^{2}-2x=0 
          c) \left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=0

        • Zadanie 3.

          Wartość wyrażenia 2(x-4) jest 5 razy mniejsza od wartości wyrażenia 5x+10. Opisz tę zależność równaniem. Sprawdź, czy liczba 10 spełnia to równanie.

      • Rozwiązywanie równań

      • Rozwiązywanie zadań za pomocą równań

        • Zadanie 1.

          Córka ma 8 lat, a jej mama 30 lat. Za ile lat córka będzie 3 razy młodsza od mamy?

        • Zadanie 2.

          Pole trapezu o wysokości 8 cm jest równe 80 cm2. Jedna z podstaw jest o 10 cm dłuższa od drugiej. Jaką długość ma krótsza z podstaw trapezu?

        • Zadanie 3.

          W pewnej restauracji cena porcji naleśników była równa cenie porcji pierogów. Gdy cenę naleśników podwyższono o 10%, a cenę pierogów obniżono o 20%, wówczas naleśniki stały się droższe od pierogów o 1,5 zł. Ile kosztowały naleśniki po zmianie cen ?

        • Zadanie 4.

          Godzina wynajęcia sali gimnastycznej kosztuje 100 zł. W zajęciach sportowych bierze udział 4 dorosłych i 15 dzieci. Dorośli płacili po 10 zł za bilet. Oblicz, ile złotych zapłaciło za wynajęcie sali dziecko?

        • Zadanie 5.

          W hotelu jest 74 miejsca noclegowe. Pokoi dwuosobowych jest o 10 więcej niż jednoosobowych, pokoi trzyosobowych jest 3 razy mniej niż dwuosobowych. Ile pokoi jest w tym hotelu, jeżeli jest jeszcze 3 pokoje czteroosobowe.

        • Zadanie 6.

          Sprzedawca sprzedał trzem klientom jabłka. Pierwszy kupił  wszystkich jabłek i jeszcze 10 kg, drugi kupił  reszty i 10 kg, a trzeci pozostałe 50 kg. Ile jabłek kupił drugi klient?

        • Zadanie 7.

          W pewnym zakładzie kobiety stanowią 40% załogi, przy czym 10% zatrudnionych kobiet i 20 mężczyzn wkracza w wiek emerytalny. Okazuje się, że przejście tych osób na emeryturę spowoduje zmniejszenie stanu załogi o 8%. Ile osób pracuje w tym zakładzie

        • Zadanie 8.

          Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 366. Jakie to liczby?

        • Zadanie 9.

          Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 9. Jeżeli od liczby utworzonej z przestawienia jej cyfr odejmiemy 15, to otrzymamy liczbę trzy razy mniejszą od liczby
          wyjściowej. Jaka to liczba?

        • Zadanie 10.

          W sklepie sportowym sprzedawano dwa rodzaje piłek: do siatkówki i do piłki ręcznej. Wszystkich piłek na zapleczu sklepu było 32. Grupa chłopców kupiła 2 piłki do siatkówki i trzy do piłki ręcznej. Na zapleczu sklepu zostało wówczas dwa razy więcej piłek do siatkówki niż do piłki ręcznej. Ile piłek do piłki ręcznej zostało na zapleczu sklepu?

        • Zadanie 11.

          Rowerzysta pojechał z miasta A do miasta B i wrócił z powrotem. Wracając z miasta B jechał z prędkością o 4 km/h mniejszą, niż gdy jechał z miasta A do miasta B. Jazda z miasta A do miasta B trwała 2,5 godziny, a z powrotem o godzinę dłużej. Oblicz prędkość z jaką rowerzysta pokonał trasę jadąc z miasta A do B. Oblicz odległość między miastami.

        • Zadanie 12.

          Ktoś kupił dwa przedmioty za 1000 zł i sprzedał je z łącznym zyskiem 8%. Ile zapłacił za każdy przedmiot, jeżeli pierwszy sprzedał z zyskiem 20%, drugi ze stratą 10%?

      • Proporcjonalność

        • Zadanie 1.

          Belkę długości 270 cm rozcięto na trzy części, których stosunek długości to 2:3:4. Oblicz długość najkrótszej części.

        • Zadanie 2.

          Długości boków pewnego trójkąta są w stosunku 2:3:4. Oblicz długość najdłuższego boku wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 72 cm.

        • Zadanie 3.

          W pewnym czworokącie stosunek miar kątów wewnętrznych jest równy 1:2:3:4. Oblicz miarę największego kąta tego czworokąta.

        • Zadanie 4.

          Odległość środków dwóch stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 21, a stosunek długości promieni to 4:3. Oblicz długość promienia każdego z okręgów.

      • Proporcje

      • Wielkości wprost proporcjonalne

        • Zadanie 1.

          Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

        • Zadanie 3.

          Wiedząc, że wielkości x, y są wprost proporcjonalne, oblicz współczynnik proporcjonalności i uzupełnij tabelę ( tabela w filmie )

        • Zadanie 4.

          Sto ziaren grochu waży 25 g. Oblicz, ile ziaren jest w 1 kg grochu.

        • Zadanie 5.

          Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. Oblicz, w czasie ilu godzin Ziemia obróci się o kąt 1500.

        • Zadanie 6.

          Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. O jaki kąt obraca się Ziemia w ciągu 45 minut.

        • Zadanie 7.

