Stereometria • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Stereometria

Stereometria
- Graniastosłupy
  - Sześcian
    - Zadanie 1.
      Pole sześcianu jest równe 216 cm². Oblicz objętość tego sześcianu, oraz sinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 2.
      Objętość sześcianu jest równa 64 cm³. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu, oraz cosinus kąta nachylenia przekątnej tego sześcianu do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.
    - Zadanie 4.
      Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w filmie ). Oblicz pole trójkąta KLM.
    - Zadanie 5.
      Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 6.
      Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy. Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt $\alpha$ taki, że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 7.
      Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodząca przez krawędź dolnej podstawy (rysunek w filmie). Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt $\alpha$ taki, że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 8.
      Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 9.
      Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki sąsiednich krawędzi CD i BC i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w filmie ). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  - Sześcian (2)
    - Zadanie 1.
      Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.
    - Zadanie 2.
      Dany jest sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi długości a. Punkt K jest środkiem ściany DD’C’C, a punkt M środkiem ściany A’B’C’D’ .
      a) Wyznacz długość odcinka AK.
      b) Oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami AK i AM.
    - Zadanie 3.
      Wykaż , że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany.
    - Zadanie 4.
      Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 45°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 5.
      Sześcian o przekątnej długości d przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 6.
      Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 7.
      Sześcian ABCDA’B’C’D’ o krawędzi podstawy długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A i C oraz środki krawędzi A’D’ i C’D’. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 8.
      Na przekątnych AB i CD sąsiednich ścian bocznych sześcianu ( przekątne AB i CD leżą na prostych skośnych) wybrano punkty E i F tak, że |AB|:|EB|=|DF|:|FC|=2. Wykaż, że odcinek EF jest prostopadły do przekątnych AB i CD. (rysunek w filmie)
  - Prostopadłościan
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰ wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.
    - Zadanie 4.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^o, a długości podstaw to 5 cm i 7 cm.
    - Zadanie 5.
      Przekątne ścian wychodzące z tego samego wierzchołka prostopadłościanu mają długość $10,6\sqrt{17},8\sqrt{10}$ . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
    - Zadanie 6.
      Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
  - Graniastosłup prawidłowy czworokątny
    - Zadanie 1.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰.
    - Zadanie 2.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰.
    - Zadanie 3.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 30⁰.
    - Zadanie 4.
      Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰ ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.
    - Zadanie 5.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 30⁰.
    - Zadanie 6.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 30⁰.
    - Zadanie 7.
      Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz cosinus kąta zawartego między przekątną tego graniastosłupa, a jego krawędzią boczną.
    - Zadanie 8.
      Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm². Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.
    - Zadanie 9.
      Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $48\sqrt{3}$ cm². Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 10.
      Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość , a sinus kąta między tą przekątną, a krawędzią podstawy jest równy . Wykaż, że wysokość tego graniastosłupa wyraża się wzorem $d\sqrt{2p^{2}-1}$
    - Zadanie 11.
      W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym sinus kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z tego samego wierzchołka jest równy $\frac{4}{5}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej ma długość 5.
  - Graniastosłup prawidłowy trójkątny
    - Zadanie 1.
      Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli $cos\alpha =\frac{1}{3}$ i krawędź boczna ma długość 6 cm.
    - Zadanie 2.
      Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi $32\sqrt{3}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
    - Zadanie 3.
      Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ .
    - Zadanie 4.
      Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli promień okręgu opisanego na podstawie jest równy $\sqrt{3}$ .
    - Zadanie 5.
      W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości 1 promień okręgu opisanego na ścianie bocznej jest czterokrotnie większy od promienia okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
    - Zadanie 1.
      Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 2.
      Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $\sqrt{3}$ , a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długości przekątnych tego graniastosłupa.
    - Zadanie 3.
      Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $4\sqrt{3}$ . Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 4.
      Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰ . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa $2\sqrt{3}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
  - Inne graniastosłupy
    - Zadanie 1.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 120⁰ i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.
    - Zadanie 2.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 30⁰ i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.
    - Zadanie 3.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm², następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 4.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym $\alpha$ . Wszystkie krawędzie tego graniastosłupa mają długość . Uzasadnij, że krótsza przekątna tego graniastosłupa ma długość równą $a\sqrt{1+4sin^{2}\frac{\alpha }{2}}$
    - Zadanie 5.
      Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym $\alpha$ takim, że sinα = 0,7. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
  - Inne graniastosłupy (2)
    - Zadanie 1.
      Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej ma miarę 45° .
    - Zadanie 2.
      W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
    - Zadanie 3.
      Podstawą prostopadłościanu ABCDA’B’C’D’ jest kwadrat ABCD , a odcinki AA’, BB’, CC’, DD’ są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B’ od płaszczyzny ACD’ wiedząc, że |AB|=a i |AA’|=b.
    - Zadanie 4.
      Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 5.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i $\sqrt{33}$ , a krawędź boczna 4. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 6.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o kącie ostrym α. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami β i γ (β γ), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadanie 7.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
  - Przekroje graniastosłupów
    - Zadanie 1.
      Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy . Płaszczyzna ta tworzy z podstawą kąt α, a pole otrzymanego przekroju wynosi S. Oblicz objętość graniastosłupa.
    - Zadanie 2.
      Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku 4. Prostopadłościan przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Otrzymany przekrój jest trójkątem o polu 16. Wyznacz miarę kąta α.
    - Zadanie 3.
      Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a=6 i wysokości h=9. Oblicz pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek ciężkości drugiej podstawy.
    - Zadanie 4.
      Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przecinającą jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α. Wyznacz cosβ, gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.
- Ostrosłupy
  - Ostrosłup prawidłowy czworokątny
    - Zadanie 1.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4, a wysokość ściany bocznej
      ma długość 6 cm.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość $2\sqrt{2}$ , a krawędź boczna ma długość 3.
    - Zadanie 3.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 12 cm i wysokość jego ściany bocznej
      tworzą taki kąt $\alpha$ , że $sin\alpha =\frac{5}{13}$ .
    - Zadanie 4.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 9 cm i krawędź boczna tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{3}{5}$ .
    - Zadanie 5.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰, a obwód podstawy wynosi 8.
    - Zadanie 6.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.
    - Zadanie 7.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10 cm.
    - Zadanie 8.
      Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.
    - Zadanie 9.
      Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni całkowitej jest równe 21 cm².
    - Zadanie 10.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Ostrosłup prawidłowy trójkątny
    - Zadanie 1.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 3.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość i krawędź boczna tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 3 cm .
    - Zadanie 4.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość o długości 16 cm i wysokość ściany bocznej tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 5.
      Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.
    - Zadanie 6.
      Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6, a krawędź boczna ma długość 4. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 7.
      Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60⁰. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.
    - Zadanie 8.
      Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$ , że $sin\alpha =\frac{3}{5}$ . Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy $2\sqrt{3}$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
    - Zadanie 9.
      Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{12}{13}$ . Pole podstawy wynosi $9\sqrt{3}$ . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 10.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰. Oblicz objętość tej bryły.
    - Zadanie 11.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Koło opisane na podstawie ma pole równe 16π. Objętość tego ostrosłupa jest równa $20\sqrt{3}$ . Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 12.
      Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości wyraża się wzorem $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .
    - Zadanie 13.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej $18\sqrt{2}\, \, cm^{3}$ .
  - Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
    - Zadanie 1.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60⁰. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30⁰. Krótsza przekątna podstawy wynosi $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 3.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
    - Zadanie 5.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość ściany bocznej jest równa 9 cm. Różnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w podstawę wynosi 8π cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
  - Przekroje ostrosłupów
    - Zadanie 1.
      Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy. Pole przekroju jest równe 36 cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
    - Zadanie 3.
      Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątna podstawy i punkt E będący środkiem krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
    - Zadanie 4.
      Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość i środek krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.
    - Zadanie 5.
      Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju.
  - Przekroje ostrosłupów (2)
    - Zadanie 1.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym pole podstawy jest równe $18\sqrt{3}$ cm², zaś krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i wierzchołek.
    - Zadanie 2.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Oblicz tangens kąta ostrego β, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.
    - Zadanie 3.
      Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego przeciętego płaszczyzną przechodząca przez krawędź boczną i wysokość ostrosłupa, jest równe S. Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 3α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 5.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa a, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej.
      a) Oblicz pole otrzymanego przekroju.
      b) Wyznacz sinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
    - Zadanie 6.
      Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H, przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.
    - Zadanie 7.
      W ostrosłupie , którego podstawą jest prostokątny trójkąt równoramienny o przyprostokątnej 5, jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe tworzą z tą płaszczyzną kąt α taki, że $sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Oblicz pole tego kwadratu.
