Funkcja wykładnicza • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza
- Działania na potęgach
  - Zadanie 1.
    Oblicz $\left [ 9^{-\frac{1}{4}}+\left ( 3\sqrt{3} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]\cdot \left [ 9^{-\frac{1}{4}}-\left ( 3\sqrt{3} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]$
  - Zadanie 2.
    Oblicz $\left [ 4^{-\frac{1}{4}}+\left ( \frac{1}{2^{-\frac{3}{2}}} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]\cdot\left [ 4^{-0,25}-\left ( 2\sqrt{2} \right )^{-\frac{4}{3}} \right ]$
  - Zadanie 3.
    Oblicz $\left [ \left ( 4+7^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}+\left ( 4-7^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right ]^{2}$
  - Zadanie 4.
    Oblicz $\left [ \left ( 3-5^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}-\left ( 3+5^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}} \right ]^{2}$
  - Zadanie 5.
    Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania 9^x + 9^-x = 14. Nie obliczając a wyznacz wartość wyrażenia 3^a + 3^-a.
- Wykres i własności funkcji wykładniczej
  - Zadanie 1.
    Naszkicuj wykresy funkcji a) f(x) = 2^x b) $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ i odczytaj z wykresu podstawowe własności funkcji .
  - Zadanie 2.
    Naszkicuj wykresy funkcji
    a) f(x) = 2^x+3
    b) $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-2$
    c) f(x) = 3^x-2 + 1
  - Zadanie 3.
    Naszkicuj wykresy funkcji
    a) f(x) = 2^-x + 3
    b) $f(x)=8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}-1$
    c) $f(x)=\frac{27}{3^{x}}$
    Odczytaj z wykresów zbiór wartości funkcji.
  - Zadanie 4.
    Naszkicuj wykres funkcji
    a) f(x) = – 2^x + 3
    b) $f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-x}-1$
  - Zadanie 5.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{0,04}{5^{x}}$ , odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\geq 1$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz wzór funkcji wykładniczej $f(x)=a^{x}$ wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(-3, 8), następnie oblicz wartość iloczynu $f(\sqrt{2})\cdot f(-\sqrt{2})$
  - Zadanie 7.
    Funkcja f(x) = a^x, gdzie a jest rozwiązaniem równania 16x² – 33x + 2 = 0, jest malejąca. Oblicz f(-0,25).
  - Zadanie 8.
    Przekształcając wykres funkcji f(x) = 2^x naszkicuj wykres funkcji g(x) = 2^x+5 + 2^x+3 +24·2^x
- Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej
  - Zadanie 1.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | x \right |}$
  - Zadanie 2.
    Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2^|x-2|
  - Zadanie 3.
    Naszkicuj wykres funkcji f(x) = |3^-x+1 + 2|
  - Zadanie 4.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-\left ( \frac{1}{3} \right )^{\left | x \right |}-2$
  - Zadanie 5.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left ( \sqrt{2} \right )^{x+\left | x \right |}$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż graficznie równanie 2^2|x| + |x| -5 = 0
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż graficznie równanie 3^3-x = |x² – 1|
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż graficznie nierówność: -|2^-x – 1| < 2x² + 8x + 5
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż graficznie układ równań $\left\{\begin{matrix} y=2^{x}\cdot 2^{\left | x \right |}\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4} \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 10.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=2^{\sqrt{x^{2}}}$
  - Zadanie 11.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 25^x – 10·5^x + 9
  - Zadanie 12.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania $\left | \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-2}-4 \right |=m-2$ w zależności od parametru
  - Zadanie 13.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania $\left | \left ( \frac{1}{3} \right )^{x}-2 \right |=m^{2}-1$ w zależności od parametru
  - Zadanie 14.
    Dla jakich wartości parametru $m\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}$ , równanie
    
