Zadanie 1. • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Zadanie 1.

● ● ● ● ● ●

Wszystkie filmy: Szereg geometryczny
- Zadanie 1.
  Sprawdź czy szereg geometryczny jest zbieżny, jeżeli jest oblicz jego sumę
  a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...$ b) $\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\sqrt{3}-3+...$
- Zadanie 2.
  Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły
  a) 1,(21) b) 0,2(17)
- Zadanie 3.
  Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
  a) 1 + (2x – 3) + (2x – 3)² + . . .
  b) $\frac{2}{x-1}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{3}}+...$
- Zadanie 4.
  Rozwiąż równanie (x + 3) + (x + 3)² + (x + 3)³ + . . . = 2 -x
- Zadanie 5.
  Rozwiąż równanie $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-7}{5+n^{2}}$
- Zadanie 6.
  Rozwiąż nierówność 1 + x + x² + . . . ≤ 4
- Zadanie 7.
  Rozwiąż nierówność $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...< 2$
- Zadanie 8.
  Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x) = -x + x² – x³ + . . .
- Zadanie 9.
  Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^{2}}+...$
- Zadanie 10.
  Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 64. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 56.
- Zadanie 11.
  Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $\frac{4}{3}$ . Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy -1.
- Zadanie 12.
  Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48.
- Zadanie 13.
  W nieskończonym ciągu geometrycznym a₁ = 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest trzy razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
- Zadanie 14.
  W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
- Zadanie 15.
  Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 3. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma sześcianów jego wyrazów jest równa $\frac{27}{19}$ .
- Zadanie 16.
  W kwadrat o boku długości a wpisujemy drugi kwadrat tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego kwadratu, następnie w analogiczny sposób wpisujemy kwadrat w drugi kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób kwadratów.
- Zadanie 17.
  W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisujemy drugi trójkąt równoboczny tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego trójkąta, następnie w analogiczny sposób wpisujemy trójkąt w drugi trójkąt itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.