• Szkoła średnia - PP
  • Szkoła średnia - PP

    • Liczby rzeczywiste

      W liczbach rzeczywistych zawierają się wszystkie liczby wymierne i niewymierne, jest to zatem obszerna dziedzina matematyki. Zgłębisz tu kolejne zagadnienia począwszy od pierwiastków, procentów, po potęgi o wykładniku rzeczywistym. Szybko i skutecznie przygotujesz się do rozwiązywania bardziej zaawansowanych zadań.

      • Potęga o wykładniku rzeczywistym

        • Zadanie 1.

          Oblicz:

          a) \frac{2^{3}\cdot 4^{-2}}{2^{-6}} 

          b) \frac{10^{-2}\cdot}{5^{-6}\cdot25^{2} } 

          c)  \frac{6^{4}\cdot9^{-4} }{4^{2}\cdot 12^{-1}} 

          d)  \frac{16^{-2}\cdot 123^{-3}}{10^{-4}\cdot 25^{-2}}

        • Zadanie 2.

          Oblicz
          a) 25^{\frac{3}{2}}\cdot 125^{-\frac{1}{3}}  
          b) 64^{-\frac{1}{2}}\cdot 8^{\frac{5}{3}}  
          c) 0,001^{-\frac{1}{3}}\cdot 0,09^{\frac{1}{2}}

        • Zadanie 3.

          Oblicz:

          a) 5^{\frac{5}{6}}\cdot \sqrt{5}\cdot 5^{-\frac{4}{3}} 

          b) \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}\cdot 2^{\frac{7}{6}}

          c) \sqrt[3]{100}\cdot 5^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{4}{3}}

        • Zadanie 4.

          Zapisz liczbę w postaci potęgi a^{x}, gdzie a\in N

          a) \sqrt[4]{3\sqrt{3}}

          b) \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}

          c) \sqrt[9]{27\sqrt[3]{9\sqrt{3}}}

        • Zadanie 5.

          Oblicz:

          a) \left [ 4\cdot \left ( 0,5 \right )^{\sqrt{3}} \right ]^{2+\sqrt{3}}    

          b) \frac{\sqrt{5}^{\sqrt{5}}\cdot 5^{\sqrt{5}+1}}{125^{\frac{\sqrt{5}}{2}-1}}

        • Zadanie 6.

          Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:

          \frac{1}{\sqrt{8}},(\sqrt{2})^{-\frac{3}{2}},\frac{1}{2},16^{-\frac{1}{3}}

        • Zadanie 7.

          Wyznacz liczbę, której 80% wynosi:

           2^{3+2\sqrt{3}}:4^{\sqrt{3}}

        • Zadanie 8.

          O ile % większa z liczb a=\left ( \frac{1}{9} \right )^{2}\cdot \frac{81^{3}}{27^{2}}  i  b=\frac{\left [ 16^{3}\cdot \left ( 0,25 \right )^{5} \right ]^{4}}{(0,5)^{-5}}  jest większa od mniejszej z nich ?

        • Zadanie 9.

          Oblicz: 

          a) \frac{2\cdot 5^{16}-9\cdot 5^{15}}{25^{7}}  

          b) \frac{10\cdot 4^{30}+3\cdot 2^{61}}{8^{21}}

        • Zadanie 10.

          Zapisz liczbę k w postaci 2^{m}, gdzie m\in N , jeżeli k=2^{340}+2^{340}+2^{340}+2^{340}

        • Zadanie 11.

          Która z liczb jest większa? 

          a) 17^{24} czy 2^{96}  

          b) 2^{57} czy 3^{38} 

          c) 2^{100} czy 10^{30}

        • Zadanie 12.

          Wykaż, że jeżeli A=3^{2+4\sqrt{2}} i B=3^{3+2\sqrt{2}} , to B=9\sqrt{A}

        • Zadanie 13.

          Wykaż, że liczba 3^{54} jest rozwiązaniem równania 243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}

        • Zadanie 14.

          Wykaż, że liczba 2^{47}+4^{24}+8^{15} jest podzielna przez 13

        • Zadanie 15.

          Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 4^{n}+9^{n}+\frac{1}{3}\cdot 6^{n+1} jest kwadratem liczby całkowitej.

        • Zadanie 16.

          Zapisz liczbę w notacji wykładniczej
          a) 4345730
          b) 0,00301
          c) 0, 000 000 000 000 000 000 029 9

        • Zadanie 17.

          Oblicz:
          a) (3,4\cdot 10^{7})\cdot (4\cdot 10^{-5})
          b) (3,2\cdot 10^{-34})\cdot (0,08\cdot 10^{-5})

        • Zadanie 18.

          Oblicz  \frac{(4,8\cdot 10^{18})\cdot (1,8\cdot 10^{-10})}{(6\cdot 10^{-8})\cdot (1,2\cdot 10^{16})}

      • Pierwiastki

        • Zadanie 1.

          Wyłącz czynnik przed pierwiastek a)  \sqrt{18}   b)  \sqrt{48}  c)  \sqrt{108}

        • Zadanie 2.

          Doprowadź do postaci a\sqrt{2} jeśli:
          a) \sqrt{200}-\sqrt{50} 
          b) \sqrt{800}+\sqrt{242}-\sqrt{162}

        • Zadanie 3.

          Doprowadź do postaci a\sqrt{b}  jeśli:
          a) \sqrt{45}-\sqrt{125}  
          b) 3\sqrt{20}-\frac{1}{3}\sqrt{45}-5\sqrt{180}

        • Zadanie 4.

          Usuń niewymierność z mianownika
          a) \frac{2}{\sqrt{5}}  b) \frac{5}{3\sqrt{10}}  c) \frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}

        • Zadanie 5.

          Oblicz a) \sqrt{18}\cdot \sqrt{50}  b) \sqrt{32}\cdot \sqrt{8}

        • Zadanie 6.

          Oblicz:
          a) \sqrt[3]{\frac{8}{125}} b) \sqrt[5]{32}  

          c) \sqrt[8]{32}\cdot \sqrt[8]{8}-\sqrt[10]{1024}+\sqrt[5]{1024}

        • Zadanie 7.

          Wyłącz czynnik przed pierwiastek
          a) \sqrt[3]{32}  b) \sqrt[3]{375}  c) \sqrt[3]{108}

        • Zadanie 8.

          Usuń niewymierność  z mianownika
          a) \frac{2}{\sqrt[3]{4}}  b) \frac{1}{\sqrt[7]{8}}

        • Zadanie 9.

          Wykonaj działania
          a) (3-\sqrt{7})(2+2\sqrt{2})  
          b) (\sqrt{6}-2\sqrt{2})(2\sqrt{6}+6\sqrt{3})

        • Zadanie 10.

          Wykonaj działanie \sqrt[3]{1\frac{4}{5}}:\sqrt[3]{8\frac{1}{3}} , następnie zaokrąglij wynik do całości.

        • Zadanie 11.

          Wyznacz liczbę przeciwną do liczby:
           \frac{\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{\sqrt{4+2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2\sqrt{5}}}

        • Zadanie 12.

          Oblicz
          a) \sqrt[6]{\frac{32}{3}}\cdot \sqrt[6]{6}-\sqrt[4]{\frac{4}{9}}\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{36}}+\sqrt{\frac{242}{27}}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}  

          b) \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{24})}{\sqrt{3}}

        • Zadanie 13.

          Oblicz
          a) \sqrt[5]{-32}   b) \sqrt[3]{-\frac{125}{64}}  

          c) \frac{\sqrt[3]{-9}\cdot \sqrt[3]{-9}}{\sqrt[3]{-3}}-\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{-3}}

           

      • Procenty

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) 6\%  liczby 400   b)  0,5\%  liczby  24

        • Zadanie 2.

          Oblicz jakim procentem liczby 10 jest liczba 16.

        • Zadanie 3.

          Za jedną akcję firmy X tydzień temu trzeba było zapłacić 25 zł, a dziś o 2,45 zł więcej. O ile procent podrożały akcje ?

        • Zadanie 4.

          Oblicz liczbę , której 6% wynosi 40

        • Zadanie 5.

          Cena pewnego towaru przed obniżką wynosi x. Obecna cena stanowi 85% ceny początkowej i wynosi 272 zł. Oblicz x.

        • Zadanie 6.

          Wyznacz a)  liczbę o 2% większą od 1600  b)  o 75% mniejszą od 3

        • Zadanie 7.

          Cena telewizora na początku to 1200 zł. Jak byłaby cena tego telewizora, gdyby najpierw podniesiona ją o 10%, a następnie obniżono o 10%.

        • Zadanie 8.

          Cenę sukienki obniżono o 60%. O ile % należałoby podnieść nową cenę, aby sukienka kosztowała tyle samo co przed obniżką?

        • Zadanie 9.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę brutto komputera, jeśli cena netto wynosi 2200 zł. Ile procent ceny brutto stanowi podatek VAT?

        • Zadanie 10.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę netto, jeśli cena brutto komputera wynosi 3198 zł. Ile procent ceny brutto stanowi cena netto?

        • Zadanie 11.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Podatek VAT doliczony do ceny netto komputera wynosi 483 zł. Jak jest cena brutto tego komputera? Ile byłaby równa cena brutto tego komputera, gdyby jego cena netto została podniesiona o 100 zł?

        • Zadanie 12.

          Liczba członków pewnego klubu wzrastała przez ostatnie trzy lata o 20% rocznie. Ilu członków liczył ten klub trzy lata temu, jeśli rok temu należało do niego 216 osób.

        • Zadanie 13.

          Według sondażu w lutym poparcie dla  partii X wynosiło 16%, a w marcu 20%.
          a) O ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii X
          b) O ile procent wzrosła liczba osób popierających partię X

        • Zadanie 14.

          W pewnym banku o procentowanie lokaty wynosiło 5,4%, by następnie spaść do 4,2%.
          a) O ile punktów procentowych spadło oprocentowanie
          b) O ile procent zmalało oprocentowanie lokaty w tym banku.

        • Zadanie 15.

          Tomek złożył w banku 7500 zł na lokatę roczną oprocentowana 4% w skali roku. Oblicz, jaką kwotę odbierze po roku, jeśli od odsetek jest pobierany podatek w wysokości 20%.

        • Zadanie 16.

          Ewa  złożyła do banku pewną kwotę K na roczną lokatę oprocentowaną 4% w skali roku. Od dopisanych odsetek został pobrany podatek w wysokości 20%. Jaką kwotę wpłaciła Ewa, jeśli po roku odebrała z banku 2580 zł.

    • Język matematyki

      Ten etap to możliwość opanowania wiedzy dotyczącej zbiorów i przedziałów, a także praktycznego zastosowania wzorów skróconego mnożenia. Nauczysz się również oznaczać, obliczać wartość bezwzględną. Poznasz własności wartości bezwzględnej, jej interpretację geometryczną oraz sposoby rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną.

      • Zbiory

        • Zadanie 1.

          Czy zbiory A i B są równe jeśli : a)  A=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 27 \right \}  i  B=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 30 \right \}  b) A=\left \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \right \}  i  B=\left \{ x\in C:x^{2}\leq 9 \right \}

        • Zadanie 2.

          Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli:
          a) A=\left \{ 1,3,5,7,11 \right \},B=\left \{ 0,1,2,3,4,7,10 \right \}
          b) A=\left \{ x\in N:1\leq x< 8 \right \},B=\left \{ x\in N:1< x\leq 16 \right \}

        • Zadanie 3.

          Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli zbiór A jest zbiorem spółgłosek słowa arytmetyka, zbiór B zbiorem spółgłosek w słowie geometria, zbiór C zbiorem spółgłosek w słowie algebra

      • Przedziały

        • Zadanie 1.

          Wyznacz zbiór A\cup B  jeśli:
          a)  A=\left \langle -2, \right 3\rangle  B=\left (0,\right6)
          b)  A=\left (-\infty \displaystyle,3\ \right \rangle    B=\left (-4 \displaystyle,1\ \right \rangle
          c)  A=\left ( -3,\right2 )  B=\left \langle2, \right 3)

           

        • Zadanie 2.

          Wyznacz zbiór A\cap B jeżeli:
          a) A=\left \langle -2,3 \right \rangle,B=\left ( 0,6 \right )  
          b) A=(-\infty ,5\rangle,B=(-4,1\rangle 
          c) A=\left ( -3,-2 \right ),B=\left \langle 2,5)
          d) A=(-3,2\rangle,B=\left \langle 2,5)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz zbiory A\setminus B,B\setminus A  jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,5 \right )  
          b)A=(-\infty ,6 \rangle,B=(-3,1\rangle 
          c) A=(-3,2 \rangle,B=\left \langle 2,5) 

        • Zadanie 4.

          Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,4 \right )\cup \left ( 6,\infty \right )  
          b) A=\left ( -\infty ,-2\rangle\cup \left \langle 1,7),B=\left ( -3,1\rangle 

        • Zadanie 5.

          Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,0\cup \left \{ 3 \right \} \right \rangle,B=\left \langle 3,5 \right \rangle
          b) A=\left \langle 3,\infty),B=\left \{ 2,3,4 \right \} 

        • Zadanie 6.

          Ile elementów należy do zbioru X jeśli:
          a) X=\left ( -\pi ,\pi \right )\cap N 
          b) X=(-3,4\rangle\cap C 
          c) X=\left [ \left ( -3,4)\setminus \left \langle 1,5 \right \rangle \right ) \right ]\cap C

        • Zadanie 7.

          Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cap B^{'}  jeżeli:
          A=\left ( -3,0 \right ),B=\left \langle 1,3 \right \rangle

        • Zadanie 8.

          Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cup B^{'}  jeżeli:
          A=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,5 \right ),B=\left ( -5,-1 \right )

      • Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

        • Zadanie 1.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia a) \left ( 3x+4 \right )^{2}  b)  \left (2x^{2}-3 \right )^{2}  c) \left ( 2-3x^{2} \right )\cdot \left ( 2+3x^{2} \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
          a) \left ( -3x+4 \right )^{2}  
          b) \left ( -2x^{2}-3 \right )^{2} 
          c)  \left ( 2-3x^{2} \right )\left ( 3x^{2}+2 \right )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
          a) \left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )  
          b) \left ( 2x+1 \right )\left ( 4x^{2}+1 \right )\left ( 1-2x \right ) 
          c) \left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}

        • Zadanie 4.