  - Inne ostrosłupy
    - Zadanie 1.
      Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS.
    - Zadanie 2.
      Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.
    - Zadanie 3.
      Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa $\frac{80}{3}$ , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 5.
      Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Kąt dwuścienny
    - Zadanie 1.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego długość krawędzi podstawy jest równa 6, a kąt miedzy dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 120°.
    - Zadanie 2.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.
    - Zadanie 3.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Wyznacz cosinus kata między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.
    - Zadanie 5.
      Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny. Stosunek długości wysokości ostrosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy $\frac{\sqrt{6}}{6}$ . Wykaż, że kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest prosty.
    - Zadanie 6.
      W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 7.
      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
  - Twierdzenie o ostroslupach
    - Zadanie 1.
      Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny. Każda krawędź boczna ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 3.
      Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość 10 cm. Przekątna tego trapezu jest prostopadła do ramienia i ma 8 cm długości, a wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają po 13 cm długości. Oblicz objętość ostrosłupa.
    - Zadanie 4.
      Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o bokach długości 6, 5 i 5. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny wiedząc, że kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa ma miarę α, zaś wysokość ostrosłupa ma długość H.
    - Zadanie 2.
      Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu długości R wiedząc, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
    - Zadanie 3.
      Podstawą ostrosłupa jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°. Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny postawy pod kątem α=60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli promień okręgu wpisanego w romb ma długość r.
    - Zadanie 4.
      Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 1 i 2. Wysokość ostrosłupa ma długość 3, a jej spodek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
    - Zadanie 5.
      W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa jest równy α, zaś krawędź podstawy ma długość α. Oblicz promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.
    - Zadanie 6.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości przekątnej podstawy AC do długości ramienia AS jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 7.
      Sześcian o krawędzi α wpisano w ostrosłup prawidłowy czworokątny tak, że cztery jego wierzchołki należą do krawędzi bocznych, zaś cztery pozostałe do podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc, że jego krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
- Figury obrotowe
  - Walec
    - Zadanie 1.
      Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 40π cm², a jego wysokość ma długość 10 cm. Oblicz pole koła będącego podstawą walca.
    - Zadanie 2.
      Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy 4 cm, jeśli pole jego przekroju osiowego jest równe 40 cm².
    - Zadanie 3.
      Przekątna d prostokąta będącego przekrojem osiowym walca ma długość 12 cm i tworzy z jego podstawą kąt α = 30° Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
    - Zadanie 4.
      Średnica podstawy walca ma długość 8 cm, a pole jego powierzchni bocznej jest czterokrotnie większe od pola podstawy. Oblicz objętość walca.
    - Zadanie 5.
      Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 15 cm i tworzy z jego podstawą kąt α. Oblicz objętość walca, jeśli wiadomo, że cosα = 0,6.
    - Zadanie 6.
      Pole powierzchni całkowitej walca jest dwa razy większe od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz średnicę podstawy tego walca, jeśli jego objętość wynosi 27π
    - Zadanie 7.
      Oblicz objętość walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o przekątnej 4.
    - Zadanie 8.
      Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy kąt o mierze 30⁰ z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca i jego objętość.
    - Zadanie 9.
      Objętość walca jest równa 75π. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 0,3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.
    - Zadanie 10.
      Przekątna prostokąta ma długość 4 i tworzy z dłuższym bokiem kąt 30⁰. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego prostokąta dookoła dłuższego boku.
  - Stożek
    - Zadanie 1.
      Wyznacz kąt rozwarcia stożka, którego tworząca ma długość 10 cm, a pole podstawy jest równe 25π cm².
    - Zadanie 2.
      Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym $16\sqrt{3}$ cm². Oblicz objętość tego stożka.
    - Zadanie 3.
      Pole podstawy stożka jest równe 27π cm², a jego objętość wynosi 27π cm³. Wyznacz kąt między tworzącą stożka a jego podstawą.
    - Zadanie 4.
      W stożku tworząca długości 15 cm, tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego sinα = 0,6. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
    - Zadanie 5.
      W stożku tworząca długości 13 cm tworzy z płaszczyzną podstawy taki kąt α, którego tgα = 2,4. Oblicz objętość tego stożka.
    - Zadanie 6.
      Pole powierzchni bocznej stożka jest dwukrotnie większe od pola podstawy. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.