          Taką samą ilością karmy jaką zjada 8 kaczek, można nakarmić 20 kur. Oblicz jaką ilość kur, nakarmimy ilością karmy, jaką zjada 12 kaczek ( tabela w filmie )

        • Zadanie 8.

          Sześć puszek farby wystarczy  na pomalowanie 90 m2 powierzchni. Oblicz ile należy kupić puszek farby aby pomalować powierzchnię 240 m2.

        • Zadanie 9.

          Jeśli podczas burzy grzmot słychać po 3 sekundach od błyskawicy, to znaczy, że piorun uderzył w odległości około 1 km. W jakiej odległości uderzył piorun, jeżeli od błyskawicy do grzmotu minęło 7 sekund?

        • Zadanie 10.

          Głos przenosi się w powietrzu na odległość 825 metrów w czasie 2,5 sekundy. Po ilu sekundach od wystrzału usłyszymy odgłos karabinu odległego o 1650 m?

      • Sprawdź czy umiesz

    • Obliczenia procentowe

      W zadaniach ze szkoły podstawowej przedstawiane są proste przykłady obliczeń procentowych i na tym poziomie jest to wystarczające. Ważne jednak, żeby korepetycje uczyły praktycznego zastosowania zdobytej wiedzy, na przykład jak obliczyć procent z danej liczby, a w bardziej zaawansowanych zadaniach policzyć VAT lub inne podatki.

      • Obliczanie procentu danej liczby

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) 4% z 400 b) 200% z 12 c) 4,5% z 50 d) 0,05% z 80

        • Zadanie 2.

          Oblicz, wynik podaj w minutach a) 20% z 1 h b) 30% z 4 h

        • Zadanie 3.

          Spodnie kosztują 300 zł. Oblicz cenę tych spodni po a) obniżce o 10% b) po podwyżce o 20%

        • Zadanie 4.

          Cena pewnego towaru wynosi x zł a) o ile procent obniżono cenę towaru jeżeli jego obecna cena to 0,8x b) o ile procent podwyższono cenę towaru jeżeli jego obecna cena to 1,3x?

        • Zadanie 5.

          Oblicz liczbę, która jest a) o 25% większa od liczby 72 b) o 25% mniejsza od liczby 36

        • Zadanie 6.

          O ile % zwiększyła się cena towaru, jeżeli: a) cenę podwojono b) cena zwiększyła się 2,5 razy

        • Zadanie 7.

          O ile procent zwiększy się pole kwadratu, jeżeli jego długość boku zwiększymy o 20%.

        • Zadanie 8.

          Początkowa cena towaru wynosiła p zł. Cenę tę najpierw obniżono o 10%, następnie po pewnym czasie podwyższono o 10%. Jaka jest obecna cena tego towaru?

        • Zadanie 9.

          Początkowa cena towaru wynosiła p zł. Udowodnij, że jeżeli tę cenę najpierw podwyższymy o 25%, następnie po pewnym czasie obniżymy o 20%, to otrzymamy cenę początkową, czyli p zł.

        • Zadanie 10.

          W ciągu roku cukier drożał dwukrotnie, za każdym razem o 5%. O ile procent wzrosła cena cukru w ciągu roku?

      • Obliczanie liczby z danego jej procentu

        • Zadanie 1.

          Oblicz liczbę, której: a) 30% jest równe 60 b) 0,5% jest równe 2

        • Zadanie 2.

          Cenę komputera obniżono o 20%. Oblicz cenę komputera przed obniżką, jeżeli nowa cena jest o 250 zł niższa od poprzedniej.

        • Zadanie 3.

          Na wycieczkę klasową pojechało 10 osób co stanowiło 40% wszystkich uczniów tej klasy. Ile jest uczniów w klasie?

        • Zadanie 4.

          Na półce z grami komputerowymi jest 60% gier strategicznych. Ile jest wszystkich gier na półce, jeśli gier innego gatunku jest 80?

        • Zadanie 5.

          Ile waży człowiek, którego organizm zawiera 56 kg wody, wiedząc, że organizm dorosłego człowieka zawiera około 70% wody?

        • Zadanie 6.

          Oblicz liczbę y wiedząc, że 2% z 5% tej liczby wynosi 2.

        • Zadanie 7.

          Oblicz liczbę, której 18% jest większe o 12 od 12% tej liczby.

      • Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

        • Zadanie 1.

          Oblicz, jakim procentem a) liczby 12 jest liczba 18 b) liczby 18 jest liczba 12

        • Zadanie 2.

          Oblicz o ile procent obniżono cenę książki, która przed obniżką kosztowała 60 zł, a po obniżce kosztuje 36 zł.

        • Zadanie 3.

          Oblicz liczbę k, wiedząc, że liczba 35 jest o 40% większa od liczby k.

        • Zadanie 4.

          Oblicz liczbę k, wiedząc, że liczba 45 jest o 40% mniejsza od liczby k.

        • Zadanie 5.

          Obwód kwadratu jest równy obwodowi prostokąta o wymiarach 3 cm i 15 cm. Oblicz jakim procentem a) pola kwadratu jest pole prostokąta b) pola prostokąta jest pole kwadratu

      • Stężenia procentowe

        • Zadanie 1.

          Do szklanki zawierającej 200 g wody wsypano 4 g cukru. Oblicz ilu procentowy roztwór cukru otrzymano? Wynik podaj z dokładnością do 1%.

