fbpx
  • Szkoła średnia - PP+PR
  • Szkoła średnia - PP+PR

    Kurs łączący poziom rozszerzony i poziom podstawowy. Poznawanie każdego działu od podstaw, pozwoli zbudować fundament do przyswojenia treści rozszerzonych. Cała wiedza w jednym miejscu.

    • Liczby rzeczywiste

      • Potęga o wykładniku rzeczywistym

        • Zadanie 1.

          Oblicz:

          a) \frac{2^{3}\cdot 4^{-2}}{2^{-6}} 

          b) \frac{10^{-2}\cdot}{5^{-6}\cdot25^{2} } 

          c)  \frac{6^{4}\cdot9^{-4} }{4^{2}\cdot 12^{-1}} 

          d) \frac{16^{-2}\cdot 125^{-3}}{10^{-4}\cdot 25^{-2}}

        • Zadanie 2.

          Oblicz
          a) 25^{\frac{3}{2}}\cdot 125^{-\frac{1}{3}}  
          b) 64^{-\frac{1}{2}}\cdot 8^{\frac{5}{3}}  
          c) 0,001^{-\frac{1}{3}}\cdot 0,09^{\frac{1}{2}}

        • Zadanie 3.

          Oblicz:

          a) 5^{\frac{5}{6}}\cdot \sqrt{5}\cdot 5^{-\frac{4}{3}} 

          b) \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}\cdot 2^{\frac{7}{6}}

          c) \sqrt[3]{100}\cdot 5^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{4}{3}}

        • Zadanie 4.

          Zapisz liczbę w postaci potęgi a^{x}, gdzie a\in N

          a) \sqrt[4]{3\sqrt{3}}

          b) \sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}}

          c) \sqrt[9]{27\sqrt[3]{9\sqrt{3}}}

        • Zadanie 5.

          Oblicz:

          a) \left [ 4\cdot \left ( 0,5 \right )^{\sqrt{3}} \right ]^{2+\sqrt{3}}    

          b) \frac{\sqrt{5}^{\sqrt{5}}\cdot 5^{\sqrt{5}+1}}{125^{\frac{\sqrt{5}}{2}-1}}

        • Zadanie 6.

          Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:

          \frac{1}{\sqrt{8}},(\sqrt{2})^{-\frac{3}{2}},\frac{1}{2},16^{-\frac{1}{3}}

        • Zadanie 7.

          Wyznacz liczbę, której 80% wynosi:

           2^{3+2\sqrt{3}}:4^{\sqrt{3}}

        • Zadanie 8.

          O ile % większa z liczb a=\left ( \frac{1}{9} \right )^{2}\cdot \frac{81^{3}}{27^{2}}  i  b=\frac{\left [ 16^{3}\cdot \left ( 0,25 \right )^{5} \right ]^{4}}{(0,5)^{-5}}  jest większa od mniejszej z nich ?

        • Zadanie 9.

          Oblicz: 

          a) \frac{2\cdot 5^{16}-9\cdot 5^{15}}{25^{7}}  

          b) \frac{10\cdot 4^{30}+3\cdot 2^{61}}{8^{21}}

        • Zadanie 10.

          Zapisz liczbę k w postaci 2^{m}, gdzie m\in N , jeżeli k=2^{340}+2^{340}+2^{340}+2^{340}

        • Zadanie 11.

          Która z liczb jest większa? 

          a) 17^{24} czy 2^{96}  

          b) 2^{57} czy 3^{38} 

          c) 2^{100} czy 10^{30}

        • Zadanie 12.

          Wykaż, że jeżeli A=3^{2+4\sqrt{2}} i B=3^{3+2\sqrt{2}} , to B=9\sqrt{A}

        • Zadanie 13.

          Wykaż, że liczba 3^{54} jest rozwiązaniem równania 243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}

        • Zadanie 14.

          Wykaż, że liczba 2^{47}+4^{24}+8^{15} jest podzielna przez 13

        • Zadanie 15.

          Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 4^{n}+9^{n}+\frac{1}{3}\cdot 6^{n+1} jest kwadratem liczby całkowitej.

        • Zadanie 16.

          Zapisz liczbę w notacji wykładniczej
          a) 4345730
          b) 0,00301
          c) 0, 000 000 000 000 000 000 029 9

        • Zadanie 17.

          Oblicz:
          a) (3,4\cdot 10^{7})\cdot (4\cdot 10^{-5})
          b) (3,2\cdot 10^{-34})\cdot (0,08\cdot 10^{-5})

        • Zadanie 18.

          Oblicz  \frac{(4,8\cdot 10^{18})\cdot (1,8\cdot 10^{-10})}{(6\cdot 10^{-8})\cdot (1,2\cdot 10^{16})}

      • Pierwiaski

      • Procenty

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) 6% liczby 400 b) 0,5%  liczby 24

        • Zadanie 2.

          Oblicz jakim procentem liczby 10 jest liczba 16.

        • Zadanie 3.

          Za jedną akcję firmy X tydzień temu trzeba było zapłacić 25 zł, a dziś o 2,45 zł więcej. O ile procent podrożały akcje ?

        • Zadanie 4.

          Oblicz liczbę , której 6% wynosi 40

        • Zadanie 5.

          Cena pewnego towaru przed obniżką wynosi x. Obecna cena stanowi 85% ceny początkowej i wynosi 272 zł. Oblicz x.

        • Zadanie 6.

          Wyznacz a)  liczbę o 2% większą od 1600  b)  o 75% mniejszą od 3

        • Zadanie 7.

          Cena telewizora na początku to 1200 zł. Jak byłaby cena tego telewizora, gdyby najpierw podniesiona ją o 10%, a następnie obniżono o 10%.

        • Zadanie 8.

          Cenę sukienki obniżono o 60%. O ile % należałoby podnieść nową cenę, aby sukienka kosztowała tyle samo co przed obniżką?

        • Zadanie 9.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę brutto komputera, jeśli cena netto wynosi 2200 zł. Ile procent ceny brutto stanowi podatek VAT?

        • Zadanie 10.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę netto, jeśli cena brutto komputera wynosi 3198 zł. Ile procent ceny brutto stanowi cena netto?

        • Zadanie 11.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Podatek VAT doliczony do ceny netto komputera wynosi 483 zł. Jak jest cena brutto tego komputera? Ile byłaby równa cena brutto tego komputera, gdyby jego cena netto została podniesiona o 100 zł?

        • Zadanie 12.

          Liczba członków pewnego klubu wzrastała przez ostatnie trzy lata o 20% rocznie. Ilu członków liczył ten klub trzy lata temu, jeśli rok temu należało do niego 216 osób.

        • Zadanie 13.

          Według sondażu w lutym poparcie dla  partii X wynosiło 16%, a w marcu 20%.
          a) O ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii X
          b) O ile procent wzrosła liczba osób popierających partię X

        • Zadanie 14.

          W pewnym banku o procentowanie lokaty wynosiło 5,4%, by następnie spaść do 4,2%.
          a) O ile punktów procentowych spadło oprocentowanie
          b) O ile procent zmalało oprocentowanie lokaty w tym banku.

        • Zadanie 15.

          Tomek złożył w banku 7500 zł na lokatę roczną oprocentowana 4% w skali roku. Oblicz, jaką kwotę odbierze po roku, jeśli od odsetek jest pobierany podatek w wysokości 20%.

        • Zadanie 16.

          Ewa  złożyła do banku pewną kwotę K na roczną lokatę oprocentowaną 4% w skali roku. Od dopisanych odsetek został pobrany podatek w wysokości 20%. Jaką kwotę wpłaciła Ewa, jeśli po roku odebrała z banku 2580 zł.

    • Język matematyki

      • Zbiory

        • Zadanie 1.

          Czy zbiory A i B są równe jeśli : a)  A=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 27 \right \}  i  B=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 30 \right \}  b) A=\left \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \right \}  i  B=\left \{ x\in C:x^{2}\leq 9 \right \}

        • Zadanie 2.

          Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli:
          a) A=\left \{ 1,3,5,7,11 \right \},B=\left \{ 0,1,2,3,4,7,10 \right \}
          b) A=\left \{ x\in N:1\leq x< 8 \right \},B=\left \{ x\in N:1< x\leq 16 \right \}

        • Zadanie 3.

          Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli zbiór A jest zbiorem spółgłosek słowa arytmetyka, zbiór B zbiorem spółgłosek w słowie geometria, zbiór C zbiorem spółgłosek w słowie algebra, następnie wyznacz zbiór D=\left ( A\cap B \right )\setminus C

      • Przedziały

        • Zadanie 1.

          Wyznacz zbiór A\cup B  jeśli:
          a)  A=\left \langle -2, 3\right \rangle B=\left (0,6\right)
          b)  A=\left (-\infty \displaystyle,3\ \right \rangle    B=\left (-4 \displaystyle,1\ \right \rangle
          c)  A=\left ( -3,2\right ) B=\left \langle2,3 \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz zbiór A\cap B jeżeli:
          a) A=\left \langle -2,3 \right \rangle,B=\left ( 0,6 \right )  
          b) A=(-\infty ,5\rangle,B=(-4,1\rangle 
          c) A=\left ( -3,-2 \right ),B=\left \langle 2,5\right )
          d) A=\left ( -3, 2 \right \rangle,B=\left \langle 2, 5 \right )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz zbiory A\setminus B,B\setminus A  jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,5 \right )  
          b)A=(-\infty ,6 \rangle,B=(-3,1\rangle 
          c) A=\left ( -3,2\right \rangle,B=\left \langle 2,5\right ) 

        • Zadanie 4.

          Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A  jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,4 \right )\cup \left ( 6,\infty \right )  
          b) A=\left ( -\infty ,-2 \right\rangle \cup \left \langle 1,7 \right),B=\left (-3,1 \right\rangle 

        • Zadanie 5.

          Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A jeżeli:
          a) A=\left \langle -4,0\cup \left \{ 3 \right \} \right \rangle,B=\left \langle 3,5 \right \rangle
          b) A=\left \langle 3,\infty\right),B=\left \{ 2,3,4 \right \} 

        • Zadanie 6.

          Ile elementów należy do zbioru X jeśli:
          a) X=\left ( -\pi ,\pi \right )\cap N 
          b) X=(-3,4\rangle\cap C 
          c) X=\left [ \left ( -3,4)\setminus \left \langle 1,5 \right \rangle \right ) \right ]\cap C

        • Zadanie 7.

          Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cap B^{'}  jeżeli:
          A=\left ( -3,0 \right ),B=\left \langle 1,3 \right \rangle

        • Zadanie 8.

          Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cup B^{'}  jeżeli:
          A=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,5 \right ),B=\left ( -5,-1 \right )

      • Rozwiązywanie nierówności

        • Zadanie1.

          Rozwiąż nierówności a) 3\left ( 2x-4 \right )< 4x+8    b) 4-2\left ( x-1 \right )< 3x+1 . Rozwiązanie zapisz przedziałem.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż nierówności a) \frac{2-3x}{3}\geq x-1  b) 1-\frac{3x+2}{5}\leq \frac{2-x}{3} . Rozwiązanie zapisz przedziałem.

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż nierówności a) 3\left ( x-2 \right )< \frac{1}{3}\left ( 9x-12 \right )  b) \frac{2-3x}{3}\geq -x+1

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż nierówność  \frac{2}{3}x-\frac{5x-2}{4}\leq -x+\frac{11}{6}. Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność podwójną  3\left ( -2-x \right )+1< -2x\leq -5x+1

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż nierówność podwójną  \frac{2-x}{5}\leq 3-x< 2x-9

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż nierówności a) x+\sqrt{3}x< 2+2\sqrt{3}    b) x-\sqrt{5}\geq \sqrt{5}x-1

        • Zadanie 8.

          Rozwiąż nierówności a) 2x+3> \pi x   b) \sqrt{2}x-3\pi x\leq 3\pi ^{2}-\pi \sqrt{2}

        • Zadanie 9.

          Liczby x+1,2x+2,2x-2  są długościami boków trójkąta. Wyznacz do jakiego przedziału należy liczba x?

        • Zadanie 10.

          Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 5, jeżeli suma tych liczb jest większa od 110 i nie większa od 150.

      • Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

        • Zadanie 1.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia a) \left ( 3x+4 \right )^{2}  b)  \left (2x^{2}-3 \right )^{2}  c) \left ( 2-3x^{2} \right )\cdot \left ( 2+3x^{2} \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
          a) \left ( -3x+4 \right )^{2}  
          b) \left ( -2x^{2}-3 \right )^{2} 
          c)  \left ( 2-3x^{2} \right )\left ( 3x^{2}+2 \right )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
          a) \left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )  
          b) \left ( 2x+1 \right )\left ( 4x^{2}+1 \right )\left ( 1-2x \right ) 
          c) \left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}

        • Zadanie 4.

          Wykonaj działania, odpowiedź podaj w najprostszej postaci
          a) \left ( 2x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( 2x+\frac{1}{2} \right )^{2} 
          b) \left ( x^{3}-3x \right )^{2}-\left ( x^{3}-3x^{2} \right )^{2}-\left ( x^{3}-1 \right )\left ( x^{3}+1 \right )

        • Zadanie 5.

          Wyznacz iloczyn
          a) \left ( 2x-3 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )^{2} 
          b) \left ( 2x^{3}+x^{2} \right )^{2}\left ( x^{2}-2x^{3} \right )^{2}

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij równość
          a) \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right ) 
          b) \left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2}=4xy

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość wyrażenia  
           \left ( x-3 \right )^{2}+\left ( 2x+1 \right )^{2}+5\left ( x+1 \right )\left ( 1-x \right ) 

          dla  x=\frac{15-\sqrt{2}}{2}

        • Zadanie 8.

          Oblicz 
          a) \left ( 2\sqrt{5}-\sqrt{10} \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{5}+1 \right )\left ( 1-2\sqrt{5} \right )

          b) \sqrt{4-2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}}

        • Zadanie 9.

          Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych:
          a=8+\sqrt{2},b=4-2\sqrt{2}

        • Zadanie 10.

          Oblicz
          a) \left ( \sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}} \right )^{2}  
          b) \left ( \sqrt{2+\sqrt{5}} +\sqrt{-2+\sqrt{5}}\right)^{2}

        • Zadanie 11.

          Wyprowadź wzór
          a) \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac 
          b) \left ( a-b-c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ac
          stosując wzory skróconego mnożenia.

        • Zadanie 12.

          Usuń niewymierność z mianownika
          a) \frac{1}{6+\sqrt{2}}    

          b) \frac{2}{4-3\sqrt{2}} 

          c) \frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3+2}} 

        • Zadanie 13.

          Usuń niewymierność z mianownika 

          \frac{1}{-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}

        • Zadanie 14.

          Oblicz

          \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}

        • Zadanie 15.

          Oblicz a) \left ( 2x+3 \right )^{3}   b) \left ( 1-3x \right )^{3}

        • Zadanie 16.

          Zapisz w postaci sumy algebraicznej
          a) \left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right ) 
          b)\left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x^{2}+1 \right ) 
          c) \left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+4 \right )

        • Zadanie 17.

          Usuń niewymierność z mianownika

          a) \frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}  b) \frac{5}{2-\sqrt[3]{3}}

        • Zadanie 18.

          Wyznacz x, podaj wynik usuwając niewymierność w mianowniku, jeżeli:
          2x-\sqrt{3}=x\sqrt{2}-3

      • Wartość bezwzględna

        • Pojęcie wartości bezwzględnej, interpretacja geometryczna

          • Zadanie 1.

            Oblicz a) \left | 2 \right |  b) \left | \frac{-1}{2} \right |  c) \left | -1+\sqrt{3} \right |  d) \left | 2\sqrt{2} -5\right |  e) \sqrt{\left ( \sqrt{3}-2 \right )^{2}}  f)  \sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )^{2}}

          • Zadanie 2.

            Wykaż, że:
            \sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}=2

          • Zadanie 3.

            Wykaż, że:
            \sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}=1

          • Zadanie 4.

            Rozwiąż równanie
            a) \left | x-2 \right |=4 
            b) \left | x+3 \right |=2 
            c)  \left | x-3 \right |=0
            d) \left | x+5 \right |=-2

          • Zadanie 5.

            Rozwiąż nierówność
            a) \left | x-2 \right |< 4 
            b) \left | x+3 \right |\leq 2 
            c) \left | x-3 \right |< -4

          • Zadanie 6.

            Rozwiąż nierówność
            a) \left | x+2 \right |> 4  
            b) \left | x-2 \right |\geq 5 
            c)  \left | x-1 \right |> -4

          • Zadanie 7.

            Rozwiąż nierówność
            \left | x+1 \right |\geq \sqrt{\left ( 3-2\sqrt{3} \right )^{2}}-\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-2 \right )^{2}}

          • Zadanie 8.

            Uprość wyrażenie dla x< 0 
            a) \sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}-\sqrt{x^{2}}
            b) \sqrt{x^{2}-4x+4}+x

          • Zadanie 9.

            Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości x
            a) \left | -x \right |+\left | 2-x \right |-\left | 3-2x \right | dla x\geq 2 
            b) \sqrt{x^{2}+6x+9}+\left | -x \right |-\left | -2x-6 \right | dla x\leq -3

          • Zadanie 10.

            Jakie liczby x spełniają równanie
            a) \left | x-3 \right |=x-3  
            b) \left | x+\sqrt{2} \right |=-x-\sqrt{2}

        • Równania z wartością bezwzględną

          • Zadanie 1.

            Rozwiąż równanie
            a) |x + 3| = 2
            b) |2x – 1| = 3

          • Zadanie 2.

            Rozwiąż równania
            a) \sqrt{9x^{2}+6x+1}=1
            b) |4x – 3| = -3

          • Zadanie 3.

            Rozwiąż równanie 2|x – 1| – 3|1 – x| = 2 – 3|-x +1|

          • Zadanie 4.

            Rozwiąż równanie  \frac{5\left | -2x-4 \right |-1}{3}=\frac{1}{2}

          • Zadanie 5.

            Rozwiąż równanie ||x +2| – 3| = 5

          • Zadanie 6.

            Rozwiąż równanie  ||x – 1| – 7| = 2

          • Zadanie 7.

            Rozwiąż równanie 2|x – 2| = 3x – 1

          • Zadanie 8.

            Rozwiąż równanie |x – 1| + |x + 2| = 5

          • Zadanie 9.

            Rozwiąż równanie \left | -10x-15 \right |=\sqrt{4x^{2}+12x+9}+8  

        • Nierówności z wartością bezwzględną

          • Zadanie 1.

            Rozwiąż nierówności
            a) |x + 1| > 3
            b) |2x – 1| ≥ 2

          • Zadanie 2.

            Rozwiąż nierówność
            a) \sqrt{4x^{2}-4x+1}\geq 2
            b) |-2x – 1| > -3
            c) |2x – 5| > 0

          • Zadanie 3.

            Rozwiąż nierówności
            a) |x – 5| < 2
            b) |3x + 2| ≤ 2

          • Zadanie 4.

            Rozwiąż nierówność
            a) \sqrt{25x^{2}-10x+1}\leq 3
            b) |1 – 3x| < -3
            c) |2x + 4| ≤ 0

          • Zadanie 5.

            Rozwiąż nierówność ||x – 4| – 3| < 5

          • Zadanie 6.

            Rozwiąż nierówność \left | 6-\sqrt{4x^{2}+12x+9} \right |\geq 3

          • Zadanie 7.

            Rozwiąż nierówność \left | \left | x \right |-3 \right |< \sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}

          • Zadanie 8.

            Rozwiąż nierówność |1 – 3x| > 2x +3

          • Zadanie 9.

            Rozwiąż nierówność |x + 2| + 2 ≥ 3x – |x – 3|

        • Wykresy funkcji z wartością bezwzględną

          • Zadanie 1.

            Sporządź wykres funkcji  f(x) = |x – 2| – 3

          • Zadanie 2.

            Sporządź wykres funkcji  f(x) = ||x| + 3| – 4

          • Zadanie 3.

