Figury obrotowe • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Figury obrotowe
- Walec
  - Zadanie 1.
    Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 40π cm², a jego wysokość ma długość 10 cm. Oblicz pole koła będącego podstawą walca.
  - Zadanie 2.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy 4 cm, jeśli pole jego przekroju osiowego jest równe 40 cm².
  - Zadanie 3.
    Przekątna d prostokąta będącego przekrojem osiowym walca ma długość 12 cm i tworzy z jego podstawą kąt α = 30° Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
  - Zadanie 4.
    Średnica podstawy walca ma długość 8 cm, a pole jego powierzchni bocznej jest czterokrotnie większe od pola podstawy. Oblicz objętość walca.
  - Zadanie 5.
    Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 15 cm i tworzy z jego podstawą kąt α. Oblicz objętość walca, jeśli wiadomo, że cosα = 0,6.
  - Zadanie 6.
    Pole powierzchni całkowitej walca jest dwa razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz średnicę podstawy tego walca, jeśli jego objętość wynosi 27π
  - Zadanie 7.
    Oblicz objętość walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o przekątnej 4.
  - Zadanie 8.
    Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy kąt o mierze 30⁰ z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca i jego objętość.
  - Zadanie 9.
    Objętość walca jest równa 75π. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 0,3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
  - Zadanie 10.
    Przekątna prostokąta ma długość 4 i tworzy z dłuższym bokiem kąt 30⁰. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego prostokąta dookoła dłuższego boku.
- Stożek
  - Zadanie 1.
    Wyznacz kąt rozwarcia stożka, którego tworząca ma długość 10 cm, a pole podstawy jest równe 25π cm².
  - Zadanie 2.
    Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym $16\sqrt{3}$ cm². Oblicz objętość tego stożka.
  - Zadanie 3.
    Pole podstawy stożka jest równe 27π cm², a jego objętość wynosi 27π cm³. Wyznacz kąt między tworzącą stożka a jego podstawą.
  - Zadanie 4.
    W stożku tworząca długości 15 cm, tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego sinα = 0,6. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
  - Zadanie 5.
    W stożku tworząca długości 13 cm tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego tgα = 2,4. Oblicz objętość tego stożka.
  - Zadanie 6.
    Pole powierzchni bocznej stożka jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.
  - Zadanie 7.
    Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej $2\pi \sqrt{2}\, \, cm^{2}$ i polu powierzchni całkowitej $\frac{2\pi }{\sqrt{2}-1}\, \, cm^{2}$ . Wyznacz kąt między tworząca tego stożka a jego podstawą.
  - Zadanie 8.
    Na rysunku w filmie przedstawiono wycinek koła, który po zwinięciu jest powierzchnią boczną stożka. Oblicz pole podstawy i pole powierzchni całkowitej tego stożka.
  - Zadanie 9.
    Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie $\alpha$ i promieniu 9 cm. Oblicz miarę kąta $\alpha$ , jeśli podstawą tego stożka jest koło o polu równym $36\pi \, \, cm^{2}$
  - Zadanie 10.
    Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 i kącie ostrym 30⁰ obracamy dookoła dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.
  - Zadanie 11.
    Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 3 obracamy dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.
  - Zadanie 12.
    Trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i ramionach 13 cm obracamy wokół prostej zawierającej jego ramię. Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.
- Kula
  - Zadanie 1.
    a) Pole powierzchni kuli jest równe 144π cm². Oblicz objętość tej kuli. b) Objętość kuli jest równe 36π cm³. Oblicz pole powierzchni tej kuli.
  - Zadanie 2.
    Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o środku oddalonym od środka kuli o 7 cm. Oblicz pole tego koła.
  - Zadanie 3.
    Dane są dwie kule o promieniach 3 cm i 5 cm oraz wspólnym środku. Oblicz pole przekroju utworzonego przez przecięcie większej kuli płaszczyzną styczną do mniejszej
- Bryły podobne
  - Zadanie 1.
    Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36π cm³, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Oblicz objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek ich pół powierzchni ?
  - Zadanie 2.
    Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego stożka jest o 125% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego. Oblicz wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego jest równa 6 cm.
  - Zadanie 3.
    Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu ?
  - Zadanie 4.
    Stożek o objętości 27π cm³ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1. Oblicz objętość brył powstałych w wyniku podziału.
- Zadania różne
  - Zadanie 1.
    Stożek o objętości V i wysokości h przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $\frac{1}{3}h$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 2.
    W kulę wpisano walec, w którym długość promienia podstawy jest mniejsza od długości promienia kuli o 2 cm, a wysokość stanowi $\frac{4}{3}$ promienia kuli. Oblicz pole powierzchni kuli.
  - Zadanie 3.
    Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
  - Zadanie 4.
    Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $\frac{2}{3}$ . Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 5.
    Oblicz objętość kuli wpisanej w stożek o promieniu długości R i kącie rozwarcia 2α.
  - Zadanie 6.
    Romb o kącie ostrym 60°, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.
  - Zadanie 7.
    W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstaw kąty α i β. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.
  - Zadanie 8.
    Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi
    68 cm². Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
  - Zadanie 9.
    Trójkąt o bokach 10,17,21 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
  - Zadanie 10.
    Puszka ma kształt walca zakończonego z obu stron półsferami. Wysokość walca jest o 2 większa od promienia jego podstawy, a objętość puszki jest dwa razy większa od objętości walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej puszki.
  - Zadanie 11.
    W trójkącie równoramiennym o obwodzie p stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $\sqrt{3}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dookoła prostej zawierającej jego ramię.
  - Zadanie 12.
    Wykaż, że objętość walca o polu powierzchni P, opisanego na kuli o promieniu r, jest równa $\frac{Pr}{3}$ .
  - Zadanie 13.
    Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45° i 60° Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m² papieru zużyto.
  - Zadanie 14.
    W stożek o wysokości H=9 i objętości V=108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
    a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
    b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?
  - Zadanie 15.
    Na stożku, którego pole przekroju osiowego jest równe S, a kąt między wysokością i tworzącą ma miarę α, opisano kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.