        • Zadanie 2.

          Do 100 g roztworu soli o stężeniu 5% dosypano 20 g soli. Oblicz stężenie procentowe tak otrzymanego roztworu. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%

        • Zadanie 3.

          Ile soli należy wsypać do 12 kg wody, aby otrzymać roztwór 15%?

        • Zadanie 4.

          Ile wody potrzeba, aby rozpuszczając w niej 30 g soli otrzymać roztwór 20-procentowy?

        • Zadanie 5.

          Zmieszano 3 litry 7% roztworu soli z 6 litrami 4% roztworu soli. Jakie jest stężenie soli w mieszaninie?

      • Stopy metali

        • Zadanie 1.

          Złota bransoleta ma próbę 960 i waży 30 gram, a pierścionek ma próbę 750 i waży 8 gram. Ile gramów czystego złota zawierają oba te przedmioty łącznie?

        • Zadanie 2.

          Jaką próbę ma złoty pierścionek ważący 8 g, wiedząc, że zawarte jest w nim 6 g czystego złota?

        • Zadanie 3.

          Ile gramów czystego złota należy dodać do 20 gram złota próby 583, aby otrzymać złoto próby 750?

        • Zadanie 4.

          Kawałek stopu miedzi z ołowiem waży 12 kg i zawiera 45% miedzi. Ile kilogramów czystego ołowiu należy stopić z tym stopem, aby nowy stop zawierał 30% miedzi?

      • VAT i inne podatki

        • Zadanie 1.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę brutto komputera, jeśli cena netto wynosi 2200 zł.

        • Zadanie 2.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę netto, jeśli cena brutto komputera wynosi 3198 zł.

        • Zadanie 3.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Podatek VAT doliczony do ceny netto komputera wynosi 483 zł. Jak jest cena brutto tego komputera?

        • Zadanie 4.

          Dochód brutto Pana Nowaka w ciągu roku wyniósł 70000 zł . Oblicz dochód netto pana Nowaka po zapłaceniu 18% podatku PIT. Podaj kwotę podatku.

        • Zadanie 5.

          Pani Kasia zapłaciła 5400 zł podatku PIT obliczonego według stawki 18%. Jaki był dochód brutto ( przed opodatkowaniem)

        • Zadanie 6.

          Dochód brutto pana X w ciągu roku wyniósł 54000 zł. Pan X mógł od tej kwoty odliczyć ulgę podatkową w wysokości 4000 zł i od pozostałej kwoty zapłacił 18% podatek PIT. Ile podatku PIT oddał pan X do skarbu państwa.

      • Sprawdź czy umiesz

    • Figury geometryczne na płaszczyźnie

      Obliczanie obwodów i pól figur geometrycznych według wzorów pozwoli Ci z powodzeniem rozwiązać zadania z geometrii. Poznasz też rodzaje kątów i ich własności w poszczególnych figurach geometrycznych. Matematyka to również wyobraźnia, do której bardzo nawiązują tematy związane z geometrią figur płaskich i przestrzennych.

      • Rodzaje kątów

        • Zadanie 1.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 4.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 6.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 7.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 9.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek poniżej ), wiedząc, że DC || AB

      • Trójkąty

        • Klasyfikacja trójkątów

          • Zadanie 1.

            Czy istnieje trójkąt o bokach długości a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 3 cm, 3 cm, 7 cm?

          • Zadanie 2.

            Oblicz miarę trzeciego kąta trójkąta, którego dwa kąty mają miary:
            a) 350 i 700
            b) kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego maja miarę 480

          • Zadanie 3.

            Oblicz miary kątów w trójkącie prostokątnym równoramiennym.

          • Zadanie 4.

            Oblicz miary kątów w trójkącie ABC, wiedząc, że  ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 5.

            Dany jest trójkąt równoramienny ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

          • Zadanie 6.

            Dany jest trójkąt równoramienny ABC ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

          • Zadanie 7.

            Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że stosunek miar tych kątów to a) 1:2:3 b) 1:5:6.

          • Zadanie 8.

            Wyznacz sumę kątów , na podstawie rysunku w filmie.

          • Zadanie 9.

            W trójkącie równoramiennym, w którym , odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz miary katów trójkąta ABD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 10.

            W trójkącie równoramiennym, w którym , półproste AO i  BO dzielą kąty przy podstawie na połowy. Oblicz miarę kąta  ( rysunek w zadaniu )

        • Cechy przystawania trójkątów

          • Zadanie 1.

            Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

          • Zadanie 2.

            Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

          • Zadanie 3.

            Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

          • Zadanie 4.

            Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB II DE i IACI=ICEI

          • Zadanie 5.

            W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

          • Zadanie 6.

            W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

          • Zadanie 7.

            Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

          • Zadanie 8.

            Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|.

          • Zadanie 9.

            Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

        • Twierdzenie Pitagorasa

          • Zadanie 1.

            W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 5 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?

          • Zadanie 2.

            W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość  \sqrt{21} cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość odcinka AB ( rysunek w zadaniu )

          • Zadanie 4.

            Oblicz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość 6 cm, a ramię ma długość 9 cm.

          • Zadanie 5.

            W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 8 cm, a długość drugiej przyprostokątnej jest o 2 cm krótsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie?