            Sporządź wykres funkcji  f(x) = |2x – 4| – x + 2

          • Zadanie 4.

            Sporządź wykres funkcji  f(x) = |x – 2| + |x + 3| – 1

          • Zadanie 5.

            Sporządź wykres funkcji f(x)=\sqrt{4x^{2}+16x+16}-\left | x \right |-x

          • Zadanie 6.

            Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{\left | \left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right ) \right |}{x^{3}+4x^{2}+x-6}

        • Zadania różne

          • Zadanie 1.

            Rozwiąż graficznie nierówność \left | x-1 \right |+1> x+2

          • Zadanie 2.

            Rozwiąż graficznie nierówność |x + 3| + 2|x| > x + 5

          • Zadanie 3.

            Zbadaj ilość rozwiązań równania ||x – 2| – 4| = m w zależności od parametru m.

          • Zadanie 4.

            Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie  \frac{\sqrt{a^{2}-4ab+4b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+4ab+4b^{2}}}-\frac{8ab}{a^{2}-4b^{2}}+\frac{2b}{a-2b} dla 0< a< 2b

          • Zadanie 5.

            Dana jest nierówność |x – 1|+ |x + 2| < m. Wyznacz te wartości m, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań.

          • Zadanie 6.

            Dla jakich wartości parametru m, równanie |x – 1| = m2 – 2m +1 ma dwa pierwiastki dodatnie?

          • Zadanie 7.

            W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających równanie |x| + |y| = 2

          • Zadanie 8.

            W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających nierówność |x + 1| + |y + 1| ≤ 1

    • Układy równań

      • Rozwiązywanie układów równań

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż układ  równań 

          \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\3x-4y=2 \end{matrix}\right.

           metodą podstawiania.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

          a) \left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\ 4x-6y=2\end{matrix}\right.      

          b) \left\{\begin{matrix} -x+3y=4\\ 2x-6y=-1\end{matrix}\right.  

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

          a) \left\{\begin{matrix} 5x-3y=2\\ 3x-2y=1\end{matrix}\right.

          b) \left\{\begin{array}{l} -x+3y-4=0\\ 2x-6y=-8\end{array}\right.

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ x-2y=1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie

          \left\{\begin{matrix} -2x+y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.

        • Zadanie 7.

          Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań
          a) oznaczony b) nieoznaczony c) sprzeczny

        • Zadanie 8.

          Dla jakich wartości parametrów m i k para liczb: x=3, y=2 jest rozwiązaniem układu równań :

          \left\{\begin{array}{l} mx+ky=5\\ (k-1)x-2my=-4\end{array}\right.

        • Zadanie 9.

          Dla jakich wartości parametru a układ równań 

          a) \left\{\begin{matrix} ay-3x=-2\\ 3x-5y=2\end{matrix}\right.  jest układem nieoznaczonym 

          b) \left\{\begin{matrix} 2ax-5y=4\\ 4x+\frac{3}{2}y=-1\end{matrix}\right.   jest układem sprzecznym ?

        • Zadanie 10.

          Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach

          a) 2x-3y-5=0\, \, i\,\, -3x-y+2=0    

          b) y=\frac{1}{2}x-1\, \, i\, \, y=-3x+7

        • Zadanie 11.

          Sprawdź algebraicznie czy punkty A=(-2,-5) B=(-123,-247) C=(4,7) są współliniowe ?

        • Zadanie 12.

          Wyznacz t, wiedząc, że punkty A=(t,0)  B=(-2,-6)  C=(2,-3) należą do tej samej prostej.

        • Zadanie 13.

          Wierzchołki B i C trójkąta prostokątnego ABC są punktami przecięcia prostej y=-\frac{3}{4}x+3 z osiami układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka A, jeśli przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu y=\frac{1}{2}x-2

        • Zadanie 14.

          Wyznacz równanie prostej AB jeżeli A=(-2,5) B=(4,-7), a następnie wyznacz współrzędne punktu przecięcia tej prostej z prostą o równaniu y=\frac{1}{2}x+2

      • Zadania tekstowe

        • Zadanie 1.

          Przewieziono 44 tony towaru 9 samochodami o ładowności 4 tony i 6 ton. Ile było samochodów mniejszych, a ile większych, jeżeli każdy został wykorzystany maksymalnie?

        • Zadanie 2.

          W dwóch sadach owocowych rosło razem 1500 drzewek. W ciągu roku liczba drzewek w każdym sadzie powiększyła się o 25% i wtedy okazało się, że liczba drzewek w drugim sadzie stanowiła \frac{2}{3} liczby drzewek w pierwszym sadzie. Ile drzewek było w każdym sadzie na początku roku?

        • Zadanie 3.

          Znajdź dwie takie liczby, aby suma \frac{1}{3} pierwszej z nich i 25% drugiej wynosiła 9, zaś różnica podwojonej pierwszej i 75% drugiej wynosiła również 9.

        • Zadanie 4.

          Obwód prostokąta wynosi 54 cm. Jeżeli dłuższy bok powiększymy o 1 cm, a krótszy zmniejszymy o 1 cm, to pole zmniejszy się o 4 cm2. Oblicz długości boków prostokąta.

        • Zadanie 5.

          Zmieszano dwa rodzaje syropu, syrop zawierający 70% czystego cukru z syropem zawierającym 20% czystego cukru. Po zmieszaniu otrzymano 10 kg syropu zawierającego 50% czystego cukru. Oblicz masę każdego rodzaju syropu.

        • Zadanie 6.

          Zmieszano dwa rodzaje roztworów soli kuchennej, roztwór o stężeniu 10% z roztworem o stężeniu 25%. W wyniku zmieszania otrzymano 12 kg roztworu
          o stężeniu 15%. Oblicz masę każdego z roztworów.

        • Zadanie 7.

          Dwa kawałki stopu – pierwszy o zawartości 80% czystego złota, a drugi o zawartości 30% czystego złota stopiono i otrzymano stop o zawartości 40% czystego złota. Oblicz, ile było kilogramów każdego stopu, jeśli wiadomo, że stopu drugiego było o 6 kg więcej niż stopu pierwszego.

        • Zadanie 8.

          W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. W wyniku przestawienia miejscami cyfr otrzymamy liczbę o 27 mniejszą od liczby początkowej. Jaka to liczba? Wykonaj odpowiednie obliczenia.

        • Zadanie 9.

          W pewnej liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa 5. Suma cyfry setek i jedności tej liczby jest równa 10. W wyniku przestawienia miejscami cyfry setek i cyfry jedności otrzymamy liczbę o 396 większą od liczby początkowej. Jaka to liczba? Wykonaj odpowiednie obliczenia.

        • Zadanie 10.

          Trzy lata temu córka była trzy razy młodsza od matki. Za siedem lat matka będzie starsza od córki o 20 lat. Ile lat mają obecnie matka i córka?

        • Zadanie 11.

          Statek płynący ze stałą prędkością z prądem rzeki pokonuje odległość 60 km w czasie 5 godzin, płynąc zaś pod prąd tę samą odległość pokonuje w czasie 7,5 godziny. Oblicz prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.

    • Funkcje

      • Sposoby opisu funkcji

        • Zadanie 1.

          Wskaż przyporządkowanie, które nie jest funkcją ( rysunki w filmie )

        • Zadanie 2.

          Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4, 5} i  Y = {-2, -1, 1, 2} oraz funkcja f przedstawiona za pomocą grafu ( rysunek w filmie )
          a) podaj wartości funkcji f dla argumentów parzystych
          b) dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość 2
          c) przedstaw funkcję f za pomocą tabelki.

        • Zadanie 3.

          Sporządź tabelę, graf i wykres funkcji f : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} → C jeśli:
           f(x) = 0 dla x parzystych i f(x)=\frac{1}{2}\left ( x-3 \right ) dla x nieparzystych.

        • Zadanie 4.

          Dana jest funkcja f : N → N taka, że f(x) jest resztą z dzielenia x przez k.
          Naszkicuj wykres tej funkcji oraz oblicz f(103) jeśli k=3.

        • Zadanie 5.

          Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie dwucyfrowej iloczyn jej cyfr
          a) jaka jest najmniejsza, a jaka największa wartość funkcji f?
          b) dla ilu argumentów funkcja f przyjmuje wartość 16?

      • Szkicowanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru a) f(x) = x – 1  b) f(x) = x2  c) f(x) = |x|  d)  f(x)=\sqrt{x}   e)  f(x)=\frac{1}{x}

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru
          a) f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x< 2\\ -x+3\, \, dla\, \, x\geq 2\end{matrix}\right.   

          b) f(x)=\left\{\begin{matrix} \left |x \right | \, \, \, \, dla\, \, x< 1\\ \sqrt{x}\, \, dla\, \, x\geq 1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru
          a) f(x)=\frac{x}{x}  b) f(x)=\frac{x}{\left | x \right |}

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji f określonej za pomocą wzoru
          a) f(x) = x2 – 5 dla x ∈ { 1, 2, 3, 4 }
          b) f(x) = x2 – 5 dla x ∈ <-1,4>

      • Dziedzina i miejsca zerowe funkcji

        • Zadanie 1.

          Podaj dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\frac{2x}{3x-1}

          b)  f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}

          c)  f(x)=\frac{2x}{\left ( 2x+1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )}

        • Zadanie 2.

          Podaj dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\sqrt{3x-1} 

          b)f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{2x+3}} 


          c) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-2x}}

        • Zadanie 3.

          Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji
          a) f(x)=\frac{x^{2}-4}{2x-4}  

          b) f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-1}} 

          c) f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe funkcji
          a) f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+2}}  b) f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^{2}-4}

        • Zadanie 5.

          Wyznacz dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\frac{\sqrt{x+6}}{\left ( x^{2}-4 \right )\sqrt{3-x}} 

          b) f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\left | 2x+1 \right |\cdot \sqrt{-x}}

      • Odczytywanie własności funkcji z wykresu

        • Zadanie 1.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x) > 0, f(x) < 0 (wykres funkcji w filmie).

        • Zadanie 2.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x) > 0, f(x) < 0 (wykres funkcji w filmie).

        • Zadanie 3.

          Odczytaj z wykresu funkcji f jej własności a) dziedzina b) zbiór wartości c) przedziały monotoniczności d) miejsca zerowe e) wartość największą i najmniejszą oraz argumenty dla których te wartości są przyjmowane f) Zbiór rozwiązań nierówności f(x) > 0, f(x) < 0 (wykres funkcji w filmie).

      • Przekształcanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x) (wykres w filmie) .
          Sporządź wykresy funkcji:
          a) g(x) = f(x – 2)
          b) h(x) = f(x) – 2

        • Zadanie 2.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x) (wykres w filmie).
          Sporządź wykresy funkcji:

          a) g(x) = f(x + 2) – 3 
          b) h(x) = f(x -2) + 3

        • Zadanie 3.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x) (wykres w filmie).
          Sporządź wykresy funkcji:
          a) g(x) = -f(x) 
          b) h(x) = f(-x) 

        • Zadanie 4.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x) (wykres w filmie).
          Sporządź wykres funkcji g(x) = -f(-x).
          Odczytaj z wykresu dziedzinę funkcji g.

        • Zadanie 5.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x) (wykres w filmie).
          Sporządź wykres funkcji  g(x) = |f(x)|.
          Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji g.

        • Zadanie 6.

          Dany jest wykres funkcji y = f(x).
          Sporządź wykres funkcji g(x) = -f(x – 3) + 2.
          Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji g.

        • Zadanie 7.

          Funkcja f opisana jest wzorem f(x) = 2x2 – 3.
          Wyznacz wzór funkcji:
          a) g(x) = f(x – 3) + 2  
          b) h(x) = f(-x) + 3
          c) z(x) = -f(x + 1) – 2

        • Zadanie 8.

          Funkcja f opisana jest wzorem f(x) = 2x2 – 3x. Wyznacz wzór funkcji g, której wykres powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w lewo i cztery jednostki do dołu, a następnie symetrycznie odbity względem osi OX.

      • Funkcje - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Na wykresie przedstawiono jak zmieniała się przebyta droga w czasie wyprawy Doroty do lasu ( wykres w filmie ). Najpierw spacerowała 45 minut, potem przez 30 minut biegała, kolejne 30 minut odpoczywała, a na koniec spacerem wróciła do domu a) Jaka była średnia prędkość spaceru na początku, a jaka na końcu wyprawy?  b) O której godzinie Dorota wróciła do domu, jeśli wyruszyła o 11.50?

        • Zadanie 2.

          Rowerzysta miał do przejechania 60 km. Pierwszą połowę trasy jechał ze średnia prędkością 15 km/h. Z jaka prędkością jechał druga połowę, jeśli średnia prędkość na całej trasie wynosiła 20 km/h? Naszkicuj wykres pokazujący zależność przebytej drogi od czasu.

    • Funkcja liniowa

      • Wykres funkcji liniowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest prosta równoległa do prostej o równaniu y = 3x + 4 i przechodząca przez punkt P=(1,8).

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt P=(2,6) i przecina oś OY w punkcie A=(0,4).

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A=(-3,-5) i B=(3,7).

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej f, jeśli f(2) = 7 i f(-1) = -2

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej , prawdziwa jest równość f(2n +1) + f(2n -1) = 2f(2n).

        • Zadanie 6.

          Sprawdź algebraicznie, czy punkt Q=(16,9) należy do wykresu funkcji liniowej f, jeżeli do wykresu należy punkt P=(8,3) i wykres przecina oś OY w punkcie A=(0,-1)

        • Zadanie 7.

          Sprawdź , czy punkt Q należy do wykresu funkcji f(x)=-\frac{3}{2}x+b, jeśli: Q=(-4,5)  i  b2 + 1 = 2b

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole zacieniowanej figury (rysunek w filmie)

      • Własności funkcji liniowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz miejsce zerowe funkcji:
          a) f(x)=\frac{1}{2}x+3
          b) f(x)=\left ( 1-\sqrt{2} \right )x+3

        • Zadanie 2.

          Określ monotoniczność funkcji f(x) = (1 + 5m)x – 3 w zależności od parametru m.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji f(x)=-\frac{1}{2}x-4 z osiami układu współrzędnych.

        • Zadanie 4.

          Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą k, będącą wykresem funkcji f(x) = -2x + 4.

        • Zadanie 5.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli do jej wykresu należy punkt A=(0,4) i przyjmuje ona wartości ujemne tylko dla x < – 6.

        • Zadanie 6.

          Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli trójkąt ograniczony jej wykresem i osiami układu współrzędnych jest równoramienny, a funkcja przyjmuje wartości ujemne
          tylko dla  x > 3

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość parametru m, dla którego miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=\frac{1-m}{2}x+2  jest liczba 4.

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miejsca zerowe funkcji:

          f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x+2\, \, dla\, \, x\leq 1\\ 4x+2\, \, dla\, \, x> 1\end{matrix}\right.

        • Zadanie 9.

          Miejscem zerowym funkcji f(x) = ax + 2 jest liczba \frac{1}{2} . Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości funkcji f są mniejsze od
          wartości funkcji g(x) = -3x + 4.

        • Zadanie 10.

          Wyznacz a, jeśli wykresy funkcji f(x) = (2 – a)x + 4 i g(x) = -2x + 2 przecinają oś OX w tym samym punkcie.

        • Zadanie 11.

          Funkcja liniowa f(x) = 3ax – b jest malejąca, natomiast funkcja liniowa g(x) = bx – 3a jest rosnąca. Wykresy funkcji f i g przecinają oś OX w tym samym punkcie A. Oblicz odciętą punktu A oraz wyznacz wzory funkcji f i g wiedząc, że wykresy są prostopadłe.

      • Funkcja liniowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Funkcja  opisuje miesięczne koszty ( w złotych) firmy produkującej krasnale ogrodowe. 1500 to koszt stały, 12 zł to koszt wyprodukowania jednego krasnala, x – liczba krasnali. Jaki był półroczny zysk firmy, jeżeli w tym czasie wyprodukowano 1800 krasnali i sprzedano je po 37 zł za sztukę?

        • Zadanie 2.

          Wynajęcie lokalu A na dyskotekę kosztuje 400 zł za salę i 10 zł za każdego uczestnika. Wynajęcie lokalu B na dyskotekę kosztuje 100 zł za salę i 15 zł za każdego uczestnika. Przy jakiej liczbie uczestników koszty te będą równe?

    • Funkcja kwadratowa

      • Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = -4x2 + 8x + 1 i zapisz jej postać kanoniczną

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:
          a) f(x) = 2x2 – 4x + 8
          b) f(x) = -3(x – 3)2 – 4
          c) f(x) = 3x2 – 5

        • Zadanie 3.

          Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + bx – 1 jeśli prosta o równaniu x = – 1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji

        • Zadanie 4.

          Wyznacz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + bx + c jeśli punkt W=(1,3) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji

        • Zadanie 5.
        • Zadanie 6.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej      
          a) f(x) = 2x2 +3x + 1
          b) f(x) = – x2 – 3x + 5      
          c) f(x) = 3(x – 1)2 + 5

        • Zadanie 7.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku W=(2,-3), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(4,-1)

        • Zadanie 8.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = x2 + kx +m, której zbiorem wartości jest przedział (-∞,4> wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji
          jest równa 2.

        • Zadanie 9.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem  tej funkcji jest równa 4, średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi 2 i wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0,3)

      • Równania kwadratowe

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie:
          a) x2 – 2x = 3
          b) 2x2 – 4x + 2 = 0
          c) 3x2 – 2x + 3 = 0
          d) x2 – 4x + 2 = 0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania:
          a) 3x2 – 2x = 0
          b) 4x2 – 25 = 0
          c) 2x2 – 3 = 0
          d) 2x2 + 3 = 0
          e) (2x – 1)(3 + 4x) = 0

      • Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

        • Zadanie 1.

          Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:
          a) y = 2x2 – 3x – 2
          b) y = 4x2 – x + 1
          c) y = 2x2 – 3x + 2
          d) y = 2x2 – 3x
          e) y = 2x2 – 2

        • Zadanie 2.

          Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
          a) y = (x – 2)(x + 3)  
          b) y = 2(3x – 2)(x – 3) 
          c) y = -4(3x +2)(5 – 3x)

        • Zadanie 3.

          Oblicz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y = x2 + bx + c , którego pierwiastkami są liczby 3 i 5.

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = 2(x – 3)(x + 5)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x1=2, x2=-3, a zbiorem wartości tej funkcji
          jest Y = <4,∞)

      • Nierówności kwadratowe

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż nierówność 2x2 – 3x + 1 ≤ 0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż nierówność – 3x2 – 2x + 1 ≤ 0

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż nierówność – x2 + 2x – 1 ≤ 0

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż nierówność 4x2 + 4x + 1 ≤ 0

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność x2 + 4x + 5 < 0

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż nierówność – x2 – 2x – 5 < 0

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż nierówność (x – 1)( + 2) < 0

        • Zadanie 8.

          Rozwiąż nierówność (3 – 5x)(2x + 2) > 0

        • Zadanie 9.

          Rozwiąż nierówność -(1 + 4x)(2 – x) > 0

        • Zadanie 10.

          Rozwiąż nierówność 4x2 – 1 >0

        • Zadanie 11.

          Rozwiąż nierówność x2 + 9 > 0

        • Zadanie 12.

          Rozwiąż nierówność 3x2 + 2x < 0

        • Zadanie 13.

          Rozwiąż nierówność -3x2 + 4x + 1 < 0

      • Funkcja kwadratowa - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

          a) f(x) = 2x2 – 4x + 3 w przedziale <-1,2>

          b) f(x) = – x2 – 2x + 3 w przedziale <-3,2>

          c) f(x) = 3x2 – 5x + 3 w przedziale <-3,-1>

        • Zadanie 2.

          Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 24.

        • Zadanie 3.

          Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.

        • Zadanie 4.

          Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m2.

      • Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

      • Nierówności sprowadzalne do nierówności kwadratowych

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż nierówność (x – 2)(2x – 3) < (x + 5)(x – 2)

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż nierówność (x – 1)(3x – 2) – (x – 5)(1 – x) ≥ 0

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż nierówność  x2 – 5|x| < 0

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż nierówność x2 + |x| -2 ≤ 0

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność x2 – |x – 2| ≥ 0

        • Zadanie 6.

          Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}

      • Układy równań i nierówności stopnia drugiego

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie \left\{\begin{matrix} y=x^{2}+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie \left\{\begin{matrix} y=-x^{2}-4x-1\\y=x^{2}+2x-1 \end{matrix}\right.

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie \left\{\begin{matrix} y=-x^{2}+3\\y=\left | x \right |-3 \end{matrix}\right.

        • Zadanie 4.

          Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny opisany układem nierówności \left\{\begin{matrix} y\geq x^{2}-3\\y< x-1 \end{matrix}\right.

      • Wzory Vietea

        • Zadanie 1.

          Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego x2 – 8x + 7 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 2.

          Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego -x2 -5x +1 =0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 3.

          Oblicz kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x2 – 4x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 4.

          Oblicz wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania kwadratowego 2x2 + 3x – 7 =0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 5.

          Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego x2 + 2x – 4 = 0bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 6.

          Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x2 – 5x + 2 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 7.

          Oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania kwadratowego x2 – 2x – 1 = 0  bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 8.

          Oblicz sumę czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego x2 – 5x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.

        • Zadanie 9.

          Określ znaki pierwiastków ( o ile istnieją ) równania kwadratowego bez obliczania tych pierwiastków
          a) x2 – 3x + 2 = 0
          b) x2 + 3x + 2 = 0
          c) x2 + x – 2 = 0

      • Równania kwadratowe z parametrem

        • Zadanie 1.

          Zbadaj ilość rozwiązań równania x^{2}-\left ( 3m-1 \right )x+\frac{9}{4}m+\frac{1}{4}=0 w zależności od parametru m.

        • Zadanie 2.

          Zbadaj ilość rozwiązań równania mx2 + 2mx – 3 = 0 w zależności od parametru m.

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru k równanie x2 + (2k+2)x + 9k – 5 = 0  ma dwa różne pierwiastki
          a) jednakowych znaków
          b) ujemne
          c) dodatnie

        • Zadanie 4.

          Dla jakich wartości parametru k równanie x2 + (2k-3)x + 2k + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków.

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + (3m-2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x12 + x22 > 8.

        • Zadanie 6.

          Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (m-3)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 2.

        • Zadanie 7.

          Dla jakich wartości parametru k równanie x2 + (k-1)x + k + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x1| + |x2| < 3

        • Zadanie 8.

          Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1.

        • Zadanie 9.

          Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania  x2 – (m-5)x + 6 – 2m = 0 osiąga wartość najmniejszą?

        • Zadanie 10.

          Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x4 – 2(m+3)x2 + m – 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki?

      • Nierówności kwadratowe z parametrem

        • Zadanie 1.

          Dla jakich wartości parametru m nierówność x2 – mx + m + 3 > 0 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x?

        • Zadanie 2.

          Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności (5-m)x2 – 2(1-m)x + 2 – 2m < 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=\sqrt{x^{2}-2mx-m}  jest zbiór R?

        • Zadanie 4.

          Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left ( m-1 \right )x^{2}-\left ( m-1 \right )x+1}}  jest zbiór R?

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości m wartości funkcji f(x) = (2m+1)x2 + (m-1)x + 3m są mniejsze od wartości funkcji g(x) = (1-m)x + 3 dla każdego x∈R?

    • Planimetria

      • Trójkąty przystające

        • Zadanie 1.

          Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

        • Zadanie 2.

          Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB \left | \right | DE i |AC|=|CE|

        • Zadanie 3.

          W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 4.

          W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

        • Zadanie 5.

          Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

        • Zadanie 6.

          Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na  rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|

        • Zadanie 7.

          Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

      • Trójkąty podobne

        • Zadanie 1.

          Dane są długości boków pierwszego trójkąta wynoszą 6,8,12, a drugiego 9,12,18. Czy trójkąty te są podobne ? Jeżeli są podobne wyznacz skalę podobieństwa.

        • Zadanie 2.

          Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 8, 12. Najdłuższy bok trójkąta A'B'C' jest równy 16 oraz \bigtriangleup ABC\sim A'B'C'. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Oblicz obwód trójkąta A'B'C'.

        • Zadanie 3.

          Trójkąt ABC, którego obwód jest równy 55, jest podobny do trójkąta o bokach długości : 4, 8, 10. Oblicz długości boków trójkąta ABC

        • Zadanie 4.

          Oblicz długość x, jeśli BE||CD (rysunek w filmie)

        • Zadanie 5.

          Oblicz długość x, jeśli czworokąt ABCD jest równoległobokiem (rysunek w filmie)

        • Zadanie 6.

          Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym 6. Oblicz długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.

        • Zadanie 7.

          W trójkącie prostokątnym ACB o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h=\frac{ab}{c}  , gdzie  a i b są długościami przyprostokątnych i  c długością przeciwprostokątnej.

        • Zadanie 8.

          W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość h na podstawę AB. Udowodnij, że h^{2}=\left | AD \right |\cdot \left | DB \right |  , gdzie  punkt D jest spodkiem wysokości h na przeciwprostokątną AB.

        • Zadanie 9.

          W okręgu poprowadzono dwie cięciwy AB i CD przecinające się w punkcie P. Udowodnij, że \bigtriangleup PAC\sim \bigtriangleup PDB, następnie wykaż, że \left | PA \right |\cdot \left | PB \right |=\left | PC \right |\cdot \left | PD \right |

        • Zadanie 10.

          Dany jest trapez o podstawach AB i CD. Jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że \bigtriangleup ABO\sim \bigtriangleup CDO  Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6 cm, a długości podstaw są odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Oblicz pola trójkątów ABO i CDO.

      • Wielokąty podobne

        • Zadanie 1.

          Prostokąt P_{1} ma boki długości 12 cm i 16 cm. Prostokąt P_{2} ma przekątną długości 25 cm i jeden z boków długości 20 cm. Uzasadnij, że prostokąty są podobne i podaj skalę podobieństwa.

        • Zadanie 2.

          Prostokąt  ma boki długości 12 cm i 15 cm i jest podobny do prostokąta o obwodzie 36 cm. Oblicz długość przekątnej mniejszego prostokąta.

        • Zadanie 3.

          Prostokąt P_{1} ma boki długości 6 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta P_{2} o obwodzie 60 cm. Oblicz pole większego prostokąta.

        • Zadanie 4.

          Trapez równoramienny o podstawach długości 4 cm i 9 cm podzielono na dwa trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.

        • Zadanie 5.

          Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x. Po odcięciu kwadratu o boku 1, otrzymujemy prostokąt podobny do prostokąta wyjściowego.
          Wykaż, że x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} ( rysunek w filmie )

      • Trójkąty prostokątne

        • Zadanie 1.

          Oblicz x (rysunek w filmie)

        • Zadanie 2.

          Oblicz x (rysunek w filmie)

        • Zadanie 3.

          Sprawdź czy trójkąt o bokach długości
          a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}  b) 5,9,11 jest prostokątny ?

        • Zadanie 4.

          Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że:
          a) przekątna kwadratu o boku długości a  ma długość a\sqrt{2} 
          b) wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości a, wynosi h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

        • Zadanie 5.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 6.

          Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6\left ( 1+\sqrt{2} \right )

        • Zadanie 8.

          Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę 120^{0}. Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+6\sqrt{2}

        • Zadanie 10.

          Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABD (rysunek w filmie), jeśli pole trójkąta BCD jest równe 3\sqrt{3}  .

      • Pole trójkąta

        • Zadanie 1.

          Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\Delta }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3} .

        • Zadanie 2.

          Wyprowadź wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2} a bsin\alpha , gdzie a,b są długościami boków trójkąta i kąt \alpha jest kątem zawartym między tymi bokami. Oblicz pole trójkąta ABC, w którym \left | AB \right |=4\sqrt{3},\left | AC \right |=\sqrt{3},\left | \measuredangle ABC \right |=35^{0}\left | \measuredangle ACB \right |=100^{0}

        • Zadanie 3.

          Obwód trójkąta równoramiennego ABC ( rysunek w filmie) jest równy (12+8\sqrt{3}) cm. Punkt P jest środkiem odcinka BC, a punkt R dzieli odcinek AB w stosunku 3:2Oblicz pole trójkąta a) APC b) ARC

        • Zadanie 4.

          W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6} .
          Oblicz miary kątów \bigtriangleup.

        • Zadanie 5.

          Zastosuj wzór Herona, na pole trójkąta o bokach długości a,b,c, P_{\bigtriangleup }=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}  , gdzie p=\frac{a+b+c}{2} ( połowa obwodu trójkąta ). Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4,7,5.

        • Zadanie 6.

          Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach x i 2x ma miarę 120^{0}. Uzasadnij, ze pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o boku długości x.

        • Zadanie 7.

          Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie równej a i kącie przy podstawie 15^{0}. Uzasadnij, że jeśli wysokość opuszczona na podstawę równa się h, to ramię tego trójkąta ma długość \sqrt{2ah}

      • Pole czworokąta

        • Zadanie 1.

          Kąt rozwarty równoległoboku to 120^{o}, oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.

        • Zadanie 2.

          Uzasadnij wzór na pole równoległoboku P=abin\alpha , gdzie a i b są długościami boków równoległoboku, \alpha jest kątem jaki tworzą te boki. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 10 cm wiedząc, że kąt rozwarty w tym równoległoboku to 150^{o}.

        • Zadanie 3.

          Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm2. Oblicz wysokości i miary kątów tego równoległoboku.

        • Zadanie 4.

          Jeden z boków równoległoboku ma długość 15 cm i tworzy z drugim bokiem kąt \alpha taki, że sin\alpha =\frac{2}{3} . Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli pole jest równe 45 cm2.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij wzór na pole równoległoboku ABCDP=\frac{1}{2}\left | AC \right |\left | BC \right |sin\varphi ( \varphi – kąt między przekątnymi równoległoboku ). Oblicz pole równoległoboku, w którym przekątne o długości 10 cm i 14 cm przecinają się pod kątem 300.

        • Zadanie 6.

          Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i sin\alpha =\frac{3}{4}, gdzie \alpha jest kątem ostrym równoległoboku.

        • Zadanie 7.

          Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?

        • Zadanie 8.

          Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole rombu o kącie ostrym 400 i dłuższej przekątnej równej 30 cm.

        • Zadanie 10.

          Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym 600 oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.

        • Zadanie 11.

          Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

        • Zadanie 12.

          Przekątne rombu maja długości 12 cm i 16 cm, a jego kąt ostry ma miarę \alpha . Oblicz sin\alpha.

        • Zadanie 13.

          Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.

        • Zadanie 14.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm, 6 cm i przekątnej długości 9 cm.

        • Zadanie 15.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 600.

        • Zadanie 16.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.

        • Zadanie 17.

          W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 450 i polu równym 90 cm2 dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt \alpha taki, że tg\alpha =\frac{1}{3} . Oblicz obwód tego trapezu.

        • Zadanie 18.

          Oblicz pole trapezu prostokątnego ABCD w którym \left | BC \right | = 10 cm, \left | AB \right | = 14 cm, sinus kąta CBA wynosi \frac{\sqrt{5}}{3}

        • Zadanie 19.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego kąt ostry ma miarę 300, a podstawy mają długości 4 cm i 10 cm.

        • Zadanie 20.

          Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach długości 6\sqrt{3}  cm i 2\sqrt{3} cm opisanego na okręgu o promieniu 3 cm.

      • Długość okręgu i pole koła

        • Zadanie 1.

          a) Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 1200

          b) Jaką miarę ma kąt AOB, jeśli punkty A, B leżące na okręgu o środku O i promieniu 8, wyznaczają łuk długości 2\pi

        • Zadanie 2.

          Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm, \left | AB \right | = 5 cm. Ile jest równa długość łuku AB

        • Zadanie 3.

          a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o obwodzie równym 32
          b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 6

        • Zadanie 4.

          a) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 400
          b) Pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt jest równe 2\pi. Oblicz miarę kąta \alpha

        • Zadanie 5.

          Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 4 wyznaczają kąt AOB o mierze 600. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

        • Zadanie 6.

          Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB o mierze 900. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

        • Zadanie 7.

          W kole o promieniu 4 poprowadzono cięciwę o długości 4\sqrt{2}. Oblicz pola figur, na które podzieliła ona koło.

      • Kąty w okręgu

        • Zadanie 1.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 2.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 3.

          Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 6.

          Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)

        • Zadanie 7.

          Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)

        • Zadanie 9.

          Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)

        • Zadanie 10.

          Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)

      • Okrąg opisany na trójkącie

        • Zadanie 1.

          W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 45°, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

        • Zadanie 2.

          W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta ( rozważ dwa przypadki )

        • Zadanie 3.

          Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 7 cm i 12 cm.

        • Zadanie 4.

          Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm2. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 

        • Zadanie 5.

          Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3 : 4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a wyraża się wzorem R=\frac{a\sqrt{3}}{3} .

        • Zadanie 7.

          Oblicz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opisano okrąg o promieniu 6 cm.

        • Zadanie 8.

          Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód wynosi  4+2\sqrt{2}

        • Zadanie 9.

          Na trójkącie równoramiennym rozwartokątnym do którego podstawy poprowadzono wysokość równą 8, opisano okrąg o promieniu 13. Oblicz obwód trójkąta.

      • Okrąg wpisany w trójkąt

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 7 i 24.

        • Zadanie 2.

          Na okręgu o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

        • Zadanie 3.

          Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

        • Zadanie 4.

          Uzasadnij wzór na pole trójkąta P_{\bigtriangleup }=\frac{a+b+c}{2}\cdot r , gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta i r długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a jest równa \frac{a\sqrt{3}}{6} . Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu 4.

        • Zadanie 6.

          Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120°. Oblicz długości boków tego trójkąta.

        • Zadanie 7.

          Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o obwodzie równym 12+6\sqrt{2}

      • Okrąg opisany na czworokącie

        • Zadanie 1.

          Na trapezie o kolejnych kątach \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta opisano okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu jeżeli \alpha =\frac{1}{4}\gamma

        • Zadanie 2.

          Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Miara kąta przy wierzchołku A jest mniejsza o 50° od miary kąta przy wierzchołku C i o 50° większa od miary kąta przy wierzchołku B. Oblicz miary kątów tego czworokąta.

        • Zadanie 3.

          Przekątna  czworokąta  wpisanego w okrąg o środku S jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku A jest ostry i  \left | \sphericalangle BSD \right |=100^{\circ}, oblicz miary kątów czworokąta ABCD.

        • Zadanie 4.

          Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz długości przekątnych tego trapezu wiedząc, że kąt ostry tego trapezu to 30° i promień okręgu ma długość 4 cm. 

        • Zadanie 5.

          Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że kąt ostry między przekątnymi tego trapezu to 60° , a ramię trapezu ma długość 2 cm

        • Zadanie 6.

          W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30° oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

        • Zadanie 7.

          W trapezie równoramiennym ABCD jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Pole tego trapezu wynosi 9 cm2. Oblicz długości boków trapezu oraz pole koła opisanego na trapezie.

      • Okrąg wpisany w czworokąt

        • Zadanie 1.

          W czworokącie KLMN bok KL jest o 3 krótszy od boku MN. Wiedząc, że w ten czworokąt można wpisać okrąg i |LM|=8, |KN|=9 oblicz długości boków KL i MN.

        • Zadanie 2.

          W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Bok AB tego czworokąta jest siedem razy krótszy niż bok CD, zaś bok AD jest trzy razy krótszy niż bok BC. Ile razy bok BC jest dłuższy niż bok AB?

        • Zadanie 3.

          Oblicz pole trapezu równoramiennego i długości jego ramion wiedząc, że długości jego podstaw wynoszą 6 cm, 10 cm i można w niego wpisać okrąg.

        • Zadanie 4.

          W trapez o kątach ostrych przy dłuższej podstawie 30° i 60° wpisano okrąg o promieniu 1. Oblicz długości podstaw trapezu.

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole rombu o kącie rozwartym 150° w którego wpisano okrąg o promieniu 4 cm.

        • Zadanie 6.

          Trapez prostokątny o kącie ostrym 60° jest opisany na okręgu o promieniu długości 2. Oblicz pole trapezu.

      • Twierdzenie sinusów

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż trójkąt, mają dane: a=4, α=45°, β=60°.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż trójkąt, mają dane: b=5 cm, c=4 cm, β=60°.

        • Zadanie 3.

          Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt w którym a=4, b=8, α=45°.

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż trójkąt w którym dane są a=3, b=5, α=30°.

        • Zadanie 5.

          W \Delta \, ABC dane są: \left | AC \right |=4,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ},\left | \sphericalangle ACB \right |=105^{\circ} . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

        • Zadanie 6.

          W trójkącie równoramiennym ramię ma długość b, kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz pole tego trójkąta i długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

        • Zadanie 7.

          Jeden z boków trójkąta ma długość a, zaś kąty przyległe do tego boku mają miary α, β. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości boków tego trójkąta.

        • Zadanie 8.

          Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt K, że |KB|:|KC|=4:1 
          a) Oblicz stosunek pól trójkątów ABK i AKC
          b) Oblicz stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABK i AKC
          c) Wyznacz sinus kąta BAK

        • Zadanie 9.

          W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku C podzieliła bok AB na odcinki długości x i y licząc od punktu A. Przyjmując, że \left | AC \right |=a,\left | BC \right |=b  wykaż, że  \frac{a}{b}=\frac{x}{y}.

      • Twierdzenie cosinusów

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC w którym \left | AB \right |=10,\left | AC \right |=6,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ}

        • Zadanie 2.

          Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach długości \sqrt{2},2,1+\sqrt{3}

        • Zadanie 3.

          Sprawdź czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 długości  jest trójkątem rozwartokątnym?

        • Zadanie 4.

          Oblicz długości boków równoległoboku o bokach długości 3 cm i 5 cm oraz kącie ostrym 30°.

        • Zadanie 5.

          Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie w którym, długości dwóch boków to 1 i 4, a miara kąta zawartego między tymi bokami to 60°.

        • Zadanie 6.

          Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.

        • Zadanie 7.

          W równoległoboku ABCD, gdzie \left | AB \right |=a,\left | BC \right |=b,\left | \sphericalangle DAB \right |=\alpha \,, połączono wierzchołek A ze środkami boków BC i CD otrzymując odpowiednio punkty K i L. Oblicz obwód trójkąta AKL.

        • Zadanie 8.

          Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

    • Geometria analityczna

      • Długość odcinka

        • Zadanie 1.

          Oblicz długość odcinka:

          a) AB, jeśli A=(-3,-1),  B=(-5,-1) 

          b) CD jeśli  C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right ), D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny jeśli A=(1,3) B=(6,4) C=(4,-1)

        • Zadanie 3.

          Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(3,0) B=(-6,8) C=(-2,-2)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB jeżeli A=(-2,6) B=(10,0) 

        • Zadanie 5.

          Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz taki punkt S na osi OX,  aby jego odległość od punktu P wyniosła \sqrt{74}

        • Zadanie 6.

          Na prostej o równaniu y=2x wyznacz punkt, który jest jednakowo odległy od punktów A=(3,1), B=(7,3)

      • Środek odcinka

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne środka odcinka:

          a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)

          b) CD jeśli C=\left (-\sqrt{2},-3 \right ) D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz współrzędne punktu K wiedząc, że środkiem odcinka MK jest punkt S=(-1,3) i M=(2,5)

        • Zadanie 3.

          Dane są punkty A=(x,-2) B=(7,y). Oblicz długość odcinka AB, jeżeli jego środkiem jest punkt K=(2,1)

        • Zadanie 4.

