Język matematyki • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Język matematyki

Język matematyki
- Zbiory
  - Zadanie 1.
    Czy zbiory A i B są równe jeśli : a) $A=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 27 \right \}$ i $B=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 30 \right \}$ b) $A=\left \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \right \}$ i $B=\left \{ x\in C:x^{2}\leq 9 \right \}$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli:
    a) $A=\left \{ 1,3,5,7,11 \right \},B=\left \{ 0,1,2,3,4,7,10 \right \}$
    b) $A=\left \{ x\in N:1\leq x< 8 \right \},B=\left \{ x\in N:1< x\leq 16 \right \}$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli zbiór A jest zbiorem spółgłosek słowa arytmetyka, zbiór B zbiorem spółgłosek w słowie geometria, zbiór C zbiorem spółgłosek w słowie algebra, następnie wyznacz zbiór $D=\left ( A\cap B \right )\setminus C$
- Przedziały
  - Zadanie 1.
    Wyznacz zbiór $A\cup B$ jeśli:
    a) $A=\left \langle -2, 3\right \rangle$ $B=\left (0,6\right)$
    b) $A=\left (-\infty \displaystyle,3\ \right \rangle$ $B=\left (-4 \displaystyle,1\ \right \rangle$
    c) $A=\left ( -3,2\right )$ $B=\left \langle2,3 \right )$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz zbiór $A\cap B$ jeżeli:
    a) $A=\left \langle -2,3 \right \rangle,B=\left ( 0,6 \right )$
    b) $A=(-\infty ,5\rangle,B=(-4,1\rangle$
    c) $A=\left ( -3,-2 \right ),B=\left \langle 2,5\right )$
    d) $A=\left ( -3, 2 \right \rangle,B=\left \langle 2, 5 \right )$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz zbiory $A\setminus B,B\setminus A$ jeżeli:
    a) $A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,5 \right )$
    b) $A=(-\infty ,6 \rangle,B=(-3,1\rangle$
    c) $A=\left ( -3,2\right \rangle,B=\left \langle 2,5\right )$
  - Zadanie 4.
    Wyznacz zbiory $A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A$ jeżeli:
    a) $A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,4 \right )\cup \left ( 6,\infty \right )$
    b) $A=\left ( -\infty ,-2 \right\rangle \cup \left \langle 1,7 \right),B=\left (-3,1 \right\rangle$
  - Zadanie 5.
    Wyznacz zbiory $A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A$ jeżeli:
    a) $A=\left \langle -4,0\cup \left \{ 3 \right \} \right \rangle,B=\left \langle 3,5 \right \rangle$
    b) $A=\left \langle 3,\infty\right),B=\left \{ 2,3,4 \right \}$
  - Zadanie 6.
    Ile elementów należy do zbioru jeśli:
    a) $X=\left ( -\pi ,\pi \right )\cap N$
    b) $X=(-3,4\rangle\cap C$
    c) $X=\left [ \left ( -3,4)\setminus \left \langle 1,5 \right \rangle \right ) \right ]\cap C$
  - Zadanie 7.
    Wyznacz zbiory $A^{'},B^{'},A^{'}\cap B^{'}$ jeżeli:
    $A=\left ( -3,0 \right ),B=\left \langle 1,3 \right \rangle$
  - Zadanie 8.
    Wyznacz zbiory $A^{'},B^{'},A^{'}\cup B^{'}$ jeżeli:
    $A=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,5 \right ),B=\left ( -5,-1 \right )$
- Rozwiązywanie nierówności
  - Zadanie1.
    Rozwiąż nierówności a) $3\left ( 2x-4 \right )< 4x+8$ b) $4-2\left ( x-1 \right )< 3x+1$ . Rozwiązanie zapisz przedziałem.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówności a) $\frac{2-3x}{3}\geq x-1$ b) $1-\frac{3x+2}{5}\leq \frac{2-x}{3}$ . Rozwiązanie zapisz przedziałem.
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówności a) $3\left ( x-2 \right )< \frac{1}{3}\left ( 9x-12 \right )$ b) $\frac{2-3x}{3}\geq -x+1$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność $\frac{2}{3}x-\frac{5x-2}{4}\leq -x+\frac{11}{6}$ . Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność podwójną $3\left ( -2-x \right )+1< -2x\leq -5x+1$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność podwójną $\frac{2-x}{5}\leq 3-x< 2x-9$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówności a) $x+\sqrt{3}x< 2+2\sqrt{3}$ b) $x-\sqrt{5}\geq \sqrt{5}x-1$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówności a) $2x+3> \pi x$ b) $\sqrt{2}x-3\pi x\leq 3\pi ^{2}-\pi \sqrt{2}$
  - Zadanie 9.
    Liczby są długościami boków trójkąta. Wyznacz do jakiego przedziału należy liczba ?
  - Zadanie 10.
    Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez , jeżeli suma tych liczb jest większa od i nie większa od .
- Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
  - Zadanie 1.
    Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia a) $\left ( 3x+4 \right )^{2}$ b) $\left (2x^{2}-3 \right )^{2}$ c) $\left ( 2-3x^{2} \right )\cdot \left ( 2+3x^{2} \right )$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
    a) $\left ( -3x+4 \right )^{2}$
    b) $\left ( -2x^{2}-3 \right )^{2}$
    c) $\left ( 2-3x^{2} \right )\left ( 3x^{2}+2 \right )$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
    a) $\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )$
    b) $\left ( 2x+1 \right )\left ( 4x^{2}+1 \right )\left ( 1-2x \right )$
    c) $\left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}$
  - Zadanie 4.
    Wykonaj działania, odpowiedź podaj w najprostszej postaci
    a) $\left ( 2x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( 2x+\frac{1}{2} \right )^{2}$
    b) $\left ( x^{3}-3x \right )^{2}-\left ( x^{3}-3x^{2} \right )^{2}-\left ( x^{3}-1 \right )\left ( x^{3}+1 \right )$
  - Zadanie 5.
    Wyznacz iloczyn
    a) $\left ( 2x-3 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )^{2}$
    b) $\left ( 2x^{3}+x^{2} \right )^{2}\left ( x^{2}-2x^{3} \right )^{2}$
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij równość
    a) $\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right )$
    b) $\left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2}=4xy$
  - Zadanie 7.
    Oblicz wartość wyrażenia
    $\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( 2x+1 \right )^{2}+5\left ( x+1 \right )\left ( 1-x \right )$
    