          • Zadanie 6.

            W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 3 cm, a długość przeciwprostokątnej jest o 2 cm dłuższa od długości drugiej przyprostokątnej. Oblicz odwód trójkąta.

          • Zadanie 7.

            Drabinę długości 4 m oparto o pionową ścianę. Odległość dolnej części drabiny od ściany to 1,5 m. Oblicz na jakiej wysokości oparto drabinę.

          • Zadanie 8.

            Samolot leci 12 km na południe, potem 16 km na wschód, po czym ląduje na lotnisku. Oblicz odległość lotniska od startu samolotu.

          • Zadanie 9.

            Oblicz x ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 10.

            Oblicz x ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 11.

            Sprawdź czy trójkąt o bokach długości:

            a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2} ,   

            b) 5,9,11

            jest prostokątny ?

          • Zadanie 12.

            Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że przekątna kwadratu o boku długości   ma długość  a\sqrt{2}

          • Zadanie 13.

            Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi  \frac{a\sqrt{3}}{2}.

        • Trójkąty prostokątne

          • Zadanie 1.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 8 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

          • Zadanie 2.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

          • Zadanie 3.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  dłuższa przyprostokątna ma długość 10 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

          • Zadanie 4.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  krótsza przyprostokątna ma długość 6 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

          • Zadanie 5.

            Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 6.

            Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 7.

            Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

          • Zadanie 8.

            Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

          • Zadanie 9.

            Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|,  ma miarę . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

          • Zadanie 10.

            Oblicz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+4\sqrt{2}.

          • Zadanie 11.

            Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli |BC|=6.

        • Pole trójkąta

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 2.

            Oblicz długość odcinka
            a) CP jeżeli P_{\bigtriangleup }=60 
            b) AC jeżeli P_{\bigtriangleup }=28
            c) BC jeżeli P_{\bigtriangleup }=12

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość odcinka AD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 4.

            Oblicz długość odcinka CD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6(2+\sqrt{2})

          • Zadanie 6.

            Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 16 cm.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 4\sqrt{6}+8\sqrt{2} .

          • Zadanie 8.

            Oblicz pole trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BDC jest równe 3\sqrt{3} .

          • Zadanie 9.

            Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}  . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3}.

          • Zadanie 10.

            W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6}. Oblicz długość podstawy i wysokości tego trójkąta.

          • Zadanie 11.

            Udowodnij, że pole trójkąta równoramiennego ABC, o kącie przy podstawie 30^{0} jest równe polu trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości ramienia trójkąta ABC

      • Czworokąty

      • Wielokąty foremne

      • Sprawdź czy umiesz

    • Geometria przestrzenna

      Jeżeli potrzebujesz wsparcia w opanowaniu wiedzy z dziedziny graniastosłupów i ostrosłupów, MATEMATYKA NA TAK to właściwy adres. Figury geometryczne w przestrzeni trójwymiarowej wymagają większej liczby obliczeń, dlatego pomagamy opanować umiejętność obliczania pola powierzchni bryły oraz jej objętości. Poznasz wzory, utrwalisz je i dowiesz się jak można zastosować zdobytą wiedzę w praktyce.

    • Figury w układzie współrzędnych

      Układy współrzędnych prostokątne, skośne i krzywoliniowe to również wiedza, którą w przystępny sposób można przedstawić na konkretnych przykładach. Każdy punkt to skończony ciąg liczb rzeczywistych, a możliwe obliczenia wybiegają znacznie poza podstawowe możliwości działań wykonywanych na liczbach. Otrzymasz solidne wsparcie merytoryczne w opanowaniu materiału.

  • Szkoła średnia - PP

    • Liczby rzeczywiste

      W liczbach rzeczywistych zawierają się wszystkie liczby wymierne i niewymierne, jest to zatem obszerna dziedzina matematyki. Zgłębisz tu kolejne zagadnienia począwszy od pierwiastków, procentów, po potęgi o wykładniku rzeczywistym. Szybko i skutecznie przygotujesz się do rozwiązywania bardziej zaawansowanych zadań.

    • Język matematyki

      Ten etap to możliwość opanowania wiedzy dotyczącej zbiorów i przedziałów, a także praktycznego zastosowania wzorów skróconego mnożenia. Nauczysz się również oznaczać, obliczać wartość bezwzględną. Poznasz własności wartości bezwzględnej, jej interpretację geometryczną oraz sposoby rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną.

    • Funkcje

      Funkcja jest to takie przyporządkowanie zbioru X w zbiór Y, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Poprzez szkicowanie wykresów funkcji przejdziesz do odczytywania jej własności i przekształcania wykresów. Niezależnie od wiedzy, którą już posiadasz, utrwalisz wiadomości i poszerzysz ich zakres.

      • Sposoby opisu funkcji

        • Zadanie 1.

          Wskaż przyporządkowanie, które nie jest funkcją ( rysunki w filmie )

        • Zadanie 2.

          Dane są zbiory X=\left \{ 1, 2, 3, 4, 5 \right \} i  Y=\left \{ -2, -1, 1, 2 \right \} oraz funkcja f przedstawiona za pomocą grafu ( rysunek w filmie ) a) podaj wartości funkcji f dla argumentów parzystych  b) dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość 2 c) przedstaw funkcję f za pomocą tabelki.

