Rachunek różniczkowy • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy
- Granica funkcji
  - Granica właściwa funkcji w punkcie
    - Zadanie 1.
      Dana jest funkcja f(x) = 3 – x². Uzasadnij, na podstawie definicji granicy, że $\lim_{x \to 1}f(x)=2$
    - Zadanie 2.
      Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2}{x+3}$ . Uzasadnij na podstawie definicji granicy, że $\lim_{x \to 3}f(x)=\frac{1}{3}$
    - Zadanie 3.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{matrix} 3\, \,\, \, \, \, dla\, \, x\geqslant -2\\ -1\, \, dla\, \, x< -2 \end{matrix}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=-2$
    - Zadanie 4.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1\, \, dla\, \, x\geqslant 1\\-x\, \, \, \, \, \,\, dla\, \, x< 1 \end{array}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=1$
    - Zadanie 5.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to 3}\left ( 2x^{2}-3x+4 \right )$
      
      b) $\lim_{x \to 2}\frac{3x-2}{x+4}$
    - Zadanie 6.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to 2}\frac{4-x^{2}}{x-2}$
      
      b) $\lim_{x \to -2}\frac{x^{3}+8}{x+2}$
    - Zadanie 7.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to -4}\frac{x^{2}+2x-8}{x+4}$
      
      b) $\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+2x-3}$
    - Zadanie 8.
      Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to-1 }\frac{x^{3}-3x-2}{2x^{3}+3x^{2}-1}$
    - Zadanie 9.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to 9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$
      
      b) $\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{4-x}-1}{x-3}$
    - Zadanie 10.
      Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to 1}\frac{1-\sqrt{2-x}}{\sqrt{5-x}-2}$
    - Zadanie 11.
      Oblicz granicę funkcji $\lim_{x \to \frac{\pi }{4}}\frac{cos2x}{cosx-sinx}$
    - Zadanie 12.
      Oblicz granicę jednostronną
      a) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{4}{3+\sqrt{x^{2}-4}}$
      
      b) $\lim_{x \to 5^{-} }\left ( \sqrt{5-x}-4 \right )$
    - Zadanie 13.
      Wykaż, że funkcja $f(x)= \left\{\begin{array}{l} x\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x\geqslant 3\\ -2x+4\, \, dla\, \, x< 3 \end{array}\right.$ nie ma granicy w punkcie $x_{0}=3$
  - Granica niewłaściwa funkcji w punkcie
    - Zadanie 1.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{x \to 2^{-}}\frac{4-x}{x-2}$
      
      b) $\lim_{x \to1^{+}}\frac{x^{3}+3}{x-1}$
    - Zadanie 2.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{x \to 3^{-}}\frac{4}{\left ( x-3 \right )\left ( x+4 \right )}$
      
      b) $\lim_{x \to 2^{-}}\frac{1}{x^{2}-x-2}$
    - Zadanie 3.
      Oblicz granice
      a) $\lim_{x \to 1^{+}}\left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{x^{2}-1}\right )$
      
      b) $\lim_{x \to2^{+} }\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^{2}-4} \right )$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
      a) $f(x)=\frac{x^{2}-7}{x-1}$
      
      b) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}$
    - Zadanie 5.
      Wykaż, że funkcja $f(x)=\frac{x^{3}+4x-5}{2x-2}$ nie ma asymptoty pionowej w punkcie $x_{0}=1$
    - Zadanie 6.
      Wyznacz równania asymptot pionowych wykresu funkcji
      a) $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}$
      
      b) $f(x)=\frac{12x+4}{1-9x^{2}}$
  - Granica funkcji w nieskończoności
    - Zadanie 1.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to \infty }\left ( 2x^{3}-3x-7\right )$
      b) $\lim_{x \to -\infty }\left ( -x^{3}-3x-7 \right )$
    - Zadanie 2.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to -\infty }\frac{3x^{2}+2x-8}{x^{2}+4}$
      
      b) $\lim_{x \to \infty }\frac{x^{3}-1}{x^{4}+2x-3}$
    - Zadanie 3.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to-\infty }\frac{-3x^{3}+2x-8}{2x^{2}+4}$
      
      b) $\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$
    - Zadanie 4.
      Oblicz granice funkcji
      a) $\lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{x^{2}+2}-x \right )$
      
