Wielomiany • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Wielomiany

Wielomiany
- Działania na sumach algebraicznych
  - Zadanie 1.
    Dane są sumy algebraiczne S = x⁴ – 2x³ – 1 i T = 3x³ – 4x². Oblicz wartość wyrażenia
    a) S – T dla x = 3
    b) 2S + 4T dla x = – 1
  - Zadanie 2.
    Wyznacz iloczyn sum algebraicznych
    a) (x + 2)(x² – 3x)
    b) $(2x^{3}+\frac{1}{2}x+1)(x^{2}-x-\frac{1}{4})$
  - Zadanie 3.
    Wykonaj działania
    a) x²(x – 1) + 4(x – 2)(x² + 1)
    b) x(x – 3)(x – 2) -x(x + 4)(x – 5)
  - Zadanie 4.
    Ile wynosi współczynnik a, jeśli wartość sumy algebraicznej x³ + ax² + 3 dla x = – 4 jest równa 3?
  - Zadanie 5.
    Ile wynoszą współczynniki a i b, jeśli suma algebraiczna x⁴ + ax³ + bx² + 2 przyjmuje wartość 11 dla x = -3 oraz wartość 7 dla x = 1?
  - Zadanie 6.
    Podaj potrzebne założenia, a następnie oblicz
    a) sumę obwodów
    b) różnicę obwodów
    c) pole
    prostokąta o bokach długości 2x – 3 i 4x – 2
  - Zadanie 7.
    Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na objętość sześcianu o boku długości 3x + 2
  - Zadanie 8.
    Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach a = x + 1, b = x + 2, c = 2x – 4
  - Zadanie 9.
    Uzasadnij, że objętość prostopadłościanu o krawędziach: x -2, x, x + 4 opisana jest za pomocą wzoru V = x³ + 2x² – 8x gdzie x>0. Sprawdź, czy dla $x=2\sqrt{2}$ objętość tego prostopadłościanu jest liczbą wymierną?
- Rozkład wielomianu na czynniki
  - Zadanie 1.
    Rozłóż wielomian na czynniki:
    a) W(x) = 12x⁵ – 8x⁴
    b) W(x) = 6x³ + 12x² + 6x
    c) W(x) = x⁵ – 625x
  - Zadanie 2.
    Rozłóż wielomian na czynniki
    a) W(x) = – 4x⁴ + 3x³ – 7x²
    b) W(x) = – 2x³ – x² – 6x
  - Zadanie 3.
    Rozłóż wielomian na czynniki
    a) W(x) = 2x⁶ + 12x⁴ + 18x²
    b) W(x) = – 2x⁵ + 20x³ – 50x
    c) W(x) = 8x⁶ – 27x³
  - Zadanie 4.
    Rozłóż wielomian na czynniki
    a) W(x) = x³ + 5x² + x + 5
    b) W(x) = x³ + 3x² – x – 3
    c) W(x) = 8x⁵ + 16x³ – x² – 2
  - Zadanie 5.
    Rozłóż wielomian na czynniki
    a) W(x) = x³ – 3x – 2
    b) W(x) = x³ – 7x + 6
    c) W(x) = 3x⁴ – 10x³ + 10x – 3
  - Zadanie 6.
    Rozłóż wielomian na czynniki
    a) W(x) = x⁴ + 1
    b) W(x) = 4x⁴ + 1
    c) W(x) = x⁴ + x² + 1
- Równania wyższych stopni
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równania:
    a) 7x³-56=0
    b) 2x³+ 54 = 0
    c) x³ – 9x = 0
    d) 9x³ + x = 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równania
    a) (4x + 1)(6x – 9)(2x – 8) = 0
    b) (x² + 2x)(x – 1) = 0
    c) x³ – 6x² + 9x = 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równania
    a) x³ – 3x² – 10x = 0
    b) x⁴ – 6x³ + 5x² = 0
    c) (4x² – 1)(x² – 16) = 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równania
    a) x³ – x² – x + 1 = 0
    b) x³ + 2x² – 4x – 8 = 0
    c) x³ – 13x + 12 = 0
  - Zadanie 5.
    Oblicz $\sqrt{p}$ , gdzie p jest sumą pierwiastków równania x(x – 1)(16x – 9) = 0
  - Zadanie 6.
    Ile wspólnych pierwiastków mają równania x² + x – 12 = 0 i (x + 4)(x² + 8x) = 0
  - Zadanie 7.
    Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej objętość prostopadłościanu o bokach długości x+4, x, x-1. Dla jakiej wartości x objętość prostopadłościanu wynosi 12?
- Równość wielomianów
  - Zadanie 1.
    Dla jakich wartości parametru a wielomiany W(x) = 3x³ + (a²-3)x² – 5 i G(x) = 3x³ + 6x² – 5 są równe?
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru a iloczyn wielomianów W(x) = ax – 4 i G(x) = ax – 1 jest równy wielomianowi H(x) = 9x² + 15x + 4?
  - Zadanie 3.
    Dane są wielomiany W(x) = x² + x -1, G(x) = ax + b, H(x) = x³ + 4x + 6x² – 5. Wyznacz współczynniki a, b tak, aby W(x)·G(x) = H(x).
  - Zadanie 4.