    dla $x=\frac{15-\sqrt{2}}{2}$
  - Zadanie 8.
    Oblicz
    a) $\left ( 2\sqrt{5}-\sqrt{10} \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{5}+1 \right )\left ( 1-2\sqrt{5} \right )$
    
    b) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}}$
  - Zadanie 9.
    Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych:
    $a=8+\sqrt{2},b=4-2\sqrt{2}$
  - Zadanie 10.
    Oblicz
    a) $\left ( \sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}} \right )^{2}$
    b) $\left ( \sqrt{2+\sqrt{5}} +\sqrt{-2+\sqrt{5}}\right)^{2}$
  - Zadanie 11.
    Wyprowadź wzór
    a) $\left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
    b) $\left ( a-b-c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ac$
    stosując wzory skróconego mnożenia.
  - Zadanie 12.
    Usuń niewymierność z mianownika
    a) $\frac{1}{6+\sqrt{2}}$
    
    b) $\frac{2}{4-3\sqrt{2}}$
    
    c) $\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3+2}}$
  - Zadanie 13.
    Usuń niewymierność z mianownika
    
    $\frac{1}{-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
  - Zadanie 14.
    Oblicz
    
    $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
  - Zadanie 15.
    Oblicz a) $\left ( 2x+3 \right )^{3}$ b) $\left ( 1-3x \right )^{3}$
  - Zadanie 16.
    Zapisz w postaci sumy algebraicznej
    a) $\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )$
    b) $\left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x^{2}+1 \right )$
    c) $\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+4 \right )$
  - Zadanie 17.
    Usuń niewymierność z mianownika
    
