fbpx

  • Dowody

    Matematyka to szereg twierdzeń, do których potrzebne są dowody. Tezy oparte na dowodach są wiarygodne i rzetelne, a w algebrze oraz geometrii istnieje wiele zagadnień, które zostały odpowiednio potwierdzone. Zapis dowodu wymaga odpowiedniego matematycznego języka, odpowiedniej struktury zapisu. Najlepszą formą nauczenia się zadań na dowodzenie jest analiza istniejących dowodów, szukanie analogii w zadaniach strukturalnie podobnych. Trzymaj się zasady: im więcej zadań na dowodzenie, tym Twój matematyczny świat będzie bogatszy. Dzięki przygotowanym przez nas rozwiązaniom video poznasz dowody w algebrze i geometrii, mniej lub bardziej złożone. Zapraszamy do nauki z MATEMATYKA NA TAK.

    • Dowody w algebrze

      • Zadanie 1.

        Uzasadnij, że liczba n3 – n dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

      • Zadanie 2.

        Uzasadnij, że liczba n2·(n2 – 1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 12.

      • Zadanie 3.

        Uzasadnij, że liczba n(n4-1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

      • Zadanie 4.

        Uzasadnij, że liczba n6-2n4+n2 dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 36.

      • Zadanie 5.

        Uzasadnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.

      • Zadanie 6.

        Uzasadnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

      • Zadanie 7.

        Uzasadnij, że liczba 777 – 6·776 + 12·775 jest podzielna przez 19.

      • Zadanie 8.

        Uzasadnij, że liczba 178 – 68 jest podzielna przez 11 i przez 23, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

      • Zadanie 9.

        Reszta z dzielenia liczby naturalnej n przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby n2 przez 6 jest równa 1.

      • Zadanie 10.

        Reszta z dzielenia każdej z liczb naturalnych: n1, n2, n3 przez 6 jest równa 4. Uzasadnij, że suma kwadratów tych liczb jest podzielna przez 12.

      • Zadanie 11.

        Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 9.

      • Zadanie 12.

        Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że suma sześcianów tych liczb jest podzielna przez 27.

      • Zadanie 13.

        Dane są trzy liczby naturalne takie, że reszta z dzielenia każdej z nich przez 3 jest równa 2. Uzasadnij, że suma tych liczb jest podzielna przez 3.

      • Zadanie 14.

        Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba 3n+1 + 3n + 3n-1 jest podzielna przez 13.

      • Zadanie 15.

        Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4} jest całkowita.

      • Zadanie 16.

        Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 3, to reszta z dzielenia liczby n2 przez 3 jest równa 1.

      • Zadanie 17.

        Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba n2+2 nie jest podzielna przez 4.

      • Zadanie 18.

        Uzasadnij, że nierówność a2 + b2 ≥ 2ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R

      • Zadanie 19.

        Uzasadnij, że nierówność a2 ≥ 4b(a – b) jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R

      • Zadanie 20.

        Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a\, \, i\, \, b prawdziwa jest nierówność \frac{(a+b)^{2}}{ab}\geq 4

      • Zadanie 21.

        Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność  \frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}

      • Zadanie 22.

        Uzasadnij, że jeśli (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bc)2 to ad =bc

      • Zadanie 23.

        Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7 to a4 + b4 = 31 

      • Zadanie 24.

        Uzasadnij, że jeżeli a\neq b,a\neq c,b\neq c\, \, i\, \, a+b=2c\, \, to\, \, \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2

      • Zadanie 25.

        Uzasadnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a,b prawdziwa  jest nierówność \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} ( średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

      • Zadanie 26.

        Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b takich, że a+b=\frac{1}{2} prawdziwa  jest nierówność ab\leq \frac{1}{16}  ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

      • Zadanie 27.

        Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 4 prawdziwa  jest nierówność a + b ≥ 4 ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

      • Zadanie 28.

        Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 16 prawdziwa  jest nierówność (1 + a)(1 + b) ≥ 25 (skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej).

      • Zadanie 29.

        Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b takich, że a ≥ b > 0 prawdziwa  jest nierówność b2(1 + a) ≤ a2(b + 1).

      • Zadanie 30.

        Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek a2 + ab + b2 ≥ 0.

      • Zadanie 31.

        Wykaż, że jeśli a,b,c są liczbami dodatnimi i  a< b  to  \frac{a+c}{b+c}> \frac{a}{b}

      • Zadanie 32.

        Wykaż, że jeśli a,b,c są różnymi od zera liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek a+b+c=0 to prawdziwa jest równość \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0

      • Zadanie 33.

        Wykaż, że jeśli a, b, c spełniają warunek a2 + b2 + c2 = ab + ac +bc  to  a = b.

    • Dowody w geometrii

      • Zadanie 1.

        Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

      • Zadanie 2.

        Udowodnij, że wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do długości boków na które je opuszczono.

      • Zadanie 3.

        Udowodnij, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków ( rysunek w filmie )

      • Zadanie 4.

        W trójkącie prostokątnym ACB wysokość CD opuszczona z wierzchołka kąta prostego C, podzieliła przeciwprostokątną na odcinki AD i BD. Wykaż, że:
        a) \left | CD \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | BD \right |} 
        b) \left | AC \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | AB \right |}

      • Zadanie 5.

        Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt P tak, że \left | \sphericalangle CAP \right |=\left | \sphericalangle CBD \right |. Uzasadnij, że ∆APL∼∆BPK oraz ∆APB∼∆KLP  gdzie punkty K i L są punktami przecięcia się prostych AP i BP odpowiednio z bokami BC i AC.

      • Zadanie 6.

        W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na połowy połączono z wierzchołkami C i D. Udowodnij, że kąt CMD jest prosty.

      • Zadanie 7.

        Punkt P należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ostrokątnego ABC. Udowodnij, ze suma odległości punktu P od ramion trójkąta jest równa jednej z wysokości tego trójkąta.

      • Zadanie 8.

        Niech P będzie dowolnym punktem należącym do wnętrza równoległoboku ABCD. Udowodnij, że suma pól trójkątów PAB i PCD jest równa sumie pól trójkątów PBC i PDA.

      • Zadanie 9.

        Wykaż, że dla dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta suma odległości od wierzchołków trójkąta jest większa niż połowa jego obwodu.

      • Zadanie 10.

        Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ACB obrano punkty D i E takie, że |AD = |AC| oraz |BE| = |BC|. Wykaż, że \left | \sphericalangle DCE \right |=45^{0}.

      • Zadanie 11.

        Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Punkt E leży na boku BC oraz |EC|=|CD| i |EB|=|BC|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

      • Zadanie 12.

        Na przekątnej AC równoległoboku ABCD obrano dowolny punkt K. Wykaż, że trójkąty ABK i ADK mają równe pola.