          Wykonaj działania, odpowiedź podaj w najprostszej postaci
          a) \left ( 2x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( 2x+\frac{1}{2} \right )^{2} 
          b) \left ( x^{3}-3x \right )^{2}-\left ( x^{3}-3x^{2} \right )^{2}-\left ( x^{3}-1 \right )\left ( x^{3}+1 \right )

        • Zadanie 5.

          Wyznacz iloczyn
          a) \left ( 2x-3 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )^{2} 
          b) \left ( 2x^{3}+x^{2} \right )^{2}\left ( x^{2}-2x^{3} \right )^{2}

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij równość
          a) \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right ) 
          b) \left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2}=4xy

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość wyrażenia  
           \left ( x-3 \right )^{2}+\left ( 2x+1 \right )^{2}+5\left ( x+1 \right )\left ( 1-x \right ) 

          dla  x=\frac{15-\sqrt{2}}{2}

        • Zadanie 8.

          Oblicz 
          a) \left ( 2\sqrt{5}-\sqrt{10} \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{5}+1 \right )\left ( 1-2\sqrt{5} \right )

          b) \sqrt{4-2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}}

        • Zadanie 9.

          Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych:
          a=8+\sqrt{2},b=4-2\sqrt{2}

        • Zadanie 10.

          Oblicz
          a) \left ( \sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}} \right )^{2}  
          b) \left ( \sqrt{2+\sqrt{5}} +\sqrt{-2+\sqrt{5}}\right)^{2}

        • Zadanie 11.

          Wyprowadź wzór
          a) \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac 
          b) \left ( a-b-c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ac
          stosując wzory skróconego mnożenia.

        • Zadanie 12.

          Usuń niewymierność z mianownika
          a) \frac{1}{6+\sqrt{2}}    

          b) \frac{2}{4-3\sqrt{2}} 

          c) \frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3+2}} 

        • Zadanie 13.

          Usuń niewymierność z mianownika 

          \frac{1}{-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}

        • Zadanie 14.

          Oblicz

          \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}

        • Zadanie 15.

          Oblicz a) \left ( 2x+3 \right )^{3}   b) \left ( 1-3x \right )^{3}

        • Zadanie 16.

          Zapisz w postaci sumy algebraicznej
          a) \left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right ) 
          b)\left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x^{2}+1 \right ) 
          c) \left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+4 \right )

        • Zadanie 17.

          Usuń niewymierność z mianownika

          a) \frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}  b) \frac{5}{2-\sqrt[3]{3}}

        • Zadanie 18.

          Wyznacz x, podaj wynik usuwając niewymierność w mianowniku, jeżeli:
          2x-\sqrt{3}=x\sqrt{2}-3

      • Wartość bezwzględna

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) \left | 2 \right |  b) \left | \frac{-1}{2} \right |  c) \left | -1+\sqrt{3} \right |  d) \left | 2\sqrt{2} -5\right |  e) \sqrt{\left ( \sqrt{3}-2 \right )^{2}}  f)  \sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )^{2}}

        • Zadanie 2.

          Wykaż, że:
          \sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}=2

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że:
          \sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}=1

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równanie
          a) \left | x-2 \right |=4 
          b) \left | x+3 \right |=2 
          c)  \left | x-3 \right |=0
          d) \left | x+5 \right |=-2

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność
          a) \left | x-2 \right |< 4 
          b) \left | x+3 \right |\leq 2 
          c) \left | x-3 \right |< -4

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż nierówność
          a) \left | x+2 \right |> 4  
          b) \left | x-2 \right |\geq 5 
          c)  \left | x-1 \right |> -4

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż nierówność
          \left | x+1 \right |\geq \sqrt{\left ( 3-2\sqrt{3} \right )^{2}}-\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-2 \right )^{2}}

        • Zadanie 8.

          Uprość wyrażenie dla x< 0 
          a) \sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}-\sqrt{x^{2}}
          b) \sqrt{x^{2}-4x+4}+x

        • Zadanie 9.

          Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości x
          a) \left | -x \right |+\left | 2-x \right |-\left | 3-2x \right | dla x\geq 2 
          b) \sqrt{x^{2}+6x+9}+\left | -x \right |-\left | -2x-6 \right | dla x\leq -3

        • Zadanie 10.

          Jakie liczby x spełniają równanie
          a) \left | x-3 \right |=x-3  
          b) \left | x+\sqrt{2} \right |=-x-\sqrt{2}

    • Funkcje

      Funkcja jest to takie przyporządkowanie zbioru X w zbiór Y, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Poprzez szkicowanie wykresów funkcji przejdziesz do odczytywania jej własności i przekształcania wykresów. Niezależnie od wiedzy, którą już posiadasz, utrwalisz wiadomości i poszerzysz ich zakres.

      • Sposoby opisu funkcji

        • Zadanie 1.

          Wskaż przyporządkowanie, które nie jest funkcją ( rysunki w filmie )

        • Zadanie 2.

          Dane są zbiory X=\left \{ 1, 2, 3, 4, 5 \right \} i  Y=\left \{ -2, -1, 1, 2 \right \} oraz funkcja f przedstawiona za pomocą grafu ( rysunek w filmie ) a) podaj wartości funkcji f dla argumentów parzystych  b) dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość 2 c) przedstaw funkcję f za pomocą tabelki.

        • Zadanie 3.

          Sporządź tabelę, graf i wykres funkcji f:\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}\rightarrow C , jeśli:
           f(x)=0 dla x parzystych i f(x)=\frac{1}{2}\left ( x-3 \right ) dla x nieparzystych.

        • Zadanie 4.

          Dana jest funkcja f:N\rightarrow N taka, że f(x) jest resztą z dzielenia x przez k.
          Naszkicuj wykres tej funkcji oraz oblicz f(103) jeśli k=3.

        • Zadanie 5.

          Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie dwucyfrowej iloczyn jej cyfr
          a) jaka jest najmniejsza, a jaka największa wartość funkcji f?
          b) dla ilu argumentów funkcja f przyjmuje wartość 16?

      • Szkicowanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru a) f(x)=x-1  b) f(x)=x^{2}  c) f(x)=\left | x \right |  d)  f(x)=\sqrt{x}   e)  f(x)=\frac{1}{x}

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru
          a) f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x< 2\\ -x+3\, \, dla\, \, x\geq 2\end{matrix}\right.   

          b) f(x)=\left\{\begin{matrix} \left |x \right | \, \, \, \, dla\, \, x< 1\\ \sqrt{x}\, \, dla\, \, x\geq 1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru
          a) f(x)=\frac{x}{x}  b) f(x)=\frac{x}{\left | x \right |}

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji fokreślonej za pomocą wzoru
          a) f(x)=x^{2}-5 dla x\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}  
          b) f(x)=x^{2}-5 dla x\in \left \langle -1,4 \right \rangle

      • Dziedzina i miejsca zerowe funkcji

        • Zadanie 1.

          Podaj dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\frac{2x}{3x-1}

          b)  f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}

          c)  f(x)=\frac{2x}{\left ( 2x+1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )}

        • Zadanie 2.

          Podaj dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\sqrt{3x-1} 

          b)f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{2x+3}} 


          c) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-2x}}

        • Zadanie 3.

          Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji
          a) f(x)=\frac{x^{2}-4}{2x-4}  

          b) f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-1}} 

          c) f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji
          a) f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+2}}  b) f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^{2}-4}

        • Zadanie 5.

          Wyznacz dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\frac{\sqrt{x+6}}{\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{3-x}} 

          b) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\left | 2x+1 \right |\cdot \sqrt{-x}}

      • Odczytywanie własności funkcji z wykresu

        • Zadanie 1.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x)> 0, f(x)< 0 ( wykres funkcji w filmie )

        • Zadanie 2.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x)> 0,f(x)< 0 ( wykres funkcji w filmie )

        • Zadanie 3.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x)> 0,f(x)< 0 ( wykres funkcji w filmie )

      • Przekształcanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x) ( wykres w filmie ) .
          Sporządź wykresy funkcji:
          a) g(x)=f(x-2)
          b)  g(x)=f(x)-2

        • Zadanie 2.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x) ( wykres w filmie ).
          Sporządź wykresy funkcji:

          a) g(x)=f\left ( x+2 \right )-3 
          b) h(x)=f\left ( x-2 \right )+3

        • Zadanie 3.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x) ( wykres w filmie ).
          Sporządź wykresy funkcji:
          a) g(x)=-f(x) 
          b) h(x)=f(-x) 

        • Zadanie 4.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x) (wykres w filmie ).
          Sporządź wykres funkcji  g(x)=-f(-x) .
          Odczytaj z wykresu dziedzinę funkcji g.

        • Zadanie 5.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x) ( wykres w filmie .
          Sporządź wykres funkcji g(x)=\left | f(x) \right | 
          Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji g.

        • Zadanie 6.

          Dany jest wykres funkcji y=f(x).
          Sporządź wykres funkcji g(x)=-f(x-3)+2 .
          Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji g.

        • Zadanie 7.

          Funkcja fopisana jest wzorem f(x)=2x^{2}-3 .
          Wyznacz wzór funkcji:
          a) g(x)=f(x-3)+2  
          b) h(x)=f(-x)+3
          c) z(x)=-f(x+1)-2

        • Zadanie 8.

          Funkcjafopisana jest wzorem f(x)=2x^{2}-3x . Wyznacz wzór funkcji g, której wykres powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcjifo 3 jednostki w lewo i cztery jednostki do dołu, a następnie symetrycznie odbity względem osi OX.

      • Funkcje - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Na wykresie przedstawiono jak zmieniała się przebyta droga w czasie wyprawy Doroty do lasu ( wykres w filmie ). Najpierw spacerowała 45 minut, potem przez 30 minut biegała, kolejne 30 minut odpoczywała, a na koniec spacerem wróciła do domu a) Jaka była średnia prędkość spaceru na początku, a jaka na końcu wyprawy?  b) O której godzinie Dorota wróciła do domu, jeśli wyruszyła o 11.50?

        • Zadanie 2.

          Rowerzysta miał do przejechania 60 km. Pierwszą połowę trasy jechał ze średnia prędkością 15 km/h. Z jaka prędkością jechał druga połowę, jeśli średnia prędkość na całej trasie wynosiła 20 km/h? Naszkicuj wykres pokazujący zależność przebytej drogi od czasu

    • Funkcja liniowa

      Jak narysować wykres funkcji liniowej, jak wyznaczyć jej miejsca zerowe, jak wyznaczyć argumenty dla których funkcja liniowa przyjmuje wartości nieujemne, kiedy jest to funkcja rosnąca, malejąca, stała – takie i inne zagadnienia wiążą się z nauczaniem w szkole średniej. Opanujesz bieżący materiał podstawy programowej, poznasz również znacznie więcej wytycznych, które pozwolą Ci samodzielnie rozwiązywać coraz to bardziej złożone zadania.

      • Wykres funkcji liniowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=3x+4 i przechodząca przez punkt P=\left ( 1,8 \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt P=\left ( 2,6 \right ) i przecina oś OY w punkcie A=\left ( 0,4 \right )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A=\left ( -3,-5 \right ) i B=\left ( 3,7 \right )

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej f, jeśli f(2)=7 i f(-1)=-2

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej , prawdziwa jest równość f(2n+1)+f(2n-1)=2f(2n)

        • Zadanie 6.

          Sprawdź algebraicznie, czy punkt Q=(16,9) należy do wykresu funkcji liniowej f, jeżeli do wykresu należy punkt P=(8,3) i wykres przecina oś OY w punkcie A=(0,-1)

        • Zadanie 7.

          Sprawdź , czy punkt Q należy do wykresu funkcji f(x)=-\frac{3}{2}x+b, jeśli: Q=(-4,5)  i  b^{2}+1=2b

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole zacieniowanej figury ( rysunek w filmie )

      • Własności funkcji liniowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz miejsce zerowe funkcji:

          a) f(x)=\frac{1}{2}x+3  

          b) f(x)=\left ( 1-\sqrt{2} \right )x+3

        • Zadanie 2.

          Określ monotoniczność funkcji f(x)=\left ( 1+5m \right )x-3 w zależności od parametru m.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji f(x)=-\frac{1}{2}x-4 z osiami układu współrzędnych.

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą k, będącą wykresem funkcji f(x)=-2x+4

        • Zadanie 5

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli do jej wykresu należy punkt A=(0,4) i przyjmuje ona wartości ujemne tylko dla x< -6

        • Zadanie 6.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli trójkąt ograniczony jej wykresem i osiami układu współrzędnych jest równoramienny, a funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dla  x> 3

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość parametru m, dla którego miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=\frac{1-m}{2}x+2  jest liczba 4.

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miejsca zerowe funkcji:

          f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x+2\, \, dla\, \, x\leq 1\\ 4x+2\, \, dla\, \, x> 1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 9.

          Miejscem zerowym funkcji f(x)=ax+2 jest liczba \frac{1}{2} . Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g(x)=-3x+4

        • Zadanie 10.

          Wyznacz a, jeśli wykresy funkcji f(x)=\left ( 2-a \right )x+4\, \, i\, \, g(x)=-2x+2przecinają oś OX w tym samym punkcie.

        • Zadanie 11.

          Funkcja liniowa f(x)=3ax-b jest malejąca, natomiast funkcja liniowa g(x)=bx-3a jest rosnąca. Wykresy funkcji f i g przecinają oś OX w tym samym punkcie A. Oblicz odciętą punktu A oraz wyznacz wzory funkcji f i g wiedząc, że wykresy są prostopadłe.

      • Funkcja liniowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Funkcja  opisuje miesięczne koszty ( w złotych) firmy produkującej krasnale ogrodowe. 1500 to koszt stały, 12 zł to koszt wyprodukowania jednego krasnala, x – liczba krasnali. Jaki był półroczny zysk firmy, jeżeli w tym czasie wyprodukowano 1800 krasnali i sprzedano je po 37 zł za sztukę?

        • Zadanie 2.

          Wynajęcie lokalu A na dyskotekę kosztuje 400 zł za salę i 10 zł za każdego uczestnika. Wynajęcie lokalu B na dyskotekę kosztuje 100 zł za salę i 15 zł za każdego uczestnika. Przy jakiej liczbie uczestników koszty te będą równe?

    • Funkcja kwadratowa

      W tym dziale poznasz postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową funkcji kwadratowej,  zagadnienia potrzebne do zrozumienia metod rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Przechodząc systematycznie przez kolejne tematy dotyczące funkcji kwadratowej utrwalisz jej własności, zrozumiesz sens ich stosowania w zadaniach praktycznych.

      • Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=-4x^{2}+8x+1 i zapisz jej postać kanoniczną

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:

          a)  f(x)=2x^{2}-4x+8  

          b)  f(x)=-3\left ( x-3 \right )^{2}-4  

          c)  f(x)=3x^{2}-5

        • Zadanie 3.

          Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x)=2x^{2}+bx-1 jeśli prosta o równaniu x=-1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji

        • Zadanie 4.

          Wyznacz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f(x)=2x^{2}+bx+c jeśli punkt W=\left ( 1,3 \right ) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji

        • Zadanie 5.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej      
          a) f(x)=2x^{2}-3x+1          
          f(x)=x^{2}-3x+5       
          c) f(x)=-3\left ( x-1 \right )^{2}+5

        • Zadanie 6.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej      
          a) f(x)=2x^{2}+3x+1
          b)f(x)=-x^{2}-3x+5       
          c) f(x)=3\left ( x-1 \right )^{2}+5

        • Zadanie 7.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku W=\left ( 2,-3 \right ), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=\left ( 4,-1 \right )

        • Zadanie 8.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y=x^{2}+kx+m, której zbiorem wartości jest przedział (-\infty ,4\rangle, wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa 2.

        • Zadanie 9.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y=ax^{2}+bx+c wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem  tej funkcji jest równa 4, średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi 2 i wykres przecina oś Y w punkcie o współrzędnych \left ( 0,3 \right )

      • Równania kwadratowe

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie:

          a) x^{2}-2x=3  

          b) 2x^{2}-4x+2=0  

          c)  3x^{2}-2x+3=0  

          d)  x^{2}-4x+2=0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania:

          a) 3x^{2}-2x=0  

          b) 4x^{2}-25=0  

          c) 2x^{2}-3=0  

          d) 2x^{2}+3=0  

          e) \left ( 2x-1 \right )\left (3+4x \right )=0

      • Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

          a) y=2x^{2}-3x-2  

          b) y=4x^{2}-4x+1  

          c) y=2x^{2}-3x+2  

          d) y=2x^{2}-3x  

          e) y=2x^{2}-2

        • Zadanie 2.

          Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
          a) y=(x-2)\left ( x+3 \right )    
          b) y=2(3x-2)(x-3)   
          c) y=-4(3x+2)(5-3x)

        • Zadanie 3.

          Oblicz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y=x^{2}+bx+c , którego pierwiastkami są liczby 3 i 5

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu  y=2(x-3)(x+5)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x1=2, x2=-3, a zbiorem wartości tej funkcji jest Y=\left \langle 4,\infty )

      • Nierówności kwadratowe

      • Funkcja kwadratowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

          a) f(x)=2x^{2}-4x+3 w przedziale  \left \langle -1, \right 2 \rangle

          b) f(x)=-x^{2}-2x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right 2 \rangle

          c) f(x)=3x^{2}-5x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right-1\rangle

        • Zadanie 2.

          Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 24.

        • Zadanie 3.

          Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.

        • Zadanie 4.

          Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m2.

    • Planimetria

      Geometria płaszczyzny, zwana również planimetrią, wymaga między innymi znajomości wielokątów, opisywania okręgów na trójkącie i wpisywania ich w trójkąt. Towarzyszące temu obliczenia przedstawiamy w sposób przystępny, nawiązujący do programu szkoły średniej, pozwalający swobodnie poruszać się w tematach związanych z planimetrią.

      • Trójkąty przystające

        • Zadanie 1.

          Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

        • Zadanie 2.

          Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB \left | \right | DE i |AC|=|CE|

        • Zadanie 3.

          W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 4.

          W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 5.

          Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

        • Zadanie 6.

          Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na  rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|

        • Zadanie 7.

          Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

      • Trójkąty podobne

        • Zadanie 1.

          Dane są długości boków pierwszego trójkąta wynoszą 6,8,12, a drugiego 9,12,18. Czy trójkąty te są podobne ? Jeżeli są podobne wyznacz skalę podobieństwa.

        • Zadanie 2.

          Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 8, 12. Najdłuższy bok trójkąta A'B'C' jest równy 16 oraz \bigtriangleup ABC\sim A'B'C'. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Oblicz obwód trójkąta A'B'C'.

        • Zadanie 3.

          Trójkąt ABC, którego obwód jest równy 55, jest podobny do trójkąta o bokach długości : 4, 8, 10. Oblicz długości boków trójkąta ABC

        • Zadanie 4.

          Oblicz długość x, jeśli BE||CD ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Oblicz długość x, jeśli czworokąt ABCD jest równoległobokiem ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 6.

          Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym 6. Oblicz długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.

        • Zadanie 7.

          W trójkącie prostokątnym ACB o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h=\frac{ab}{c}  , gdzie  a i b są długościami przyprostokątnych i  c długością przeciwprostokątnej.

        • Zadanie 8.

          W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h^{2}=\left | AD \right |\cdot \left | DB \right |  , gdzie  punkt D jest spodkiem wysokości h na przeciwprostokątną AB.

        • Zadanie 9.

          W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD przecinające się w punkcie P. Udowodnij, że \bigtriangleup PAC\sim \bigtriangleup PDB, następnie wykaż, że \left | PA \right |\cdot \left | PB \right |=\left | PC \right |\cdot \left | PD \right |

        • Zadanie 10.

          Dany jest trapez o podstawach AB i CD. Jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że \bigtriangleup ABO\sim \bigtriangleup CDO  Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6 cm, a długości podstaw są odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Oblicz pola trójkątów ABO i CDO.

      • Wielokąty podobne

        • Zadanie 1.

          Prostokąt P_{1} ma boki długości 12 cm i 16 cm. Prostokąt P_{2} ma przekątną długości 25 cm i jeden z boków długości 20 cm. Uzasadnij, że prostokąty są podobne i podaj skalę podobieństwa.

        • Zadanie 2.

          Prostokąt  ma boki długości 12 cm i 15 cm i jest podobny do prostokąta o obwodzie 36 cm. Oblicz długość przekątnej mniejszego prostokąta.

        • Zadanie 3.

          Prostokąt P_{1} ma boki długości 6 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta P_{2} o obwodzie 60 cm. Oblicz pole większego prostokąta.

        • Zadanie 4.

          Trapez równoramienny o podstawach długości 4 cm i 9 cm podzielono na dwa trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.

        • Zadanie 5.

          Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x. Po odcięciu kwadratu o boku 1, otrzymujemy prostokąt podobny do prostokąta wyjściowego.
          Wykaż, że x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} ( rysunek w filmie )

      • Trójkąty prostokątne

        • Zadanie 1.

          Oblicz x ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Oblicz x ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 3.

          Sprawdź czy trójkąt o bokach długości
          a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}  b) 5,9,11 jest prostokątny ?

        • Zadanie 4.

          Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że:
          a) przekątna kwadratu o boku długości a  ma długość a\sqrt{2} 
          b) wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości a, wynosi h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

        • Zadanie 5.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 6.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6\left ( 1+\sqrt{2} \right )

        • Zadanie 8.

          Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę 120^{0}. Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+6\sqrt{2}

        • Zadanie 10.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABD ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BCD jest równe 3\sqrt{3}  .

      • Pole trójkąta

        • Zadanie 1.

          Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\Delta }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3} .

        • Zadanie 2.

          Wyprowadź wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2} a bsin\alpha , gdzie a,b są długościami boków trójkąta i kąt \alpha jest kątem zawartym między tymi bokami. Oblicz pole trójkąta ABC, w którym \left | AB \right |=4\sqrt{3},\left | AC \right |=\sqrt{3},\left | \measuredangle ABC \right |=35^{0}\left | \measuredangle ACB \right |=100^{0}

        • Zadanie 3.

          Obwód trójkąta równoramiennego ABC ( rysunek w filmie) jest równy (12+8\sqrt{3}) cm. Punkt P jest środkiem odcinka BC, a punkt R dzieli odcinek AB w stosunku 3:2Oblicz pole trójkąta a) APC b) ARC

        • Zadanie 4.

          W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6} .
          Oblicz miary kątów \bigtriangleup.

        • Zadanie 5.

          Zastosuj wzór Herona, na pole trójkąta o bokach długości a,b,c, P_{\bigtriangleup }=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}  , gdzie p=\frac{a+b+c}{2} ( połowa obwodu trójkąta ). Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4,7,5.

        • Zadanie 6.

          Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach x i 2x ma miarę 120^{0}. Uzasadnij, ze pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o boku długości x.

        • Zadanie 7.

          Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie równej a i kącie przy podstawie 15^{0}. Uzasadnij, że jeśli wysokość opuszczona na podstawę równa się h, to ramię tego trójkąta ma długość \sqrt{2ah}

      • Pole czworokąta

        • Zadanie 1.

          Kąt rozwarty równoległoboku to 120^{o}, oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.

        • Zadanie 2.

          Uzasadnij wzór na pole równoległoboku P=abin\alpha , gdzie a i b są długościami boków równoległoboku, \alpha jest kątem jaki tworzą te boki. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 10 cm wiedząc, że kąt rozwarty w tym równoległoboku to 150^{o}.

        • Zadanie 3.

          Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm2. Oblicz wysokości i miary kątów tego równoległoboku.

        • Zadanie 4.

          Jeden z boków równoległoboku ma długość 15 cm i tworzy z drugim bokiem kąt \alpha taki, że sin\alpha =\frac{2}{3} . Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli pole jest równe 45 cm2.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij wzór na pole równoległoboku ABCDP=\frac{1}{2}\left | AC \right |\left | BC \right |sin\varphi ( \varphi – kąt między przekątnymi równoległoboku ). Oblicz pole równoległoboku, w którym przekątne o długości 10 cm i 14 cm przecinają się pod kątem 300.

        • Zadanie 6.

          Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i sin\alpha =\frac{3}{4}, gdzie \alpha jest kątem ostrym równoległoboku.

        • Zadanie 7.

          Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole rombu o kącie ostrym 400 i dłuższej przekątnej równej 30 cm.

        • Zadanie 10.

          Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym 600 oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.

        • Zadanie 11.

          Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

        • Zadanie 12.

          Przekątne rombu maja długości 12 cm i 16 cm, a jego kąt ostry ma miarę \alpha . Oblicz sin\alpha.

        • Zadanie 13.

          Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.

        • Zadanie 14.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm, 6 cm i przekątnej długości 9 cm.

        • Zadanie 15.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 600.

        • Zadanie 16.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.

        • Zadanie 17.

          W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 450 i polu równym 90 cm2 dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt \alpha taki, że tg\alpha =\frac{1}{3} . Oblicz obwód tego trapezu.

        • Zadanie 18.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego ABCD w którym \left | BC \right | = 10 cm, \left | AB \right | = 14 cm, sinus kąta CBA wynosi \frac{\sqrt{5}}{3}

        • Zadanie 19.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego kąt ostry ma miarę 300, a podstawy mają długości 4 cm i 10 cm.

        • Zadanie 20.

          Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach długości 6\sqrt{3}  cm i 2\sqrt{3} cm opisanego na okręgu o promieniu 3 cm.

      • Długość okręgu i pole koła

        • Zadanie 1.

          a) Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 1200

          b) Jaką miarę ma kąt AOB, jeśli punkty A, B leżące na okręgu o środku O i promieniu 8, wyznaczają łuk długości 2\pi

        • Zadanie 2.

          Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm, \left | AB \right | = 5 cm. Ile jest równa długość łuku AB

        • Zadanie 3.

          a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o obwodzie równym 32
          b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 6

        • Zadanie 4.

          a) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 400
          b) Pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt jest równe 2\pi. Oblicz miarę kąta \alpha

        • Zadanie 5.

          Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 4 wyznaczają kąt AOB o mierze 600. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

        • Zadanie 6.

          Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB o mierze 900. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

        • Zadanie 7.

          W kole o promieniu 4 poprowadzono cięciwę o długości 4\sqrt{2}. Oblicz pola figur, na które podzieliła ona koło.

      • Kąty w okręgu

        • Zadanie 1.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma  ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 3.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma  ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 4.

          Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 6.

          Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ,\gamma ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 7.

          Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miary kątów: \alpha ,\beta ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 9.

          Wyznacz miarę kąta \alpha ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 10.

          Wyznacz miarę kąta \alpha ( rysunek w filmie )

      • Okrąg opisany na trójkącie

        • Zadanie 1.

          W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 45^{o}, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

        • Zadanie 2.

          W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta ( rozważ dwa przypadki )

        • Zadanie 3.

          Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 7 cm i 12 cm.

        • Zadanie 4.

          Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm^{2} . Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 

        • Zadanie 5.

          Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3:4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a wyraża się wzorem R=\frac{a\sqrt{3}}{3} .

        • Zadanie 7.

          Oblicz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opisano okrąg o promieniu 6 cm.

        • Zadanie 8.

          Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód wynosi  4+2\sqrt{2}

        • Zadanie 9.

          Na trójkącie równoramiennym rozwartokątnym do którego podstawy poprowadzono wysokość równą 8, opisano okrąg o promieniu 13. Oblicz obwód trójkąta.

      • Okrąg wpisany w trójkąt

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 7 i 24.

        • Zadanie 2.

          Na okręgu o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

        • Zadanie 3.

          Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

        • Zadanie 4.

          Uzasadnij wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{a+b+c}{2}\cdot r , gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta i r długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równa \frac{a\sqrt{3}}{6} . Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu 4.

        • Zadanie 6.

          Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120^{0}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

        • Zadanie 7.

          Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o obwodzie równym 12+6\sqrt{2}

    • Geometria analityczna

      Wiedza o figurach umieszczonych w układzie współrzędnych to to podstawy geometrii analitycznej. Zacząć możesz od prostych zadań dotyczących długości odcinka i przejść kolejno wszystkie etapy proponowane przez nas w kolejnych zadaniach. Spójność poziomu kolejnych zagadnień pozwala płynnie przejść do kwestii bardziej złożonych.

      • Długość odcinka

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość odcinka:

          a) AB, jeśli A=(-3,-1),  B=(-5,-1) 

          b) CD jeśli  C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right ), D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny jeśli A=(1,3) B=(6,4) C=(4,-1)

        • Zadanie 3.

          Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(3,0) B=(-6,8) C=(-2,-2)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB jeżeli A=(-2,6) B=(10,0) 

        • Zadanie 5.

          Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz taki punkt S na osi OX,  aby jego odległość od punktu P wyniosła \sqrt{74}

        • Zadanie 6.

          Na prostej o równaniu y=2x wyznacz punkt, który jest jednakowo odległy od punktów A=(3,1), B=(7,3)

      • Środek odcinka

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne środka odcinka:

          a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)

          b) CD jeśli C=\left (-\sqrt{2},-3 \right ) D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz współrzędne punktu K wiedząc, że środkiem odcinka MK jest punkt S=(-1,3) i M=(2,5)

        • Zadanie 3.

          Dane są punkty A=(x,-2) B=(7,y). Oblicz długość odcinka AB, jeżeli jego środkiem jest punkt K(2,1)

        • Zadanie 4.

          W równoległoboku dane są sąsiednie wierzchołki A=(4,2), B=(1,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku oraz jego obwód, jeżeli przekątne przecinają się w punkcie S=(0,3)

      • Układy równań

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż układ  równań 

          \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\3x-4y=2 \end{matrix}\right.

           metodą podstawiania.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

          a) \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\ 4x-6y=2\end{matrix}\right.      

          b) \left\{\begin{matrix} -x+3y=4\\ 2x-6y=-1\end{matrix}\right.  

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

          a) \left\{\begin{matrix} 5x-3y=2\\ 3x-2y=1\end{matrix}\right.

          b) \left\{\begin{array}{l} -x+3y-4=0\\ 2x-6y=-8\end{array}\right.

        • zadanie 4.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ x-2y=1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=1\end{matrix}\right.

           

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} -2x+y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.

        • Zadanie 7.

          Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań
          a) oznaczony b) nieoznaczony c) sprzeczny

        • Zadanie 8.

          Dla jakich wartości parametrów m i k para liczb: x=3, y=2 jest rozwiązaniem układu równań :

          \left\{\begin{array}{l} mx+ky=5\\ (k-1)x-2my=-4\end{array}\right.

        • Zadanie 9.

          Dla jakich wartości parametru a układ równań 

          a) \left\{\begin{matrix} ay-3x=-2\\ 3x-5y=2\end{matrix}\right.  jest układem nieoznaczonym 

          b) \left\{\begin{matrix} 2ax-5y=4\\ 4x+\frac{3}{2}y=-1\end{matrix}\right.   jest układem sprzecznym ?

        • Zadanie 10.

          Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach

          a) 2x-3y-5=0\, \, i\,\, -3x-y+2=0    

          b) y=\frac{1}{2}x-1\, \, i\, \, y=-3x+7

        • Zadanie 11.

          Sprawdź algebraicznie czy punkty A=(-2,-5) B=(-123,-247) C=(4,7) są współliniowe ?

        • Zadanie 12.

          Wyznacz t, wiedząc, że punkty A=(t,0)  B=(-2,-6)  C=(2,-3) należą do tej samej prostej.

        • Zadanie 13.

          Wierzchołki B i C trójkąta prostokątnego ABC są punktami przecięcia prostej y=-\frac{3}{4}x+3 z osiami układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka A, jeśli przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu y=\frac{1}{2}x-2

        • Zadanie 14.

          Wyznacz równanie prostej AB jeżeli A=(-2,5) B=(4,-7), a następnie wyznacz współrzędne punktu przecięcia tej prostej z prostą o równaniu y=\frac{1}{2}x+2

      • Równanie prostej na płaszczyźnie

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty

          a) A=(1,3) B=(-3, -5)

          b) C=(-4,-2) D=(1,3)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AB jeśli:
          a) A=(-1,-3),B=(-3,-5)
          b) A=(\sqrt{2},2),B=(\sqrt{3},-3)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie kierunkowe prostej CD, jeżeli C=(-2,4) D=(3,-5) korzystając ze wzoru y=a(x-x_{0})+y_{0}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  A=(-1,-4) B=(2,5)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  a) A=(-1,-4) B=(2,-4) b) A=(-3,5) B=(-3,-2)

      • Proste równoległe

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-3 i przechodzącej przez punkt A=\left (-3,4\right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y – 7 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(2,4)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD równoległoboku ABCD wiedząc, że A=(-2,-3) B=(3,1) C=(1,4)

        • Zadanie 4.

          Dla jakiej wartości parametru m proste o danych równaniach są równoległe 
          a) y = -3x – 4  i y = ( m2 – 4 )x -7
          b) ( m – 2 )x -3y +4 = 0 i y = 3x -6

        • Zadanie 5.

          Sprawdź czy czworokąt o wierzchołkach A=(-5,-3) B=(4,-1) C=(7,4) D=(-2,2) jest równoległobokiem.

      • Proste prostopadłe

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=-2x-3 i przechodzącej przez punkt A=\left (5,4\right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-4y+3=0  i przechodzącej przez punkt B=(-1,4)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
          a) y=3  i przechodzącej przez punkt C=(-2,4)
          b) x=2 i przechodzącej przez punkt A=(-4,1)

        • Zadanie 4.

          Sprawdź algebraicznie czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(-2,-1) B=(0,-3) C=(4,5)

        • Zadanie 5.

          Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte przekątne tego rombu, jeżeli A=(-2,-6) B=(5,-3) C(8,4)

        • Zadanie 6.

          Punkty A=(0,0) i C(2,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD, którego przekątna BD zawarta jest w prostej o równaniu y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}. Uzasadnij, że prostokąt jest kwadratem.

        • Zadanie 7.

          Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość w trójkącie ABC opuszczoną z wierzchołka B, jeśli A=(-3,-2) B=(4,1) C=(2,5)

        • Zadanie 8.

          Wyznacz równanie symetralnej odcinka CD, jeśli C=(-3,2) D=(5,6)

        • Zadanie 9.

          Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y=(m^{2}-5m+6)x+3\, \, i\, \, y=-\frac{1}{2}x-5 są prostopadłe ?

        • Zadanie 10.

          Punkty A=(2,5) i C(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

        • Zadanie 11.

          Punkty A=(2,0) i B=(12,0)  są  wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.

        • Zadanie 12.

          Okrąg ośrodku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

      • Odległość punktu od prostej

        • Zadanie 1.

          Oblicz odległość punktu:

          a) P=\left (-1,3\right ) od prostej o równaniu  3x-4y+6=0

          b)  A=\left (2,-3\right ) od prostej o równaniu y=\frac{2}{3}x-1

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A=(-1,0) B=(1,2) C=(2,-2)

        • Zadanie 3.

          Podstawa AB trójkąta ABC jest zawarta w prostej l o równaniu y=3x+6. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że punkty A i B są punktami przecięcia prostej l z osiami układu współrzędnych i C=(2,-4)

        • Zadanie 4.

          Punkty A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu y=\frac{3}{5}x-6 z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D=(1,4)

        • Zadanie 5.

          Oblicz odległość między prostymi o równaniach 3x-2y-4=0\, \, i\, \, y=\frac{3}{2}x+1

        • Zadanie 6.

          Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej m: y=2x-3, jeżeli odległość między tymi prostymi jest równa 4.

      • Symetria osiowa i symetria środkowa

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:
          a) osi OX
          b) osi OY
          c) punktu (0,0)
          d) punktu (-3,5)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25 w symetrii względem osi
          a) OX
          b) osi OY
          c) punktu (0,0)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y=-2x+1 w symetrii względem
          a) osi OX
          b) osi OY
          c) punktu A=(0,0)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y=-2x+1 w symetrii względem punktu A=(-1,-3)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz a i b wiedząc, że punkt A’=(-a+2,4) jest obrazem punktu A=(-5,b+3) w symetrii względem a) osi OX  b) osi OY

      • Równanie okręgu

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie okręgu:

          a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3

          b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB gdzie A=(1,2) B=(7,2)

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru k punkt P=(-6,-1) należy do okręgu o środku w punkcie S=(k,-1) i promieniu 4?

        • Zadanie 4.

          Wyznacz promień i współrzędne środka okręgu o równaniu
          a) x^{2}+y^{2}+2x+10y-10=0 
          b) x^{2}+y^{2}-4x=0

        • Zadanie 5.

          Sprawdź czy podane równanie jest równaniem okręgu
          a) x^{2}+y^{2}+6x-4y+13=0 
          b) x^{2}+y^{2}-x-3y+3=0

        • Zadanie 6.

          Wyznacz równanie okręgu o promieniu r=3\sqrt{5} przechodzącego przez punkty A=(2,1) B(2,-5)

        • Zadanie 7.

          Prosta l:y=\frac{1}{2}x+4 jest styczną do okręgu, którego środkiem jest punkt A=(-3,0). Wyznacz długość promienia i zapisz równanie tego okręgu.

        • Zadanie 8.

          Ile punktów wspólnych z okręgiem o równaniu (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4 ma prosta o równaniu y=-\frac{1}{2}x+3

    • Trygonometria

      Poznasz tu określenie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, dowiesz się jak rozszerzyć definicję funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do dowolnego kąta wypukłego, jak udowodnić i zastosować w zadaniach podstawowe wzory trygonometryczne jak np. ” jedynka trygonometryczna „. Takie pojęcia jak sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta przestaną być tajemnicą.

      • Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długości  : 2,3,\sqrt{13}

        • Zadanie 2.

          Przekątna prostokąta o bokach długości 2 cm i 3 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest cztery razy dłuższa od drugiej.

        • Zadanie 4.

          Przekątne rombu o długościach 10 cm i 14 cm dzielą romb na cztery trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.  

        • Zadanie 5.

          W równoległoboku niebędącym prostokątem o bokach długości 10 cm i 9 cm. Jedna z przekątnych dzieli równoległobok na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

        • Zadanie 6.

          W trapezie równoramiennym podstawy maja długości  20 cm i 12 cm, a wysokość 10 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartego między dłuższą podstawą trapezu  oraz jego a) przekątną b) ramieniem .

      • Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane długości  jego przyprostokątnych 4 cm i 10 cm.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż trójkąt prostokątny, jeśli przeciwprostokątna ma długość 15 cm, a jeden z kątów ma miarę 370 .

        • Zadanie 3.

          Przekątne rombu mają długości 12 cm i 20 cm .Oblicz kąty i jego obwód .

        • Zadanie 4.

          Trapez równoramienny ma podstawy długości 2 cm i 10 cm, a jego przekątna ma długość  8 cm. Oblicz miary katów tego trapezu .

        • Zadanie 5.

          W równoległoboku o bokach długości  10 cm i 30 cm krótsza przekątna tworzy z jednym bokiem kąt 900. Oblicz miary kątów równoległoboku.

      • Funkcje trygonometryczne kątów 30, 45, 60 stopni

        • Zadanie 1.

          Wyznacz długość x korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 2.

          Na morzu widać z żaglówki światło latarni morskiej pod kątem o mierze 300 do poziomu. Po wypłynięciu 50 m w kierunku latarni światło latarni widać pod kątem o mierze 600 do poziomu. Oblicz wysokość latarni. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 m.

      • Związki między funkcjami trygonometrycznymi

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \alpha jeśli  sin\alpha=\frac{4}{5}

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli  cos\alpha =\frac{12}{13}

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli  tg\alpha =3

        • Zadanie 4.

          Oblicz bez użycia tablic
          a) sin2620 + sin2280
          b) tg440.tg450.tg460
          c) ( sin350 + cos350 )( sin350 – cos350 ) + 2sin2550

        • Zadanie 5.

          Sprawdź tożsamość
          a) (sin\alpha +cos\alpha )^{2}+(sin\alpha -cos\alpha )^{2}=2  

          b) \frac{1}{cos\alpha }-cos\alpha =sin\alpha \cdot tg\alpha 

          c)  \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }+\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2}{sin\alpha }  

          Założenie : α – kąt ostry

        • Zadanie 6.

          Dla danego  kąta ostrego \alpha prawdziwa jest równość 

          tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha }=\frac{5}{cos\alpha }

          Oblicz wartość sin\alpha ,cos\alpha ,tg\alpha.

        • Zadanie 7.

          Dany jest kąt ostry \alpha taki, że tg\alpha =2. Oblicz wartość wyrażenia W=\frac{10sin\alpha }{(1-5cos\alpha )^{2}}

        • Zadanie 8.

          Dla pewnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość
          sin\alpha +cos\alpha =\sqrt{2}. Oblicz wartość sin\alpha\cdot cos\alpha

        • Zadanie 9.

          Wiedząc, że tg\alpha =5 , oblicz   \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha -cos\alpha } 

      • Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

        • Zadanie 1.

          Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta jeśli:

          a) P=\left ( 3,4 \right )

          b) P=\left ( -1,3 \right )

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli  cos\alpha =-\frac{1}{4}

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli tg\alpha =-2

        • Zadanie 4.

          Oblicz bez użycia tablic : a) sin1200 b) cos1500 c) tg1350 d) sin21370 + cos2430

      • Trygonometria - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Oblicz obwód prostokąta, wiedząc , że jego przekątna ma długość 15 i tworzy z jednym z boków kąt α, którego cosinus wynosi   \frac{1}{5}

        • Zadanie 2.

          Podaj przybliżoną miarę kąta jaki tworzy z ziemią drabina o długości 
          a) 6,5 m oparta o mur  dotykając go na wysokości 5,5 m 
          b) długości 4,5 m, jeżeli  jej koniec opierający się o ziemię jest odległy o 1 m od ściany budynku

        • Zadanie 3.

          Drabina wozu strażackiego może być rozsunięta na długość 20 m i podniesiona pod kątem 720. Na jaką  wysokość sięgnie drabina, jeśli zamocowana jest  2,4 m nad ziemią .

        • Zadanie 4.

          Startujący samolot wznosi się pod kątem 150 z prędkością 80 m/s. Jaką wysokość osiągnie samolot po 2 minutach od momentu oderwania od ziemi.

    • Sumy algebraiczne (wielomiany)

      Zagadnienia związane z sumami algebraicznymi, działania na jednomianach, dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów, występują w wielu działach algebry i są bazą do rozwiązywania równań, nierówności oraz wykonywania złożonych działań na wyrażeniach algebraicznych. Odpowiednio skonstruowane przez nas zadania o określonym stopniu trudności, pozwolą Ci wykształcić umiejętności, które wykorzystasz w dalszym etapie edukacji

      • Działania na sumach algebraicznych

        • Zadanie 1.

          Dane są sumy algebraiczne   S=x^{4}-2x^{3}-1 i  T=3x^{3}-4x^{2}. Oblicz wartość wyrażenia
          a) S-T  dla x=3
          b) 2S+4T dla x=-1

        • Zadanie 2.

