Rachunek prawdopodobieństwa • Strona 3 z 9 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Obliczenia prawdopodobieństwa zaistnienia określonych zdarzeń pozwalają odpowiedzieć na proste pytania typu: jaka jest szansa, że dziś jest wtorek?, po bardziej zaawansowane, obejmujące szeroko pojęte zdarzenia losowe. Poznasz określenie zdarzenia losowego, definicję klasyczną prawdopodobieństwa, własności prawdopodobieństwa. Przygotowane przez nas zadania pozwolą Ci w przyszłości rozwikłać proste zagadnienia kombinatoryczne, zgodne z programem nauczania matematyki w szkole średniej.
- Reguła mnożenia
  - Zadanie 1.
    Niech zbiór A będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 10, zbiór B- zbiorem wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 20.
    Ile jest par (x , y) takich, że x ∈ A i x ∈ B?
  - Zadanie 2.
    Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą naturalną mniejsza od 20 i podzielną przez 3, druga – liczbą naturalną mniejszą od 30 i podzielną przez 4 ?
  - Zadanie 3.
    Ile może być numerów rejestracyjnych mających na początku dwie litery, a następnie 5 cyfr, jeśli mogą w nich występować jedynie litery B, L oraz
    cyfry 2, 3, 5, 6, 7 ( litery i cyfry mogą się powtarzać ).
  - Zadanie 4.
    W restauracji serwuje się 5 różnych zup, 8 drugich dań i 6 deserów. Ile różnych zestawów obiadowych, składających się z zupy, drugiego dania i deseru, można zamówić w tej restauracji?
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest mniej niż 200.
- Permutacje
  - Zadanie 1.
    Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki?
  - Zadanie 2.
    Ile jest wszystkich permutacji zbioru 4 – elementowego. Wyznacz wszystkie permutacje zbioru: {1, 3, 5, 7}
  - Zadanie 3.
    Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0 i żadna cyfra się nie powtarza.
  - Zadanie 4.
    Zawodnikom przydzielono kolejne numery od 1 do n. Ilu jest zawodników, jeśli numery startowe możemy przydzielić na 5040 sposobów?
  - Zadanie 5.
    Biegaczom przydzielono kolejne numery od 1 do 6. Ile może być wyników biegu przy założeniu, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3?
  - Zadanie 6.
    Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 7 szufladach tak, aby każda szuflada była zajęta ( kule i szuflady rozróżniamy ).
  - Zadanie 7.
    Na ile sposobów można ustawić 3 dziewcząt i 6 chłopców w kolejce, jeśli dziewczęta stoją na końcu kolejki?
- Wariacje bez powtórzeń
  - Zadanie 1.
    Ile można utworzyć kodów czteroliterowych, w których mogą występować litery: A, B, C, D, E, F, G, H i żadna liczba się nie powtarza?
  - Zadanie 2.
    Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?
  - Zadanie 3.
    Ile można utworzyć siedmiocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynających się od 701, w których żadna cyfra nie będzie się powtarzała?
  - Zadanie 4.
    W loterii fantowej wzięło udział 100 uczniów i każdy kupił jeden ze stu losów. Do wygrania były: I nagroda – laptop, II – tablet, III smartfon. Na ile sposobów uczniowie mogą wylosować nagrody?
  - Zadanie 5.
    Do windy zatrzymującej się na 10 piętrach wsiadły 4 osoby. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze i nikt nie wysiada na trzech ostatnich piętrach?
- Wariacje z powtórzeniami
  - Zadanie 1.
    Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych zaczynających się od 12.
  - Zadanie 2.
    Do 3 szuflad wrzucamy 9 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )
  - Zadanie 3.
    Do 9 szuflad wrzucamy 3 kule. Na ile sposobów można rozmieścić te kule ( szuflady i kule rozróżniamy )
  - Zadanie 4.
    Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 10 piętrach?
  - Zadanie 5.
    Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 6 piętrach?
- Kombinacje
  - Zadanie 1.
    Oblicz a) $\begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}$ b) $\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$ c) $\begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}$ d) $\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}$ e) $\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}$ f) $\begin{pmatrix} 15\\12 \end{pmatrix}$
  - Zadanie 2.
    Na ile sposobów można wybrać spośród 8 osób trzyosobową delegację?
  - Zadanie 3.
    Wypisz wszystkie możliwe czteroelementowe kombinacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5}. Sprawdź, czy jest ich $\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}$ .
  - Zadanie 4.
    Podczas egzaminu student losuje 4 pytania spośród 6. Na ile sposobów może to zrobić?
  - Zadanie 5.
    Spotkało się dziesięcioro znajomych i każdy z każdym przywitał się uściskiem dłoni. Ile było przywitań?