    Dane są wielomiany F(x) = 2x – 3, G(x) = x² + bx + c, H(x) = 2x³ + x² – 8x + 3. Wyznacz współczynniki b, c tak, aby wielomian F(x)·G(x) – H(x) był wielomianem zerowym.
  - Zadanie 5.
    Przedstaw wielomian W(x) = x⁴ + 2x³ + x² – 1 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
  - Zadanie 6.
    Przedstaw wielomian W(x) = x⁴ + x³ – 6x² – 11x – 5 jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.
- Dzielenie wielomianów
  - Zadanie 1.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ – 2x² + 3x – 12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
  - Zadanie 2.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ + 3x -12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
  - Zadanie 3.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 4x³ + 8x² + 4x – 9 przez wielomian Q(x) = 2x + 1. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.
  - Zadanie 4.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 2x⁴ – 3x³ + 4x + 2 przez wielomian Q(x) = x² + x. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + R(x).
- Schemat Hornera
  - Zadanie 1.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x³ – 9x² + 2x – 1 przez dwumian Q(x) = x – 1 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.
  - Zadanie 2.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 3x⁴ – 10x³ – 29x + 2 przez dwumian Q(x) = x – 4 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.
  - Zadanie 3.
    Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 8x³ + 27 przez dwumian Q(x) = x + 1 wykorzystując schemat Hornera, wykonaj działanie sprawdzające.
- Twierdzenie o reszcie
  - Zadanie 1.
    Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x³ – 7x² – 2x + 3 przez dwumian Q(x) = x + 1.
  - Zadanie 2.
    Sprawdź czy wielomian W(x) = -x⁴ + 2x² – 3x + 1 jest podzielny przez dwumian G(x) = x – 2.
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości a wielomian W(x) = x³ + (a²-1)x – 3 jest podzielny przez P(x) = x – 1.
  - Zadanie 4.
    Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x⁴ – (m+1)x² – 3(m-1)x – 5 przez dwumian x – 1 wynosi 2
  - Zadanie 5.
    Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 5, 7. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
    Q(x) = (x – 2)(x – 3).
  - Zadanie 6.
    Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany x – 1, x – 2, x – 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian
    Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).
  - Zadanie 7.
    Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x⁹⁹ – 1 przez wielomian Q(x) = x² – 1.
  - Zadanie 8.
    Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x⁵ – x³ + x² – 1 przez wielomian Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3).
- Twierdzenie Bezouta
  - Zadanie 1.
    Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ – x² – 10x – 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
  - Zadanie 2.
    Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x³ + 5x² – 4x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Rozłóż wielomian na czynniki
  - Zadanie 3.
    Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ + 2x² – 11x + 20. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
  - Zadanie 4.
    Liczby -2 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x⁴ + x³ – 5x² – 4x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
  - Zadanie 5.
    Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x) = x³ + (2m – 3)x -2 jest podzielny przez dwumian x – 3.
  - Zadanie 6.
    Liczby 1 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x³ – 6x² + ax + b. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
  - Zadanie 7.
    Wielomian W(x) = 2x³ + mx² – 13x + n jest podzielny przez dwumiany x – 2 i x – 3. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
- Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie x³ – 6x² + 9x – 4 = 0.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie 3x³ + 3x² – 5x + 2 = 0.
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie x⁴ – 4x³ + 8x² – 20x + 15 = 0.
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie x⁴ + 3x³ -5x² – 12x + 4 = 0.
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie 2x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie 2x³ + 9x² + x – 3 = 0.
- Pierwiastki wielokrotne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie x³ + 5x² + 7x + 3 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie x⁴ – 6x³ + 13x² – 12x + 4 = 0. Podaj krotność każdego z pierwiastków.
  - Zadanie 3.
    Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = 3x³ – 11x² + 8x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
  - Zadanie 4.
    Liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
  - Zadanie 5.
    Liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania x³ + 4x² + ax + b = 0. Wyznacz współczynniki a i b.
  - Zadanie 6.
    Liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ – 3x³ + ax² + bx – 18. Wyznacz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu.
  - Zadanie 7.
    Podaj przykład wielomianu stopnia czwartego, którego
    a) jedynymi pierwiastkami są liczby 2 i -2
    b) jedynym pierwiastkiem jest 1 i jest to pierwiastek dwukrotny.
- Nierówności wielomianowe
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność
    a) 2(x – 1)(x + 3)(x – 5) > 0
    b) -3(x – 1)(x – 3)(x +7) > 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność
    a) 2(x² – 1)(-x + 3)(x – 5) < 0
    b) -3(2x² + x -1)(x – 3)(x + 7) < 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność
    a) -5(x – 1)²(x + 3)(x – 5) > 0
    b) 3(x – 1)³(x – 3)²(x + 7)⁴ < 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność
    a) x³ – 6x² – x + 6 ≥ 0
    b) -x³ – 3x² – x + 1 < 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność 2x³ – 3x² – 10x +15 ≤ 0. Wyznacz najmniejsza liczbę całkowitą dodatnią spełniającą tę nierówność.
  - Zadanie 6.
    Wyznacz dziedzinę funkcji
    a) $f(x)=\sqrt{x^{3}-3x}$
    b) $f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x^{3}-5x+4}}$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność x⁴ + x³ – 7x² + ax + b > 0, jeżeli liczby -1 i -3 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x⁴ + x³ – 7x² + ax + b