          Wyznacz iloczyn sum algebraicznych 
          a) (x+2)(x^{2}-3x) 
          b) (2x^{3}+\frac{1}{2}x+1)(x^{2}-x-\frac{1}{4})

        • Zadanie 3.

          Wykonaj działania
          a) x^{2}(x-1)+4(x-2)(x^{2}+1) 
          b) x(x-3)(x-2)-x(x+4)(x-5)

        • Zadanie 4.

          Ile wynosi współczynnik a, jeśli wartość sumy algebraicznej x^{3}+ax^{2}+3  dla x=-4 jest równa 3?

        • Zadanie 5.

          Ile wynoszą współczynniki a i b, jeśli suma algebraiczna x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+2 przyjmuje wartość 11 dla x=-3 oraz wartość 7 dla x=1?

        • Zadanie 6.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie oblicz
          a) sumę obwodów
          b) różnicę obwodów
          c) pole 
          prostokąta o bokach długości 2x-3\, \, i\, \, 4x-2

        • Zadanie 7.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na objętość sześcianu o boku długości 3x+2

        • Zadanie 8.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach  a=x+1,b=x+2,c=2x-4

        • Zadanie 9.

          Uzasadnij, że objętość prostopadłościanu o krawędziach: x-2,x,x+4  opisana jest za pomocą wzoru V=x^{3}+2x^{2}-8x, gdzie x> 0. Sprawdź, czy dla x=2\sqrt{2} objętość tego prostopadłościanu jest liczbą wymierną?

      • Rozkład wielomianu na czynniki

        • Zadanie 1.

          Rozłóż wielomian na czynniki:
          a) W(x)=12x^{5}-8x^{4}
          b) W(x)=6x^{3}+12x^{2}+6x
          c)  W(x)=x^{5}-625x

        • Zadanie 2.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x)=-4x^{4}+3x^{3}-7x^{2}
          b) W(x)=-2x^{3}-x^{2}+6x

        • Zadanie 3.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x)=2x^{6}+12x^{4}+18x^{2}  
          b) W(x)=-2x^{5}+20x^{3}-50x 
          c) W(x)=8x^{6}-27x^{3}

        • Zadanie 4.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x)=x^{3}+5x^{2}+x+5  
          b) W(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3 
          c) W(x)=8x^{5}+16x^{3}-x^{2}-2

        • Zadanie 5.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x)=x^{3}-3x-2 
          b) W(x)=x^{3}-7x+6 
          c) W(x)=3x^{4}-10x^{3}+10x-3

        • Zadanie 6.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x)=x^{4}+1  
          b) W(x)=4x^{4}+1 
          c) W(x)=x^{4}+x^{2}+1

      • Równania wyższych stopni

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równania:
          a) 7x^{3}-56=0
          b) 2x^{3}+54=0
          c) x^{3}-9x=0
          d) 9x^{3}+x=0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania
          a) (4x+1)(6x-9)(2x-8)=0 
          b) (x^{2}+2x)(x-1)=0 
          c) x^{3}-6x^{2}+9x=0

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równania
          a) x^{3}-3x^{2}-10x=0  
          b)x^{4}-6x^{3}+5x^{2}=0  
          c) (4x^{2}-1)(x^{2}-16)=0

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równania
          a) x^{3}-x^{2}-x+1=0  
          b)x^{3}+2x^{2}-4x-8=0 
          c) x^{3}-13x+12=0

        • Zadanie 5.

          Oblicz \sqrt{p}, gdzie p jest sumą pierwiastków równania x(x-1)(16x-9)=0

        • Zadanie 6.

          Ile wspólnych pierwiastków mają równania x^{2}+x-12=0\, \, i\, \, (x+4)(x^{2}+8x)=0 

        • Zadanie 7.

          Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej objętość prostopadłościanu o bokach długości x+4, x, x-1. Dla jakiej wartości x objętość prostopadłościanu wynosi 12?

    • Funkcje wymierne

      Poznaj przykłady wyrażeń wymiernych, wykształć umiejętność działań na wyrażeniach wymiernych, wykres funkcji homograficznej i jej własności, sposoby rozwiązywania prostych równań wymiernych. Skorzystaj z naszych korepetycji video, gdzie krok po kroku opanujesz niezbędną wiedzę, którą wykorzystasz w zadaniach praktycznych.

      • Wykres i własności funkcji homograficznej

        • Zadanie 1.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{a}{x} wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt
          a) P=(-1,-2)
          b) P=(-\frac{1}{2},2)

        • Zadanie 2.

          Do wykresu funkcji f(x)=-\frac{1}{x}+c należy punkt A=(1,4). Sporządź wykres funkcji f i podaj zbiór wartości tej funkcji.

        • Zadanie 3.

          Sporządź wykres funkcji

          a) f(x)=\frac{1}{x-3}  b) f(x)=\frac{-3}{x+2} 

          Podaj przedziały monotoniczności funkcji f

        • Zadanie 4.

          Sporządź wykres funkcji

          a) f(x)=\frac{-1}{x-3}+2  b) f(x)=\frac{-3}{x+2}-1

          Podaj przedziały monotoniczności funkcji f oraz zbiór wartości.

        • Zadanie 5.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{x+2}{x-1}.

          Odczytaj z wykresu zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.

        • Zadanie 6.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{2}{x-1}-3. Podaj równania asymptot funkcji f.

      • Działania na wyrażeniach wymiernych

        • Zadanie 1.

          Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego

          a) \frac{2x-4}{3x-1}

          b) \frac{x^{2}+4}{x^{2}-9}    

          c) \frac{3x-5}{x^{2}-3x-4}

        • Zadanie 2.

          Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego, a następnie je uprość 

          a) \frac{x-4}{3x-12}     

          b) \frac{x^{2}+4x}{x^{2}-16}    

          c) \frac{x-5}{x^{2}-6x+5}

        • Zadanie 3.

          Wykonaj mnożenie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{14}{x^{2}-16}\cdot \frac{x-4}{7}  

          b) \frac{2-x}{2x-6}\cdot \frac{3-x}{x^{2}-4}      

          c) \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\cdot \frac{3}{\left ( 1-x \right )^{2}}  

        • Zadanie 4.

          Wykonaj dzielenie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{4}{x^{2}-1}:\frac{x-4}{1-x}  

          b) \frac{20}{3x-1}:\frac{5}{2-6x} 

        • Zadanie 5.

          Wykonaj dodawanie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{x}{x-2}+\frac{x+1}{x}  

          b) \frac{4}{2x-4}+3  

          c) \frac{1}{x^{2}-4}+\frac{3}{x+2}

        • Zadanie 6.

          Wykonaj odejmowanie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{x}{x-2}-\frac{x+1}{2-x}  

          b) \frac{4}{x-4}-\frac{3}{2} 

          c) \frac{1-x}{x^{2}-16}-\frac{3}{4-x}-2 

        • Zadanie 7.

          Wykonaj działania 

          a) \frac{x}{x-2}\cdot \frac{x^{2}-2x+1}{2-x}  

          b) \frac{4}{x-4}-\frac{3}{x^{2}-5x+4} 

          c) \frac{1-x}{x^{2}-16}-\frac{3}{4-x}-2 

      • Równania wymierne

      • Wyrażenia wymierne - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Licznik pewnego ułamka jest równy 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 20, mianownik o 30, to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek ?

        • Zadanie 2.

          Ola kupiła cukierki A w cenie x zł/kg i zapłaciła 24 zł. Ala kupiła taką samą ilość cukierków B droższych o 4 zł/kg i zapłaciła 30 zł. Ile kosztuje kilogram cukierków A, a ile kilogram cukierków B?

        • Zadanie 3.

          Mama Bartka jest o sześć lat młodsza od jego taty. Stosunek wieku mamy i taty jest jak 8 do 9. Ile lat mam mama Bartka, a ile jego tata ?

        • Zadanie 4.

          Boki prostokąta mają długości x cm i 2x cm. Gdyby jego krótszy bok wydłużyć o 6 cm, a dłuższy o 5 cm, to stosunek długości boków byłby równy 2:3. Oblicz obwód tego prostokąta.

        • Zadanie 5.

          Adam potrzebuje na wykonanie pewnej pracy 10 godzin, a Radek wykonałby tę samą pracę w 6 godzin. Ile czasu zajęłoby wykonanie pracy, gdyby pracowali razem ?

        • Zadanie 6.

          Dwie koparki, pracując razem, wykonują wykop w ciągu 8 dni. Gdyby pracowała tylko pierwsza koparka, wykop powstałby w ciągu 12 dni. Ile czasu zajęłoby wykonanie wykopu drugiej koparce ?

        • Zadanie 7.

          Samochód jadący ze średnią prędkością v pokonał odległość 195 km. Samochód jadący z prędkością o 20 km/h większą pokonał w tym samym czasie 260 km. Oblicz średnie prędkości obu samochodów?

        • Zadanie 8.

          Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakowa liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby te książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

        • Zadanie 9.

          Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotkają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.

    • Funkcja wykładnicza

      Funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i nie ma miejsc zerowych. Jaki ma wzór i własności tego dowiesz się z przygotowanych przez nas zadań. Nauczysz się jak wykorzystać własności funkcji wykładniczej w prostych równaniach i nierównościach oraz w zadaniach praktycznych.

      • Wykres i własności funkcji wykładniczej

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykresy funkcji a) f(x)=2^{x}  b) f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} i odczytaj z wykresu podstawowe własności funkcji f.

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykresy funkcji
          a) f(x)=2^{x+3} 
          b) f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-2  
          c)  f(x)=3^{x-2}+1

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykresy funkcji
          a) f(x)=2^{-x}+3  
          b) f(x)=8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-1  
          c)  f(x)=\frac{27}{3^{x}} 
          Odczytaj z wykresów zbiór wartości funkcji.

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji
          a) f(x)=-2^{x}+3  
          b) f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-x}-1  

        • Zadanie 5.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{0,04}{5^{x}}  , odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności f(x)\geq 1

        • Zadanie 6.

          Wyznacz wzór funkcji wykładniczej f(x)=a^{x} wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(-3, 8), następnie oblicz wartość iloczynu f(\sqrt{2})\cdot f(-\sqrt{2})

        • Zadanie 7.

          Funkcja f(x)=a^{x}, gdzie a jest rozwiązaniem równania 16x^{2}-33x+2=0 , jest malejąca. Oblicz f(-0,25)

        • Zadanie 8.

          Przekształcając wykres funkcji f(x)=2^{x}  naszkicuj wykres funkcji g(x)=2^{x+5}+2^{x+3}+24\cdot 2^{x}

      • Równania i nierówności wykładnicze

      • Funkcja wykładnicza - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Podczas doświadczenia liczba bakterii, których początkowo było 600, podwajała się w ciągu pół godziny. Uzasadnij, że funkcja y=600\cdot 4^{t} opisuje liczbę bakterii w zależności od czasu mierzonego w godzinach. Oblicz jaka będzie ilość bakterii po upływie 2,5 godziny.

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
    • Logarytmy

      Przedstawiamy definicję logarytmu, udostępniamy zadania, które utrwalają sposoby wykonywania działań na logarytmach. Logarytmy  pozwalają ustalić, do której potęgi należy podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać określoną liczbę logarytmowaną. Logarytm naturalny, dziesiętny, logarytm iloczynu, ilorazu – te i inne zagadnienia dzięki rozwiązaniom video przygotowanym przez MATEMATYKA NA TAK  przyswoisz bez trudu.

      • Logarytm - definicja

        • Zadanie 1.

           Oblicz   

          a) log_{2}64  b) log_{2}0,125  

          c)  log_{\frac{1}{3}}27  d) log_{\sqrt{2}}4  

          e) log_{7}7\sqrt{7}  f) log_{5}5  

          g) log_{4}1

        • Zadanie 2.

          Oblicz
          a) log_{\sqrt[3]{2}}4   

          b) log_{\frac{\sqrt{5}}{25}}125   

          c) log_{0,01}\frac{\sqrt{10}}{10} 

        • Zadanie 3.

          Oblicz
          a) log_{2}\left ( log100 \right ) 

          b) log_{9}\left ( log_{8}\left ( log_{3}9 \right ) \right )  

        • Zadanie 4.

          Oblicz \sqrt{a\cdot b}  jeżeli a=log_{3}9,b=log_{2}256

        • Zadanie 5.

          Oblicz x jeżeli:  
          a) log_{4}x=\frac{3}{2} 

          b) log_{\frac{1}{8}}x^{2}=\frac{1}{3}    

          c) log_{2\sqrt{2}}\left | x \right |=4

        • Zadanie 6.

          Oblicz wartość wyrażenia log_{a}\sqrt{a\cdot b}  wiedząc, że log_{a}b=5, gdzie a\, \, i\, \, b są liczbami dodatnimi i a\neq 1 

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość wyrażenia logab wiedząc, że log10a=2010 i  log\frac{10}{b}=1020

        • Zadanie 8.

          Oblicz
          a) log_{2}2^{10} b) 4^{log_{2}9}      

          c) 27^{log_{3}2}  d)  \left ( \sqrt{8} \right )^{\frac{2}{3}+log_{4}81} 

        • Zadanie 9.

          Określ dziedzinę wyrażenia
          log_{x-2}\left ( x^{2}-1 \right )

        • Zadanie 10.

          Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste  spełniające równość
          log_{1-2a}\left ( a+7 \right )=2

      • Działania na logarytmach

        • Zadanie 1.

           Oblicz
          a) log_{15}3 + log_{15}5  b) log_{\frac{1}{2}}3,5+log_{\frac{1}{2}}7  c) log_{7}49  d) log_{2}\left ( log_{3}\sqrt{5} \right )-log_{2}\left ( log_{3}5 \right )

        • Zadanie 2.

          Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu pewnej liczby
          a) 2+log_{3}5  b) 4-log_{3}36

        • Zadanie 3.

          Oblicz przybliżoną wartość liczby
          a) log50  b) log0,05 
          jeśli  log5\approx 0,7

        • Zadanie 4.

          Oblicz przybliżoną wartość liczby log_{5}70, jeśli: 
          log_{5}2\approx 0,43\, \, i\, \, log_{5}7=\approx 1,21     

        • Zadanie 5.

          Niech p=log_{2}3,q=log_{2}5.
          Uzasadnij równość log_{2}75=p+2q

        • Zadanie 6.