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Szkicowanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru a) f(x)=x-1  b) f(x)=x^{2}  c) f(x)=\left | x \right |  d)  f(x)=\sqrt{x}   e)  f(x)=\frac{1}{x}

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
      • Dziedzina i miejsca zerowe funkcji

        • Zadanie 1.

          Podaj dziedzinę funkcji a) f(x)=\frac{2x}{3x-1}  b)  f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}  c)  f(x)=\frac{2x}{\left ( 2x+1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )}

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Odczytywanie własności funkcji z wykresu

        • Zadanie 1.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x)> 0, f(x)< 0 ( wykres funkcji w filmie )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
      • Przekształcanie wykresu funkcji

      • Funkcje - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Na wykresie przedstawiono jak zmieniała się przebyta droga w czasie wyprawy Doroty do lasu ( wykres w filmie ). Najpierw spacerowała 45 minut, potem przez 30 minut biegała, kolejne 30 minut odpoczywała, a na koniec spacerem wróciła do domu a) Jaka była średnia prędkość spaceru na początku, a jaka na końcu wyprawy?  b) O której godzinie Dorota wróciła do domu, jeśli wyruszyła o 11.50?

        • Zadanie 2.

          Rowerzysta miał do przejechania 60 km. Pierwszą połowę trasy jechał ze średnia prędkością 15 km/h. Z jaka prędkością jechał druga połowę, jeśli średnia prędkość na całej trasie wynosiła 20 km/h? Naszkicuj wykres pokazujący zależność przebytej drogi od czasu

    • Funkcja liniowa

      Jak narysować wykres funkcji liniowej, jak wyznaczyć jej miejsca zerowe, jak wyznaczyć argumenty dla których funkcja liniowa przyjmuje wartości nieujemne, kiedy jest to funkcja rosnąca, malejąca, stała – takie i inne zagadnienia wiążą się z nauczaniem w szkole średniej. Opanujesz bieżący materiał podstawy programowej, poznasz również znacznie więcej wytycznych, które pozwolą Ci samodzielnie rozwiązywać coraz to bardziej złożone zadania.

      • Wykres funkcji liniowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=3x+4 i przechodząca przez punkt P=\left ( 1,8 \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt P=\left ( 2,6 \right ) i przecina oś OY w punkcie A=\left ( 0,4 \right )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A=\left ( -3,-5 \right ) i B=\left ( 3,7 \right )

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej f, jeśli f(2)=7 i f(-1)=-2

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej , prawdziwa jest równość f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n)

        • Zadanie 6.

          Sprawdź algebraicznie, czy punkt Q=(16,9) należy do wykresu funkcji liniowej f, jeżeli do wykresu należy punkt P=(8,3) i wykres przecina oś OY w punkcie A=(0,-1)

        • Zadanie 7.

          Sprawdź , czy punkt Q należy do wykresu funkcji f(x)=-\frac{3}{2}x+b, jeśli: Q=(-4,5)  i  b^{2}+1=2b

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole zacieniowanej figury ( rysunek w zadaniu )

      • Własności funkcji liniowej

      • Funkcja liniowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Funkcja  opisuje miesięczne koszty ( w złotych) firmy produkującej krasnale ogrodowe. 1500 to koszt stały, 12 zł to koszt wyprodukowania jednego krasnala, x – liczba krasnali. Jaki był półroczny zysk firmy, jeżeli w tym czasie wyprodukowano 1800 krasnali i sprzedano je po 37 zł za sztukę?

        • Zadanie 2.

          Wynajęcie lokalu A na dyskotekę kosztuje 400 zł za salę i 10 zł za każdego uczestnika. Wynajęcie lokalu B na dyskotekę kosztuje 100 zł za salę i 15 zł za każdego uczestnika. Przy jakiej liczbie uczestników koszty te będą równe?

    • Funkcja kwadratowa

      W tym dziale poznasz postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową funkcji kwadratowej,  zagadnienia potrzebne do zrozumienia metod rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Przechodząc systematycznie przez kolejne tematy dotyczące funkcji kwadratowej utrwalisz jej własności, zrozumiesz sens ich stosowania w zadaniach praktycznych.

      • Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=-4x^{2}+8x+1 i zapisz jej postać kanoniczną

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:

          a)  f(x)=2x^{2}-4x+8  

          b)  f(x)=-3\left ( x-3 \right )^{2}-4  

          c)  f(x)=3x^{2}-5

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
        • Zadanie 7.
        • Zadanie 8.
        • Zadanie 9.
      • Równania kwadratowe

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie:

          a) x^{2}-2x=3  

          b) 2x^{2}-4x+2=0  

          c)  3x^{2}-2x+3=0  

          d)  x^{2}-4x+2=0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania:

          a) 3x^{2}-2x=0  

          b) 4x^{2}-25=0  

          c) 2x^{2}-3=0  

          d) 2x^{2}+3=0  

          e) \left ( 2x-1 \right )\left (3+4x \right )=0

      • Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

          a) y=2x^{2}-3x-2  

          b) y=4x^{2}-4x+1  

          c) y=2x^{2}-3x+2  

          d) y=2x^{2}-3x  

          e) y=2x^{2}-2

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Nierówności kwadratowe

      • Funkcja kwadratowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

          a) f(x)=2x^{2}-4x+3 w przedziale  \left \langle -1, \right 2 \rangle

          b) f(x)=-x^{2}-2x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right 2 \rangle

          c) f(x)=3x^{2}-5x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right-1\rangle

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
    • Planimetria

      Geometria płaszczyzny, zwana również planimetrią, wymaga między innymi znajomości wielokątów, opisywania okręgów na trójkącie i wpisywania ich w trójkąt. Towarzyszące temu obliczenia przedstawiamy w sposób przystępny, nawiązujący do programu szkoły średniej, pozwalający swobodnie poruszać się w tematach związanych z planimetrią.