          W równoległoboku dane są sąsiednie wierzchołki A=(4,2), B=(1,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku oraz jego obwód, jeżeli przekątne przecinają się w punkcie S=(0,3)

      • Równanie kierunkowe i równanie ogólne prostej na płaszczyźnie

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty

          a) A=(1,3) B=(-3, -5)

          b) C=(-4,-2) D=(1,3)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AB jeśli:
          a) A=(-1,-3),B=(-3,-5)
          b) A=(\sqrt{2},2),B=(\sqrt{3},-3)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie kierunkowe prostej CD, jeżeli C=(-2,4) D=(3,-5) korzystając ze wzoru y = a(x – xo) + yo

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  A=(-1,-4) B=(2,5)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli  a) A=(-1,-4) B=(2,-4) b) A=(-3,5) B=(-3,-2)

      • Proste równoległe

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y =2x -3 i przechodzącej przez punkt A=(-3,4)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y – 7 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(2,4)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD równoległoboku ABCD wiedząc, że A=(-2,-3) B=(3,1) C=(1,4)

        • Zadanie 4.

          Dla jakiej wartości parametru m proste o danych równaniach są równoległe 
          a) y = -3x – 4  i y = ( m2 – 4 )x -7
          b) ( m – 2 )x -3y +4 = 0 i y = 3x -6

        • Zadanie 5.

          Sprawdź czy czworokąt o wierzchołkach A=(-5,-3) B=(4,-1) C=(7,4) D=(-2,2) jest równoległobokiem.

      • Proste prostopadłe

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = -2x – 3 i przechodzącej przez punkt A=(5,4)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-4y+3=0  i przechodzącej przez punkt B=(-1,4)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
          a) y=3  i przechodzącej przez punkt C=(-2,4)
          b) x=2 i przechodzącej przez punkt A=(-4,1)

        • Zadanie 4.

          Sprawdź algebraicznie czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(-2,-1) B=(0,-3) C=(4,5)

        • Zadanie 5.

          Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte przekątne tego rombu, jeżeli A=(-2,-6) B=(5,-3) C(8,4)

        • Zadanie 6.

          Punkty A=(0,0) i C(2,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD, którego przekątna BD zawarta jest w prostej o równaniu y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}. Uzasadnij, że prostokąt jest kwadratem.

        • Zadanie 7.

          Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość w trójkącie ABC opuszczoną z wierzchołka B, jeśli A=(-3,-2) B=(4,1) C=(2,5)

        • Zadanie 8.

          Wyznacz równanie symetralnej odcinka CD, jeśli C=(-3,2) D=(5,6)

        • Zadanie 9.

          Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach y=(m^{2}-5m+6)x+3\, \, i\, \, y=-\frac{1}{2}x-5 są prostopadłe ?

        • Zadanie 10.

          Punkty A=(2,5) i C(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

        • Zadanie 11.

          Punkty A=(2,0) i B=(12,0)  są  wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.

        • Zadanie 12.

          Okrąg ośrodku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

      • Odległość punktu od prostej

        • Zadanie 1.

          Oblicz odległość punktu:

          a) P=(-1,3) od prostej o równaniu 3x – 4y + 6 = 0

          b) A=(2,-3) od prostej o równaniu y=\frac{2}{3}x-1

        • Zadanie 2.

          Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A=(-1,0) B=(1,2) C=(2,-2)

        • Zadanie 3.

          Podstawa AB trójkąta ABC jest zawarta w prostej l o równaniu y=3x+6. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że punkty A i B są punktami przecięcia prostej l z osiami układu współrzędnych i C=(2,-4)

        • Zadanie 4.

          Punkty A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu y=\frac{3}{5}x-6 z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D=(1,4)

        • Zadanie 5.

          Oblicz odległość między prostymi o równaniach 3x-2y-4=0\, \, i\, \, y=\frac{3}{2}x+1

        • Zadanie 6.

          Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej m: y = 2x -3, jeżeli odległość między tymi prostymi jest równa 4.

      • Symetria osiowa i symetria środkowa

        • Zadanie 1.

          Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:
          a) osi OX
          b) osi OY
          c) punktu (0,0)
          d) punktu (-3,5)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu (x -3)2 + (y +4)2 = 25 w symetrii względem osi
          a) OX
          b) osi OY
          c) punktu (0,0)

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem
          a) osi OX
          b) osi OY
          c) punktu A=(0,0)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem punktu A=(-1,-3)

        • Zadanie 5.

          Wyznacz a i b wiedząc, że punkt A’=(-a+2,4) jest obrazem punktu A=(-5,b+3) w symetrii względem a) osi OX  b) osi OY

      • Równanie okręgu

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równanie okręgu:

          a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3

          b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB gdzie A=(1,2) B=(7,2)

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru k punkt P=(-6,-1) należy do okręgu o środku w punkcie S=(k,-1) i promieniu 4?

        • Zadanie 4.

          Wyznacz promień i współrzędne środka okręgu o równaniu
          a) x2 + y2 +2x +10y – 10 = 0
          b) x2 + y2 -4x = 0

        • Zadanie 5.

          Sprawdź czy podane równanie jest równaniem okręgu
          a)  x2 + y2 + 6x – 4y +13 = 0
          b) x2 + y2 – x – 3y +3 = 0

        • Zadanie 6.

          Wyznacz równanie okręgu o promieniu r=3\sqrt{5} przechodzącego przez punkty A=(2,1) B(2,-5)

        • Zadanie 7.

          Prosta l:y=\frac{1}{2}x+4 jest styczną do okręgu, którego środkiem jest punkt A=(-3,0). Wyznacz długość promienia i zapisz równanie tego okręgu.

        • Zadanie 8.

          Ile punktów wspólnych z okręgiem o równaniu (x -3)2 + (y + 2)2 = 4 ma prosta o równaniu y=-\frac{1}{2}x+3

      • Wektory w układzie współrzędnych

        • Zadanie 1.

          Dane są punkty A=(-1,-3), B=(5,1), C=(2,8). Oblicz
          a) współrzędne wektorów \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}   b) długości wektorów \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}

        • Zadanie 2.

          Dane są punkty A=(-2,0), B=(3,5), C=(6,4) .Wyznacz współrzędne punktu D, tak aby wektory \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{CD} były równe.

        • Zadanie 3.

          W równoległoboku ABCD dane są A=(-6,-3), B=(5,-1), C=(2,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

        • Zadanie 4.

          Wyznacz współrzędne wektora \vec{a}=2\cdot \vec{u}+3\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}\cdot \vec{w} jeżeli \vec{u}=\left [ -1,3 \right ],\vec{v}=\left [ 2-4 \right ],\vec{w}=\left [ 6,-2 \right ]

        • Zadanie 5.

          Udowodnij, że środkiem odcinka AB, gdzie A=(x_{A},y_{A}), B=\left ( x_{B},y_{B} \right )  jest punkt S=\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right ).

        • Zadanie 6.

          Na odcinku AB wyznacz taki punkt P, aby spełniony był warunek |AP|:|PB|=3:1 wiedząc, że A=(-2,3), B=(6,5).

        • Zadanie 7.

          Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC, jeżeli A=(2,2), B=(0,-2), C=(5/2,-3).

        • Zadanie 8.

          Punkty A, B, C nie są współliniowe i leżą w układzie współrzędnych. Punkty M, N są odpowiednio środkami odcinków AB i AC, a punkt P jest środkiem odcinka MN. Wykaż, że dla dowolnego punktu O, różnego od wymienionych punktów, zachodzi równość 2\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\cdot \overrightarrow{OP}

        • Zadanie 9.

          W równoległoboku ABCD, punkt K dzieli bok CD w stosunku 4:1 licząc od punktu C, zaś punkt L dzieli przekątną BD w stosunku 5:1 licząc od punktu B. Udowodnij, że punkty A, K, L są współliniowe wiedząc, że A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1), D=(-1,4).

        • Zadanie 10.

          Punkt M jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC, w którym A=(0,0), B=(6,0) , a punkt C ma obie współrzędne dodatnie.
          Udowodnij, że \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}

        • Zadanie 11.

          Wyznacz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez punkt P=(-12,9) wiedząc, że wektor \vec{u}=\left [ 2,-3 \right ]  jest prostopadły do prostej k.

        • Zadanie 12.

          Wyznacz, wykorzystując wektory, równanie symetralnej odcinka AB, jeżeli A=(-2,4), B=(6,8).

        • Zadanie 13.

          W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A=(-4,-1), środek S=(2,1) boku AB i wektor \overrightarrow{BC}=\left [ -4,4 \right ]. Wyznacz równanie symetralnej boku BC.

        • Zadanie 14.

          Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(-2,-1), wektor \overrightarrow{AB}=\left [ 8,4 \right ], a punkt przecięcia środkowych M=(1,4). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.

        • Zadanie 15.

          W trójkąt równoboczny wpisano okrąg o środku w punkcie S=(3,-1). Wiedząc, że C=(1,-3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

        • Zadanie 16.

          Bok AB trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu y = 2x + 2, a środkowa poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w prostej x – 3y + 21 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC wiedząc, że \overrightarrow{BC}=\left [ 4,-2 \right ].

        • Zadanie 17.

          Punkt S=(0,0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że \overrightarrow{AB}=\left [ 4,3 \right ] i \overrightarrow{BC}=\left [ 6,2 \right ] 

        • Zadanie 18.

          Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok ML trójkąta KLM, jeśli wiadomo, że K=(-6,-2), \overrightarrow{KL}=\left [ 10,1 \right ] i środkowe trójkąta przecinają się w punkcie E=(0,0).

        • Zadanie 19.

          Prosta o równaniu y = -x + 3 przecina parabolę o równaniu y = x2 -6x +7 w punktach A i B. Napisz równanie obrazu tej paraboli w przesunięciu o wektor \overrightarrow{WA}+\overrightarrow{WB}, gdzie W jest wierzchołkiem danej paraboli.

      • Prosta w układzie współrzędnych(2)

        • Zadanie 1.

          Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A=(-2,3) nachylonej do osi OX pod kątem 30°.

        • Zadanie 2.

          Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez A=(4,-2) nachylonej do osi OX pod kątem 120°.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równanie prostej AB wiedząc, że A=(-2,5), B=(3,-4), a następnie wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, kąt nachylenia tej prostej do osi OX.

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A=(-3,5), która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta jaki tworzy z tą osią prosta o równaniu y = 2x – 7.

        • Zadanie 5.

          Dwa wierzchołki trójkąta równobocznego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = x2 – 4x + 7 zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

      • Kąt między prostymi

        • Zadanie 1.

          Wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta ostrego między dwiema prostymi o równaniach y = 2x – 1 i y = -5x + 2.

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równanie prostej p, w której zawiera się ramię AC trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że podstawa AB zawiera się w prostej k: 3x + 2y – 12 = 0, ramię BC zawiera się w prostej
          l: x + 4 = 0 oraz punkt P=(1,-3) należy do ramienia AC.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz miary kątów i równania prostych, w których zawierają się boki trapezu prostokątnego, jeśli wiadomo, że podstawa AB zawiera się w prostej k:y=x-1 , ramię AD zawiera się w prostej l:y=\left ( 2-\sqrt{3} \right )x+4, zaś wierzchołek C=(6,13).

        • Zadanie 4.

          W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie AB. Podstawa AB zawiera się w prostej o równaniu y = -4, zaś ramię AD zawiera się w prostej o równaniu y=\sqrt{3}x-2. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 9\sqrt{3}.

      • Odległość punktu od prostej(2)

        • Zadanie 1.

          Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach 2x + y -5 = 0 i x – 2y = 0

        • Zadanie 2.

          Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach x + y – 8 = 0 i 7x – y – 8 =0

        • Zadanie 3.

          Prosta k o równaniu 3x – 2y – 6 = 0 przecina okrąg o środku w punkcie S=(1,5) w punktach P i Q. Wyznacz równanie tego okręgu wiedząc, że \left | PQ \right |=2\sqrt{13}

      • Styczna do okręgu

        • Zadanie 1.

          Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x2 + y2 = 4 przechodzących przez punkt P=(0,4).

        • Zadanie 2.

          Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 równoległych do prostej o równaniu y – 2x = 0.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 prostopadłych do prostej o równaniu x + y + 1 = 0.

        • Zadanie 4.

          Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2√3)2 + (y – 1)2 = 16  nachylonych do osi  pod kątem 120°.

        • Zadanie 5.

          Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu o równaniu x2 + y2 + 2x – 2y – 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A=(2,0).

        • Zadanie 6.

          Wyznacz równania okręgu o promieniu r = 3 stycznego jednocześnie do prostych o równaniach x + y = 0 i x – y = 0.

        • Zadanie 7.

          Do współśrodkowych okręgów poprowadzono styczne przecinające się w punkcie P=(0,4) jak na rysunku (rysunek w filmie).
          Mniejszy okrąg ma równanie
          x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0, a styczna do większego okręgu ma równanie 12x – 5y + 20 = 0.
          a) Oblicz grubość pierścienia b) Wykaż, że te styczne są prostopadłe.

      • Wzajemne położenie dwóch okręgów

        • Zadanie 1.

          Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 i x2 + y2 -2√3x + 2 = 0.

        • Zadanie 2.

          Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach x2 + y2 + 4x – 2y + 3 = 0 i x2 + y2 + 6x + 5 = 0.

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru okręgi o równaniach (x + 2)2 + (y – m)2 = 9 i (x + m)2 + (y – 1)2 = 4 mają tylko jeden punkt wspólny?

      • Zbiory punktów o danej własności

        • Zadanie 1.

          Wyznacz zbiór punktów (x,y), których odległość od punktu A=(-6,2) i prostej o równaniu y + 4 = 0 jest jednakowa.

        • Zadanie 2.

          Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu (0,0) była dwa razy większa niż odległość od prostej  o równaniu x – √3y = 0.

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że każdy punkt paraboli o równaniu y=\frac{1}{4}{x^{2}}+1  jest równoodległy od osi OX i od punktu F=(0,2).

        • Zadanie 4.

          Znajdź zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt A=(3,2) i stycznych do osi OX.

        • Zadanie 5.

          Wyznacz równanie krzywej, którą tworzą punkty jednakowo odległe od okręgu o równaniu x2 + (y – 1)2 = 1 i prostej o równaniu y + 1 =0.

        • Zadanie 6.

          Wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli o równaniu y = x2 -1 przechodzących przez punkt A=(0,0).

    • Trygonometria

      • Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długości  : 2,3,\sqrt{13}

        • Zadanie 2.

          Przekątna prostokąta o bokach długości 2 cm i 3 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest cztery razy dłuższa od drugiej.

        • Zadanie 4.

          Przekątne rombu o długościach 10 cm i 14 cm dzielą romb na cztery trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.  

        • Zadanie 5.

          W równoległoboku niebędącym prostokątem o bokach długości 10 cm i 9 cm. Jedna z przekątnych dzieli równoległobok na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

        • Zadanie 6.

          W trapezie równoramiennym podstawy maja długości  20 cm i 12 cm, a wysokość 10 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartego między dłuższą podstawą trapezu  oraz jego a) przekątną b) ramieniem .

      • Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane długości  jego przyprostokątnych 4 cm i 10 cm.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż trójkąt prostokątny, jeśli przeciwprostokątna ma długość 15 cm, a jeden z kątów ma miarę 370 .

        • Zadanie 3.

          Przekątne rombu mają długości 12 cm i 20 cm .Oblicz kąty i jego obwód .

        • Zadanie 4.

          Trapez równoramienny ma podstawy długości 2 cm i 10 cm, a jego przekątna ma długość  8 cm. Oblicz miary katów tego trapezu .

        • Zadanie 5.

          W równoległoboku o bokach długości  10 cm i 30 cm krótsza przekątna tworzy z jednym bokiem kąt 900. Oblicz miary kątów równoległoboku.

      • Funkcje trygonometryczne 30, 45, 60 stopni

        • Zadanie 1.

          Wyznacz długość x korzystając z rysunku w filmie

        • Zadanie 2.

          Na morzu widać z żaglówki światło latarni morskiej pod kątem o mierze 300 do poziomu. Po wypłynięciu 50 m w kierunku latarni światło latarni widać pod kątem o mierze 600 do poziomu. Oblicz wysokość latarni. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 m.

      • Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \alpha jeśli  sin\alpha=\frac{4}{5}

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli  cos\alpha =\frac{12}{13}

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli tgα = 3

        • Zadanie 4.

          Oblicz bez użycia tablic
          a) sin2620 + sin2280
          b) tg440.tg450.tg460
          c) ( sin350 + cos350 )( sin350 – cos350 ) + 2sin2550

        • Zadanie 5.

          Sprawdź tożsamość
          a) (sin\alpha +cos\alpha )^{2}+(sin\alpha -cos\alpha )^{2}=2  

          b) \frac{1}{cos\alpha }-cos\alpha =sin\alpha \cdot tg\alpha 

          c)  \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }+\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2}{sin\alpha }  

          Założenie : α – kąt ostry

        • Zadanie 6.

          Dla danego  kąta ostrego \alpha prawdziwa jest równość 

          tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha }=\frac{5}{cos\alpha }

          Oblicz wartość sin\alpha ,cos\alpha ,tg\alpha.

        • Zadanie 7.

          Dany jest kąt ostry \alpha taki, że tg\alpha =2. Oblicz wartość wyrażenia W=\frac{10sin\alpha }{(1-5cos\alpha )^{2}}

        • Zadanie 8.

          Dla pewnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość
          sin\alpha +cos\alpha =\sqrt{2}. Oblicz wartość sin\alpha\cdot cos\alpha

        • Zadanie 9.

          Wiedząc, że tg\alpha =5 , oblicz   \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha -cos\alpha } 

      • Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

        • Zadanie 1.

          Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta jeśli:
          a) P = (3,4) b) P = (-1,3)

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli  cos\alpha =-\frac{1}{4}

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli tgα = – 2

        • Zadanie 4.

          Oblicz bez użycia tablic : a) sin120° b) cos150° c) tg135° d) sin2137° + cos243°

      • Trygonometria - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Oblicz obwód prostokąta, wiedząc , że jego przekątna ma długość 15 i tworzy z jednym z boków kąt α, którego cosinus wynosi   \frac{1}{5}

        • Zadanie 2.

          Podaj przybliżoną miarę kąta jaki tworzy z ziemią drabina o długości 
          a) 6,5 m oparta o mur  dotykając go na wysokości 5,5 m 
          b) długości 4,5 m, jeżeli  jej koniec opierający się o ziemię jest odległy o 1 m od ściany budynku

        • Zadanie 3.

          Drabina wozu strażackiego może być rozsunięta na długość 20 m i podniesiona pod kątem 72°. Na jaką  wysokość sięgnie drabina, jeśli zamocowana jest  2,4 m nad ziemią .

        • Zadanie 4.

          Startujący samolot wznosi się pod kątem 15° z prędkością 80 m/s. Jaką wysokość osiągnie samolot po 2 minutach od momentu oderwania od ziemi.

      • Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli do ramienia końcowego tego kąta należy punkt A 
          a) A=(-2,-4) b) A=(3,-2)

        • Zadanie 2.

          Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 1200.

        • Zadanie 3.

          Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 2250.

        • Zadanie 4.

          Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 3000.

        • Zadanie 5.

          Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta 8700.

        • Zadanie 6.

          Oblicz z definicji wartości funkcji trygonometrycznych kąta -4800.

      • Miara łukowa kąta

        • Zadanie 1.

          Podaj miarę łukową kątów
          a) 360° b) 180° c) 90° d) 45° e) 270° f) 120° g) 300° h) 1140°

        • Zadanie 2.

          Podaj miarę stopniową kątów
          a) \frac{5}{6}\pi b) -\frac{4}{5}\pi c) 1\frac{2}{3}\pi d) 2  

        • Zadanie 3.

          Oblicz a) sin\frac{7}{3}\pi b) cos\left ( -\frac{15}{4}\pi \right ) c) tg\left ( \frac{13}{6}\pi \right )

      • Wykresy funkcji trygonometrycznych

      • Tożsamości trygonometryczne

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x jeżeli:
          sinx=-\frac{3}{4}\,\, i\,\, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x jeżeli:
          cosx=-\frac{12}{13}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi \right )

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x jeżeli:
          tgx=3\, \, i\, \, x\in \left ( \pi ,\frac{3}{2}\pi \right )

        • Zadanie 4.

          Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta x jeżeli:
          ctgx=-\frac{1}{4}\, \, i\, \, x\in \left ( \frac{3}{2}\pi ,2\pi \right )

        • Zadanie 5.

          Udowodnij tożsamość trygonometryczną
          \left ( tgx+ctgx \right )^{2}=\frac{1}{sin^{2}x\cdot cos^{2}x}

        • Zadanie 6.

          Udowodnij tożsamość trygonometryczną
          ctgx+\frac{sinx}{1+cosx}=\frac{1}{sinx}

        • Zadanie 7.

          Udowodnij tożsamość trygonometryczną
          \left ( \frac{1}{sinx}-\frac{1}{cosx} \right )\left ( sinx+cosx \right )=ctgx-tgx

        • Zadanie 8.

          Udowodnij tożsamość trygonometryczną
          \frac{tgx}{tgx+ctgx}=sin^{2}x

      • Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

      • Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

        • Zadanie 1.

          Oblicz sin15° + sin105° korzystając ze wzoru na sumę sinusów

        • Zadanie 2.

          Oblicz cos15° + cos75° korzystając ze wzoru na sumę cosinusów

        • Zadanie 3.

          Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: \frac{1}{2}+sinx

        • Zadanie 4.

          Przedstaw w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych wyrażenie: 2cosα – 1

        • Zadanie 5.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sinx + cosx

        • Zadanie 6.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=\sqrt{3}sinx-\sqrt{3}cosx

        • Zadanie 7.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\sqrt{2}\left ( sinx-cosx \right )

      • Wzory redukcyjne

        • Zadanie 1.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
          a) 150° b) 210° c) 300°

        • Zadanie 2.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
          a) \frac{2}{3}\pi b) \frac{7}{6}\pi c) \frac{7}{4}\pi

        • Zadanie 3.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
          a) -120°  b) 870°

        • Zadanie 4.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta
          a) \frac{37}{6}\pi  b) -\frac{11}{6}\pi

        • Zadanie 5.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
          \frac{sin(-120^{o})}{tg300^{o}}+\frac{ctg570^{o}}{cos\left ( -330^{o} \right )} 

        • Zadanie 6.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
          sin\left ( -\frac{5}{4}\pi \right )+cos\frac{7}{6}\pi \cdot ctg\frac{11}{6}\pi

        • Zadanie 7.

          Oblicz korzystając ze wzorów redukcyjnych:
          sin\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )-tg\left ( -33\frac{1}{3}\pi \right )

        • Zadanie 8.

          Naszkicuj wykres funkcji:
          f(x)=cos\left ( \frac{3}{2}\pi -x \right )\cdot cos\left ( \pi -x \right )-sin\left ( \pi +x \right )\cdot sin\left ( \frac{3}{2}\pi +x \right )

      • Równania trygonometryczne

      • Nierówności trygonometryczne

    • Wielomiany

      • Działania na sumach algebraicznych

        • Zadanie 1.

          Dane są sumy algebraiczne S = x4 – 2x3 – 1 i T = 3x3 – 4x2. Oblicz wartość wyrażenia
          a) S – T  dla x = 3
          b) 2S + 4T dla x = – 1

        • Zadanie 2.

          Wyznacz iloczyn sum algebraicznych 
          a) (x + 2)(x2 – 3x)
          b) (2x^{3}+\frac{1}{2}x+1)(x^{2}-x-\frac{1}{4})

        • Zadanie 3.

          Wykonaj działania
          a) x2(x – 1) + 4(x – 2)(x2 + 1) 
          b) x(x – 3)(x – 2) -x(x + 4)(x – 5)

        • Zadanie 4.

          Ile wynosi współczynnik a, jeśli wartość sumy algebraicznej x3 + ax2 + 3  dla x = – 4 jest równa 3?

        • Zadanie 5.

          Ile wynoszą współczynniki a i b, jeśli suma algebraiczna x4 + ax3 + bx2 + 2 przyjmuje wartość 11 dla x = -3 oraz wartość 7 dla x = 1?

        • Zadanie 6.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie oblicz
          a) sumę obwodów
          b) różnicę obwodów
          c) pole 
          prostokąta o bokach długości 2x – 3 i 4x – 2

        • Zadanie 7.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na objętość sześcianu o boku długości 3x + 2

        • Zadanie 8.

          Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach a = x + 1, b = x + 2, c = 2x – 4

        • Zadanie 9.

          Uzasadnij, że objętość prostopadłościanu o krawędziach: x -2, x, x + 4  opisana jest za pomocą wzoru V = x3 + 2x2 – 8x gdzie x>0. Sprawdź, czy dla x=2\sqrt{2} objętość tego prostopadłościanu jest liczbą wymierną?

      • Rozkład wielomianu na czynniki

        • Zadanie 1.

          Rozłóż wielomian na czynniki:
          a) W(x) = 12x5 – 8x4
          b) W(x) = 6x3 + 12x2 + 6x
          c) W(x) = x5 – 625x

        • Zadanie 2.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x) = – 4x4 + 3x3 – 7x2
          b) W(x) = – 2x3 – x2 – 6x

        • Zadanie 3.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x) = 2x6 + 12x4 + 18x2 
          b) W(x) = – 2x5 + 20x3 – 50x 
          c) W(x) = 8x6 – 27x3

        • Zadanie 4.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x) = x3 + 5x2 + x + 5 
          b) W(x) = x3 + 3x2 – x – 3 
          c) W(x) = 8x5 + 16x3 – x2 – 2

        • Zadanie 5.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x) = x3 – 3x – 2
          b) W(x) = x3 – 7x + 6
          c) W(x) = 3x4 – 10x3 + 10x – 3

        • Zadanie 6.

          Rozłóż wielomian na czynniki
          a) W(x) = x4 + 1 
          b) W(x) = 4x4 + 1
          c) W(x) = x4 + x2 + 1

      • Równania wyższych stopni

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równania:
          a) 7x3-56=0
          b) 2x3 + 54 = 0
          c) x3 – 9x = 0
          d) 9x3 + x = 0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania
          a) (4x + 1)(6x – 9)(2x – 8) = 0
          b) (x2 + 2x)(x – 1) = 0
          c) x3 – 6x2 + 9x = 0

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równania
          a) x3 – 3x2 – 10x = 0 
          b) x4 – 6x3 + 5x2 = 0 
          c) (4x2 – 1)(x2 – 16) = 0

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równania
          a) x3 – x2 – x + 1 = 0  
          b) x3 + 2x2 – 4x – 8 = 0
          c) x3 – 13x + 12 = 0

        • Zadanie 5.

          Oblicz \sqrt{p}, gdzie p jest sumą pierwiastków równania x(x – 1)(16x – 9) = 0

        • Zadanie 6.

          Ile wspólnych pierwiastków mają równania x2 + x – 12 = 0 i (x + 4)(x2 + 8x) = 0

        • Zadanie 7.

          Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej objętość prostopadłościanu o bokach długości x+4, x, x-1. Dla jakiej wartości x objętość prostopadłościanu wynosi 12?

      • Równość wielomianów

        • Zadanie 1.

          Dla jakich wartości parametru a wielomiany W(x) = 3x3 + (a2-3)x2 – 5 i G(x) = 3x3 + 6x2 – 5 są równe?

        • Zadanie 2.

          Dla jakich wartości parametru a iloczyn wielomianów W(x) = ax – 4 i G(x) = ax – 1 jest równy wielomianowi H(x) = 9x2 + 15x + 4?

        • Zadanie 3.

          Dane są wielomiany W(x) = x2 + x -1, G(x) = ax + b, H(x) = x3 + 4x + 6x2 – 5. Wyznacz współczynniki a, b tak, aby W(x)·G(x) = H(x).

        • Zadanie 4.

          Dane są wielomiany F(x) = 2x – 3, G(x) = x2 + bx + c, H(x) = 2x3 + x2 – 8x + 3. Wyznacz współczynniki b, c tak, aby wielomian F(x)·G(x) – H(x) był wielomianem zerowym.

        • Zadanie 5.

          Przedstaw wielomian W(x) = x4 + 2x3 + x2 – 1 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.

        • Zadanie 6.

          Przedstaw wielomian W(x) = x4 + x3 – 6x2 – 11x – 5 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.

      • Dzielenie wielomianów

        • Zadanie 1.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 2x2 + 3x – 12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

        • Zadanie 2.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 + 3x -12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

        • Zadanie 3.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 4x3 + 8x2 + 4x – 9 przez wielomian Q(x) = 2x + 1. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

        • Zadanie 4.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 2x4 – 3x3 + 4x + 2 przez wielomian Q(x) = x2 + x. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + R(x).

      • Schemat Hornera

        • Zadanie 1.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 9x2 + 2x – 1 przez dwumian Q(x) = x – 1 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

        • Zadanie 2.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 3x4 – 10x3 – 29x + 2 przez dwumian Q(x) = x – 4 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

        • Zadanie 3.

          Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 8x3 + 27 przez dwumian Q(x) = x + 1 wykorzystując schemat Hornera, wykonaj działanie sprawdzające.

      • Twierdzenie o reszcie

        • Zadanie 1.

          Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x3 – 7x2 – 2x + 3 przez dwumian Q(x) = x + 1.

        • Zadanie 2.

          Sprawdź czy wielomian W(x) = -x4 + 2x2 – 3x + 1 jest podzielny przez dwumian G(x) = x – 2.

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości a wielomian W(x) = x3 + (a2-1)x – 3 jest podzielny przez P(x) = x – 1.

        • Zadanie 4.

          Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x4 – (m+1)x2 – 3(m-1)x – 5 przez dwumian x – 1 wynosi 2

        • Zadanie 5.

          Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 5, 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
          Q(x) = (x – 2)(x – 3).

        • Zadanie 6.

          Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 1, x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
          Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

        • Zadanie 7.

          Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x99 – 1 przez wielomian Q(x) = x2 – 1.

        • Zadanie 8.

          Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x5 – x3 + x2 – 1 przez wielomian Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

      • Twierdzenie Bezouta

        • Zadanie 1.

          Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 – x2 – 10x – 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

        • Zadanie 2.

          Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Rozłóż wielomian na czynniki

        • Zadanie 3.

          Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + 2x2 – 11x + 20. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

        • Zadanie 4.

          Liczby -2 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + x3 – 5x2 – 4x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

        • Zadanie 5.

          Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x) = x3 + (2m – 3)x -2 jest podzielny przez dwumian x – 3.

        • Zadanie 6.

          Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 – 6x2 + ax + b. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

        • Zadanie 7.

          Wielomian W(x) = 2x3 + mx2 – 13x + n jest podzielny przez dwumiany x – 2 i x – 3. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

      • Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równanie 3x3 + 3x2 – 5x + 2 = 0.

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równanie x4 – 4x3 + 8x2 – 20x + 15 = 0.

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równanie x4 + 3x3 -5x2 – 12x + 4 = 0.

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż równanie 2x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0.

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż równanie 2x3 + 9x2 + x – 3 = 0.

      • Pierwiastki wielokrotne

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie x3 + 5x2 + 7x + 3 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równanie x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 4 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.

        • Zadanie 3.

          Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = 3x3 – 11x2 + 8x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

        • Zadanie 4.

          Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

        • Zadanie 5.

          Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania x3 + 4x2 + ax + b = 0. Wyznacz współczynniki a i b.

        • Zadanie 6.

          Liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x4 – 3x3 + ax2 + bx – 18. Wyznacz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu.

        • Zadanie 7.

          Podaj przykład  wielomianu stopnia czwartego, którego
          a) jedynymi pierwiastkami są liczby 2 i -2
          b) jedynym pierwiastkiem jest 1 i jest to pierwiastek dwukrotny.

      • Nierówności wielomianowe

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż nierówność
          a) 2(x – 1)(x + 3)(x – 5) > 0
          b) -3(x – 1)(x – 3)(x +7) > 0

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż nierówność
          a) 2(x2 – 1)(-x + 3)(x – 5) < 0
          b) -3(2x2 + x -1)(x – 3)(x + 7) < 0

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż nierówność
          a) -5(x – 1)2(x + 3)(x – 5) > 0
          b) 3(x – 1)3(x – 3)2(x + 7)4 < 0

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż nierówność
          a) x3 – 6x2 – x + 6 ≥ 0
          b) -x3 – 3x2 – x + 1 < 0

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność 2x3 – 3x2 – 10x +15 ≤ 0. Wyznacz najmniejsza liczbę całkowitą dodatnią spełniającą tę nierówność.

        • Zadanie 6.

          Wyznacz dziedzinę funkcji
          a) f(x)=\sqrt{x^{3}-3x}
          b) f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x^{3}-5x+4}}

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż nierówność x4 + x3 – 7x2 + ax + b > 0, jeżeli liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + x3 – 7x2 + ax + b

    • Funkcje wymierne

      • Wykres i własności funkcji homograficznej

        • Zadanie 1.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{a}{x} wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt
          a) P=(-1,-2)
          b) P=(-\frac{1}{2},2)

        • Zadanie 2.

          Do wykresu funkcji f(x)=-\frac{1}{x}+c należy punkt A=(1,4). Sporządź wykres funkcji f i podaj zbiór wartości tej funkcji.

        • Zadanie 3.

          Sporządź wykres funkcji

          a) f(x)=\frac{1}{x-3}  b) f(x)=\frac{-3}{x+2} 

          Podaj przedziały monotoniczności funkcji f

        • Zadanie 4.

          Sporządź wykres funkcji

          a) f(x)=\frac{-1}{x-3}+2  b) f(x)=\frac{-3}{x+2}-1

          Podaj przedziały monotoniczności funkcji f oraz zbiór wartości.

        • Zadanie 5.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{x+2}{x-1}.

          Odczytaj z wykresu zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.

        • Zadanie 6.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{2}{x-1}-3. Podaj równania asymptot funkcji f.

      • Funkcja homograficzna(2)

        • Zadanie 1.

          Przedstaw wzór funkcji homograficznej f(x)=\frac{2x+8}{x+3}  w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.

        • Zadanie 2.

          Przedstaw wzór funkcji  homograficznej f(x)=\frac{-3x+10}{x-3}  w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.

        • Zadanie 3.

          Przedstaw wzór funkcji homograficznej f(x)=\frac{3x-11}{x-4}  w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.

        • Zadanie 4.

          Przedstaw wzór funkcji homograficznej f(x)=\frac{-3x+8}{-x+2}  w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.

        • Zadanie 5.

          Przedstaw wzór funkcji homograficznej f w postaci kanonicznej wykonując odpowiednie dzielenie
          a) f(x)=\frac{3x-11}{2x-3}  b) f(x)=\frac{2x+1}{3x-5}

        • Zadanie 6.

          Podaj równania asymptot wykresu funkcji f(x)=\frac{3x-2}{x+5}

        • Zadanie 7.

          Wyznacz wzór funkcji homograficznej wiedząc, że równanie asymptoty pionowej to x = 2, poziomej y = -3 i wykres przechodzi przez punkt A=(1,5).

      • Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\left | \frac{x-1}{x+2} \right |

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{1}{\left | x \right |-2}

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\left | \frac{\left | x \right |+1}{\left | x \right |-1} \right |

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\left | \frac{\left | x \right |-1}{\left | x \right |+1} \right |

        • Zadanie 5.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{1}{\left | 3-x \right |}+1

        • Zadanie 6.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{-2}{\left | x \right |-1}. Dla jakiej wartości parametru k równanie f(x) = k ma dwa rozwiązania.

        • Zadanie 7.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{\left | x-1 \right |}{x}

        • Zadanie 8.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{x+2}{\left | x+3 \right |}. Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) =m w zależności od parametru m.

      • Działania na wyrażeniach wymiernych

        • Zadanie 1.

          Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego

          a) \frac{2x-4}{3x-1}

          b) \frac{x^{2}+4}{x^{2}-9}    

          c) \frac{3x-5}{x^{2}-3x-4}

        • Zadanie 2.

          Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego, a następnie je uprość 

          a) \frac{x-4}{3x-12}     

          b) \frac{x^{2}+4x}{x^{2}-16}    

          c) \frac{x-5}{x^{2}-6x+5}

        • Zadanie 3.

          Wykonaj mnożenie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{14}{x^{2}-16}\cdot \frac{x-4}{7}  

          b) \frac{2-x}{2x-6}\cdot \frac{3-x}{x^{2}-4}      

          c) \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\cdot \frac{3}{\left ( 1-x \right )^{2}}  

        • Zadanie 4.

          Wykonaj dzielenie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{4}{x^{2}-1}:\frac{x-4}{1-x}  

          b) \frac{20}{3x-1}:\frac{5}{2-6x} 

        • Zadanie 5.

          Wykonaj dodawanie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{x}{x-2}+\frac{x+1}{x}  

          b) \frac{4}{2x-4}+3  

          c) \frac{1}{x^{2}-4}+\frac{3}{x+2}

        • Zadanie 6.

          Wykonaj odejmowanie wyrażeń wymiernych 

          a) \frac{x}{x-2}-\frac{x+1}{2-x}  

          b) \frac{4}{x-4}-\frac{3}{2} 

          c) \frac{1-x}{x^{2}-9}-\frac{3}{2x+6}-2 

        • Zadanie 7.

          Wykonaj działania 

          a) \frac{x}{x-2}\cdot \frac{x^{2}-4x+4}{2-x}   

          b) \frac{4}{x-4}-\frac{3}{x^{2}-5x+4} 

          c) \frac{1-x}{x^{2}-16}-\frac{3}{4-x}-2 

      • Równania wymierne

      • Wyrażenia wymierne - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Licznik pewnego ułamka jest równy 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 20, mianownik o 30, to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek ?

        • Zadanie 2.

          Ola kupiła cukierki A w cenie x zł/kg i zapłaciła 24 zł. Ala kupiła taką samą ilość cukierków B droższych o 4 zł/kg i zapłaciła 30 zł. Ile kosztuje kilogram cukierków A, a ile kilogram cukierków B?

        • Zadanie 3.

          Mama Bartka jest o sześć lat młodsza od jego taty. Stosunek wieku mamy i taty jest jak 8 do 9. Ile lat mam mama Bartka, a ile jego tata ?

        • Zadanie 4.

          Boki prostokąta mają długości x cm i 2x cm. Gdyby jego krótszy bok wydłużyć o 6 cm, a dłuższy o 5 cm, to stosunek długości boków byłby równy 2:3. Oblicz obwód tego prostokąta.

        • Zadanie 5.

          Adam potrzebuje na wykonanie pewnej pracy 10 godzin, a Radek wykonałby tę samą pracę w 6 godzin. Ile czasu zajęłoby wykonanie pracy, gdyby pracowali razem ?

        • Zadanie 6.

          Dwie koparki, pracując razem, wykonują wykop w ciągu 8 dni. Gdyby pracowała tylko pierwsza koparka, wykop powstałby w ciągu 12 dni. Ile czasu zajęłoby wykonanie wykopu drugiej koparce ?

        • Zadanie 7.

          Samochód jadący ze średnią prędkością v pokonał odległość 195 km. Samochód jadący z prędkością o 20 km/h większą pokonał w tym samym czasie 260 km. Oblicz średnie prędkości obu samochodów?

        • Zadanie 8.

          Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakowa liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby te książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

        • Zadanie 9.

          Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotkają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.

      • Nierówności wymierne

      • Równania i nierówności z wartością bezwzględną

      • Zadania z parametrem

        • Zadanie 1.

          Dla jakich wartości parametru m równanie (m-1)x2 – 2mx + 3 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?

        • Zadanie 2.

          Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 + 2(m-1)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki których suma kwadratów jest większa od sumy tych rozwiązań?

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru m nierówność \frac{3x^{2}-2x+1}{-x^{2}+mx-1}< 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.

        • Zadanie 4.

          Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań równania \frac{x+k}{x-m}=\frac{x-m}{x+k} i ich liczby w zależności od parametrów m\, \, i\, \, k.