          Wykaż, że dla dowolnych x,y\in R_{+} prawdziwa jest równość
          logx^{3}y^{4}-logx^{2}y^{3}=logx+logy 

        • Zadanie 7.

          Uzasadnij równość  
          4log_{9}3+9log_{3}9=5log_{3}81

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że liczba log_{2}\sqrt{6}+log_{2}\sqrt{8}-log_{2}\sqrt{3}  jest wymierna.

        • Zadanie 9.

          Przedstaw log_{4}9 w postaci logarytmu o podstawie
          a) 2    b)    0,25  
          c) udowodnij, że log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}

        • Zadanie 10.

          Wykaż, że:
          log_{2}3\cdot log_{3}4\cdot log_{4}5\cdot log_{5}6\cdot log_{6}7\cdot log_{7}8=3

        • Zadanie 11.

          Wykaż, że jeżeli a i x są liczbami dodatnimi oraz a\neq 1,
          to dla dowolnych \alpha ,\beta \in R spełniony jest wzór: 
          log_{a^{\beta }}x^{\alpha }=\frac{\alpha }{\beta }log_{a}x  

        • Zadanie 12.

          Sprawdź, czy liczba \frac{log_{8}49}{log_{2}7} jest liczbą wymierną?

        • Zadanie 13.

          O ile procent liczba log8  jest mniejsza od liczby log^{2}4+log25\cdot log4?

        • Zadanie 14.

          Oblicz
          a) log_{4}\sqrt{5}\cdot log_{25}8  
          b) log2\cdot log50+log^{2}5

        • Zadanie 15.

          Sprawdź, czy liczba \left ( log_{3}36 \right )^{2}-log_{3}16\cdot log_{3}18  jest liczbą całkowitą ?

        • Zadanie 16.

          Oblicz
          a) log_{7}2\cdot log7+log50  

          b) \frac{log_{2}36\cdot log_{3}36}{log_{2}36+ log_{3}36} 

        • Zadanie 17.

          Niech m=log_{21}7 . Wykaż, że log_{7}21=\frac{3\left ( 1-m \right )}{m}

        • Zadanie 18.

          Uzasadnij, że liczby 2^{log_{3}5}\, \, i\, \, 5^{log_{3}2}  są równe.

    • Ciągi

       Jeżeli potrzebujesz wiedzy z ciągów liczbowych, definicji ciągu, zagadnień związanych z ciągiem arytmetycznym, geometrycznym, a następnie utrwalenia tej wiedzy na potrzeby rozwiązywania zadań, zapoznaj się z nagraniami i przejdź do ćwiczeń.

      • Sposoby określania ciągu

        • Zadanie 1.

          Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu
          a) a_{n}=3n-n^{2}
          b) a_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \left ( n-1 \right )

        • Zadanie 2.

          Które wyrazy ciągu są równe zero
          a) a_{n}=5n-n^{2}
          b) b_{n}=\frac{n^{2}-4}{n+3}

        • Zadanie 3.

          Które wyrazy ciągu są dodatnie
          a) a_{n}=2n-10 
          b) b_{n}=-n^{2}-7n-10 
          c) c_{n}=\frac{4-n}{n+3}

        • Zadanie 4.

          Wykres ciągu \left ( a_{n} \right ) jest zawarty w wykresie funkcji liniowej do którego należą punkty A=(3,4)  B=(-2,-5). Wyznacz wzór ogólny ciągu.

        • Zadanie 5.

          Wykres ciągu \left ( a_{n} \right ) jest zawarty w prostej m prostopadłej do prostej o równaniu y=-\frac{1}{2}x-3. Wyznacz wzór ogólny ciągu wiedząc, że a_{4}=8

        • Zadanie 6.

          Wyznacz te wyrazy ciągu a_{n}=\frac{n+6}{n}, które są liczbami całkowitymi.

        • Zadanie 7.

          Wykres ciągu \left ( a_{n} \right ) jest zawarty w paraboli o wierzchołku W=(-2,4). Wiedząc, że przechodzi ona przez punkt A=(0,3) wyznacz wzór ogólny ciągu.

      • Ciągi monotoniczne

        • Zadanie 1.

          Oblicz a_{n+1} jeżeli:
          a) a_{n}=-3n+n^{2}   b) a_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}\cdot \left ( n+13 \right )

        • Zadanie 2.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) jest rosnący
          a) a_{n}=3n+1 
          b) a_{n}=n^{2}+3n

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) jest malejący 
          a) a_{n}=-\sqrt{3}n+1  
          b) a_{n}=-4n^{2}+5

        • Zadanie 4.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) nie jest  monotoniczny, jeżeli:

          a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{n^{2}} 

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości k ciąg \left ( a_{n} \right ) jest  rosnący jeśli:
          a_{n}=\left ( 2k-1 \right )n+5 

      • Ciąg arytmetyczny

        • Zadanie 1.

          Oblicz czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego : 2,5,8,11,…

        • Zadanie 2.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego : -2,-5,-8,-11,…

        • Zadanie 3.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym a2=3, a7=8

        • Zadanie 4.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym
          a)  a1=3, a7=8
          b) a3=4, a8=12
          c) r=-5, a11=4

        • Zadanie 5.

          Wyznacz liczby m, k tak, aby liczby 1,k,9,m tworzyły kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego

        • Zadanie 6.

          Wstaw między liczby 1 i 25 pięć liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny

        • Zadanie 7.

          Wyznacz x, tak aby liczby 2x-1, 5, x+3 tworzyły ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności)

        • Zadanie 8.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) jest arytmetyczny
          a) a_{n}=-\sqrt{7}n-3 

          b) a_{n}=\frac{2-3n}{5}

        • Zadanie 9.

          Wykaż, że ciąg a_{n}=-n^{2}+4 nie jest arytmetyczny

        • Zadanie 10.

          Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą  ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.

        • Zadanie 11.

          Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 10. Oblicz długości przyprostokątnych wiedząc, że długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny.

        • Zadanie 12.

          Miary kątów czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Największy z tych kątów to 1350. Oblicz miary pozostałych katów tego czworokąta.

        • Zadanie 13.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100

        • Zadanie 14.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych

        • Zadanie 15.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.

        • Zadanie 16.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez 3.

        • Zadanie 17.

          Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  -24, -22, -20, …  należy dodać , aby otrzymać liczbę 546?

        • Zadanie 18.

          Rozwiąż równanie 1+5+9+13+…+x = 190

        • Zadanie 19.

          Oblicz sumę S100 ciągu arytmetycznego, w którym a2=b2, a3=(b +1 )2, a4 –a2=2 .

        • Zadanie 20.

          Wyznacz wzór ogólny rosnącego ciągu arytmetycznego ( a n ) o wyrazach całkowitych wiedząc, że suma wyrazów siódmego i jedenastego wynosi 30, zaś iloczyn wyrazów drugiego i szóstego wynosi 9.

      • Ciąg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego  a) 1,3,9,27, …   b) -2,-10,-50, …

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego  wiedząc, że:  
          a) a2=9 , a5=\frac{1}{3}  
          b) a3=4 , a5=1

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego  wiedząc, że:  
          a2.a4=1, (a2)2+(a3)2 =5.

        • Zadanie 4.

          Wykaż, ze ciąg dany wzorem
          a) a_{n}=\frac{1}{5}\cdot 4^{n}  b) b_{n}=3^{2n-1} 
          jest ciągiem geometrycznym. 

        • Zadanie 5.

          Wyznacz x wiedząc, że liczby
          a) 36, x, \frac{1}{9}   b) 1, (x-2), 9 
          są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

        • Zadanie 6.

          Oblicz S7 ciągu geometrycznego, w którym
          a) a_{1}=3,q=-2 b) a_{n}=2n+1

        • Zadanie 7.

          Ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ( a n) w którym a1=5 i q=2 należy dodać , aby otrzymać 635 ?

        • Zadanie 8.

          Liczby x, 15, y są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby wiedząc, że ich suma wynosi 65.

        • Zadanie 9.

          Piłka odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość równą \frac{3}{4} poprzedniej, a za trzecim razem wysokość 54 cm. Na jaką wysokość odbiła się piłka za pierwszym razem.

        • Zadanie 10.

          W pierwszym miesiącu Rafał roznosząc ulotki zarobił 440 zł. W każdym następnym miesiącu zarabiał o 5% więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile złotych zarobił Rafał w 8 miesiącu pracy ?

      • Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Ciąg ( x, y, 12 ) jest geometryczny o wyrazach różnych od zera, natomiast ciąg ( 1, x, y-1 ) jest arytmetyczny. Oblicz x i y.

        • Zadanie 2.

          Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.

        • Zadanie 3.

          Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny maja pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.

        • Zadanie 4.

          Trzy liczby o sumie 15 tworzą ciąg arytmetyczny. Środkowa liczba zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

        • Zadanie 5.

          Trzy różne liczby, których suma równa się 63 tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby ?

      • Procent składany

        • Zadanie 1.

          Trzy banki podają różne informacje o stopie procentowania: w Banku A: oprocentowanie w skali roku wynosi 14%, w Banku B oprocentowanie w skali roku wynosi 13%, ale odsetki dopisywane są co pół roku, w Banku C oprocentowanie w skali roku wynosi 12%, ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 10000 zł.

        • Zadanie 2.

          Firma X zaciągnęła w banku kredyt w wysokości 10000 zł. Co roku bank nalicza odsetki w wysokości 10%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony jednorazowo po n latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma X będzie musiała spłacić 13310 zł ?

    • Stereometria

      Zagadnienia ze stereometrii, czyli z geometrii przestrzennej, przedstawiamy wykorzystując wiedzę z planimetrii przedstawioną już wcześniej w naszych korepetycjach video. Jeżeli zagadnienia z geometrii płaskiej nie są Ci obce, szybko opanujesz kolejne zagadnienia z geometrii przestrzennej, poznając określone prawidłowości potrzebne do obliczania pól powierzchni, objętości graniastosłupów, ostrosłupów, walców, stożków, kul i innych brył.

      • Graniastosłupy

        • Sześcian

          • Zadanie 1.

            Pole sześcianu jest równe 216 cm2. Oblicz objętość tego sześcianu, oraz sinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 2.

            Objętość sześcianu jest równa 64 cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu, oraz cosinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.

          • Zadanie 4.

            Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w filmie ). Oblicz pole trójkąta KLM.

          • Zadanie 5.

            Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 6.

            Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt \alpha taki, że cos\alpha =\frac{4}{5} . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 7.

            Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy (rysunek w filmie). Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt \alpha taki, że cos\alpha =\frac{4}{5} . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 8.

            Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 9.

            Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki sąsiednich krawędzi CD i BC i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

        • Prostopadłościan

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 300 wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60o, a długości podstaw to 5 cm i 7 cm.

          • Zadanie 5.

            Przekątne ścian wychodzące z tego samego wierzchołka prostopadłościanu mają długość 10,6\sqrt{17},8\sqrt{10} . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

          • Zadanie 6.

            Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

        • Graniastosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300.

          • Zadanie 2.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300.

          • Zadanie 3.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 300.

          • Zadanie 4.

            Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600 ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

          • Zadanie 5.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 300.

          • Zadanie 6.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 300.

          • Zadanie 7.

            Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta zawartego między przekątną tego graniastosłupa, a jego krawędzią boczną.

          • Zadanie 8.

            Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.

          • Zadanie 9.

            Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 48\sqrt{3} cm2. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 10.

            Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość d , a sinus kąta między tą przekątną, a krawędzią podstawy jest równy p. Wykaż, że wysokość tego graniastosłupa wyraża się wzorem d\sqrt{2p^{2}-1} 

          • Zadanie 11.

            W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym sinus kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z tego samego wierzchołka jest równy \frac{4}{5} . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej ma długość 5.

        • Graniastosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli cos\alpha =\frac{1}{3} i krawędź boczna ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi 32\sqrt{3} . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.

          • Zadanie 3.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi \frac{9\sqrt{3}}{4} .

          • Zadanie 4.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli promień okręgu opisanego na podstawie jest równy \sqrt{3} .

          • Zadanie 5.

            W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi  podstawy długości 1 promień okręgu opisanego na ścianie bocznej jest czterokrotnie  większy od promienia okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

        • Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długości przekątnych tego graniastosłupa.

          • Zadanie 3.

            Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4\sqrt{3}. Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600 . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa 2\sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

        • Inne graniastosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 1200 i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.

          • Zadanie 2.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 300 i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.

          • Zadanie 3.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm2, następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym \alpha. Wszystkie krawędzie tego graniastosłupa mają długość a . Uzasadnij, że krótsza przekątna tego graniastosłupa ma długość równą a\sqrt{1+4sin^{2}\frac{\alpha }{2}}

          • Zadanie 5.

            Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym \alpha takim, że sin\alpha =0,7. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

      • Ostrosłupy

        • Ostrosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość 2\sqrt{2}, a krawędź boczna ma długość 3.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 12 cm i wysokość jego ściany bocznej tworzą taki kąt \alpha , że sin\alpha =\frac{5}{13} .

          • Zadanie 4.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 9 cm i krawędź boczna tworzą taki kąt \alpha, że cos\alpha =\frac{3}{5} .

          • Zadanie 5.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300, a obwód podstawy wynosi 8.

          • Zadanie 6.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10 cm.

          • Zadanie 8.

            Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.

          • Zadanie 9.

            Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni całkowitej jest równe 21 cm2.

          • Zadanie 10.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Ostrosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość i krawędź boczna tworzą taki kąt \alpha , że cos\alpha =\frac{4}{5}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 3 cm .

          • Zadanie 4.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość o długości 16 cm i wysokość ściany bocznej tworzą taki kąt \alpha, że cos\alpha =\frac{4}{5}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.

          • Zadanie 6.

            Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6, a krawędź boczna ma długość 4. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 7.

            Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.

          • Zadanie 8.

            Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że sin\alpha =\frac{3}{5} . Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy 2\sqrt{3} . Wyznacz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

          • Zadanie 9.

            Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że cos\alpha =\frac{12}{13}. Pole podstawy wynosi 9\sqrt{3}. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 10.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600. Oblicz objętość tej bryły.

          • Zadanie 11.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Koło opisane na podstawie ma pole równe 16\pi. Objętość tego ostrosłupa jest równa 20\sqrt{3} . Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 12.

            Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości a wyraża się wzorem \frac{a\sqrt{6}}{3}.