    • Geometria analityczna

      Wiedza o figurach umieszczonych w układzie współrzędnych to to podstawy geometrii analitycznej. Zacząć możesz od prostych zadań dotyczących długości odcinka i przejść kolejno wszystkie etapy proponowane przez nas w kolejnych zadaniach. Spójność poziomu kolejnych zagadnień pozwala płynnie przejść do kwestii bardziej złożonych.

      • Długość odcinka

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość odcinka:

          a) AB, jeśli A=(-3,-1),  B=(-5,-1) 

          b) CD jeśli  C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right ), D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
      • Środek odcinka

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne środka odcinka:

          a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)

          b) CD jeśli C=\left (-\sqrt{2},-3 \right ) D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
      • Układy równań

      • Równanie prostej na płaszczyźnie

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty

          a) A=(1,3) B=(-3, -5)

          b) C=(-4,-2) D=(1,3)

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Proste równoległe

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-3 i przechodzącej przez punkt A=\left (-3,4\right )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Proste prostopadłe

      • Odległość punktu od prostej

        • Zadanie 1.

          Oblicz odległość punktu:

          a) P=\left (-1,3\right ) od prostej o równaniu  3x-4y+6=0

          b)  A=\left (2,-3\right ) od prostej o równaniu y=\frac{2}{3}x-1

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
      • Symetria osiowa i symetria środkowa

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:

          a) osi OX

          b) osi OY 

          c) punktu (0,0) 

          d) punktu (-3,5)

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Równanie okręgu

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie okręgu:

          a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3

          b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
        • Zadanie 7.
        • Zadanie 8.
    • Trygonometria

      Poznasz tu określenie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, dowiesz się jak rozszerzyć definicję funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do dowolnego kąta wypukłego, jak udowodnić i zastosować w zadaniach podstawowe wzory trygonometryczne jak np. ” jedynka trygonometryczna “. Takie pojęcia jak sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta przestaną być tajemnicą.

      • Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długości  : 2,3,\sqrt{13}

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
      • Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane długości  jego przyprostokątnych 4 cm i 10 cm.

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Funkcje trygonometryczne kątów 30, 45, 60 stopni

        • Zadanie 1.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 2.
      • Związki między funkcjami trygonometrycznymi

      • Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

        • Zadanie 1.

          Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta jeśli:

          a) P=\left ( 3,4 \right )

          b) P=\left ( -1,3 \right )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
      • Trygonometria - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Oblicz obwód prostokąta, wiedząc , że jego przekątna ma długość 15 i tworzy z jednym z boków kąt α, którego cosinus wynosi   \frac{1}{5}

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
    • Sumy algebraiczne (wielomiany)

      Zagadnienia związane z sumami algebraicznymi, działania na jednomianach, dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów, występują w wielu działach algebry i są bazą do rozwiązywania równań, nierówności oraz wykonywania złożonych działań na wyrażeniach algebraicznych. Odpowiednio skonstruowane przez nas zadania o określonym stopniu trudności, pozwolą Ci wykształcić umiejętności, które wykorzystasz w dalszym etapie edukacji

    • Funkcje wymierne

      Poznaj przykłady wyrażeń wymiernych, wykształć umiejętność działań na wyrażeniach wymiernych, wykres funkcji homograficznej i jej własności, sposoby rozwiązywania prostych równań wymiernych. Skorzystaj z naszych korepetycji video, gdzie krok po kroku opanujesz niezbędną wiedzę, którą wykorzystasz w zadaniach praktycznych.

      • Wykres i własności funkcji homograficznej

        • Zadanie 1.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{a}{x} wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt

          a) P=(-1,-2)  

          b) P=(-\frac{1}{2},2)

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
      • Działania na wyrażeniach wymiernych

      • Równania wymierne

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie:

          a)  \frac{6}{x+1}=4  

          b) \frac{2x+4}{x-1}+4=0

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równanie:

          a) \frac{4}{x}=\frac{3}{2+x}     

          b) \frac{x+1}{2x-1}-\frac{2}{x}=0  

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Wyrażenia wymierne - zastosowania

    • Funkcja wykładnicza

      Funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i nie ma miejsc zerowych. Jaki ma wzór i własności tego dowiesz się z przygotowanych przez nas zadań. Nauczysz się jak wykorzystać własności funkcji wykładniczej w prostych równaniach i nierównościach oraz w zadaniach praktycznych.

      • Wykres i własności funkcji wykładniczej

      • Równania i nierówności wykładnicze

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż  równanie:

          a) 2^{x-3}=8 

          b) \left ( \frac{2}{3} \right )^{2-x^{2}}=\frac{9}{4}   

          c)  \frac{3^{x-3}}{27}=9^{2x+2}

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
      • Funkcja wykładnicza - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Podczas doświadczenia liczba bakterii, których początkowo było 600, podwajała się w ciągu pół godziny. Uzasadnij, że funkcja y=600\cdot 4^{t} opisuje liczbę bakterii w zależności od czasu mierzonego w godzinach. Oblicz jaka będzie ilość bakterii po upływie 2,5 godziny.

