Dowody • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Dowody

Dowody
- Dowody w algebrze
  - Zadanie 1.
    Uzasadnij, że liczba n³ – n dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.
  - Zadanie 2.
    Uzasadnij, że liczba n²·(n² – 1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 12.
  - Zadanie 3.
    Uzasadnij, że liczba n(n⁴-1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.
  - Zadanie 4.
    Uzasadnij, że liczba n⁶-2n⁴+n² dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 36.
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.
  - Zadanie 7.
    Uzasadnij, że liczba 7⁷⁷ – 6·7⁷⁶ + 12·7⁷⁵ jest podzielna przez 19.
  - Zadanie 8.
    Uzasadnij, że liczba 17⁸ – 6⁸ jest podzielna przez 11 i przez 23, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
  - Zadanie 9.
    Reszta z dzielenia liczby naturalnej n przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby n² przez 6 jest równa 1.
  - Zadanie 10.
    Reszta z dzielenia każdej z liczb naturalnych: n₁, n₂, n₃przez 6 jest równa 4. Uzasadnij, że suma kwadratów tych liczb jest podzielna przez 12.
  - Zadanie 11.
    Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 9.
  - Zadanie 12.
    Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że suma sześcianów tych liczb jest podzielna przez 27.
  - Zadanie 13.
    Dane są trzy liczby naturalne takie, że reszta z dzielenia każdej z nich przez 3 jest równa 2. Uzasadnij, że suma tych liczb jest podzielna przez 3.
  - Zadanie 14.
    Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ + 3^n-1 jest podzielna przez 13.
  - Zadanie 15.
    Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba $\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}$ jest całkowita.
  - Zadanie 16.
    Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 3, to reszta z dzielenia liczby n² przez 3 jest równa 1.
  - Zadanie 17.
    Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba n²+2 nie jest podzielna przez 4.
  - Zadanie 18.
    Uzasadnij, że nierówność a² + b² ≥ 2ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R
  - Zadanie 19.
    Uzasadnij, że nierówność a² ≥ 4b(a – b) jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R
  - Zadanie 20.
    Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $a\, \, i\, \, b$ prawdziwa jest nierówność $\frac{(a+b)^{2}}{ab}\geq 4$
  - Zadanie 21.
    Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność $\frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}$
  - Zadanie 22.
    Uzasadnij, że jeśli (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bc)² to ad =bc
  - Zadanie 23.
    Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a² + b² = 7 to a⁴ + b⁴ = 31
  - Zadanie 24.
    Uzasadnij, że jeżeli $a\neq b,a\neq c,b\neq c\, \, i\, \, a+b=2c\, \, to\, \, \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2$
  - Zadanie 25.
    Uzasadnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych prawdziwa jest nierówność $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ ( średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).
  - Zadanie 26.
    Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich takich, że $a+b=\frac{1}{2}$ prawdziwa jest nierówność $ab\leq \frac{1}{16}$ ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).
  - Zadanie 27.
    Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 4 prawdziwa jest nierówność a + b ≥ 4 ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).
  - Zadanie 28.
    Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 16 prawdziwa jest nierówność (1 + a)(1 + b) ≥ 25 (skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej).
  - Zadanie 29.
    Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b takich, że a ≥ b > 0 prawdziwa jest nierówność b²(1 + a) ≤ a²(b + 1).
  - Zadanie 30.
    Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek a² + ab + b² ≥ 0.
  - Zadanie 31.
    Wykaż, że jeśli są liczbami dodatnimi i to $\frac{a+c}{b+c}> \frac{a}{b}$
  - Zadanie 32.
    Wykaż, że jeśli są różnymi od zera liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek to prawdziwa jest równość $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0$
  - Zadanie 33.
    Wykaż, że jeśli a, b, c spełniają warunek a² + b² + c² = ab + ac +bc to a = b.
- Dowody w geometrii
  - Zadanie 1.
    Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.
  - Zadanie 2.
    Udowodnij, że wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do długości boków na które je opuszczono.
  - Zadanie 3.
    Udowodnij, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków ( rysunek w filmie )
  - Zadanie 4.
    W trójkącie prostokątnym ACB wysokość CD opuszczona z wierzchołka kąta prostego C, podzieliła przeciwprostokątną na odcinki AD i BD. Wykaż, że:
    a) $\left | CD \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | BD \right |}$
    b) $\left | AC \right |=\sqrt{\left | AD \right |\cdot \left | AB \right |}$
  - Zadanie 5.
    Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt P tak, że $\left | \sphericalangle CAP \right |=\left | \sphericalangle CBD \right |$ . Uzasadnij, że ∆APL∼∆BPK oraz ∆APB∼∆KLP gdzie punkty K i L są punktami przecięcia się prostych AP i BP odpowiednio z bokami BC i AC.
  - Zadanie 6.
    W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na połowy połączono z wierzchołkami C i D. Udowodnij, że kąt CMD jest prosty.
  - Zadanie 7.
    Punkt P należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ostrokątnego ABC. Udowodnij, ze suma odległości punktu P od ramion trójkąta jest równa jednej z wysokości tego trójkąta.
  - Zadanie 8.
    Niech P będzie dowolnym punktem należącym do wnętrza równoległoboku ABCD. Udowodnij, że suma pól trójkątów PAB i PCD jest równa sumie pól trójkątów PBC i PDA.
  - Zadanie 9.
    Wykaż, że dla dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta suma odległości od wierzchołków trójkąta jest większa niż połowa jego obwodu.
  - Zadanie 10.
    Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ACB obrano punkty D i E takie, że |AD = |AC| oraz |BE| = |BC|. Wykaż, że $\left | \sphericalangle DCE \right |=45^{0}$ .
  - Zadanie 11.
    Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Punkt E leży na boku BC oraz |EC|=|CD| i |EB|=|BC|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.
  - Zadanie 12.
    Na przekątnej AC równoległoboku ABCD obrano dowolny punkt K. Wykaż, że trójkąty ABK i ADK mają równe pola.