Dowody w geometrii

• Zadanie 1.

  Udowodnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

• Zadanie 2.

  Udowodnij, że wysokości trójkąta są odwrotnie proporcjonalne do długości boków na które je opuszczono.

• Zadanie 3.

  Udowodnij, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków ( rysunek w filmie )

• Zadanie 4.

  W trójkącie prostokątnym ACB wysokość CD opuszczona z wierzchołka kąta prostego C, podzieliła przeciwprostokątną na odcinki AD i BD. Wykaż, że:
  a)  
  b) 

• Zadanie 5.

  Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt P tak, że . Uzasadnij, że ∆APL∼∆BPK oraz ∆APB∼∆KLP  gdzie punkty K i L są punktami przecięcia się prostych AP i BP odpowiednio z bokami BC i AC.

• Zadanie 6.

  W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na połowy połączono z wierzchołkami C i D. Udowodnij, że kąt CMD jest prosty.

• Zadanie 7.

  Punkt P należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ostrokątnego ABC. Udowodnij, ze suma odległości punktu P od ramion trójkąta jest równa jednej z wysokości tego trójkąta.

• Zadanie 8.

  Niech P będzie dowolnym punktem należącym do wnętrza równoległoboku ABCD. Udowodnij, że suma pól trójkątów PAB i PCD jest równa sumie pól trójkątów PBC i PDA.

• Zadanie 9.

  Wykaż, że dla dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta suma odległości od wierzchołków trójkąta jest większa niż połowa jego obwodu.

• Zadanie 10.

  Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ACB obrano punkty D i E takie, że |AD = |AC| oraz |BE| = |BC|. Wykaż, że .

• Zadanie 11.

  Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Punkt E leży na boku BC oraz |EC|=|CD| i |EB|=|BC|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.

• Zadanie 12.

  Na przekątnej AC równoległoboku ABCD obrano dowolny punkt K. Wykaż, że trójkąty ABK i ADK mają równe pola.