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
    • Logarytmy

      Przedstawiamy definicję logarytmu, udostępniamy zadania, które utrwalają sposoby wykonywania działań na logarytmach. Logarytmy  pozwalają ustalić, do której potęgi należy podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać określoną liczbę logarytmowaną. Logarytm naturalny, dziesiętny, logarytm iloczynu, ilorazu – te i inne zagadnienia dzięki rozwiązaniom video przygotowanym przez MATEMATYKA NA TAK  przyswoisz bez trudu.

    • Ciągi

       Jeżeli potrzebujesz wiedzy z ciągów liczbowych, definicji ciągu, zagadnień związanych z ciągiem arytmetycznym, geometrycznym, a następnie utrwalenia tej wiedzy na potrzeby rozwiązywania zadań, zapoznaj się z nagraniami i przejdź do ćwiczeń.

      • Sposoby określania ciągu

      • Ciągi monotoniczne

        • Zadanie 1.

          Oblicz a_{n+1} jeżeli:
          a) a_{n}=-3n+n^{2}   b) a_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \left ( n+13 \right )

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
          zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Ciąg arytmetyczny

      • Ciąg geometryczny

      • Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Ciąg ( x, y, 12 ) jest geometryczny o wyrazach różnych od zera, natomiast ciąg ( 1, x, y-1 ) jest arytmetyczny. Oblicz x i y.

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
          zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Procent składany

        • Zadanie 1.

          Trzy banki podają różne informacje o stopie procentowania: w Banku A: oprocentowanie w skali roku wynosi 14%, w Banku B oprocentowanie w skali roku wynosi 13%, ale odsetki dopisywane są co pół roku, w Banku C oprocentowanie w skali roku wynosi 12%, ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 10000 zł.

        • Zadanie 2.

          Firma X zaciągnęła w banku kredyt w wysokości 10000 zł. Co roku bank nalicza odsetki w wysokości 10%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony jednorazowo po n latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma X będzie musiała spłacić 13310 zł ?

    • Stereometria

      Zagadnienia ze stereometrii, czyli z geometrii przestrzennej, przedstawiamy wykorzystując wiedzę z planimetrii przedstawioną już wcześniej w naszych korepetycjach video. Jeżeli zagadnienia z geometrii płaskiej nie są Ci obce, szybko opanujesz kolejne zagadnienia z geometrii przestrzennej, poznając określone prawidłowości potrzebne do obliczania pól powierzchni, objętości graniastosłupów, ostrosłupów, walców, stożków, kul i innych brył.

      • Graniastosłupy

        • Sześcian

        • Prostopadłościan

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
          • Zadanie 6.
        • Graniastosłup prawidłowy czworokątny

        • Graniastosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli cos\alpha =\frac{1}{3} i krawędź boczna ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
        • Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
        • Inne graniastosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 1200 i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
      • Ostrosłupy

        • Ostrosłup prawidłowy czworokątny

        • Ostrosłup prawidłowy trójkątny

        • Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 600. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
        • Przekroje ostrosłupów

          • Zadanie 1.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy. Pole przekroju jest równe 36 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
        • Inne ostrosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS.

          • Zadanie 2.

            Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
            zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

          • Zadanie 3.
          • Zadanie 4.
          • Zadanie 5.
      • Walec

      • Stożek

      • Kula

        • Zadanie 1.

          a) Pole powierzchni kuli jest równe 144\pi cm2. Oblicz objętość tej kuli. b) Objętość kuli jest równe 36\pi cm3. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

        • Zadanie 2.

          Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o środku oddalonym od środka kuli o 7 cm. Oblicz pole tego koła.

        • Zadanie 3.

          Dane są dwie kule o promieniach 3 cm i 5 cm oraz wspólnym środku. Oblicz pole przekroju utworzonego przez przecięcie większej kuli płaszczyzną styczną do mniejszej

      • Bryły podobne

        • Zadanie 1.

          Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36\pi cm3, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Oblicz objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek ich pół powierzchni ?

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu,
          zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
    • Rachunek prawdopodobieństwa

      Obliczenia prawdopodobieństwa zaistnienia określonych zdarzeń pozwalają odpowiedzieć na proste pytania typu: jaka jest szansa, że dziś jest wtorek?, po bardziej zaawansowane, obejmujące szeroko pojęte zdarzenia losowe. Poznasz określenie zdarzenia losowego, definicję klasyczną prawdopodobieństwa, własności prawdopodobieństwa. Przygotowane przez nas zadania pozwolą Ci w przyszłości rozwikłać proste zagadnienia kombinatoryczne, zgodne z programem nauczania matematyki w szkole średniej.

      • Reguła mnożenia

        • Zadanie 1.

          Niech zbiór A będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10, zbiór B- zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 20.
          Ile jest par \left ( x,y \right ) takich, że x\in A i x\in B ?

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Permutacje

        • Zadanie 1.

          Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki?

        • Zadanie 2.

