Funkcje wymierne • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Funkcje wymierne

Funkcje wymierne
- Wykres i własności funkcji homograficznej
  - Zadanie 1.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt
    a)
    b) $P=(-\frac{1}{2},2)$
  - Zadanie 2.
    Do wykresu funkcji $f(x)=-\frac{1}{x}+c$ należy punkt A=(1,4). Sporządź wykres funkcji i podaj zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 3.
    Sporządź wykres funkcji
    
    a) $f(x)=\frac{1}{x-3}$ b) $f(x)=\frac{-3}{x+2}$
    
    Podaj przedziały monotoniczności funkcji
  - Zadanie 4.
    Sporządź wykres funkcji
    
    a) $f(x)=\frac{-1}{x-3}+2$ b) $f(x)=\frac{-3}{x+2}-1$
    
    Podaj przedziały monotoniczności funkcji oraz zbiór wartości.
  - Zadanie 5.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ .
    
    Odczytaj z wykresu zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.
  - Zadanie 6.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{2}{x-1}-3$ . Podaj równania asymptot funkcji .
- Funkcja homograficzna(2)
  - Zadanie 1.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{2x+8}{x+3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
  - Zadanie 2.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+10}{x-3}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Określ dziedzinę i zbiór wartości.
  - Zadanie 3.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{3x-11}{x-4}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
  - Zadanie 4.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej $f(x)=\frac{-3x+8}{-x+2}$ w postaci kanonicznej, następnie sporządź wykres tej funkcji. Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.
  - Zadanie 5.
    Przedstaw wzór funkcji homograficznej w postaci kanonicznej wykonując odpowiednie dzielenie
    a) $f(x)=\frac{3x-11}{2x-3}$ b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-5}$
  - Zadanie 6.
    Podaj równania asymptot wykresu funkcji $f(x)=\frac{3x-2}{x+5}$
  - Zadanie 7.
    Wyznacz wzór funkcji homograficznej wiedząc, że równanie asymptoty pionowej to x = 2, poziomej y = -3 i wykres przechodzi przez punkt A=(1,5).
- Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej
  - Zadanie 1.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{x-1}{x+2} \right |$
  - Zadanie 2.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | x \right |-2}$
  - Zadanie 3.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |+1}{\left | x \right |-1} \right |$
  - Zadanie 4.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\left | \frac{\left | x \right |-1}{\left | x \right |+1} \right |$
  - Zadanie 5.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{\left | 3-x \right |}+1$
  - Zadanie 6.
    Naszkicuj wykres funkcji $f(x)=\frac{-2}{\left | x \right |-1}$ . Dla jakiej wartości parametru k równanie f(x) = k ma dwa rozwiązania.
  - Zadanie 7.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | x-1 \right |}{x}$
  - Zadanie 8.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x+2}{\left | x+3 \right |}$ . Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) =m w zależności od parametru m.
- Działania na wyrażeniach wymiernych
  - Zadanie 1.
    Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego
    
    a) $\frac{2x-4}{3x-1}$
    
    b) $\frac{x^{2}+4}{x^{2}-9}$
    
    c) $\frac{3x-5}{x^{2}-3x-4}$
  - Zadanie 2.
    Podaj dziedzinę wyrażenia wymiernego, a następnie je uprość
    
    a) $\frac{x-4}{3x-12}$
    
    b) $\frac{x^{2}+4x}{x^{2}-16}$
    
    c) $\frac{x-5}{x^{2}-6x+5}$
  - Zadanie 3.
    Wykonaj mnożenie wyrażeń wymiernych
    
    a) $\frac{14}{x^{2}-16}\cdot \frac{x-4}{7}$
    
    b) $\frac{2-x}{2x-6}\cdot \frac{3-x}{x^{2}-4}$
    
    c) $\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\cdot \frac{3}{\left ( 1-x \right )^{2}}$
  - Zadanie 4.
    Wykonaj dzielenie wyrażeń wymiernych
    
    a) $\frac{4}{x^{2}-1}:\frac{x-4}{1-x}$
    
    b) $\frac{20}{3x-1}:\frac{5}{2-6x}$
  - Zadanie 5.
    Wykonaj dodawanie wyrażeń wymiernych
    
    a) $\frac{x}{x-2}+\frac{x+1}{x}$
    
    b) $\frac{4}{2x-4}+3$
    
    c) $\frac{1}{x^{2}-4}+\frac{3}{x+2}$
  - Zadanie 6.
    Wykonaj odejmowanie wyrażeń wymiernych
    
    a) $\frac{x}{x-2}-\frac{x+1}{2-x}$
    
    b) $\frac{4}{x-4}-\frac{3}{2}$
    
    c) $\frac{1-x}{x^{2}-9}-\frac{3}{2x+6}-2$
  - Zadanie 7.
    Wykonaj działania
    
    a) $\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x^{2}-4x+4}{2-x}$
    
    b) $\frac{4}{x-4}-\frac{3}{x^{2}-5x+4}$
    
    c) $\frac{1-x}{x^{2}-16}-\frac{3}{4-x}-2$
- Równania wymierne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie:
    
    a) $\frac{6}{x+1}=4$
    
    b) $\frac{2x+4}{x-1}+4=0$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie
    
    a) $\frac{2}{x-2}=x-1$
    
    b) $\frac{-6}{x-3}-2x-1=0$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie:
    
    a) $\frac{4}{x}=\frac{3}{2+x}$
    
    b) $\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2}{x}=0$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie
    
    a) $\frac{3x-3}{x-1}=2$
    
    b) $\frac{2x-2}{x-2}-\frac{x}{x-1}=0$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie
    
    $\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2-x}=\frac{4}{x^{2}-4}$
- Wyrażenia wymierne - zastosowania
  - Zadanie 1.
    Licznik pewnego ułamka jest równy 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 20, mianownik o 30, to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek ?
  - Zadanie 2.
    Ola kupiła cukierki A w cenie x zł/kg i zapłaciła 24 zł. Ala kupiła taką samą ilość cukierków B droższych o 4 zł/kg i zapłaciła 30 zł. Ile kosztuje kilogram cukierków A, a ile kilogram cukierków B?
  - Zadanie 3.
    Mama Bartka jest o sześć lat młodsza od jego taty. Stosunek wieku mamy i taty jest jak 8 do 9. Ile lat mam mama Bartka, a ile jego tata ?
  - Zadanie 4.
    Boki prostokąta mają długości x cm i 2x cm. Gdyby jego krótszy bok wydłużyć o 6 cm, a dłuższy o 5 cm, to stosunek długości boków byłby równy 2:3. Oblicz obwód tego prostokąta.
  - Zadanie 5.
    Adam potrzebuje na wykonanie pewnej pracy 10 godzin, a Radek wykonałby tę samą pracę w 6 godzin. Ile czasu zajęłoby wykonanie pracy, gdyby pracowali razem ?
  - Zadanie 6.
    Dwie koparki, pracując razem, wykonują wykop w ciągu 8 dni. Gdyby pracowała tylko pierwsza koparka, wykop powstałby w ciągu 12 dni. Ile czasu zajęłoby wykonanie wykopu drugiej koparce ?
  - Zadanie 7.
    Samochód jadący ze średnią prędkością v pokonał odległość 195 km. Samochód jadący z prędkością o 20 km/h większą pokonał w tym samym czasie 260 km. Oblicz średnie prędkości obu samochodów?
  - Zadanie 8.
    Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakowa liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby te książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
  - Zadanie 9.
    Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotkają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
- Nierówności wymierne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\frac{x-2}{x+3}> 0$
    
    b) $\frac{x+2}{x-4}< 2$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+5 \right )}{x+3}> 0$
    
    b) $\frac{x+2}{x-1}\leq 3$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność $\frac{(x^{2}-4)\left ( x-5 \right )}{x+3}\geq 0$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x-3}{x-4}\leq \frac{x-1}{x-3}$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x+1}{x-2}\leq \frac{6x+2}{x^{2}-4}$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $\frac{x-1}{x+1}\leq x-1$
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości funkcji $f(x)=\frac{-4}{x-3}$ są nie większe od wartości funkcji $g(x)=\frac{5x+6}{x+2}$
- Równania i nierówności z wartością bezwzględną
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie
    a) $\frac{2}{\left | x+3 \right |}=1$
    
    b) $\frac{-2}{\left | 2x-3 \right |}=-1$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie
    a) $\frac{-2}{\left | x+1 \right |}=3$
    
    b) $\frac{-4}{\left | x-3 \right |}=0$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{6x+3} \right |=1$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie $\left | \frac{2x-1}{-x+3} \right |=2$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $\frac{x}{\left | 2x-1 \right |}=1$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie $\frac{2x}{\left | x-3 \right |}=x-2$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $\frac{4}{\left | x-3 \right |}> 1$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówność $\frac{2}{\left | x+3 \right |}\leq 1$
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż nierówność $\left | \frac{3-x}{x+1} \right |> 2$
  - Zadanie 10.
    Rozwiąż nierówność $\left | \frac{2x-3}{x-2} \right |\leq 2$
  - Zadanie 11.
    Rozwiąż nierówność $\frac{\left | x \right |}{x+2}> 2$
  - Zadanie 12.
    Rozwiąż nierówność $\frac{1}{\left | 5-x \right |}<\frac{1}{\left | x+1 \right |}$
- Zadania z parametrem
  - Zadanie 1.
    Dla jakich wartości parametru m równanie (m-1)x² – 2mx + 3 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru m równanie mx² + 2(m-1)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki których suma kwadratów jest większa od sumy tych rozwiązań?
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru nierówność $\frac{3x^{2}-2x+1}{-x^{2}+mx-1}< 0$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej .
  - Zadanie 4.
    Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań równania $\frac{x+k}{x-m}=\frac{x-m}{x+k}$ i ich liczby w zależności od parametrów $m\, \, i\, \, k$ .
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x-1}{x^{2}-kx++k}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru dziedziną funkcji $f(x)=\frac{4x+1}{mx^{2}+mx+1}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?