Wartość bezwzględna • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Wartość bezwzględna
- Pojęcie wartości bezwzględnej, interpretacja geometryczna
  - Zadanie 1.
    Oblicz a) $\left | 2 \right |$ b) $\left | \frac{-1}{2} \right |$ c) $\left | -1+\sqrt{3} \right |$ d) $\left | 2\sqrt{2} -5\right |$ e) $\sqrt{\left ( \sqrt{3}-2 \right )^{2}}$ f) $\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )^{2}}$
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że:
    $\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}=2$
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że:
    $\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}=1$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie
    a) $\left | x-2 \right |=4$
    b) $\left | x+3 \right |=2$
    c) $\left | x-3 \right |=0$
    d) $\left | x+5 \right |=-2$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\left | x-2 \right |< 4$
    b) $\left | x+3 \right |\leq 2$
    c) $\left | x-3 \right |< -4$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\left | x+2 \right |> 4$
    b) $\left | x-2 \right |\geq 5$
    c) $\left | x-1 \right |> -4$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność
    $\left | x+1 \right |\geq \sqrt{\left ( 3-2\sqrt{3} \right )^{2}}-\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-2 \right )^{2}}$
  - Zadanie 8.
    Uprość wyrażenie dla
    a) $\sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}-\sqrt{x^{2}}$
    b) $\sqrt{x^{2}-4x+4}+x$
  - Zadanie 9.
    Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości
    a) $\left | -x \right |+\left | 2-x \right |-\left | 3-2x \right |$ dla $x\geq 2$
    b) $\sqrt{x^{2}+6x+9}+\left | -x \right |-\left | -2x-6 \right |$ dla $x\leq -3$
  - Zadanie 10.
    Jakie liczby spełniają równanie
    a) $\left | x-3 \right |=x-3$
    b) $\left | x+\sqrt{2} \right |=-x-\sqrt{2}$
- Równania z wartością bezwzględną
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie
    a) |x + 3| = 2
    b) |2x – 1| = 3
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równania
    a) $\sqrt{9x^{2}+6x+1}=1$
    b) |4x – 3| = -3
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie 2|x – 1| – 3|1 – x| = 2 – 3|-x +1|
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie $\frac{5\left | -2x-4 \right |-1}{3}=\frac{1}{2}$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie ||x +2| – 3| = 5
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie ||x – 1| – 7| = 2
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż równanie 2|x – 2| = 3x – 1
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż równanie |x – 1| + |x + 2| = 5
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż równanie $\left | -10x-15 \right |=\sqrt{4x^{2}+12x+9}+8$
- Nierówności z wartością bezwzględną
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówności
    a) |x + 1| > 3
    b) |2x – 1| ≥ 2
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\sqrt{4x^{2}-4x+1}\geq 2$
    b) |-2x – 1| > -3
    c) |2x – 5| > 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówności
    a) |x – 5| < 2
    b) |3x + 2| ≤ 2
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność
    a) $\sqrt{25x^{2}-10x+1}\leq 3$
    b) |1 – 3x| < -3
    c) |2x + 4| ≤ 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność ||x – 4| – 3| < 5
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $\left | 6-\sqrt{4x^{2}+12x+9} \right |\geq 3$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $\left | \left | x \right |-3 \right |< \sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówność |1 – 3x| > 2x +3
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż nierówność |x + 2| + 2 ≥ 3x – |x – 3|
- Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
  - Zadanie 1.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| – 3
  - Zadanie 2.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = ||x| + 3| – 4
  - Zadanie 3.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = |2x – 4| – x + 2
  - Zadanie 4.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = |x – 2| + |x + 3| – 1
  - Zadanie 5.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\sqrt{4x^{2}+16x+16}-\left | x \right |-x$
  - Zadanie 6.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\frac{\left | \left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right ) \right |}{x^{3}+4x^{2}+x-6}$
- Zadania różne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż graficznie nierówność $\left | x-1 \right |+1> x+2$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż graficznie nierówność |x + 3| + 2|x| > x + 5
  - Zadanie 3.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania ||x – 2| – 4| = m w zależności od parametru m.
  - Zadanie 4.
    Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{\sqrt{a^{2}-4ab+4b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+4ab+4b^{2}}}-\frac{8ab}{a^{2}-4b^{2}}+\frac{2b}{a-2b}$ dla
  - Zadanie 5.
    Dana jest nierówność |x – 1|+ |x + 2| < m. Wyznacz te wartości m, dla których ta nierówność nie ma rozwiązań.
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru m, równanie |x – 1| = m² – 2m +1 ma dwa pierwiastki dodatnie?
  - Zadanie 7.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających równanie |x| + |y| = 2
  - Zadanie 8.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów (x , y) spełniających nierówność |x + 1| + |y + 1| ≤ 1