  - Zadanie 6.
    W turnieju szachowym rozegrano 55 partii. Ilu było zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych?
  - Zadanie 7.
    Jeśli przez każde dwa wierzchołki n-kąta foremnego poprowadzimy prostą, to otrzymamy 66 różnych prostych. Wyznacz miarę kąta wewnętrznego tego n-kąta.
- Kombinatoryka - zadania
  - Zadanie 1.
    Rzucamy trzy razy kostką sześcienną i otrzymane liczby oczek zapisujemy jako kolejne cyfry liczby trzycyfrowej Ile można w ten sposób otrzymać liczb, których: a) suma cyfr jest równa 6 b) iloczyn cyfr jest równy 6?
  - Zadanie 2.
    Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie mogą występować cyfry należące do zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} i co najmniej raz występuje cyfra 6?
  - Zadanie 3.
    Ile jest liczb czterocyfrowych w których zapisie nie występuje cyfra 0, a suma cyfr jest mniejsza od 35?
  - Zadanie 4.
    Ile jest liczb trzycyfrowych, których cyfry należą do zbioru {0, 2, 4, 6, 8} i nie mogą się powtarzać, a suma jest większa od 6?
  - Zadanie 5.
    Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest: a) większych od 6000 b) większych od 3500
  - Zadanie 6.
    Rzucamy czterokrotnie sześcienną kostką. Wyrzucone liczby oczek są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Podaj, ile spośród otrzymanych w ten sposób liczb jest:
    a) podzielnych przez 25
    b) podzielnych przez 4
  - Zadanie 7.
    Z talii 24 kart wybrano jednego pika, jednego kiera, jedno karo oraz jednego trefla. Wiadomo, że nie wybrano dokładnie trzech asów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?
  - Zadanie 8.
    Z talii 24 kart wybrano jednego asa, jednego króla, jedną damę oraz jednego waleta. Wiadomo, że nie wybrano czterech kierów. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?
  - Zadanie 9.
    W partii 40 monitorów komputerowych 4 są uszkodzone. Wybieramy 3 monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru , aby co najwyżej jeden z wybranych monitorów był uszkodzony?
  - Zadanie 10.
    Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli dziewczęta siedzą razem i chłopcy siedzą razem.
  - Zadanie 11.
    Grupa uczniów – 4 dziewcząt i 8 chłopców – zajmuje dwunastomiejscowy rząd w kinie. Na ile sposobów mogą oni zająć miejsca, jeśli:
    a) dziewczęta siedzą razem
    b) chłopcy siedzą razem.
  - Zadanie 12.
    Mamy do dyspozycji klocki z literami A, A, T, T. Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter.
  - Zadanie 13.
    Ile różnych słów z sensem lub bez sensu można utworzyć zmieniając kolejność liter słowa MATEMATYKA ?
  - Zadanie 14.
    Ile liczb dziesięciocyfrowych można otrzymać przestawiając cyfry w liczbie 9989879876?
  - Zadanie 15.
    Ile jest liczb czterocyfrowych których iloczyn cyfr wynosi 8?
  - Zadanie 16.
    Oblicz ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka.
  - Zadanie 17.
    Na półce ustawiono 7 książek, 3 o tematyce historycznej i 4 kryminalnej. Na ile sposobów można książki ustawić tak, aby książki historyczne stały obok siebie.
  - Zadanie 18.
    W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składającej się z 5 harcerek i 4 harcerzy. Maszerują w szyku zwanym „ gęsiego „. Ile istnieje różnych sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a harcerki z harcerkami?
- Zdarzenia losowe
  - Zadanie 1.
    Rzucamy raz kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadła parzysta liczba oczek, B – wypadła liczba oczek większa od 8, C – wypadła liczba oczek mniejsza od 7.
  - Zadanie 2.
    Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – suma otrzymanych oczek jest mniejsza od 4, B – iloczyn otrzymanych oczek jest podzielny przez 10.
  - Zadanie 3.
    Rzucamy trzy razy monetą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom A – wypadły co najwyżej dwie reszki i A’ (zdarzenie przeciwne do A)
  - Zadanie 4.
    Rzucamy dwa razy kostką czworościenną. Rozpatrzmy zdarzenia A – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej, B – wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta. Wyznacz zdarzenia C- pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej i wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta, D – pierwsza wyrzucona liczba jest większa od drugiej lub wśród wyrzuconych liczb jest liczba parzysta i nieparzysta.
- Prawdopodobieństwo klasyczne
  - Zadanie 1.
    Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek mniejszej od 5.
  - Zadanie 2.
    Z talii 24 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania a) damy b) asa lub króla
  - Zadanie 3.
    Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze liczba oczek otrzymana w drugim rzucie jest o 2 większa od liczby oczek otrzymanej w pierwszym rzucie.
  - Zadanie 4.
    Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb dwucyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 6.
  - Zadanie 5.
    Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzycyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 3.
  - Zadanie 6.
    Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
    a) każda wysiądzie na innym piętrze
    b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze.
  - Zadanie 7.
    Pięć kul rozmieszczamy w pięciu szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda szuflada będzie zajęta (kule i szuflady rozróżniamy)
  - Zadanie 8.
    Z talii 24 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli.
  - Zadanie 9.
    W dwudziestoosobowej klasie jest 8 dziewcząt i 12 chłopców. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rozlosowując 6 biletów do kina, bilety dostanie co najmniej 1 dziewczyna.
  - Zadanie 10.
    Rzucamy kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy orła i liczbę oczek będącą liczbą pierwszą.
  - Zadanie 11.
    Ze zbioru liczb $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$ wybieramy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania i układamy w kolejności losowania w liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożymy liczbę złożoną z samych cyfr parzystych.
  - Zadanie 12.
    Ze zbioru liczb $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ wybieramy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez trzy.
  - Zadanie 13.
    Rzucamy trzy razy trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy dokładnie jedną reszkę.
  - Zadanie 14.
    W urnie jest 6 kul białych, 3 czarne i pewna liczba kul niebieskich. Oblicz, ile jest kul niebieskich jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi $\frac{1}{3}$
  - Zadanie 15.
    Spośród cyfr 1,2,3,4,5,6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 52.
- Własności prawdopodobieństwa
  - Zadanie 1.
    Rzucamy dziesięć razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego że, przynajmniej raz wypadnie orzeł.
  - Zadanie 2.
    Rzucamy trzykrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego że, przynajmniej raz wypadnie sześć oczek.
  - Zadanie 3.
    Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego ,że suma oczek, które wypadną w obu rzutach jest równa co najmniej 4.
  - Zadanie 4.
    Rzucamy dwukrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w obu rzutach otrzymano parzystą liczbę oczek lub obie otrzymane liczby są większe od 3.
  - Zadanie 5.
    Losujemy jedną liczbę spośród: 1,2,3,4,…,50. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba ta dzieli się przez dwa lub przez trzy.
  - Zadanie 6.
    W pewnej grupie uczniów każdy zna język angielski lub niemiecki. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe $\frac{7}{8}$ , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia zdającego język niemiecki jest równe $\frac{4}{5}$ . Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń zna obydwa języki.
  - Zadanie 7.
    Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, wiedząc, że 9·P(A)·P(A’) = 2
  - Zadanie 8.
    Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A wiedząc, że $\frac{P(A)}{P(A')}=3$
  - Zadanie 9.
    Wiemy, że $P(A)=2P(B)\, \, i\, \, P(A\cap B)=\frac{1}{12}$ . Jeśli zdarzenie $A\cup B$ jest zdarzeniem pewnym, oblicz .
  - Zadanie 10.
    Wiemy, że $P(A)=\frac{3}{4},P(B)=\frac{1}{3}\, \, oraz\, \, P(A\cup B)=\frac{11}{12}$ , oblicz $P(A\setminus B)$ wykorzystując wzór $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$
  - Zadanie 11.
    Wiemy, że $P(A)=P(A'),P(B)=2P(B'),P(B)=\frac{1}{3}\, \, oraz\, \, P(A\cap B)=\frac{2}{5}$ . Oblicz $P(A\cup B)$ .
  - Zadanie 12.
    Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest trzy razy mniejsze niż prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B oraz pięć razy większe niż prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A, jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 0,55.
  - Zadanie 13.
    O zdarzeniach A, B ⊂ Ω wiadomo, że A ∪ B = Ω, prawdopodobieństwo zdarzenia A jest o 0,2 większe od prawdopodobieństwa zdarzenia B, a prawdopodobieństwo iloczynu A i B jest równe 0,3. Oblicz P(A) i P(B’).
  - Zadanie 14.
    Zdarzenia A i B są podzbiorami pewnego skończonego zbioru zdarzeń elementarnych. Suma zdarzeń A i B jest zdarzeniem pewnym, a prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia przeciwnego do A. Uzasadnij, że iloczyn zdarzeń A i B jest zdarzeniem niemożliwym.
  - Zadanie 15.
    Jednakowo prawdopodobne zdarzenia A i B są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Prawdopodobieństwo tego, że zajdzie zdarzenie A i zdarzenie B jest równe 0,23, a prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z nich jest równe 0,51. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B.
  - Zadanie 16.
    Udowodnij, że jeżeli P(A) = 0,67 i P(B) = 0,83 to P(A ∩ B) ≥ 0,5