          Ile jest wszystkich permutacji zbioru 4 – elementowego. Wyznacz wszystkie permutacje zbioru: \left \{ 1,3,5,7 \right \}

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
        • Zadanie 7.
      • Wariacje bez powtórzeń

        • Zadanie 1.

          Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których mogą występować litery: A, B, C, D, E, F, G, H i żadna liczba się nie powtarza?

        • Zadanie 2.

          Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Wariacje z powtórzeniami

        • Zadanie 1.

          Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych zaczynających się od 12.

        • Zadanie 2.

          Do 3 szuflad wrzucamy 9 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Kombinacje

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}  b) \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} c) \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}  d) \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} e) \begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}  f) \begin{pmatrix} 15\\12 \end{pmatrix}

        • Zadanie 2.

          Na ile sposobów można wybrać spośród 8 osób trzyosobową delegację?

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
        • Zadanie 7.
      • Kombinatoryka - zadania

      • Zdarzenia losowe

        • Zadanie 1.

          Rzucamy raz kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadła parzysta liczba oczek, B – wypadła liczba oczek większa od 8, C – wypadła liczba oczek mniejsza od 7.

        • Zadanie 2.

          Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – suma otrzymanych oczek jest mniejsza od 4, B – iloczyn otrzymanych oczek jest podzielny przez 10.

        • Zadanie 3.

          Rzucamy trzy razy monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadły co najwyżej dwie reszki i A’ ( zdarzenie przeciwne do A )

        • Zadanie 4.

          Rzucamy dwa razy kostką czworościenną. Rozpatrzmy zdarzenia A – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej, B – wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta. Wyznacz zdarzenia C- pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej i wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta, D – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej lub wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta.

      • Prawdopodobieństwo klasyczne

      • Własności prawdopodobieństwa

    • Statystyka

      Umiejętnie opracowane i rozwiązane w formie filmów video zadania,  powalą osobom korzystającym z platformy MATEMATYKA NA TAK  sprawnie wyliczać średnią arytmetyczną, medianę, dominantę oraz inne wartości, które dotychczas stanowiły dla Ciebie zagadkę. Powyższe wielkości statystyczne są częścią naszej codzienności, znajomość pojęć, ich rozumienie, umiejętność interpretowania danych na podstawie obliczeń, są bardzo przydatne we współczesnym, analitycznym świecie.

      • Średnia arytmetyczna

        • Zadanie 1.

          Średnia arytmetyczna liczb: x1, x2, . . . , x8 jest równa 16, a średnia arytmetyczna liczb:  x2, . . . , x8 jest równa 17. Oblicz x1.

        • Zadanie 2.

          Średnia arytmetyczna liczb: x1, x2, . . . , x7 jest równa 120, a średnia arytmetyczna liczb:  x2, x4, x6 jest równa 100. Oblicz średnia arytmetyczną liczb: x1, x3, x5, x7.

        • Zadanie 3.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.
      • Mediana i dominanta

        • Zadanie 1.

          Wyznacz medianę i dominantę danych liczb a) 1, 2, 3 ,100, 1000  b) 7, 7, 8, 11, 20 c) 1, 1, 2, 3, 3 d) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2

        • Zadanie 2.

          Nauczyciel zrobił zestawienie wyników trzech sprawdzianów przeprowadzonych w dwudziestoosobowej klasie ( tabela poniżej ). Po kolejnym sprawdzianie dopisał do niego nowe oceny. Wyznacz medianę i dominantę ocen w nowym zestawieniu, jeśli z tego sprawdzianu połowa uczniów otrzymała ocenę bardzo dobrą, a pozostali ocenę niedostateczną

      • Średnia ważona

        • Zadanie 1.

          Oblicz średnią ważoną liczb z podanymi wagami ( tabela poniżej )

        • Zadanie 2.

          Ocena semestralna z matematyki jest średnią ważoną ocen z wagami podanymi w tabeli poniżej. Tomek otrzymał następujące oceny: – prace domowe: 1, 1, 1 – kartkówki: 3, 1, 2, – klasówki: 3, 6, 6. Dla jakiej wartości n średnia ważona tych ocen jest równa 4 ?

      • Wariancja i odchylenie standardowe

        • Zadanie 1.

          Oblicz wariancję i odchylenie standardowe danych a) 4, 9, 11, 13, 13  b) 3, 6, 6, 6, 9

        • Zadanie 2.

          W pewnej firmie badano staż pracy pracowników ( dane w tabeli poniżej ). Oblicz średni staż pracy pracowników tej firmy oraz wariancję i odchylenie standardowe.  

    • Dowody

      Matematyka to szereg twierdzeń, do których potrzebne są dowody. Tezy oparte na dowodach są wiarygodne i rzetelne, a w algebrze oraz geometrii istnieje wiele zagadnień, które zostały odpowiednio potwierdzone. Zapis dowodu wymaga odpowiedniego matematycznego języka, odpowiedniej struktury zapisu. Najlepszą formą nauczenia się zadań na dowodzenie jest analiza istniejących dowodów, szukanie analogii w zadaniach strukturalnie podobnych. Trzymaj się zasady: im więcej zadań na dowodzenie, tym Twój matematyczny świat będzie bogatszy. Dzięki przygotowanym przez nas rozwiązaniom video poznasz dowody w algebrze i geometrii, mniej lub bardziej złożone. Zapraszamy do nauki z MATEMATYKA NA TAK.