    - Zadanie 7.
      Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej $2\pi \sqrt{2}\, \, cm^{2}$ i polu powierzchni całkowitej $\frac{2\pi }{\sqrt{2}-1}\, \, cm^{2}$ . Wyznacz kąt między tworząca tego stożka a jego podstawą.
    - Zadanie 8.
      Na rysunku w filmie przedstawiono wycinek koła, który po zwinięciu jest powierzchnią boczną stożka. Oblicz pole podstawy i pole powierzchni całkowitej tego stożka.
    - Zadanie 9.
      Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie $\alpha$ i promieniu 9 cm. Oblicz miarę kąta $\alpha$ , jeśli podstawą tego stożka jest koło o polu równym $36\pi \, \, cm^{2}$
    - Zadanie 10.
      Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 i kącie ostrym 30⁰ obracamy dookoła dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.
    - Zadanie 11.
      Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 i 3 obracamy dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz objętość tak powstałej bryły.
    - Zadanie 12.
      Trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i ramionach 13 cm obracamy wokół prostej zawierającej jego ramię. Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.
  - Kula
    - Zadanie 1.
      a) Pole powierzchni kuli jest równe 144π cm². Oblicz objętość tej kuli. b) Objętość kuli jest równe 36π cm³. Oblicz pole powierzchni tej kuli.
    - Zadanie 2.
      Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o środku oddalonym od środka kuli o 7 cm. Oblicz pole tego koła.
    - Zadanie 3.
      Dane są dwie kule o promieniach 3 cm i 5 cm oraz wspólnym środku. Oblicz pole przekroju utworzonego przez przecięcie większej kuli płaszczyzną styczną do mniejszej
  - Bryły podobne
    - Zadanie 1.
      Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36π cm³, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Oblicz objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek ich pół powierzchni ?
    - Zadanie 2.
      Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego stożka jest o 125% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego. Oblicz wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego jest równa 6 cm.
    - Zadanie 3.
      Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu ?
    - Zadanie 4.
      Stożek o objętości 27π cm³ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1. Oblicz objętość brył powstałych w wyniku podziału.
  - Zadania różne
    - Zadanie 1.
      Stożek o objętości V i wysokości h przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o $\frac{1}{3}h$ . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
    - Zadanie 2.
      W kulę wpisano walec, w którym długość promienia podstawy jest mniejsza od długości promienia kuli o 2 cm, a wysokość stanowi $\frac{4}{3}$ promienia kuli. Oblicz pole powierzchni kuli.
    - Zadanie 3.
      Wysokość stożka podzielono na trzy równe odcinki i przez punkty podziału poprowadzono płaszczyzny równoległe do podstawy. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
    - Zadanie 4.
      Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy $\frac{2}{3}$ . Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
    - Zadanie 5.
      Oblicz objętość kuli wpisanej w stożek o promieniu długości R i kącie rozwarcia 2α.
    - Zadanie 6.
      Romb o kącie ostrym 60°, obraca się wokół boku. Oblicz pole powierzchni i objętość otrzymanej bryły wiedząc, że długość boku rombu jest równa a.
    - Zadanie 7.
      W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstaw kąty α i β. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.
    - Zadanie 8.
      Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi
      68 cm². Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
    - Zadanie 9.
      Trójkąt o bokach 10,17,21 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
    - Zadanie 10.
      Puszka ma kształt walca zakończonego z obu stron półsferami. Wysokość walca jest o 2 większa od promienia jego podstawy, a objętość puszki jest dwa razy większa od objętości walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej puszki.
    - Zadanie 11.
      W trójkącie równoramiennym o obwodzie p stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $\sqrt{3}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dookoła prostej zawierającej jego ramię.
    - Zadanie 12.
      Wykaż, że objętość walca o polu powierzchni P, opisanego na kuli o promieniu r, jest równa $\frac{Pr}{3}$ .
    - Zadanie 13.
      Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45° i 60° Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m² papieru zużyto.
    - Zadanie 14.
      W stożek o wysokości H=9 i objętości V=108π wpisano walec, którego wysokość jest równa długości promienia podstawy stożka.
      a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
      b) Jaki procent objętości stożka stanowi objętość walca?
    - Zadanie 15.
      Na stożku, którego pole przekroju osiowego jest równe S, a kąt między wysokością i tworzącą ma miarę α, opisano kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.