fbpx

Zadanie 26.

  • Wszystkie filmy: Dowody w algebrze

    • Zadanie 1.

      Uzasadnij, że liczba n3 – n dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

    • Zadanie 2.

      Uzasadnij, że liczba n2·(n2 – 1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 12.

    • Zadanie 3.

      Uzasadnij, że liczba n(n4-1) dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 6.

    • Zadanie 4.

      Uzasadnij, że liczba n6-2n4+n2 dla każdej liczby całkowitej n jest podzielna przez 36.

    • Zadanie 5.

      Uzasadnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.

    • Zadanie 6.

      Uzasadnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.

    • Zadanie 7.

      Uzasadnij, że liczba 777 – 6·776 + 12·775 jest podzielna przez 19.

    • Zadanie 8.

      Uzasadnij, że liczba 178 – 68 jest podzielna przez 11 i przez 23, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

    • Zadanie 9.

      Reszta z dzielenia liczby naturalnej n przez 6 jest równa 5. Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby n2 przez 6 jest równa 1.

    • Zadanie 10.

      Reszta z dzielenia każdej z liczb naturalnych: n1, n2, n3 przez 6 jest równa 4. Uzasadnij, że suma kwadratów tych liczb jest podzielna przez 12.

    • Zadanie 11.

      Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 9.

    • Zadanie 12.

      Dane są dwie liczby naturalne, z których każda jest podzielna przez 3. Uzasadnij, że suma sześcianów tych liczb jest podzielna przez 27.

    • Zadanie 13.

      Dane są trzy liczby naturalne takie, że reszta z dzielenia każdej z nich przez 3 jest równa 2. Uzasadnij, że suma tych liczb jest podzielna przez 3.

    • Zadanie 14.

      Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba 3n+1 + 3n + 3n-1 jest podzielna przez 13.

    • Zadanie 15.

      Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4} jest całkowita.

    • Zadanie 16.

      Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 3, to reszta z dzielenia liczby n2 przez 3 jest równa 1.

    • Zadanie 17.

      Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba n2+2 nie jest podzielna przez 4.

    • Zadanie 18.

      Uzasadnij, że nierówność a2 + b2 ≥ 2ab jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R

    • Zadanie 19.

      Uzasadnij, że nierówność a2 ≥ 4b(a – b) jest prawdziwa dla dowolnych liczb a,b∈R

    • Zadanie 20.

      Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a\, \, i\, \, b prawdziwa jest nierówność \frac{(a+b)^{2}}{ab}\geq 4

    • Zadanie 21.

      Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność  \frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}

    • Zadanie 22.

      Uzasadnij, że jeśli (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bc)2 to ad =bc

    • Zadanie 23.

      Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7 to a4 + b4 = 31 

    • Zadanie 24.

      Uzasadnij, że jeżeli a\neq b,a\neq c,b\neq c\, \, i\, \, a+b=2c\, \, to\, \, \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2

    • Zadanie 25.

      Uzasadnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a,b prawdziwa  jest nierówność \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} ( średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

    • Zadanie 26.

      Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b takich, że a+b=\frac{1}{2} prawdziwa  jest nierówność ab\leq \frac{1}{16}  ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

    • Zadanie 27.

      Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 4 prawdziwa  jest nierówność a + b ≥ 4 ( skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej ).

    • Zadanie 28.

      Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b takich, że a·b = 16 prawdziwa  jest nierówność (1 + a)(1 + b) ≥ 25 (skorzystaj z faktu, że: średnia arytmetyczna dwóch liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej).

    • Zadanie 29.

      Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b takich, że a ≥ b > 0 prawdziwa  jest nierówność b2(1 + a) ≤ a2(b + 1).

    • Zadanie 30.

      Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek a2 + ab + b2 ≥ 0.

    • Zadanie 31.

      Wykaż, że jeśli a,b,c są liczbami dodatnimi i  a< b  to  \frac{a+c}{b+c}> \frac{a}{b}

    • Zadanie 32.

      Wykaż, że jeśli a,b,c są różnymi od zera liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek a+b+c=0 to prawdziwa jest równość \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=0

    • Zadanie 33.

      Wykaż, że jeśli a, b, c spełniają warunek a2 + b2 + c2 = ab + ac +bc  to  a = b.