    $4^{x}+4^{2x}+4^{3x}+...=\frac{m}{m-3}$ ma rozwiązanie?
- Równania i nierówności wykładnicze
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie:
    
    a) 2^x-3 = 8
    
    b) $\left ( \frac{2}{3} \right )^{2-x^{2}}=\frac{9}{4}$
    
    c) $\frac{3^{x-3}}{27}=9^{2x+2}$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówności
    a) $\frac{5^{x}}{25}< 625$
    
    b) $\left (\frac{2}{3} \right )^{x+2}\leq \frac{16}{81}$
    
    c) $\left (\frac{1}{2} \right )^{1-x^{2}}> 1$
  - Zadanie 3.
    Uzasadnij, że:
    
    $\frac{1}{4}< \frac{\left ( \sqrt{2} \right )^{40}\cdot \left ( 3,1 \right )^{22}}{6^{22}}< \frac{1}{4}\cdot \left ( \frac{4}{3} \right )^{22}$
- Równania wykładnicze (2)
  - Zadanie 1.
    Zadanie 1. Rozwiąż równanie $8^{3x-5}=0,125\cdot \left ( \frac{\sqrt{2}}{4} \right )^{6-5x}$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie 2·3^x+1 – 4·3^x-2 = 450
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie 2^x+1 + 4^x = 80
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie 5^x + 5^3-x = 30
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie 49^x + 6·7^x = -5
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie 2^3x · 7^x-2 = 4^x+1
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż równanie $\left ( \sqrt{5-2\sqrt{6}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{5+2\sqrt{6}} \right )^{x}=10$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż równanie $\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{x}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{x}=6$
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż równanie 8^x + 18^x – 2·27^x = 0
  - Zadanie 10.
    Znajdź największą liczbę , dla której zachodzi równość
    
    $\left ( \frac{3}{4} \right )^{x-y}-\left ( \frac{3}{4} \right )^{y-x}=\frac{7}{12}$ i nierówność xy + y ≤ 9
- Nierówności wykładnicze (2)
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność $2^{2\left | x+1 \right |}> \frac{1}{256}$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność $0< \left ( \frac{1}{3} \right )^{-x^{2}+x+6}< 1$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność $\frac{1}{2^{x}-1}< \frac{1}{1-2^{x-1}}$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność 4·9^x < 4·6^x + 3·4^x
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $\left ( \frac{1}{7} \right )^{\sqrt{x^{6}-2x^{3}+1}}< \left ( \frac{1}{7} \right )^{1-x}$
  - Zadanie 6.
    Dane są funkcje f(x) = 5^2x + 2^2x i g(x) = 5^x-4 + 2^x+2
    Rozwiąż nierówność g(x+2) ≥ f(0,5x)
- Funkcja wykładnicza - zastosowania
  - Zadanie 1.
    Podczas doświadczenia liczba bakterii, których początkowo było 600, podwajała się w ciągu pół godziny. Uzasadnij, że funkcja y = 600 · 4^t opisuje liczbę bakterii w zależności od czasu mierzonego w godzinach. Oblicz jaka będzie ilość bakterii po upływie 2,5 godziny.
  - Zadanie 2.
    Dostęp do kolejnych treści zadań i filmów z rozwiązaniami będzie możliwa po zalogowaniu i uprzednim wykupieniu odpowiedniego pakietu, zapraszam do sklepu ( zakładka cennik )
  - Zadanie 3.
  - Zadanie 4.
  - Zadanie 5.
- Zadania z parametrem
  - Zadanie 1.
    Wyznacz wartości parametru , dla których równanie $0,5^{x^{2}-mx+0,5m-1,5}=\left ( \sqrt{8} \right )^{m-1}$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru , równanie $9^{\frac{1}{2}\left ( x^{2}-x \right )-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{3^{m-1}}$ ma takie dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności ich kwadratów jest równa 8?
  - Zadanie 3.
    Zbadaj ilość rozwiązań układu $\left\{\begin{matrix} \left ( 0,5 \right )^{m}\cdot x-2y=1\\x-y=\left ( 0,5 \right )^{m}\, \, \,\, \, \, \, \end{matrix}\right.$ w zależności od parametru
  - Zadanie 4.
    Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m-3)·9^x – (2m+6)·3^x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki.