Graniastosłupy • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Graniastosłupy
- Sześcian
  - Zadanie 1.
    Pole sześcianu jest równe 216 cm². Oblicz objętość tego sześcianu, oraz sinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 2.
    Objętość sześcianu jest równa 64 cm³. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu, oraz cosinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 3.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.
  - Zadanie 4.
    Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w filmie ). Oblicz pole trójkąta KLM.
  - Zadanie 5.
    Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 6.
    Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt $\alpha$ taki, że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 7.
    Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy (rysunek w filmie). Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt $\alpha$ taki, że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 8.
    Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 9.
    Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki sąsiednich krawędzi CD i BC i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
- Sześcian (2)
  - Zadanie 1.
    Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.
  - Zadanie 2.
    Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany A’B’C’D’ .
    a) Wyznacz długość odcinka AK.
    b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM.
  - Zadanie 3.
    Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
  - Zadanie 4.
    Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 5.
    Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 6.
    Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 7.
    Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Zadanie 8.
    Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)
- Prostopadłościan
  - Zadanie 1.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.
  - Zadanie 2.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.
  - Zadanie 3.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰ wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.
  - Zadanie 4.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^o, a długości podstaw to 5 cm i 7 cm.
  - Zadanie 5.
    Przekątne ścian wychodzące z tego samego wierzchołka prostopadłościanu mają długość $10,6\sqrt{17},8\sqrt{10}$ . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
  - Zadanie 6.
    Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
- Graniastosłup prawidłowy czworokątny
  - Zadanie 1.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰.
  - Zadanie 2.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰.
  - Zadanie 3.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 30⁰.
  - Zadanie 4.
    Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰ ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.
  - Zadanie 5.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 30⁰.
  - Zadanie 6.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 30⁰.
  - Zadanie 7.
    Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta zawartego między przekątną tego graniastosłupa, a jego krawędzią boczną.
  - Zadanie 8.
    Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm². Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.
  - Zadanie 9.
    Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $48\sqrt{3}$ cm². Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.
  - Zadanie 10.
    Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość , a sinus kąta między tą przekątną, a krawędzią podstawy jest równy . Wykaż, że wysokość tego graniastosłupa wyraża się wzorem $d\sqrt{2p^{2}-1}$
  - Zadanie 11.
    W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym sinus kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z tego samego wierzchołka jest równy $\frac{4}{5}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej ma długość 5.
- Graniastosłup prawidłowy trójkątny
  - Zadanie 1.
    Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli $cos\alpha =\frac{1}{3}$ i krawędź boczna ma długość 6 cm.
  - Zadanie 2.
    Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi $32\sqrt{3}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
  - Zadanie 3.
    Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ .
  - Zadanie 4.
    Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli promień okręgu opisanego na podstawie jest równy $\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 5.
    W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości 1 promień okręgu opisanego na ścianie bocznej jest czterokrotnie większy od promienia okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
- Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
  - Zadanie 1.
    Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Zadanie 2.
    Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $\sqrt{3}$ , a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długości przekątnych tego graniastosłupa.
  - Zadanie 3.
    Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $4\sqrt{3}$ . Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Zadanie 4.
    Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰ . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa $2\sqrt{3}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
- Inne graniastosłupy
  - Zadanie 1.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 120⁰ i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.
  - Zadanie 2.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 30⁰ i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.
  - Zadanie 3.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm², następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Zadanie 4.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym $\alpha$ . Wszystkie krawędzie tego graniastosłupa mają długość . Uzasadnij, że krótsza przekątna tego graniastosłupa ma długość równą $a\sqrt{1+4sin^{2}\frac{\alpha }{2}}$
  - Zadanie 5.
    Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym $\alpha$ takim, że sinα = 0,7. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
- Inne graniastosłupy (2)
  - Zadanie 1.
    Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .
  - Zadanie 2.
    W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
  - Zadanie 3.
    Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.
  - Zadanie 4.
    Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.
  - Zadanie 5.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i $\sqrt{33}$ , a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.
  - Zadanie 6.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ (β γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Zadanie 7.
    Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
- Przekroje graniastosłupów
  - Zadanie 1.
    Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.
  - Zadanie 2.
    Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.
  - Zadanie 3.
    Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.
  - Zadanie 4.
    Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.