      b) $\lim_{x \to \infty }\frac{1}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}$
    - Zadanie 5.
      Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{-3x^{3}-2x+4}{2x^{3}-2}$
    - Zadanie 6.
      Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^{4}-2x+1}{2x^{3}+2}$ ( o ile istnieją )
    - Zadanie 7.
      Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2-x}}$ ( o ile istnieją)
    - Zadanie 8.
      Wyznacz asymptoty poziome wykresu funkcji $f(x)=\sqrt{\frac{4x-1}{x-1}}$ ( o ile istnieją)
    - Zadanie 9.
      Oblicz granicę $\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{1+9x^{2}}}{x}$
- Ciągłość funkcji
  - Zadanie 1.
    Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4\, \, dla\, \, x\geqslant 2\\ x-2\, \,\, \, dla\, \, x< 2 \end{array}\right.$ jest ciągła w punkcie x₀ = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+1\, \, dla\, \, \, x\geqslant 1\\ x-2\, \, \, \, dla\, \, \, x< 1 \end{array}\right.$ nie jest ciągła w punkcie x₀ = 1 i naszkicuj wykres tej funkcji.
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}-1\, \, dla\, \, x\neq 2\\ 1\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.$ nie jest ciągła w punkcie x₀ = 2 i naszkicuj wykres tej funkcji.
  - Zadanie 4.
    Zbadaj ciągłość funkcji $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-x-12}{x-4}\, \, dla\, \, x\neq 4\\ 5\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=4 \end{array}\right.$
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru m funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\, \, dla\, \, x\neq 2\\ m+3\, \, \, \, \, dla\, \, x=2 \end{array}\right.$ jest ciągła?
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametrów k i m funkcja $f(x)=\left\{\begin{array}{l} k-x\, \,\, \, \, \, \, \, \,\, dla\, \, x< 1\\ 4\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, x=1\\ \frac{4}{x+3}+m\, \, dla\, \, x> 1 \end{array}\right.$ jest ciągła?
- Własności funkcji ciągłych
  - Zadanie 1.
    Uzasadnij, że równanie x⁴ – 8x – 3=0 ma w przedziale $\left \langle 1,3 \right \rangle$ rozwiązanie.
  - Zadanie 2.
    Uzasadnij, że funkcja f(x) = x³ – x – 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe.
- Pochodna funkcji
  - Definicja pochodnej funkcji w punkcie
    - Zadanie 1.
      Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=x^{2}+3$ w $x_{0}=-1$
    - Zadanie 2.
      Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=x^{3}-2$ w $x_{0}=2$
    - Zadanie 3.
      Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=\frac{2}{x}$ w $x_{0}=1$
    - Zadanie 4.
      Oblicz z definicji pochodną funkcji $f(x)=\sqrt{x+1}$ w $x_{0}=3$
    - Zadanie 5.
      Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^{2}$ w punkcie $A=\left ( 2,4 \right )$ . Oblicz miarę kąta jaki ta styczna tworzy z osią .
    - Zadanie 6.
      Uzasadnij, że funkcja $f(x)=\left | x-4 \right |$ nie ma pochodnej w punkcie $x_{0}=4$
  - Funkcja pochodna
    - Zadanie 1.
      Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór (x³)’ = 3x².
    - Zadanie 2.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x³ w punkcie A=(-2-8).
    - Zadanie 3.
      Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór $\left ( \frac{1}{x} \right )^{'}=-\frac{1}{x^{2}}\, \, dla\, \, x\neq 0$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ wiedząc, że jest ona równoległa do prostej o równaniu y = -4x +1
    - Zadanie 5.
      Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór $\left ( \sqrt{x} \right )^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\, \, dla\, \, x> 0$
    - Zadanie 6.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej o równaniu y = -2x +1
    - Zadanie 7.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² wiedząc, że jest ona nachylona do osi OX pod kątem 150°.
    - Zadanie 8.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x² +1 wiedząc, że przechodzi ona przez punkt (0,0).
  - Działania na pochodnych
    - Zadanie 1.
      Wyznacz pochodną funkcji
      a) $f(x)=-3x^{4}$
      b) $f(x)=2x^{3}-3x+1$
      c) $f(x)=-\frac{4}{x}$
      d) $f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}$
    - Zadanie 2.
      Wyznacz pochodną funkcji
      a) $f(x)=\left ( 2x^{3}-1 \right )\left ( 3x^{2}+2x-1 \right )$
      b) $f(x)=-5x^{3}\sqrt{x}$
    - Zadanie 3.
      Wyznacz pochodną funkcji
      a) $f(x)=\frac{x^{2}-5}{x+2}$
      
      b) $f(x)=\frac{3x^{4}-2}{x^{3}}$
    - Zadanie 4.
      Wyznacz pochodną funkcji
      a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{x}$
      