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości parametru k dziedziną funkcji f(x)=\frac{4x-1}{x^{2}-kx++k} jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

        • Zadanie 6.

          Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x)=\frac{4x+1}{mx^{2}+mx+1} jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

    • Funkcja wykładnicza

      • Działania na potęgach

      • Wykres i własności funkcji wykładniczej

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykresy funkcji a) f(x) = 2x  b) f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} i odczytaj z wykresu podstawowe własności funkcji f.

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykresy funkcji
          a)  f(x) = 2x+3
          b) f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-2  
          c)  f(x) = 3x-2 + 1

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykresy funkcji
          a)  f(x) = 2-x + 3
          b) f(x)=8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-1  
          c)  f(x)=\frac{27}{3^{x}} 
          Odczytaj z wykresów zbiór wartości funkcji.

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji
          a)  f(x) = – 2x + 3  
          b) f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-x}-1  

        • Zadanie 5.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{0,04}{5^{x}}  , odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności f(x)\geq 1

        • Zadanie 6.

          Wyznacz wzór funkcji wykładniczej f(x)=a^{x} wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(-3, 8), następnie oblicz wartość iloczynu f(\sqrt{2})\cdot f(-\sqrt{2})

        • Zadanie 7.

          Funkcja f(x) = ax, gdzie a jest rozwiązaniem równania 16x2 – 33x + 2 = 0, jest malejąca. Oblicz f(-0,25).

        • Zadanie 8.

          Przekształcając wykres funkcji f(x) = 2x  naszkicuj wykres funkcji g(x) = 2x+5 + 2x+3 +24·2x

      • Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej

        • Zadanie 1.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | x \right |}

        • Zadanie 2.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2|x-2|

        • Zadanie 3.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x) = |3-x+1 + 2|

        • Zadanie 4.

          Naszkicuj wykres funkcji f(x)=-\left ( \frac{1}{3} \right )^{\left | x \right |}-2

        • Zadanie 5.

          Naszkicuj wykres funkcji  f(x)=\left ( \sqrt{2} \right )^{x+\left | x \right |}

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż graficznie równanie 22|x| + |x| -5 = 0

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż graficznie równanie 33-x = |x2 – 1|

        • Zadanie 8.

          Rozwiąż graficznie nierówność:  -|2-x – 1| < 2x2 + 8x + 5

        • Zadanie 9.

          Rozwiąż graficznie układ równań \left\{\begin{matrix} y=2^{x}\cdot 2^{\left | x \right |}\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4} \end{matrix}\right.

        • Zadanie 10.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji  f(x)=2^{\sqrt{x^{2}}}

        • Zadanie 11.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 25x – 10·5x + 9

        • Zadanie 12.

          Zbadaj ilość rozwiązań równania \left | \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-2}-4 \right |=m-2  w zależności od parametru m

        • Zadanie 13.

          Zbadaj ilość rozwiązań równania \left | \left ( \frac{1}{3} \right )^{x}-2 \right |=m^{2}-1  w zależności od parametru m

        • Zadanie 14.

          Dla jakich wartości parametru m\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}, równanie

          4^{x}+4^{2x}+4^{3x}+...=\frac{m}{m-3}  ma rozwiązanie?

      • Równania i nierówności wykładnicze

      • Równania wykładnicze (2)

        • Zadanie 1.

          Zadanie 1. Rozwiąż równanie    8^{3x-5}=0,125\cdot \left ( \frac{\sqrt{2}}{4} \right )^{6-5x}

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równanie 2·3x+1 – 4·3x-2 = 450

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równanie 2x+1 + 4x = 80

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równanie 5x + 53-x = 30

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż równanie 49x + 6·7x = -5

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż równanie 23x · 7x-2 = 4x+1

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż równanie  \left ( \sqrt{5-2\sqrt{6}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{5+2\sqrt{6}} \right )^{x}=10

        • Zadanie 8.

          Rozwiąż równanie   \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{x}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{x}=6

        • Zadanie 9.

          Rozwiąż równanie 8x + 18x – 2·27x = 0

        • Zadanie 10.

          Znajdź największą liczbę , dla której zachodzi równość

          \left ( \frac{3}{4} \right )^{x-y}-\left ( \frac{3}{4} \right )^{y-x}=\frac{7}{12}  i nierówność xy + y ≤ 9

      • Nierówności wykładnicze (2)

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż nierówność  2^{2\left | x+1 \right |}> \frac{1}{256}

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż nierówność  0< \left ( \frac{1}{3} \right )^{-x^{2}+x+6}< 1

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż nierówność  \frac{1}{2^{x}-1}< \frac{1}{1-2^{x-1}}

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż nierówność 4·9x < 4·6x + 3·4x

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż nierówność  \left ( \frac{1}{7} \right )^{\sqrt{x^{6}-2x^{3}+1}}< \left ( \frac{1}{7} \right )^{1-x}

        • Zadanie 6.

          Dane są funkcje  f(x) = 52x + 22x i g(x) = 5x-4 + 2x+2
          Rozwiąż nierówność g(x+2) ≥ f(0,5x)

      • Funkcja wykładnicza - zastosowania

        • Zadanie 1.

          Podczas doświadczenia liczba bakterii, których początkowo było 600, podwajała się w ciągu pół godziny. Uzasadnij, że funkcja y = 600 · 4t  opisuje liczbę bakterii w zależności od czasu mierzonego w godzinach. Oblicz jaka będzie ilość bakterii po upływie 2,5 godziny.

        • Zadanie 2.

          Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )

        • Zadanie 3.
        • Zadanie 4.
        • Zadanie 5.
      • Zadania z parametrem

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie 0,5^{x^{2}-mx+0,5m-1,5}=\left ( \sqrt{8} \right )^{m-1} ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

        • Zadanie 2.

          Dla jakich wartości parametru m, równanie 9^{\frac{1}{2}\left ( x^{2}-x \right )-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{3^{m-1}}  ma takie dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności ich kwadratów jest równa 8?

        • Zadanie 3.

          Zbadaj ilość rozwiązań układu  \left\{\begin{matrix} \left ( 0,5 \right )^{m}\cdot x-2y=1\\x-y=\left ( 0,5 \right )^{m}\, \, \,\, \, \, \, \end{matrix}\right.   w zależności od parametru

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m-3)·9x – (2m+6)·3x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki.

    • Logarytm i funkcja logarytmiczna

      • Logarytm - definicja

        • Zadanie 1.

          Oblicz   

          a) log_{2}64  b) log_{2}0,125  

          c)  log_{\frac{1}{3}}27  d) log_{\sqrt{2}}4  

          e) log_{7}7\sqrt{7}  f) log_{5}5  

          g) log_{4}1

        • Zadanie 2.

          Oblicz
          a) log_{\sqrt[3]{2}}4   

          b) log_{\frac{\sqrt{5}}{25}}125   

          c) log_{0,01}\frac{\sqrt{10}}{10} 

        • Zadanie 3.

          Oblicz
          a) log_{2}\left ( log100 \right ) 

          b) log_{9}\left ( log_{8}\left ( log_{3}9 \right ) \right )  

        • Zadanie 4.

          Oblicz \sqrt{a\cdot b}  jeżeli a=log_{3}9,b=log_{2}256

        • Zadanie 5.

          Oblicz x jeżeli:  
          a) log_{4}x=\frac{3}{2} 

          b) log_{\frac{1}{8}}x^{2}=\frac{1}{3}    

          c) log_{2\sqrt{2}}\left | x \right |=4

        • Zadanie 6.

          Oblicz wartość wyrażenia log_{a}\sqrt{a\cdot b}  wiedząc, że log_{a}b=5, gdzie a\, \, i\, \, b są liczbami dodatnimi i a\neq 1 

        • Zadanie 7.

          Oblicz wartość wyrażenia logab wiedząc, że log10a=2010 i  log\frac{10}{b}=1020

        • Zadanie 8.

          Oblicz
          a) log_{2}2^{10} b) 4^{log_{2}9}      

          c) 27^{log_{3}2}  d)  \left ( \sqrt{8} \right )^{\frac{2}{3}+log_{4}81} 

        • Zadanie 9.

          Określ dziedzinę wyrażenia
          log_{x-2}\left ( x^{2}-1 \right )

        • Zadanie 10.

          Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste  spełniające równość
          log_{1-2a}\left ( a+7 \right )=2

      • Działania na logarytmach

        • Zadanie 1.

           Oblicz
          a) log153 + log155  b) log_{\frac{1}{2}}3,5+log_{\frac{1}{2}}7  c) log749 d) log_{2}\left ( log_{3}\sqrt{5} \right )-log_{2}\left ( log_{3}5 \right )

        • Zadanie 2.

          Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu pewnej liczby
          a) 2 + log35  b) 4 – log336

        • Zadanie 3.

          Oblicz przybliżoną wartość liczby
          a) log50  b) log0,05
          jeśli log5 ≈ 0,7

        • Zadanie 4.

          Oblicz przybliżoną wartość liczby log570, jeśli:
           log52 ≈ 0,43 i log57 ≈ 1,21    

        • Zadanie 5.

          Niech p = log23, q = log25.
          Uzasadnij równość log275 = p + 2q

        • Zadanie 6.

          Wykaż, że dla dowolnych x, y ∈ R+ prawdziwa jest równość
          logx3y4 – logx2y3 = logx + logy 

        • Zadanie 7.

          Uzasadnij równość 4log93 + 9log39 = 5log381

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że liczba log_{2}\sqrt{6}+log_{2}\sqrt{8}-log_{2}\sqrt{3}  jest wymierna.

        • Zadanie 9.

          Przedstaw log49 w postaci logarytmu o podstawie
          a) 2    b) 0,25  
          c) udowodnij, że log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}

        • Zadanie 10.

          Wykaż, że: log23 · log34 · log45 · log56 · log67 · log78 = 3

        • Zadanie 11.

          Wykaż, że jeżeli a i x są liczbami dodatnimi oraz a\neq 1,
          to dla dowolnych \alpha ,\beta \in R spełniony jest wzór: 
          log_{a^{\beta }}x^{\alpha }=\frac{\alpha }{\beta }log_{a}x  

        • Zadanie 12.

          Sprawdź, czy liczba \frac{log_{8}49}{log_{2}7} jest liczbą wymierną?

        • Zadanie 13.

          O ile procent liczba log8 jest mniejsza od liczby log24 + lo25·log4?

        • Zadanie 14.

          Oblicz
          a) log_{4}\sqrt{5}\cdot log_{25}8  
          b) log2·log50 + log25

        • Zadanie 15.

          Sprawdź, czy liczba (log336)2 – log316·log318  jest liczbą całkowitą ?

        • Zadanie 16.

          Oblicz
          a) log72·log7 + log50 

          b) \frac{log_{2}36\cdot log_{3}36}{log_{2}36+ log_{3}36} 

        • Zadanie 17.

          Niech m=log_{21}7 . Wykaż, że log_{7}21=\frac{3\left ( 1-m \right )}{m}

        • Zadanie 18.

          Uzasadnij, że liczby 2log35 i 5log32 są równe.

      • Działania na logarytmach (2)

        • Zadanie 1.

          Wyznacz A, jeśli A = 2B + 6C, gdzie B=\frac{2}{log_{\sqrt{3}}2}C=\frac{1}{log_{2}6}

        • Zadanie 2.

          Wiadomo, że log62 = a. Wyznacz log2436 w zależności od a.

        • Zadanie 3.

          Oblicz wartość \left ( 5^{\frac{log_{100}3}{log3}}\cdot 3^{\frac{log_{100}5}{log5}} \right )^{2log_{15}8}

        • Zadanie 4.

          Wykaż, że jeżeli a,b,c są liczbami dodatnimi takimi, że a\neq 1,b\neq 1,c\neq 1 i a\cdot b\neq 1, to zachodzi równość log_{ab}c=\frac{log_{a}c\cdot log_{b}c}{log_{a}c+log_{b}c}

        • Zadanie 5.

          Uporządkuj rosnąco liczby: \frac{1}{log_{3}\pi }+\frac{1}{log_{4}\pi } , \left ( 0,125 \right )^{-\frac{1}{3}} , log_{3}11

        • Zadanie 6.

          Oblicz log62·log618 + log623

        • Zadanie 7.

          Wykaż, że liczby \frac{1}{log_{3}2},\frac{1}{log_{6}2},\frac{1}{log_{12}2}  tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
          a) oblicz różnicę tego ciągu arytmetycznego b) wyraź sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego.

        • Zadanie 8.

          Wiedząc, że log25 = a i log53 = b oblicz log89

        • Zadanie 9.

          Wiedząc, że log34 = a i log35 = b wyznacz log270,8 w zależności od a i b.

        • Zadanie 10.

          Wiedząc, że log320 = a i log315 = b, wyznacz log2360 w zależności od a i b.

        • Zadanie 11.

          Wiedząc, że a=\frac{log8}{log81} i b=\frac{1}{log64}, oblicz wartość wyrażenia 27^{4a}+16^{3b}.

        • Zadanie 12.

          Oblicz  \frac{log^{3}4+log^{3}25}{4\left ( log^{2}2-log2\cdot log5+log^{2}5 \right )}

      • Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej

        • Zadanie 1.

          Sporządź wykresy funkcji f(x) = log2x i g(x) = log2(x-2) + 3

        • Zadanie 2.

          Sporządź wykresy funkcji f(x)=log_{\frac{1}{2}}x  i  g(x)=\left |log _{\frac{1}{2}}\left ( x+3 \right )-1 \right |

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej  do wykresu której należy punkt A=(3,-2) . Dla jakiego argumentu funkcja  przyjmuje wartość  \left ( -\frac{2}{3} \right )?
          Sporządź wykres funkcji g(x) = f(-x+2)

        • Zadanie 4.

          Punkt A=(2,-1) należy do wykresu funkcji f(x) = log2(x+k) + m. Wyznacz k i m wiedząc, że dziedziną funkcji f jest przedział (-2,∞).
          Sporządź wykres funkcji f.

        • Zadanie 5.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=log_{3}\sqrt{x^{2}}. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

        • Zadanie 6.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=7^{log_{7}\left ( x^{2}-2 \right )}. Dla jakich wartości parametru  równanie f(x)=m ma rozwiązanie?

        • Zadanie 7.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | g(x) \right |} , gdzie funkcja g jest funkcją logarytmiczną do wykresu której należy punkt A=\left ( \frac{1}{8},-3 \right ).

        • Zadanie 8.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left | \left | x \right |-3 \right |

        • Zadanie 9.

          Sporządź wykres funkcji g(x)=log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1} przekształcając wykres funkcji f(x)=log_{3}x

        • Zadanie 10.

          Sporządź wykres funkcji f(x) = log2(4x2)

        • Zadanie 11.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=log_{2}\frac{1}{x^{2}}\cdot log_{x^{2}}\left ( x+2 \right ). Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

        • Zadanie 12.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=-log_{\frac{1}{2}}\left | -x-2 \right |

        • Zadanie 13.

          Sporządź wykres funkcji f(x)=log_{3}\frac{x^{2}-4}{\left | x \right |-2} . Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=m nie ma rozwiązań?

        • Zadanie 14.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-2x+10 \right )

      • Równania logarytmiczne

      • Nierówności logarytmiczne

      • Zadania różne

        • Zadanie 1.

          W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają równanie logx2+y2(2y).

        • Zadanie 2.

          W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek log_{2}\frac{xy}{2}=log_{2}x\cdot log_{2}y

        • Zadanie 3.

          W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek  \frac{x+3}{log_{2}\left ( x+2 \right )}=log_{x+2}\left ( y+2 \right )  i  y^{2}\leq 36

        • Zadanie 4.

          W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek  log_{\frac{1}{3}}\left ( y-x^{2} \right )\geq -1

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = log[(m-2)x2 – 3x + mx + 1] jest zbiór liczb rzeczywistych?

        • Zadanie 6.

          Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = x3log2m – 3x2logm – 6m -2logm jest podzielny przez dwumian (x+1)

        • Zadanie 7.

          Dla jakich wartości parametru m równanie x^{2}-2x-log_{\frac{1}{3}}m^{2}=0 ma takie dwa różne pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 6?

    • Ciągi

      • Sposoby określania ciągu

        • Zadanie 1.

          Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu
          a) an = 3n – n2
          b) an = (-1)n+1·(n – 1)

        • Zadanie 2.

          Które wyrazy ciągu są równe zero
          a) an = 5n – n2
          b) b_{n}=\frac{n^{2}-4}{n+3}

        • Zadanie 3.

          Które wyrazy ciągu są dodatnie
          a)  an = 2n – 10
          b) bn = – n2 – 7n – 10
          c) c_{n}=\frac{4-n}{n+3}

        • Zadanie 4.

          Wykres ciągu (an) jest zawarty w wykresie funkcji liniowej do którego należą punkty A=(3,4)  B=(-2,-5). Wyznacz wzór ogólny ciągu.

        • Zadanie 5.

          Wykres ciągu \left ( a_{n} \right ) jest zawarty w prostej m prostopadłej do prostej o równaniu y=-\frac{1}{2}x-3. Wyznacz wzór ogólny ciągu wiedząc, że a_{4}=8

        • Zadanie 6.

          Wyznacz te wyrazy ciągu a_{n}=\frac{n+6}{n}, które są liczbami całkowitymi.

        • Zadanie 7.

          Wykres ciągu (an) jest zawarty w paraboli o wierzchołku W=(-2,4). Wiedząc, że przechodzi ona przez punkt A=(0,3) wyznacz wzór ogólny ciągu.

      • Ciągi monotoniczne

        • Zadanie 1.

          Oblicz an+1 jeżeli:
          a) an = – 3n + n2
          b) an = (-1)n+1·(n + 13)

        • Zadanie 2.

          Wykaż, że ciąg (an) jest rosnący
          a) an = 3n + 1
          b) an = n2 + 3n

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) jest malejący 
          a) a_{n}=-\sqrt{3}n+1  
          b) a_{n}=-4n^{2}+5

        • Zadanie 4.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) nie jest  monotoniczny, jeżeli:

          a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{n^{2}} 

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości k ciąg (an) jest  rosnący jeśli: an = (2k – 1)n + 5

      • Ciągi monotoniczne (2)

        • Zadanie 1.

          Wykaż, że ciąg an = n2 +4n jest rosnący.

        • Zadanie 2.

          Wykaż, że ciąg a_{n}=\frac{3n+1}{2n+1}  jest rosnący

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że ciąg a_{n}=\frac{3n+2}{4n-1}  jest malejący

        • Zadanie 4.

          Wykaż, że ciąg a_{n}=\frac{2}{n^{2}+2}  jest malejący

        • Zadanie 5.

          Wykaż, że ciąg a_{n}=\frac{n^{2}}{n+4}  jest monotoniczny

        • Zadanie 6.

          Wykaż, że ciąg an = 6n -n2 nie jest monotoniczny

      • Ciągi określone rekurencyjnie

        • Zadanie 1.

          Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu a_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\a_{n+1}=2a_{n}+3,\, gdy\, n\geq 2 \end{array}\right.  określonego rekurencyjnie

        • Zadanie 2.

          Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu \left\{\begin{array}{l}a_{1}=0\\a_{2}=3\\a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right. określonego rekurencyjnie

        • Zadanie 3.

          Określ rekurencyjnie ciąg an = n2 + 1

        • Zadanie 4.

          Określ rekurencyjnie ciąg an = 5·3n

        • Zadanie 5.

          Określ rekurencyjnie ciąg a_{n}=\sqrt{n+2}

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij, że ciąg a_{n}=\left\{\begin{array}{l} a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}+2n^{2}-1,\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.  jest monotoniczny

      • Ciąg arytmetyczny

        • Zadanie 1.

          Oblicz czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego : 2, 5, 8, 11, . . .

        • Zadanie 2.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego : -2, -5, -8, -11, . . .

        • Zadanie 3.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym a2 = 3, a7 = 8.