    a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}$ b) $\frac{5}{2-\sqrt[3]{3}}$
  - Zadanie 18.
    Wyznacz , podaj wynik usuwając niewymierność w mianowniku, jeżeli:
    $2x-\sqrt{3}=x\sqrt{2}-3$
- Wartość bezwzględna
  - Pojęcie wartości bezwzględnej, interpretacja geometryczna
    - Zadanie 1.
      Oblicz a) $\left | 2 \right |$ b) $\left | \frac{-1}{2} \right |$ c) $\left | -1+\sqrt{3} \right |$ d) $\left | 2\sqrt{2} -5\right |$ e) $\sqrt{\left ( \sqrt{3}-2 \right )^{2}}$ f) $\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )^{2}}$
    - Zadanie 2.
      Wykaż, że:
      $\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}=2$
    - Zadanie 3.
      Wykaż, że:
      $\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}=1$
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie
      a) $\left | x-2 \right |=4$
      b) $\left | x+3 \right |=2$
      c) $\left | x-3 \right |=0$
      d) $\left | x+5 \right |=-2$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\left | x-2 \right |< 4$
      b) $\left | x+3 \right |\leq 2$
      c) $\left | x-3 \right |< -4$
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\left | x+2 \right |> 4$
      b) $\left | x-2 \right |\geq 5$
      c) $\left | x-1 \right |> -4$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność
      $\left | x+1 \right |\geq \sqrt{\left ( 3-2\sqrt{3} \right )^{2}}-\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-2 \right )^{2}}$
    - Zadanie 8.
      Uprość wyrażenie dla
      a) $\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}-\sqrt{x^{2}}$
      b) $\sqrt{x^{2}-4x+4}+x$
    - Zadanie 9.
      Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości
      a) $\left | -x \right |+\left | 2-x \right |-\left | 3-2x \right |$ dla $x\geq 2$
      b) $\sqrt{x^{2}+6x+9}+\left | -x \right |-\left | -2x-6 \right |$ dla $x\leq -3$
    - Zadanie 10.
      Jakie liczby spełniają równanie
      a) $\left | x-3 \right |=x-3$
      b) $\left | x+\sqrt{2} \right |=-x-\sqrt{2}$
  - Równania z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż równanie
      a) |x + 3| = 2
      b) |2x – 1| = 3
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż równania
      a) $\sqrt{9x^{2}+6x+1}=1$
      b) |4x – 3| = -3
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż równanie 2|x – 1| – 3|1 – x| = 2 – 3|-x +1|
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż równanie $\frac{5\left | -2x-4 \right |-1}{3}=\frac{1}{2}$
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż równanie ||x +2| – 3| = 5
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie ||x – 1| – 7| = 2
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż równanie 2|x – 2| = 3x – 1
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż równanie |x – 1| + |x + 2| = 5
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż równanie $\left | -10x-15 \right |=\sqrt{4x^{2}+12x+9}+8$
  - Nierówności z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż nierówności
      a) |x + 1| > 3
      b) |2x – 1| ≥ 2
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\sqrt{4x^{2}-4x+1}\geq 2$
      b) |-2x – 1| > -3
      c) |2x – 5| > 0
    - Zadanie 3.
      Rozwiąż nierówności
      a) |x – 5| < 2
      b) |3x + 2| ≤ 2
    - Zadanie 4.
      Rozwiąż nierówność
      a) $\sqrt{25x^{2}-10x+1}\leq 3$
      b) |1 – 3x| < -3
      c) |2x + 4| ≤ 0
    - Zadanie 5.
      Rozwiąż nierówność ||x – 4| – 3| < 5
    - Zadanie 6.
      Rozwiąż nierówność $\left | 6-\sqrt{4x^{2}+12x+9} \right |\geq 3$
    - Zadanie 7.
      Rozwiąż nierówność $\left | \left | x \right |-3 \right |< \sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
    - Zadanie 8.
      Rozwiąż nierówność |1 – 3x| > 2x +3
    - Zadanie 9.
      Rozwiąż nierówność |x + 2| + 2 ≥ 3x – |x – 3|
  - Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
    - Zadanie 1.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| – 3
    - Zadanie 2.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = ||x| + 3| – 4
    - Zadanie 3.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |2x – 4| – x + 2
    - Zadanie 4.
      Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| + |x + 3| – 1
    - Zadanie 5.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{4x^{2}+16x+16}-\left | x \right |-x$
    - Zadanie 6.
      Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | \left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right ) \right |}{x^{3}+4x^{2}+x-6}$
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      Rozwiąż graficznie nierówność $\left | x-1 \right |+1> x+2$
    - Zadanie 2.
      Rozwiąż graficznie nierówność |x + 3| + 2|x| > x + 5
    - Zadanie 3.
      Zbadaj ilość rozwiązań równania ||x – 2| – 4| = m w zależności od parametru m.
    - Zadanie 4.
      Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{\sqrt{a^{2}-4ab+4b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+4ab+4b^{2}}}-\frac{8ab}{a^{2}-4b^{2}}+\frac{2b}{a-2b}$ dla
    - Zadanie 5.
      Dana jest nierówność |x – 1|+ |x + 2| < m. Wyznacz te wartości m, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań.
    - Zadanie 6.
      Dla jakich wartości parametru m, równanie |x – 1| = m² – 2m +1 ma dwa pierwiastki dodatnie?
    - Zadanie 7.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających równanie |x| + |y| = 2
    - Zadanie 8.
      W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających nierówność |x + 1| + |y + 1| ≤ 1