          • Zadanie 13.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej 18\sqrt{2}\, \, cm^{3}

        • Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 600. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300. Krótsza przekątna podstawy wynosi 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość ściany bocznej jest równa 9 cm. Różnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w podstawę wynosi 8\pi cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

        • Przekroje ostrosłupów

          • Zadanie 1.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy. Pole przekroju jest równe 36 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości  6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

          • Zadanie 3.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości  6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątna podstawy i punkt E będący środkiem krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

          • Zadanie 4.

            Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość i środek krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.

          • Zadanie 5.

            Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju.

        • Inne ostrosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS.

          • Zadanie 2.

            Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.

          • Zadanie 3.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa \frac{80}{3} , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

      • Walec

        • Zadanie 1.

          Pole powierzchni całkowitej walca jest równe  40\pi cm2, a jego wysokość ma długość 10 cm. Oblicz pole koła będącego podstawą walca.

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy 4 cm, jeśli pole jego przekroju osiowego jest równe 40 cm2.

        • Zadanie 3.

          Przekątna d prostokąta będącego przekrojem osiowym walca ma długość 12 cm i tworzy z jego podstawą kąt \alpha =30^{0} Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

        • Zadanie 4.

          Średnica podstawy walca ma długość 8 cm, a pole jego powierzchni bocznej jest czterokrotnie większe od pola podstawy. Oblicz objętość walca.

        • Zadanie 5.

          Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 15 cm i tworzy z jego podstawą kąt \alpha. Oblicz objętość walca, jeśli wiadomo, że cos\alpha =0,6

        • Zadanie 6.

          Pole powierzchni całkowitej walca jest dwa razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz średnicę podstawy tego walca, jeśli jego objętość wynosi 27\pi

        • Zadanie 7.

          Oblicz objętość walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o przekątnej 4.

        • Zadanie 8.

          Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy kąt o mierze 300 z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca i jego objętość.

        • Zadanie 9.

          Objętość walca jest równa 75\pi. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 0,3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

        • Zadanie 10.

          Przekątna prostokąta ma długość 4 i tworzy z dłuższym bokiem kąt 300. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego prostokąta dookoła dłuższego boku.

      • Stożek

        • Zadanie 1.

          Wyznacz kąt rozwarcia stożka, którego tworząca ma długość 10 cm, a pole podstawy jest równe 25\pi cm2.

        • Zadanie 2.

          Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym 16\sqrt{3} cm2. Oblicz objętość tego stożka.

        • Zadanie 3.

          Pole podstawy stożka jest równe 27\pi cm2, a jego objętość wynosi 27\pi cm3. Wyznacz kąt między tworzącą stożka a jego podstawą.

        • Zadanie 4.

          W stożku tworząca długości 15 cm, tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt \alpha, którego sin\alpha =0,6. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

        • Zadanie 5.

          W stożku tworząca długości 13 cm tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt \alpha, którego tg\alpha =2,4. Oblicz objętość tego stożka.

        • Zadanie 6.

          Pole powierzchni bocznej stożka jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.

        • Zadanie 7.

          Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej 2\pi \sqrt{2}\, \, cm^{2} i polu powierzchni całkowitej \frac{2\pi }{\sqrt{2}-1}\, \, cm^{2} . Wyznacz kąt między tworząca tego stożka a jego podstawą.

        • Zadanie 8.

          Na rysunku w filmie przedstawiono wycinek koła, który po zwinięciu jest powierzchnią boczną stożka. Oblicz pole podstawy i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

        • Zadanie 9.

          Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie \alpha i promieniu 9 cm. Oblicz miarę kąta \alpha, jeśli podstawą tego stożka jest koło o polu równym 36\pi \, \, cm^{2} 

        • Zadanie 10.

          Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 i kącie ostrym 300 obracamy dookoła dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.

        • Zadanie 11.

          Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 3 obracamy dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.

        • Zadanie 12.

          Trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i ramionach 13 cm obracamy wokół prostej zawierającej jego ramię. Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.

      • Kula

        • Zadanie 1.

          a) Pole powierzchni kuli jest równe 144\pi cm2. Oblicz objętość tej kuli. b) Objętość kuli jest równe 36\pi cm3. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

        • Zadanie 2.

          Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o środku oddalonym od środka kuli o 7 cm. Oblicz pole tego koła.

        • Zadanie 3.

          Dane są dwie kule o promieniach 3 cm i 5 cm oraz wspólnym środku. Oblicz pole przekroju utworzonego przez przecięcie większej kuli płaszczyzną styczną do mniejszej

      • Bryły podobne

        • Zadanie 1.

          Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36\pi cm3, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Oblicz objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek ich pół powierzchni ?

        • Zadanie 2.

          Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego stożka jest o 125% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego. Oblicz wysokość większego stożka, jeśli wysokość  mniejszego jest równa 6 cm.

        • Zadanie 3.

          Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu ?

        • Zadanie 4.

          Stożek o objętości 27\pi cm3 przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1. Oblicz objętość brył powstałych w wyniku podziału.

    • Rachunek prawdopodobieństwa

      Obliczenia prawdopodobieństwa zaistnienia określonych zdarzeń pozwalają odpowiedzieć na proste pytania typu: jaka jest szansa, że dziś jest wtorek?, po bardziej zaawansowane, obejmujące szeroko pojęte zdarzenia losowe. Poznasz określenie zdarzenia losowego, definicję klasyczną prawdopodobieństwa, własności prawdopodobieństwa. Przygotowane przez nas zadania pozwolą Ci w przyszłości rozwikłać proste zagadnienia kombinatoryczne, zgodne z programem nauczania matematyki w szkole średniej.

      • Reguła mnożenia

        • Zadanie 1.

          Niech zbiór A będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10, zbiór B- zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 20.
          Ile jest par \left ( x,y \right ) takich, że x\in A i x\in B ?

        • Zadanie 2.

          Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą naturalną mniejsza od 20 i podzielną przez 3, druga – liczbą naturalną mniejszą od 30 i podzielną przez 4 ?

        • Zadanie 3.

          Ile może być numerów rejestracyjnych mających na początku dwie litery, a następnie 5 cyfr, jeśli mogą w nich występować jedynie litery B, L oraz cyfry 2, 3, 5, 6, 7 ( litery i cyfry mogą się powtarzać ).

        • Zadanie 4.

          W restauracji serwuje się 5 różnych zup, 8 drugich dań i 6 deserów. Ile różnych zestawów obiadowych, składających się z zupy, drugiego dania i deseru, można zamówić w tej restauracji?

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest mniej niż 200.

      • Permutacje

        • Zadanie 1.

          Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki?

        • Zadanie 2.

          Ile jest wszystkich permutacji zbioru 4 – elementowego. Wyznacz wszystkie permutacje zbioru: \left \{ 1,3,5,7 \right \}

        • Zadanie 3.

          Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0 i żadna cyfra się nie powtarza.

        • Zadanie 4.

          Zawodnikom przydzielono kolejne numery od 1 do n. Ilu jest zawodników, jeśli numery startowe możemy przydzielić na 5040 sposobów?

        • Zadanie 5.

          Biegaczom przydzielono kolejne numery od 1 do 6. Ile może być wyników biegu przy założeniu, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3?

        • Zadanie 6.

          Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 7 szufladach tak, aby każda szuflada była zajęta ( kule i szuflady rozróżniamy ).

        • Zadanie 7.

          Na ile sposobów można ustawić 3 dziewcząt i 6 chłopców w kolejce, jeśli dziewczęta stoją na końcu kolejki?

      • Wariacje bez powtórzeń

        • Zadanie 1.

          Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których mogą występować litery: A, B, C, D, E, F, G, H i żadna liczba się nie powtarza?

        • Zadanie 2.

          Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?

        • Zadanie 3.

          Ile można utworzyć siedmiocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynających się od 701, w których żadna cyfra nie będzie się powtarzała?

        • Zadanie 4.

          W loterii fantowej wzięło udział 100 uczniów i każdy kupił jeden ze stu losów. Do wygrania były: I nagroda – laptop, II – tablet, III smartfon. Na ile sposobów uczniowie mogą wylosować nagrody?

        • Zadanie 5.

          Do windy zatrzymującej się na 10 piętrach wsiadły 4 osoby. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze i nikt nie wysiada na trzech ostatnich piętrach?

      • Wariacje z powtórzeniami

        • Zadanie 1.

          Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych zaczynających się od 12.

        • Zadanie 2.

          Do 3 szuflad wrzucamy 9 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )

        • Zadanie 3.

          Do 9 szuflad wrzucamy 3 kule. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )

        • Zadanie 4.

          Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 10 piętrach?

        • Zadanie 5.

          Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 6 piętrach?

      • Kombinacje

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}  b) \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} c) \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}  d) \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} e) \begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}  f) \begin{pmatrix} 15\\12 \end{pmatrix}

        • Zadanie 2.

          Na ile sposobów można wybrać spośród 8 osób trzyosobową delegację?

        • Zadanie 3.

          Wypisz wszystkie możliwe czteroelementowe kombinacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5}. Sprawdź, czy jest ich \begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}.

        • Zadanie 4.

          Podczas egzaminu student losuje 4 pytania spośród 6. Na ile sposobów może to zrobić?

        • Zadanie 5.

          Spotkało się dziesięcioro znajomych i każdy z każdym przywitał się uściskiem dłoni. Ile było przywitań?

        • Zadanie 6.

          W turnieju szachowym rozegrano 55 partii. Ilu było zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych?

        • Zadanie 7.

          Jeśli przez każde dwa wierzchołki n-kąta foremnego poprowadzimy prostą, to otrzymamy 66 różnych prostych. Wyznacz miarę kąta wewnętrznego tego n-kąta.

      • Kombinatoryka - zadania

        • Zadanie 1.

          Rzucamy trzy razy kostką sześcienną i otrzymane liczby oczek zapisujemy jako kolejne cyfry liczby trzycyfrowej Ile można w ten sposób otrzymać liczb, których: a) suma cyfr jest równa 6  b) iloczyn cyfr jest równy 6?

        • Zadanie 2.

          Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie mogą występować cyfry należące do zbioru \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} i co najmniej raz występuje cyfra 6?

        • Zadanie 3.

          Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie nie występuje cyfra 0, a suma cyfr jest mniejsza od 35?

        • Zadanie 4.

          Ile jest liczb trzycyfrowych, których cyfry należą do zbioru \left \{ 0,2,4,6,8 \right \} i nie mogą się powtarzać, a suma jest większa od 6?

        • Zadanie 5.

          Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest: a) większych od 6000 b) większych od 3500

        • Zadanie 6.

          Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest:
          a) podzielnych przez 25
          b) podzielnych przez 4

        • Zadanie 7.

          Z talii 24 kart wybrano jednego pika, jednego kiera, jedno karo oraz jednego trefla. Wiadomo, że nie wybrano dokładnie trzech asów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?

        • Zadanie 8.

          Z talii 24 kart wybrano jednego asa, jednego króla, jedną damę oraz jednego waleta. Wiadomo, że nie wybrano czterech kierów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?

        • Zadanie 9.

          W partii 40 monitorów komputerowych 4 są uszkodzone. Wybieramy 3 monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru , aby co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?

        • Zadanie 10.

          Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli dziewczęta siedzą razem i chłopcy siedzą razem.

        • Zadanie 11.

          Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli:
          a) dziewczęta siedzą razem
          b) chłopcy siedzą razem.

        • Zadanie 12.

          Mamy do dyspozycji klocki z literami A, A, T, T. Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter.

        • Zadanie 13.

          Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter słowa MATEMATYKA ?

        • Zadanie 14.

          Ile liczb dziesięciocyfrowych można otrzymać przestawiając cyfry w liczbie 9989879876?

        • Zadanie 15.

          Ile jest liczb czterocyfrowych których iloczyn cyfr wynosi 8?

        • Zadanie 16.

          Oblicz ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka.

        • Zadanie 17.

          Na półce ustawiono 7 książek, 3 o tematyce historycznej i 4 kryminalnej. Na ile sposobów można książki ustawić tak, aby książki historyczne stały obok siebie.

        • Zadanie 18.

          W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składającej się z 5 harcerek i 4 harcerzy. Maszerują w szyku zwanym „ gęsiego „. Ile istnieje różnych sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a harcerki z harcerkami?

      • Zdarzenia losowe

        • Zadanie 1.

          Rzucamy raz kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadła parzysta liczba oczek, B – wypadła liczba oczek większa od 8, C – wypadła liczba oczek mniejsza od 7.

        • Zadanie 2.

          Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – suma otrzymanych oczek jest mniejsza od 4, B – iloczyn otrzymanych oczek jest podzielny przez 10.

        • Zadanie 3.

          Rzucamy trzy razy monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadły co najwyżej dwie reszki i A’ ( zdarzenie przeciwne do A )

        • Zadanie 4.

          Rzucamy dwa razy kostką czworościenną. Rozpatrzmy zdarzenia A – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej, B – wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta. Wyznacz zdarzenia C- pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej i wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta, D – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej lub wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta.

      • Prawdopodobieństwo klasyczne

        • Zadanie 1.

          Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek mniejszej od 5.

        • Zadanie 2.

          Z talii 24 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania a) damy b) asa lub króla

        • Zadanie 3.

          Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze liczba oczek otrzymana w drugim rzucie jest o 2 większa od liczby oczek otrzymanej w pierwszym rzucie.

        • Zadanie 4.

          Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb dwucyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 6.

        • Zadanie 5.

          Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzycyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 3.

        • Zadanie 6.

          Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
          a) każda wysiądzie na innym piętrze
          b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze.

        • Zadanie 7.

          Pięć kul rozmieszczamy w pięciu szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda szuflada będzie zajęta ( kule i szuflady rozróżniamy )

        • Zadanie 8.

          Z Talii 24 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli.

        • Zadanie 9.

          W dwudziestoosobowej klasie jest 8 dziewcząt i 12 chłopców. Oblicz prawdopodobieństwo tego , że rozlosowując 6 biletów do kina, bilety dostanie co najmniej 1 dziewczyna.

        • Zadanie 10.

          Rzucamy kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy orła i liczbę oczek będącą liczbą pierwszą.

        • Zadanie 11.

          Ze zbioru liczb  wybieramy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania i układamy w kolejności losowania w liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożymy liczbę złożoną z samych cyfr parzystych.

        • Zadanie 12.