      b) $f(x)=\frac{2}{x^{2}-3}-\frac{1}{2x^{3}}$
    - Zadanie 5.
      Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+1}{2x^{3}-5x^{2}-3}$ w punkcie o odciętej $x_{0}=1$
    - Zadanie 6.
      Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=2x^{2}\sqrt{x}$ w punkcie o odciętej $x_{0}=4$
  - Interpretacja fizyczna pochodnej
    - Zadanie 1.
      Położenie punktu na osi liczbowej w chwili t opisuje wzór s(t) = t² . Oblicz prędkość średnią od chwili t₁ = 1 do chwili t₂ = 3 oraz prędkości w chwilach
      t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 3.
    - Zadanie 2.
      Przyjmując, że drogę przebytą przez spadające swobodnie ciało opisuje funkcja s(t) = 4,9·t² (gdzie droga mierzona jest w metrach , a czas w sekundach) oblicz prędkość ciała w chwili t₀ = 3, odpowiedź podaj w $\frac{m}{s}$ i $\frac{km}{h}$
- Funkcje rosnące i malejące
  - Zadanie 1.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x³ – 4x² + 5x – 2
  - Zadanie 2.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x³ – 3x² + 1.
  - Zadanie 3.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^{2}+4x+4}{x+1}$
  - Zadanie 4.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{1-x^{2}}{x+2}$
  - Zadanie 5.
    Dla jakiej wartości parametru funkcja $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+kx+1$ jest funkcją rosnącą w całej swojej dziedzinie
- Ekstrema funkcji
  - Zadanie 1.
    Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = x³ – 2x² + x -1.
  - Zadanie 2.
    Wyznacz ekstrema funkcji f(x) = 3x⁴ – 4x³
  - Zadanie 3.
    Wyznacz ekstrema funkcji $f(x)=\frac{-x^{2}}{x^{2}-4}$
  - Zadanie 4.
    Wyznacz ekstrema funkcji $f(x)=\frac{x^{2}}{2x-6}$
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij, że funkcja f(x) = x⁵ + 5x³ + 20x nie ma ekstremum
  - Zadanie 6.
    Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x) = -mx³ + x² – x – 3 ma ekstremum lokalne w punkcie x_o = -1. Określ rodzaj tego ekstremum.
  - Zadanie 7.
    Styczna do wykresu funkcji $f(x)=\frac{ax+b}{\left ( x-1 \right )\left ( x-4 \right )}$ poprowadzona w punkcie o odciętej x=2 ma równanie y=-1. Znajdź współczynniki $a\, \, i\, \, b$ . Wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji.
- Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji
  - Zadanie 1.
    Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji f(x) = x⁴ – 32x w przedziale $\left \langle0,3 \right \rangle$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$ w przedziale $\left \langle 0,2 \right \rangle$
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma rozwiązanie w przedziale $\left \langle -1,2 \right \rangle$ , jeżeli $f(x)=\sqrt[3]{2x^{3}-6x}$
  - Zadanie 4.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ w przedziale $\left \langle -2,0 \right \rangle$
- Zadania optymalizacyjne
  - Zadanie 1.
    Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wynosi 24 cm. Przy jakiej wysokości objętość tego prostopadłościanu jest największa?
  - Zadanie 2.
    Który z prostopadłościanów o podstawie kwadratu i danym polu powierzchni całkowitej P ma największą objętość?
  - Zadanie 3.
    Jak należy dobrać wymiary puszki w kształcie walca o polu powierzchni całkowitej 150π cm², aby miała ona największą objętość?
  - Zadanie 4.
    Który z walców o objętości 100π cm³ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej?
  - Zadanie 5.
    Jaką największą objętość ma stożek o tworzącej równej 10?
  - Zadanie 6.
    Oblicz wymiary prostokąta o największym polu, którego dwa wierzchołki leżą na osi OX, a pozostałe dwa, o rzędnych dodatnich, należą do wykresu funkcji f(x) = 4 – x².
  - Zadanie 7.
    Przedstaw liczbę 12 jako sumę dwóch takich składników , aby suma ich sześcianów była najmniejsza.
  - Zadanie 8.
    Na paraboli o równaniu y = 3x² – 5x + 6 znajdź punkt leżący najbliżej punktu A=(3,2).
  - Zadanie 9.
    Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 1. Znajdź długości boków tego trójkąta tak, aby pole tego trójkąta było największe.
  - Zadanie 10.
    Trapez wpisano w okrąg o promieniu 12 w ten sposób, że podstawa trapezu jest średnicą okręgu. Oblicz długości boków tego trapezu, który ma największe pole.
- Szkicowanie wykresu funkcji
  - Zadanie 1.
    Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}$
  - Zadanie 2.
    Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4}$
  - Zadanie 3.
    Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$
  - Zadanie 4.
    Zbadaj przebieg zmienności i sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{-x^{2}}{x-3}$