        • Zadanie 4.

          Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym
          a)  a1 = 3, a7 = 8
          b) a3 = 4, a8 = 12
          c) r = -5, a11 = 4

        • Zadanie 5.

          Wyznacz liczby m, k tak, aby liczby 1, k, 9, m tworzyły kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

        • Zadanie 6.

          Wstaw między liczby 1 i 25 pięć liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny

        • Zadanie 7.

          Wyznacz x tak, aby liczby 2x – 1, 5, x + 3 tworzyły ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności)

        • Zadanie 8.

          Wykaż, że ciąg \left ( a_{n} \right ) jest arytmetyczny
          a) a_{n}=-\sqrt{7}n-3 

          b) a_{n}=\frac{2-3n}{5}

        • Zadanie 9.

          Wykaż, że ciąg an = – n2 + 4 nie jest arytmetyczny.

        • Zadanie 10.

          Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą  ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.

        • Zadanie 11.

          Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 10. Oblicz długości przyprostokątnych wiedząc, że długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny.

        • Zadanie 12.

          Miary kątów czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Największy z tych kątów to 135°. Oblicz miary pozostałych katów tego czworokąta.

        • Zadanie 13.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100

        • Zadanie 14.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych

        • Zadanie 15.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.

        • Zadanie 16.

          Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez 3.

        • Zadanie 17.

          Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  -24, -22, -20, …  należy dodać , aby otrzymać liczbę 546?

        • Zadanie 18.

          Rozwiąż równanie 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + x = 190

        • Zadanie 19.

          Oblicz sumę S100 ciągu arytmetycznego, w którym a2 = b2, a3 = (b +1 )2, a4 – a2 = 2 .

        • Zadanie 20.

          Wyznacz wzór ogólny rosnącego ciągu arytmetycznego (a n) o wyrazach całkowitych wiedząc, że suma wyrazów siódmego i jedenastego wynosi 30, zaś iloczyn wyrazów drugiego i szóstego wynosi 9.

      • Ciąg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego  a) 1,3,9,27, …   b) -2,-10,-50, …

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego  wiedząc, że:  
          a) a2 = 9 , a5 = \frac{1}{3}  
          b) a3 = 4 , a5 = 1

        • Zadanie 3.

          Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego  wiedząc, że:  
          a2 · a4 = 1, (a2)2 + (a3)2 = 5.

        • Zadanie 4.

          Wykaż, ze ciąg dany wzorem
          a) a_{n}=\frac{1}{5}\cdot 4^{n}  b) bn = 32n-1
          jest ciągiem geometrycznym. 

        • Zadanie 5.

          Wyznacz x wiedząc, że liczby
          a) 36, x, \frac{1}{9}   b) 1, (x-2), 9 
          są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

        • Zadanie 6.

          Oblicz S7 ciągu geometrycznego, w którym
          a) a1 = 3, q = -2 b) a_{n}=2^{n+1}

        • Zadanie 7.

          le początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a n) w którym a1 = 5 i q = 2 należy dodać , aby otrzymać 635 ?

        • Zadanie 8.

          Liczby x, 15, y są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby wiedząc, że ich suma wynosi 65.

        • Zadanie 9.

          Piłka odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość równą \frac{3}{4} poprzedniej, a za trzecim razem wysokość 54 cm. Na jaką wysokość odbiła się piłka za pierwszym razem.

        • Zadanie 10.

          W pierwszym miesiącu Rafał roznosząc ulotki zarobił 440 zł. W każdym następnym miesiącu zarabiał o 5% więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile złotych zarobił Rafał w 8 miesiącu pracy ?

      • Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Ciąg ( x, y, 12 ) jest geometryczny o wyrazach różnych od zera, natomiast ciąg ( 1, x, y-1 ) jest arytmetyczny. Oblicz x i y.

        • Zadanie 2.

          Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.

        • Zadanie 3.

          Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny maja pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.

        • Zadanie 4.

          Trzy liczby o sumie 15 tworzą ciąg arytmetyczny. Środkowa liczba zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

        • Zadanie 5.

          Trzy różne liczby, których suma równa się 63 tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby ?

      • Procent składany

        • Zadanie 1.

          Trzy banki podają różne informacje o stopie procentowania: w Banku A: oprocentowanie w skali roku wynosi 14%, w Banku B oprocentowanie w skali roku wynosi 13%, ale odsetki dopisywane są co pół roku, w Banku C oprocentowanie w skali roku wynosi 12%, ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 10000 zł.

        • Zadanie 2.

          Firma X zaciągnęła w banku kredyt w wysokości 10000 zł. Co roku bank nalicza odsetki w wysokości 10%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony jednorazowo po n latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma X będzie musiała spłacić 13310 zł ?

      • Granica ciągu

      • Szereg geometryczny

        • Zadanie 1.

          Sprawdź czy szereg geometryczny jest zbieżny, jeżeli jest oblicz jego sumę
          a) \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...  b) \frac{\sqrt{3}}{3}-1+\sqrt{3}-3+...

        • Zadanie 2.

          Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły
          a) 1,(21) b) 0,2(17)

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
          a) 1 + (2x – 3) + (2x – 3)2 + . . .
          b) \frac{2}{x-1}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{3}}+...

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równanie (x + 3) + (x + 3)2 + (x + 3)3 + . . . = 2 -x

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż równanie 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-7}{5+n^{2}}

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż nierówność 1 + x + x2 + . . . ≤ 4

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż nierówność 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...< 2

        • Zadanie 8.

          Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x) = -x + x2 – x3 + . . . 

        • Zadanie 9.

          Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^{2}}+...

        • Zadanie 10.

          Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 64. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 56.

        • Zadanie 11.

          Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \frac{4}{3}. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy -1.

        • Zadanie 12.

          Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48.

        • Zadanie 13.

          W nieskończonym ciągu geometrycznym a1 = 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest trzy razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.

        • Zadanie 14.

          W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

        • Zadanie 15.

          Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 3. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma sześcianów  jego wyrazów jest równa \frac{27}{19}.

        • Zadanie 16.

          W kwadrat o boku  długości a wpisujemy drugi kwadrat tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego kwadratu, następnie w analogiczny sposób wpisujemy kwadrat w drugi kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób kwadratów.

        • Zadanie 17.

          W trójkąt równoboczny o boku  długości a wpisujemy drugi trójkąt równoboczny tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego trójkąta, następnie w analogiczny sposób wpisujemy trójkąt w drugi trójkąt itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.

    • Rachunek różniczkowy

      • Granica funkcji

        • Granica właściwa funkcji w punkcie

        • Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

          • Zadanie 1.

            Oblicz granice
            a) \lim_{x \to 2^{-}}\frac{4-x}{x-2} 

            b) \lim_{x \to1^{+}}\frac{x^{3}+3}{x-1}

          • Zadanie 2.

            Oblicz granice
            a) \lim_{x \to 3^{-}}\frac{4}{\left ( x-3 \right )\left ( x+4 \right )} 

            b)  \lim_{x \to 2^{-}}\frac{1}{x^{2}-x-2}

          • Zadanie 3.

            Oblicz granice
            a) \lim_{x \to 1^{+}}\left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{x^{2}-1}\right )

            b) \lim_{x \to2^{+} }\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^{2}-4} \right )

          • Zadanie 4.

            Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
            a) f(x)=\frac{x^{2}-7}{x-1}

            b) f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}

          • Zadanie 5.

            Wykaż, że funkcja f(x)=\frac{x^{3}+4x-5}{2x-2} nie ma  asymptoty pionowej w punkcie x_{0}=1

          • Zadanie 6.

            Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
            a) f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}

            b) f(x)=\frac{12x+4}{1-9x^{2}}

        • Granica funkcji w nieskończoności

          • Zadanie 1.

            Oblicz granice funkcji
            a) \lim_{x \to \infty }\left ( 2x^{3}-3x-7\right )
            b) \lim_{x \to -\infty }\left ( -x^{3}-3x-7 \right )

          • Zadanie 2.

            Oblicz granice funkcji
            a) \lim_{x \to -\infty }\frac{3x^{2}+2x-8}{x^{2}+4}

            b) \lim_{x \to \infty }\frac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3}

          • Zadanie 3.

            Oblicz granice funkcji
            a) \lim_{x \to-\infty }\frac{-3x^{3}+2x-8}{2x^{2}+4}

            b) \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}

          • Zadanie 4.

            Oblicz granice funkcji
            a) \lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{x^{2}+2}-x \right )

            b) \lim_{x \to \infty }\frac{1}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}

          • Zadanie 5.

            Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji f(x)=\frac{-3x^{3}-2x+4}{2x^{3}-2}

          • Zadanie 6.

            Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji f(x)=\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+2} ( o ile istnieją )

          • Zadanie 7.

            Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2-x}} ( o ile istnieją)

          • Zadanie 8.

            Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji f(x)=\sqrt{\frac{4x-1}{x-1}} ( o ile istnieją)

          • Zadanie 9.

            Oblicz granicę \lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{1+9x^{2}}}{x}

      • Ciągłość funkcji

        • Zadanie 1.

          Wykaż, że funkcja f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4\, \, dla\, \, x\geqslant 2\\ x-2\, \,\, \, dla\, \, x< 2 \end{array}\right.  jest ciągła w punkcie x0 = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.

        • Zadanie 2.

          Wykaż, że funkcja f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1\, \, dla\, \, \, x\geqslant 1\\ x-2\, \, \, \, dla\, \, \, x< 1 \end{array}\right.  nie jest ciągła w punkcie x0 = 1 i naszkicuj wykres tej funkcji.

        • Zadanie 3.

          Wykaż, że funkcja f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-1\, \, dla\, \, x\neq 2\\ 1\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.   nie jest ciągła w punkcie x0 = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.

        • Zadanie 4.

          Zbadaj ciągłość funkcji f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-x-12}{x-4}\, \, dla\, \, x\neq 4\\ 5\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=4 \end{array}\right.

        • Zadanie 5.

          Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\, \, dla\, \, x\neq 2\\ m+3\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.  jest ciągła?

        • Zadanie 6.

          Dla jakich wartości parametrów k i m funkcja f(x)=\left\{\begin{array}{l} k-x\, \,\, \, \, \, \, \, \,\, dla\, \, x< 1\\ 4\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=1\\ \frac{4}{x+3}+m\, \, dla\, \, x> 1 \end{array}\right.   jest ciągła?

      • Własności funkcji ciągłych

        • Zadanie 1.

          Uzasadnij, że równanie   x4 – 8x – 3=0 ma w przedziale \left \langle 1,3 \right \rangle rozwiązanie.

        • Zadanie 2.

          Uzasadnij, że funkcja f(x) = x3 – x – 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe.

      • Pochodna funkcji

        • Definicja pochodnej funkcji w punkcie

          • Zadanie 1.

            Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=x^{2}+3 w x_{0}=-1

          • Zadanie 2.

            Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=x^{3}-2 w x_{0}=2

          • Zadanie 3.

            Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=\frac{2}{x} w x_{0}=1

          • Zadanie 4.

            Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=\sqrt{x+1} w x_{0}=3

          • Zadanie 5.

            Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x)=x^{2} w punkcie A=\left ( 2,4 \right ). Oblicz miarę kąta jaki ta styczna tworzy z osią OX.

          • Zadanie 6.

            Uzasadnij, że funkcja f(x)=\left | x-4 \right | nie ma pochodnej w punkcie x_{0}=4

        • Funkcja pochodna

          • Zadanie 1.

            Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór (x3)’ = 3x2.

          • Zadanie 2.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3 w punkcie A=(-2-8).

          • Zadanie 3.

            Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór \left ( \frac{1}{x} \right )^{'}=-\frac{1}{x^{2}}\, \, dla\, \, x\neq 0

          • Zadanie 4.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=\frac{1}{x} wiedząc, że jest ona równoległa do prostej o równaniu y = -4x +1

          • Zadanie 5.

            Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór \left ( \sqrt{x} \right )^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\, \, dla\, \, x> 0

          • Zadanie 6.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=\sqrt{x} wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej o równaniu y = -2x +1

          • Zadanie 7.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 wiedząc, że jest ona nachylona do osi OX pod kątem 150°.

          • Zadanie 8.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 +1 wiedząc, że przechodzi ona przez punkt (0,0).

        • Działania na pochodnych

          • Zadanie 1.

            Wyznacz pochodną funkcji
            a) f(x)=-3x^{4}
            b)f(x)=2x^{3}-3x+1
            c) f(x)=-\frac{4}{x}
            d) f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}

          • Zadanie 2.

            Wyznacz pochodną funkcji
            a) f(x)=\left ( 2x^{3}-1 \right )\left ( 3x^{2}+2x-1 \right )
            b) f(x)=-5x^{3}\sqrt{x}

          • Zadanie 3.

            Wyznacz pochodną funkcji
            a) f(x)=\frac{x^{2}-5}{x+2}

            b) f(x)=\frac{3x^{4}-2}{x^{3}}

          • Zadanie 4.

            Wyznacz pochodną funkcji
            a) f(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{x}

            b) f(x)=\frac{2}{x^{2}-3}-\frac{1}{2x^{3}}

          • Zadanie 5.

            Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x)=\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+1}{2x^{3}-5x^{2}-3} w punkcie o odciętej x_{0}=1

          • Zadanie 6.

            Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=2x^{2}\sqrt{x} w punkcie o odciętej x_{0}=4

        • Interpretacja fizyczna pochodnej

          • Zadanie 1.

            Położenie punktu na osi liczbowej w chwili t opisuje wzór s(t) = t2 . Oblicz prędkość średnią od chwili t1 = 1 do chwili t2 = 3 oraz prędkości w chwilach
            t1 = 1, t2 = 2, t3 = 3.

          • Zadanie 2.

            Przyjmując, że drogę przebytą przez spadające swobodnie ciało opisuje funkcja s(t) = 4,9·t2  (gdzie droga mierzona jest w metrach , a czas w sekundach) oblicz prędkość ciała w chwili t0 = 3,  odpowiedź podaj w \frac{m}{s} i \frac{km}{h}

      • Funkcje rosnące i malejące

        • Zadanie 1.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x3 – 4x2 + 5x – 2

        • Zadanie 2.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x3 – 3x2 + 1.

        • Zadanie 3.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x)=\frac{x^{2}+4x+4}{x+1}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x)=\frac{1-x^{2}}{x+2}

        • Zadanie 5.

          Dla jakiej wartości parametru k funkcja f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+kx+1  jest funkcją rosnącą w całej swojej dziedzinie

      • Ekstrema funkcji

        • Zadanie 1.

          Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = x3 – 2x2 + x -1.

        • Zadanie 2.

          Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = 3x4 – 4x3

        • Zadanie 3.

          Wyznacz ekstrema funkcji f(x)=\frac{-x^{2}}{x^{2}-4}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz ekstrema funkcji f(x)=\frac{x^{2}}{2x-6}

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że funkcja f(x) = x5 + 5x3 + 20x nie ma ekstremum 

        • Zadanie 6.

          Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x) = -mx3 + x2 – x – 3  ma ekstremum lokalne w punkcie xo = -1. Określ rodzaj tego ekstremum.

        • Zadanie 7.

          Styczna do wykresu funkcji f(x)=\frac{ax+b}{\left ( x-1 \right )\left ( x-4 \right )}  poprowadzona w punkcie o odciętej x=2 ma równanie y=-1. Znajdź współczynniki a\, \, i\, \, b. Wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji.

      • Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji

        • Zadanie 1.

          Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji f(x) = x4 – 32x  w przedziale \left \langle0,3 \right \rangle

        • Zadanie 2.

          Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} w przedziale \left \langle 0,2 \right \rangle

        • Zadanie 3.

          Dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma rozwiązanie w przedziale \left \langle -1,2 \right \rangle, jeżeli f(x)=\sqrt[3]{2x^{3}-6x}

        • Zadanie 4.

          Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}  w przedziale \left \langle -2,0 \right \rangle

      • Zadania optymalizacyjne

        • Zadanie 1.

          Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi 24 cm. Przy jakiej wysokości objętość tego prostopadłościanu  jest największa?

        • Zadanie 2.

          Który z prostopadłościanów o podstawie kwadratu i danym polu powierzchni całkowitej P ma największą objętość?

        • Zadanie 3.

          Jak należy dobrać wymiary puszki w kształcie walca o polu powierzchni całkowitej 150π cm2, aby miała ona największą objętość?

        • Zadanie 4.

          Który z walców o objętości 100π cm3 ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej?

        • Zadanie 5.

          Jaką największą objętość ma stożek o tworzącej równej 10?

        • Zadanie 6.

          Oblicz wymiary prostokąta o największym polu, którego dwa wierzchołki leżą na osi OX, a pozostałe dwa, o rzędnych dodatnich, należą do wykresu funkcji f(x) = 4 – x2.

        • Zadanie 7.

          Przedstaw liczbę 12 jako sumę dwóch takich składników , aby suma ich sześcianów była najmniejsza.

        • Zadanie 8.

          Na paraboli o równaniu y = 3x2 – 5x + 6 znajdź punkt leżący najbliżej punktu A=(3,2).

        • Zadanie 9.

          Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 1. Znajdź długości boków tego trójkąta tak, aby pole tego trójkąta było największe.

        • Zadanie 10.

          Trapez wpisano w okrąg o promieniu 12 w ten sposób, że podstawa trapezu jest średnicą okręgu. Oblicz długości boków tego trapezu, który ma największe pole.

      • Szkicowanie wykresu funkcji

        • Zadanie 1.

          Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}

        • Zadanie 2.

          Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4}

        • Zadanie 3.

          Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}

        • Zadanie 4.

          Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji f(x)=\frac{-x^{2}}{x-3}

    • Stereometria

      • Graniastosłupy

        • Sześcian

          • Zadanie 1.

            Pole sześcianu jest równe 216 cm2. Oblicz objętość tego sześcianu, oraz sinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 2.

            Objętość sześcianu jest równa 64 cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu, oraz cosinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.

          • Zadanie 4.

            Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w filmie ). Oblicz pole trójkąta KLM.

          • Zadanie 5.

            Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 6.

            Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt \alpha taki, że cos\alpha =\frac{4}{5} . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 7.

            Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy (rysunek w filmie). Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt \alpha taki, że cos\alpha =\frac{4}{5} . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 8.

            Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 9.

            Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki sąsiednich krawędzi CD i BC i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

        • Sześcian (2)

          • Zadanie 1.

            Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.

          • Zadanie 2.

            Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany  A’B’C’D’ .
            a) Wyznacz długość odcinka AK.
            b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i  AM.

          • Zadanie 3.

            Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.

          • Zadanie 4.

            Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 5.

            Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 6.

            Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 7.

            Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 8.

            Na przekątnych AB i CD  sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)

        • Prostopadłościan

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 300 wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60o, a długości podstaw to 5 cm i 7 cm.

          • Zadanie 5.

            Przekątne ścian wychodzące z tego samego wierzchołka prostopadłościanu mają długość 10,6\sqrt{17},8\sqrt{10} . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

          • Zadanie 6.

            Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

        • Graniastosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 300.

          • Zadanie 2.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300.

          • Zadanie 3.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 300.

          • Zadanie 4.

            Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600 ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

          • Zadanie 5.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 300.

          • Zadanie 6.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 300.

          • Zadanie 7.

            Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta zawartego między przekątną tego graniastosłupa, a jego krawędzią boczną.

          • Zadanie 8.

            Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.

          • Zadanie 9.

            Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 48\sqrt{3} cm2. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 10.

            Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość d , a sinus kąta między tą przekątną, a krawędzią podstawy jest równy p. Wykaż, że wysokość tego graniastosłupa wyraża się wzorem d\sqrt{2p^{2}-1} 

          • Zadanie 11.

            W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym sinus kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z tego samego wierzchołka jest równy \frac{4}{5} . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej ma długość 5.

        • Graniastosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli cos\alpha =\frac{1}{3} i krawędź boczna ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi 32\sqrt{3} . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.

          • Zadanie 3.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi \frac{9\sqrt{3}}{4} .