          Ze zbioru liczb  wybieramy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez trzy.

        • Zadanie 13.

          Rzucamy trzy razy trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy dokładnie jedną reszkę.

        • Zadanie 14.

          W urnie jest 6 kul białych, 3 czarne i pewna liczba kul niebieskich. Oblicz, ile jest kul niebieskich jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \frac{1}{3}

        • Zadanie 15.

          Spośród cyfr 1,2,3,4,5,6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 52.

      • Własności prawdopodobieństwa

        • Zadanie 1.

          Rzucamy dziesięć razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego że, przynajmniej raz wypadnie orzeł.

        • Zadanie 2.

          Rzucamy trzykrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego że, przynajmniej raz wypadnie sześć oczek.

        • Zadanie 3.

          Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego ,że suma oczek, które wypadną w obu rzutach jest równa co najmniej 4.

        • Zadanie 4.

          Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w obu rzutach otrzymano parzystą liczbę oczek lub obie otrzymane liczby są większe od 3.

        • Zadanie 5.

          Losujemy jedną liczbę spośród: 1,2,3,4,…,50. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba ta dzieli się przez dwa lub przez trzy.

        • Zadanie 6.

          W pewnej grupie uczniów każdy zna język angielski lub niemiecki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe \frac{7}{8} , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia zdającego język niemiecki jest równe \frac{4}{5}. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń zna obydwa języki. 

        • Zadanie 7.

          Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, wiedząc, że 9P(A)\cdot P(A')=2   

        • Zadanie 8.

          Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A wiedząc, że \frac{P(A)}{P(A')}=3   

        • Zadanie 9.

          Wiemy, że P(A)=2P(B)\, \, i\, \, P(A\cap B)=\frac{1}{12} .  Jeśli zdarzenie A\cup B jest zdarzeniem pewnym, oblicz P(A)-P(B).

        • Zadanie 10.

          Wiemy, że P(A)=\frac{3}{4},P(B)=\frac{1}{3}\, \, oraz\, \, P(A\cup B)=\frac{11}{12}, oblicz P(A\setminus B) wykorzystując wzór P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)

        • Zadanie 11.

          Wiemy, że P(A)=P(A'),P(B)=2P(B'),P(B)=\frac{1}{3}\, \, oraz\, \, P(A\cap B)=\frac{2}{5} . Oblicz P(A\cup B).

        • Zadanie 12.

          Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest trzy razy mniejsze niż prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B oraz pięć razy większe niż prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A, jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 0,55.

        • Zadanie 13.

          O zdarzeniach A,B\subset \Omega wiadomo że, A\cup B=\Omega, prawdopodobieństwo zdarzenia A jest o 0,2 większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B, a prawdopodobieństwo iloczynu A i B jest równe 0,3. Oblicz P(A)\, \, i\, \, P(B').

        • Zadanie 14.

          Zdarzenia A i B są podzbiorami pewnego skończonego zbioru zdarzeń elementarnych. Suma zdarzeń A i B jest zdarzeniem pewnym, a prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia przeciwnego do A. Uzasadnij, że iloczyn zdarzeń A i B jest zdarzeniem niemożliwym.

        • Zadanie 15.

          Jednakowo prawdopodobne zdarzenia A i B są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Prawdopodobieństwo tego, że zajdzie zdarzenie A i zdarzenie B jest równe 0,23, a prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z nich jest równe 0,51. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B.

        • Zadanie 16.

          Udowodnij, że jeżeli P(A)=0,67\, \, i\, \, P(B)=0,83\, \, to\, \, P(A\cap B)\geq 0,5 

    • Statystyka

      Umiejętnie opracowane i rozwiązane w formie filmów video zadania,  powalą osobom korzystającym z platformy MATEMATYKA NA TAK  sprawnie wyliczać średnią arytmetyczną, medianę, dominantę oraz inne wartości, które dotychczas stanowiły dla Ciebie zagadkę. Powyższe wielkości statystyczne są częścią naszej codzienności, znajomość pojęć, ich rozumienie, umiejętność interpretowania danych na podstawie obliczeń, są bardzo przydatne we współczesnym, analitycznym świecie.

      • Średnia arytmetyczna

        • Zadanie 1.

          Średnia arytmetyczna liczb: x1, x2, . . . , x8 jest równa 16, a średnia arytmetyczna liczb:  x2, . . . , x8 jest równa 17. Oblicz x1.

        • Zadanie 2.

          Średnia arytmetyczna liczb: x1, x2, . . . , x7 jest równa 120, a średnia arytmetyczna liczb:  x2, x4, x6 jest równa 100. Oblicz średnia arytmetyczną liczb: x1, x3, x5, x7.

        • Zadanie 3.

          W firmie zatrudniającej 15 pracowników średnie miesięczne wynagrodzenie wynosi 3800 zł. Jakie będzie średnie wynagrodzenie, jeśli firma dodatkowo zatrudni stażystę z wynagrodzeniem miesięcznym 2200 zł.

        • Zadanie 4.

          Średnia wieku rodziców i ich dwójki dzieci jest równa 23 lata. Gdyby uwzględnić wiek dziadka, to średnia wieku wszystkich pięciu osób byłaby równa 31 lat. Oblicz ile lat ma dziadek ?

        • Zadanie 5.

          W pewnej klasie średnia wzrostu dziewcząt jest równa 168 cm, średnia chłopców 176 cm, a średnia wzrostu wszystkich uczniów 174 cm. Uzasadnij, że w tej klasie uczy się trzy razy więcej chłopców niż dziewcząt.

        • Zadanie 6.

          Dana jest tabela ( w filmie ) w której przedstawiono średnie ocen ze sprawdzianu uczniów trzech klas A, B, C. Oblicz średnią ocen ze sprawdzianu  dla wszystkich  uczniów.

      • Mediana i dominanta

        • Zadanie 1.

          Wyznacz medianę i dominantę danych liczb a) 1, 2, 3 ,100, 1000  b) 7, 7, 8, 11, 20 c) 1, 1, 2, 3, 3 d) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2

        • Zadanie 2.

          Nauczyciel zrobił zestawienie wyników trzech sprawdzianów przeprowadzonych w dwudziestoosobowej klasie ( tabela w filmie ). Po kolejnym sprawdzianie dopisał do niego nowe oceny. Wyznacz medianę i dominantę ocen w nowym zestawieniu, jeśli z tego sprawdzianu połowa uczniów otrzymała ocenę bardzo dobrą, a pozostali ocenę niedostateczną

      • Średnia ważona

        • Zadanie 1.

          Oblicz średnią ważoną liczb z podanymi wagami ( tabela w filmie )

        • Zadanie 2.

          Ocena semestralna z matematyki jest średnią ważoną ocen z wagami podanymi w tabeli poniżej. Tomek otrzymał następujące oceny: – prace domowe: 1, 1, 1 – kartkówki: 3, 1, 2, – klasówki: 3, 6, 6. Dla jakiej wartości n średnia ważona tych ocen jest równa 4 ?

      • Wariancja i odchylenie standardowe

        • Zadanie 1.

          Oblicz wariancję i odchylenie standardowe danych a) 4, 9, 11, 13, 13  b) 3, 6, 6, 6, 9

        • Zadanie 2.

          W pewnej firmie badano staż pracy pracowników ( dane w tabeli zamieszczonej w filmie ). Oblicz średni staż pracy pracowników tej firmy oraz wariancję i odchylenie standardowe.  

    • Dowody

      Matematyka to szereg twierdzeń, do których potrzebne są dowody. Tezy oparte na dowodach są wiarygodne i rzetelne, a w algebrze oraz geometrii istnieje wiele zagadnień, które zostały odpowiednio potwierdzone. Zapis dowodu wymaga odpowiedniego matematycznego języka, odpowiedniej struktury zapisu. Najlepszą formą nauczenia się zadań na dowodzenie jest analiza istniejących dowodów, szukanie analogii w zadaniach strukturalnie podobnych. Trzymaj się zasady: im więcej zadań na dowodzenie, tym Twój matematyczny świat będzie bogatszy. Dzięki przygotowanym przez nas rozwiązaniom video poznasz dowody w algebrze i geometrii, mniej lub bardziej złożone. Zapraszamy do nauki z MATEMATYKA NA TAK.

      • Dowody w algebrze

        • Zadanie 1.

          Uzasadnij, że liczba n^{3}-n dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

        • Zadanie 2.

          Uzasadnij, że liczba n^{2}\cdot \left ( n^{2}-1 \right ) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 12.

        • Zadanie 3.

          Uzasadnij, że liczba n(n4-1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

        • Zadanie 4.

          Uzasadnij, że liczba n6-2n4+n2 dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 36.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

        • Zadanie 7.

          Uzasadnij, że liczba 7^{77}-6\cdot 7^{76}+12\cdot 7^{75} jest podzielna przez 19.

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że liczba 17^{8}-6^{8} jest podzielna przez 11 i przez 23, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

        • Zadanie 9.

          Reszta z dzielenia liczby naturalnej n przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby n2 przez 6 jest równa 1.

        • Zadanie 10.

          Reszta z dzielenia każdej z liczb naturalnych: n1, n2, n3 przez 6 jest równa 4. Uzasadnij, że suma kwadratów tych liczb jest podzielna przez 12.

        • Zadanie 11.

          Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 9.

        • Zadanie 12.

          Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że suma sześcianów tych liczb jest podzielna przez 27.

        • Zadanie 13.

          Dane są trzy liczby naturalne takie, że reszta z dzielenia każdej z nich przez 3 jest równa 2. Uzasadnij, że suma tych liczb jest podzielna przez 3.

        • Zadanie 14.

          Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba 3^{n+1}+3^{n}+3^{n-1}  jest podzielna przez 13.

        • Zadanie 15.

          Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4} jest całkowita.

        • Zadanie 16.

          Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 3, to reszta z dzielenia liczby n2 przez 3 jest równa 1.

        • Zadanie 17.

          Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba n2+2 nie jest podzielna przez 4.

        • Zadanie 18.

          Uzasadnij, że nierówność a^{2}+b^{2}\geq 2ab  jest prawdziwa dla dowolnych liczb  a,b\in R

        • Zadanie 19.

          Uzasadnij, że nierówność a^{2}\geq 4b(a-b) jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b\in R

        • Zadanie 20.

          Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a\, \, i\, \, b prawdziwa jest nierówność \frac{(a+b)^{2}}{ab}\geq 4

        • Zadanie 21.

          Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność  \frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}

        • Zadanie 22.

          Uzasadnij, że jeśli \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( c^{2}+d^{2} \right )=\left ( ac+bd \right )^{2}\, \, to\, \, ad=bc 

        • Zadanie 23.

          Uzasadnij, że jeżeli a+b=1\, \, i\, \, a^{2}+b^{2}=7\, \, to\, \, a^{4}+b^{4}=31 

        • Zadanie 24.

          Uzasadnij, że jeżeli a\neq b,a\neq c,b\neq c\, \, i\, \, a+b=2c\, \, to\, \, \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2

        • Zadanie 25.

          Uzasadnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a,b prawdziwa  jest nierówność \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} ( średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

        • Zadanie 26.

          Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b takich, że a+b=\frac{1}{2} prawdziwa  jest nierówność ab\leq \frac{1}{16}  ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

        • Zadanie 27.

          Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a\, \, i\, \, b takich, że ab=4 prawdziwa  jest nierówność a+b\geq 4 ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

        • Zadanie 28.

          Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a\, \, i\, \, b takich, że ab=16 prawdziwa  jest nierówność \left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\geq 25( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

        • Zadanie 29.

          Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a\, \, i\, \, b takich, że a\geq b> 0 prawdziwa  jest nierówność b^{2}\left ( 1+a \right )\leq a^{2}\left ( b+1 \right )  

        • Zadanie 30.

          Wykaż, że dla dowolnych licz rzeczywistych a\, \, i\, \, b  spełniony jest warunek a^{2}+ab+b^{2}\geq 0.

        • Zadanie 31.

          Wykaż, że jeśli a,b,c są liczbami dodatnimi i  a< b  to  \frac{a+c}{b+c}> \frac{a}{b}

        • Zadanie 32.

          Wykaż, że jeśli a,b,c są różnymi od zera liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek a+b+c=0 to prawdziwa jest równość \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0

        • Zadanie 33.

          Wykaż, że jeśli a,b,c  spełniają warunek a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc\, \, to\, \, a=b=c

      • Dowody w geometrii

        • Zadanie 1.

          Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

        • Zadanie 2.

          Udowodnij, że wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do długości boków na które je opuszczono.

        • Zadanie 3.

          Udowodnij, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 4.

          W trójkącie prostokątnym ACB wysokość CD opuszczona z wierzchołka kąta prostego C, podzieliła przeciwprostokątną na odcinki AD i BD. Wykaż, że:
          a) \left | CD \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | BD \right |} 
          b) \left | AC \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | AB \right |}

        • Zadanie 5.

          Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt P tak, że \left | \sphericalangle CAP \right |=\left | \sphericalangle CBD \right |. Uzasadnij, że ∆APL∼∆BPK oraz ∆APB∼∆KLP  gdzie punkty K i L są punktami przecięcia się prostych AP i BP odpowiednio z bokami BC i AC.

        • Zadanie 6.

          W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na połowy połączono z wierzchołkami C i D. Udowodnij, że kąt CMD jest prosty.

        • Zadanie 7.

          Punkt P należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ostrokątnego ABC. Udowodnij, ze suma odległości punktu P od ramion trójkąta jest równa jednej z wysokości tego trójkąta.

        • Zadanie 8.

          Niech P będzie dowolnym punktem należącym do wnętrza równoległoboku ABCD. Udowodnij, że suma pól trójkątów PAB i PCD jest równa sumie pól trójkątów PBC i PDA.

        • Zadanie 9.

          Wykaż, że dla dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta suma odległości od wierzchołków trójkąta jest większa niż połowa jego obwodu.

        • Zadanie 10.

          Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ACB obrano punkty D i E takie, że \left | AD \right |=\left | AC \right |\, \, oraz\, \, \left | BE \right |=\left | BC \right |. Wykaż, że \left | \sphericalangle DCE \right |=45^{0}.

        • Zadanie 11.

          Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Punkt E leży na boku BC oraz |EC|=|CD| i |EB|=|BC|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

        • Zadanie 12.

          Na przekątnej AC równoległoboku ABCD obrano dowolny punkt K. Wykaż, że trójkąty ABK i ADK mają równe pola.