          • Zadanie 4.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli promień okręgu opisanego na podstawie jest równy \sqrt{3} .

          • Zadanie 5.

            W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi  podstawy długości 1 promień okręgu opisanego na ścianie bocznej jest czterokrotnie  większy od promienia okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

        • Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długości przekątnych tego graniastosłupa.

          • Zadanie 3.

            Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4\sqrt{3}. Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600 . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa 2\sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

        • Inne graniastosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 1200 i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.

          • Zadanie 2.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 300 i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.

          • Zadanie 3.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm2, następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym \alpha. Wszystkie krawędzie tego graniastosłupa mają długość a . Uzasadnij, że krótsza przekątna tego graniastosłupa ma długość równą a\sqrt{1+4sin^{2}\frac{\alpha }{2}}

          • Zadanie 5.

            Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym \alpha takim, że sinα = 0,7. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

        • Inne graniastosłupy (2)

          • Zadanie 1.

            Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .

          • Zadanie 2.

            W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

          • Zadanie 3.

            Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.

          • Zadanie 4.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.

          • Zadanie 5.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i \sqrt{33}, a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.

          • Zadanie 6.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ  (β< γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 7.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

        • Przekroje graniastosłupów

          • Zadanie 1.

            Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez  krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.

          • Zadanie 3.

            Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.

          • Zadanie 4.

            Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.

      • Ostrosłupy

        • Ostrosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4, a wysokość ściany bocznej
            ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość 2\sqrt{2}, a krawędź boczna ma długość 3.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 12 cm i wysokość jego ściany bocznej
            tworzą taki kąt \alpha , że sin\alpha =\frac{5}{13} .

          • Zadanie 4.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 9 cm i krawędź boczna tworzą taki kąt \alpha, że cos\alpha =\frac{3}{5} .

          • Zadanie 5.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300, a obwód podstawy wynosi 8.

          • Zadanie 6.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10 cm.

          • Zadanie 8.

            Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.

          • Zadanie 9.

            Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni całkowitej jest równe 21 cm2.

          • Zadanie 10.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Ostrosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość i krawędź boczna tworzą taki kąt \alpha , że cos\alpha =\frac{4}{5}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 3 cm .

          • Zadanie 4.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość o długości 16 cm i wysokość ściany bocznej tworzą taki kąt \alpha, że cos\alpha =\frac{4}{5}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.

          • Zadanie 6.

            Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6, a krawędź boczna ma długość 4. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 7.

            Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.

          • Zadanie 8.

            Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że sin\alpha =\frac{3}{5} . Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy 2\sqrt{3} . Wyznacz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

          • Zadanie 9.

            Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że cos\alpha =\frac{12}{13}. Pole podstawy wynosi 9\sqrt{3}. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 10.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600. Oblicz objętość tej bryły.

          • Zadanie 11.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Koło opisane na podstawie ma pole równe 16π. Objętość tego ostrosłupa jest równa 20\sqrt{3} . Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 12.

            Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości a wyraża się wzorem \frac{a\sqrt{6}}{3}.

          • Zadanie 13.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej 18\sqrt{2}\, \, cm^{3}

        • Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 600. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300. Krótsza przekątna podstawy wynosi 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość ściany bocznej jest równa 9 cm. Różnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w podstawę wynosi 8π cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

        • Przekroje ostrosłupów

          • Zadanie 1.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy. Pole przekroju jest równe 36 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości  6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

          • Zadanie 3.

            Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości  6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątna podstawy i punkt E będący środkiem krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

          • Zadanie 4.

            Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość i środek krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.

          • Zadanie 5.

            Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju.

        • Przekroje ostrosłupów (2)

          • Zadanie 1.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym pole podstawy jest równe 18\sqrt{3} cm2, zaś krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i wierzchołek.

          • Zadanie 2.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Oblicz tangens kąta ostrego β, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.

          • Zadanie 3.

            Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przeciętego płaszczyzną przechodząca przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa, jest równe S. Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α. Oblicz objętość ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 3α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 5.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa a, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
            a) Oblicz pole otrzymanego przekroju.
            b) Wyznacz sinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

          • Zadanie 6.

            Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H, przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.

          • Zadanie 7.

            W ostrosłupie , którego podstawą jest prostokątny trójkąt równoramienny o przyprostokątnej 5, jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z tą płaszczyzną kąt α taki, że sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}. Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Oblicz pole tego kwadratu.

        • Inne ostrosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS.

          • Zadanie 2.

            Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.

          • Zadanie 3.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa \frac{80}{3} , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Kąt dwuścienny

          • Zadanie 1.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego długość krawędzi podstawy jest równa 6, a kąt miedzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 120°.

          • Zadanie 2.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

          • Zadanie 3.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Wyznacz cosinus kata między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

          • Zadanie 5.

            Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny. Stosunek długości wysokości ostrosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy \frac{\sqrt{6}}{6}. Wykaż, że kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.

          • Zadanie 6.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 7.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

        • Twierdzenie o ostroslupach

          • Zadanie 1.

            Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz objętość ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości  6, 5 i 5. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość 10 cm. Przekątna tego trapezu jest prostopadła do ramienia i ma 8 cm długości, a wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają po 13 cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości  6, 5 i 5. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Zadania różne

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny wiedząc, że kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa ma miarę α, zaś wysokość ostrosłupa ma długość H.

          • Zadanie 2.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu długości R wiedząc, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.

          • Zadanie 3.

            Podstawą ostrosłupa jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°. Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny postawy pod kątem α=60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli promień okręgu wpisanego w romb ma długość r.

          • Zadanie 4.

            Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 1 i 2. Wysokość ostrosłupa ma długość 3, a jej spodek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.

          • Zadanie 5.

            W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa jest równy α, zaś krawędź podstawy ma długość α. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.

          • Zadanie 6.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości przekątnej podstawy AC do długości ramienia AS jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 7.

            Sześcian o krawędzi α wpisano w ostrosłup prawidłowy czworokątny tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych, zaś cztery pozostałe do podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. 

      • Figury obrotowe

        • Walec

          • Zadanie 1.

            Pole powierzchni całkowitej walca jest równe  40π cm2, a jego wysokość ma długość 10 cm. Oblicz pole koła będącego podstawą walca.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy 4 cm, jeśli pole jego przekroju osiowego jest równe 40 cm2.

          • Zadanie 3.

            Przekątna d prostokąta będącego przekrojem osiowym walca ma długość 12 cm i tworzy z jego podstawą kąt α = 30° Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

          • Zadanie 4.

            Średnica podstawy walca ma długość 8 cm, a pole jego powierzchni bocznej jest czterokrotnie większe od pola podstawy. Oblicz objętość walca.

          • Zadanie 5.

            Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 15 cm i tworzy z jego podstawą kąt α. Oblicz objętość walca, jeśli wiadomo, że cosα = 0,6.

          • Zadanie 6.

            Pole powierzchni całkowitej walca jest dwa razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz średnicę podstawy tego walca, jeśli jego objętość wynosi 27π

          • Zadanie 7.

            Oblicz objętość walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o przekątnej 4.

          • Zadanie 8.

            Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy kąt o mierze 300 z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca i jego objętość.

          • Zadanie 9.

            Objętość walca jest równa 75π. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 0,3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

          • Zadanie 10.

            Przekątna prostokąta ma długość 4 i tworzy z dłuższym bokiem kąt 300. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego prostokąta dookoła dłuższego boku.

        • Stożek

          • Zadanie 1.

            Wyznacz kąt rozwarcia stożka, którego tworząca ma długość 10 cm, a pole podstawy jest równe 25π cm2.

          • Zadanie 2.

            Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym 16\sqrt{3} cm2. Oblicz objętość tego stożka.

          • Zadanie 3.

            Pole podstawy stożka jest równe 27π cm2, a jego objętość wynosi 27π cm3. Wyznacz kąt między tworzącą stożka a jego podstawą.

          • Zadanie 4.

            W stożku tworząca długości 15 cm, tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego sinα = 0,6. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

          • Zadanie 5.

            W stożku tworząca długości 13 cm tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego tgα = 2,4. Oblicz objętość tego stożka.

          • Zadanie 6.

            Pole powierzchni bocznej stożka jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.

          • Zadanie 7.

            Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej 2\pi \sqrt{2}\, \, cm^{2} i polu powierzchni całkowitej \frac{2\pi }{\sqrt{2}-1}\, \, cm^{2} . Wyznacz kąt między tworząca tego stożka a jego podstawą.

          • Zadanie 8.

            Na rysunku w filmie przedstawiono wycinek koła, który po zwinięciu jest powierzchnią boczną stożka. Oblicz pole podstawy i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

          • Zadanie 9.

            Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie \alpha i promieniu 9 cm. Oblicz miarę kąta \alpha, jeśli podstawą tego stożka jest koło o polu równym 36\pi \, \, cm^{2} 

          • Zadanie 10.

            Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 i kącie ostrym 300 obracamy dookoła dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.

          • Zadanie 11.

            Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 3 obracamy dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.

          • Zadanie 12.

            Trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i ramionach 13 cm obracamy wokół prostej zawierającej jego ramię. Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.

        • Kula

          • Zadanie 1.

            a) Pole powierzchni kuli jest równe 144π cm2. Oblicz objętość tej kuli. b) Objętość kuli jest równe 36π cm3. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

          • Zadanie 2.

            Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o środku oddalonym od środka kuli o 7 cm. Oblicz pole tego koła.

          • Zadanie 3.

            Dane są dwie kule o promieniach 3 cm i 5 cm oraz wspólnym środku. Oblicz pole przekroju utworzonego przez przecięcie większej kuli płaszczyzną styczną do mniejszej

        • Bryły podobne

          • Zadanie 1.

            Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36π cm3, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Oblicz objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek ich pół powierzchni ?

          • Zadanie 2.

            Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego stożka jest o 125% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego. Oblicz wysokość większego stożka, jeśli wysokość  mniejszego jest równa 6 cm.

          • Zadanie 3.

            Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu ?

          • Zadanie 4.

            Stożek o objętości 27π cm3 przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1. Oblicz objętość brył powstałych w wyniku podziału.

        • Zadania różne

          • Zadanie 1.

            Stożek o objętości V i wysokości h przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o \frac{1}{3}h. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

          • Zadanie 2.

            W kulę wpisano walec, w którym długość promienia podstawy jest mniejsza od długości promienia kuli o 2 cm, a wysokość stanowi \frac{4}{3} promienia kuli. Oblicz pole powierzchni kuli.

          • Zadanie 3.

            Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.

          • Zadanie 4.

            Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy  \frac{2}{3}. Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

          • Zadanie 5.

            Oblicz objętość kuli wpisanej w stożek o promieniu długości R i kącie rozwarcia 2α.

          • Zadanie 6.

            Romb o kącie ostrym 60°, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.

          • Zadanie 7.

            W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstaw kąty α i β. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.

          • Zadanie 8.

            Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi 
            68 cm2. Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.

          • Zadanie 9.

            Trójkąt o bokach 10,17,21 obraca się  wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.

          • Zadanie 10.

            Puszka ma kształt walca zakończonego z obu stron półsferami. Wysokość walca jest o 2 większa od promienia jego podstawy, a objętość puszki jest dwa razy większa od objętości walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej puszki.

          • Zadanie 11.

            W trójkącie równoramiennym o obwodzie p stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy \sqrt{3}. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dookoła prostej zawierającej jego ramię.

          • Zadanie 12.

            Wykaż, że objętość walca o polu powierzchni P, opisanego na kuli o promieniu r, jest równa \frac{Pr}{3}.

          • Zadanie 13.

            Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45° i 60° Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m2 papieru zużyto.

          • Zadanie 14.

            W stożek o wysokości H=9 i objętości V=108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
            a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.    
            b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?

          • Zadanie 15.

            Na stożku, którego pole przekroju osiowego jest równe S, a kąt między wysokością i tworzącą ma miarę α, opisano kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

    • Rachunek prawdopodobieństwa

      • Reguła mnożenia

        • Zadanie 1.

          Niech zbiór A będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10, zbiór B- zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 20.
          Ile jest par (x , y) takich, że x ∈ A i x ∈ B?

        • Zadanie 2.

          Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą naturalną mniejsza od 20 i podzielną przez 3, druga – liczbą naturalną mniejszą od 30 i podzielną przez 4 ?

        • Zadanie 3.

          Ile może być numerów rejestracyjnych mających na początku dwie litery, a następnie 5 cyfr, jeśli mogą w nich występować jedynie litery B, L oraz
          cyfry 2, 3, 5, 6, 7 ( litery i cyfry mogą się powtarzać ).

        • Zadanie 4.

          W restauracji serwuje się 5 różnych zup, 8 drugich dań i 6 deserów. Ile różnych zestawów obiadowych, składających się z zupy, drugiego dania i deseru, można zamówić w tej restauracji?

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest mniej niż 200.

      • Permutacje

        • Zadanie 1.

          Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki?

        • Zadanie 2.

          Ile jest wszystkich permutacji zbioru 4 – elementowego. Wyznacz wszystkie permutacje zbioru: {1, 3, 5, 7}

        • Zadanie 3.

          Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0 i żadna cyfra się nie powtarza.

        • Zadanie 4.

          Zawodnikom przydzielono kolejne numery od 1 do n. Ilu jest zawodników, jeśli numery startowe możemy przydzielić na 5040 sposobów?

        • Zadanie 5.

          Biegaczom przydzielono kolejne numery od 1 do 6. Ile może być wyników biegu przy założeniu, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3?

        • Zadanie 6.

          Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 7 szufladach tak, aby każda szuflada była zajęta ( kule i szuflady rozróżniamy ).

        • Zadanie 7.

          Na ile sposobów można ustawić 3 dziewcząt i 6 chłopców w kolejce, jeśli dziewczęta stoją na końcu kolejki?

      • Wariacje bez powtórzeń

        • Zadanie 1.

          Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których mogą występować litery: A, B, C, D, E, F, G, H i żadna liczba się nie powtarza?

        • Zadanie 2.

          Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?

        • Zadanie 3.

          Ile można utworzyć siedmiocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynających się od 701, w których żadna cyfra nie będzie się powtarzała?

        • Zadanie 4.

          W loterii fantowej wzięło udział 100 uczniów i każdy kupił jeden ze stu losów. Do wygrania były: I nagroda – laptop, II – tablet, III smartfon. Na ile sposobów uczniowie mogą wylosować nagrody?

        • Zadanie 5.

          Do windy zatrzymującej się na 10 piętrach wsiadły 4 osoby. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze i nikt nie wysiada na trzech ostatnich piętrach?

      • Wariacje z powtórzeniami

        • Zadanie 1.

          Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych zaczynających się od 12.

        • Zadanie 2.

          Do 3 szuflad wrzucamy 9 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )

        • Zadanie 3.

          Do 9 szuflad wrzucamy 3 kule. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )

        • Zadanie 4.

          Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 10 piętrach?

        • Zadanie 5.

          Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 6 piętrach?

      • Kombinacje

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}  b) \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} c) \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}  d) \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} e) \begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}  f) \begin{pmatrix} 15\\12 \end{pmatrix}

        • Zadanie 2.

          Na ile sposobów można wybrać spośród 8 osób trzyosobową delegację?

        • Zadanie 3.

          Wypisz wszystkie możliwe czteroelementowe kombinacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5}. Sprawdź, czy jest ich \begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}.

        • Zadanie 4.

          Podczas egzaminu student losuje 4 pytania spośród 6. Na ile sposobów może to zrobić?

        • Zadanie 5.

          Spotkało się dziesięcioro znajomych i każdy z każdym przywitał się uściskiem dłoni. Ile było przywitań?

        • Zadanie 6.

          W turnieju szachowym rozegrano 55 partii. Ilu było zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych?

        • Zadanie 7.

          Jeśli przez każde dwa wierzchołki n-kąta foremnego poprowadzimy prostą, to otrzymamy 66 różnych prostych. Wyznacz miarę kąta wewnętrznego tego n-kąta.

      • Kombinatoryka - zadania

        • Zadanie 1.

          Rzucamy trzy razy kostką sześcienną i otrzymane liczby oczek zapisujemy jako kolejne cyfry liczby trzycyfrowej Ile można w ten sposób otrzymać liczb, których: a) suma cyfr jest równa 6  b) iloczyn cyfr jest równy 6?

        • Zadanie 2.

          Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie mogą występować cyfry należące do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} i co najmniej raz występuje cyfra 6?

        • Zadanie 3.

          Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie nie występuje cyfra 0, a suma cyfr jest mniejsza od 35?

        • Zadanie 4.

          Ile jest liczb trzycyfrowych, których cyfry należą do zbioru {0, 2, 4, 6, 8} i nie mogą się powtarzać, a suma jest większa od 6?

        • Zadanie 5.

          Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest: a) większych od 6000 b) większych od 3500

        • Zadanie 6.

          Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest:
          a) podzielnych przez 25
          b) podzielnych przez 4

        • Zadanie 7.

          Z talii 24 kart wybrano jednego pika, jednego kiera, jedno karo oraz jednego trefla. Wiadomo, że nie wybrano dokładnie trzech asów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?

        • Zadanie 8.

          Z talii 24 kart wybrano jednego asa, jednego króla, jedną damę oraz jednego waleta. Wiadomo, że nie wybrano czterech kierów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?

        • Zadanie 9.

          W partii 40 monitorów komputerowych 4 są uszkodzone. Wybieramy 3 monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru , aby co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?

        • Zadanie 10.

          Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli dziewczęta siedzą razem i chłopcy siedzą razem.

        • Zadanie 11.

          Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli:
          a) dziewczęta siedzą razem
          b) chłopcy siedzą razem.

        • Zadanie 12.

          Mamy do dyspozycji klocki z literami A, A, T, T. Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter.

        • Zadanie 13.

          Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter słowa MATEMATYKA ?

        • Zadanie 14.

          Ile liczb dziesięciocyfrowych można otrzymać przestawiając cyfry w liczbie 9989879876?

        • Zadanie 15.

          Ile jest liczb czterocyfrowych których iloczyn cyfr wynosi 8?

        • Zadanie 16.

          Oblicz ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka.

        • Zadanie 17.

          Na półce ustawiono 7 książek, 3 o tematyce historycznej i 4 kryminalnej. Na ile sposobów można książki ustawić tak, aby książki historyczne stały obok siebie.

        • Zadanie 18.

          W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składającej się z 5 harcerek i 4 harcerzy. Maszerują w szyku zwanym „ gęsiego „. Ile istnieje różnych sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a harcerki z harcerkami?

      • Zdarzenia losowe

        • Zadanie 1.

          Rzucamy raz kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadła parzysta liczba oczek, B – wypadła liczba oczek większa od 8, C – wypadła liczba oczek mniejsza od 7.

        • Zadanie 2.

          Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – suma otrzymanych oczek jest mniejsza od 4, B – iloczyn otrzymanych oczek jest podzielny przez 10.

        • Zadanie 3.

          Rzucamy trzy razy monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadły co najwyżej dwie reszki i A’ (zdarzenie przeciwne do A)

        • Zadanie 4.

          Rzucamy dwa razy kostką czworościenną. Rozpatrzmy zdarzenia A – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej, B – wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta. Wyznacz zdarzenia C- pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej i wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta, D – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej lub wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta.

      • Prawdopodobieństwo klasyczne

        • Zadanie 1.

          Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek mniejszej od 5.

        • Zadanie 2.

          Z talii 24 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania a) damy b) asa lub króla

        • Zadanie 3.

          Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze liczba oczek otrzymana w drugim rzucie jest o 2 większa od liczby oczek otrzymanej w pierwszym rzucie.

        • Zadanie 4.

          Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb dwucyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 6.

        • Zadanie 5.

          Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzycyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 3.

        • Zadanie 6.

          Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
          a) każda wysiądzie na innym piętrze
          b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze.

        • Zadanie 7.

          Pięć kul rozmieszczamy w pięciu szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda szuflada będzie zajęta (kule i szuflady rozróżniamy)

        • Zadanie 8.

          Z talii 24 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli.

        • Zadanie 9.