Funkcja kwadratowa • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa
- Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = -4x² + 8x + 1 i zapisz jej postać kanoniczną
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:
    a) f(x) = 2x² – 4x + 8
    b) f(x) = -3(x – 3)² – 4
    c) f(x) = 3x² – 5
  - Zadanie 3.
    Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x) = 2x² + bx – 1 jeśli prosta o równaniu x = – 1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji
  - Zadanie 4.
    Wyznacz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f(x) = 2x² + bx + c jeśli punkt W=(1,3) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji
  - Zadanie 5.
  - Zadanie 6.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej
    a) f(x) = 2x² +3x + 1
    b) f(x) = – x² – 3x + 5
    c) f(x) = 3(x – 1)² + 5
  - Zadanie 7.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku W=(2,-3), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(4,-1)
  - Zadanie 8.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = x² + kx +m, której zbiorem wartości jest przedział (-∞,4> wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji
    jest równa 2.
  - Zadanie 9.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = ax² + bx + c wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa 4, średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi 2 i wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0,3)
- Równania kwadratowe
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie:
    a) x² – 2x = 3
    b) 2x² – 4x + 2 = 0
    c) 3x² – 2x + 3 = 0
    d) x² – 4x + 2 = 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równania:
    a) 3x² – 2x = 0
    b) 4x² – 25 = 0
    c) 2x² – 3 = 0
    d) 2x² + 3 = 0
    e) (2x – 1)(3 + 4x) = 0
- Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
  - Zadanie 1.
    Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:
    a) y = 2x² – 3x – 2
    b) y = 4x² – x + 1
    c) y = 2x² – 3x + 2
    d) y = 2x² – 3x
    e) y = 2x² – 2
  - Zadanie 2.
    Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
    a) y = (x – 2)(x + 3)
    b) y = 2(3x – 2)(x – 3)
    c) y = -4(3x +2)(5 – 3x)
  - Zadanie 3.
    Oblicz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y = x² + bx + c , którego pierwiastkami są liczby 3 i 5.
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = 2(x – 3)(x + 5)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x₁=2, x₂=-3, a zbiorem wartości tej funkcji
    jest Y = <4,∞)
- Nierówności kwadratowe
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność 2x² – 3x + 1 ≤ 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność – 3x² – 2x + 1 ≤ 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność – x² + 2x – 1 ≤ 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność 4x² + 4x + 1 ≤ 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność x² + 4x + 5 < 0
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność – x² – 2x – 5 < 0
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność (x – 1)( + 2) < 0
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówność (3 – 5x)(2x + 2) > 0
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż nierówność -(1 + 4x)(2 – x) > 0
  - Zadanie 10.
    Rozwiąż nierówność 4x² – 1 >0
  - Zadanie 11.
    Rozwiąż nierówność x² + 9 > 0
  - Zadanie 12.
    Rozwiąż nierówność 3x² + 2x < 0
  - Zadanie 13.
    Rozwiąż nierówność -3x² + 4x + 1 < 0
- Funkcja kwadratowa - zastosowania
  - Zadanie 1.
    Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:
    
    a) f(x) = 2x² – 4x + 3 w przedziale <-1,2>
    
    b) f(x) = – x² – 2x + 3 w przedziale <-3,2>
    
    c) f(x) = 3x² – 5x + 3 w przedziale <-3,-1>
  - Zadanie 2.
    Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 24.
  - Zadanie 3.
    Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.
  - Zadanie 4.
    Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m².
- Równania sprowadzalne do równań kwadratowych
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie x⁴ – 3x² + 2 = 0
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie x⁴ – x² – 2 = 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie x⁴ + 5x² + 6 = 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie x⁶ + 7x³ – 8 = 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $x+\sqrt{x}-12=0$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie x² + |x| – 10 =0
  - Zadanie 7.
    Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{x^{4}-7x^{2}+6}$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż równanie x² – 3|x + 2| = 0
- Nierówności sprowadzalne do nierówności kwadratowych
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność (x – 2)(2x – 3) < (x + 5)(x – 2)
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność (x – 1)(3x – 2) – (x – 5)(1 – x) ≥ 0
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność x² – 5|x| < 0
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność x² + |x| -2 ≤ 0
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność x² – |x – 2| ≥ 0
  - Zadanie 6.
    Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
- Układy równań i nierówności stopnia drugiego
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=x^{2}+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}-4x-1\\y=x^{2}+2x-1 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie $\left\{\begin{matrix} y=-x^{2}+3\\y=\left | x \right |-3 \end{matrix}\right.$
  - Zadanie 4.
    Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny opisany układem nierówności $\left\{\begin{matrix} y\geq x^{2}-3\\y< x-1 \end{matrix}\right.$
- Wzory Vietea
  - Zadanie 1.
    Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego x² – 8x + 7 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 2.
    Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego -x² -5x +1 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 3.
    Oblicz kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x² – 4x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 4.
    Oblicz wartość bezwzględna z różnicy pierwiastków równania kwadratowego 2x² + 3x – 7 =0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 5.
    Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego x² + 2x – 4 = 0bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 6.
    Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 2 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 7.
    Oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania kwadratowego x² – 2x – 1 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 8.
    Oblicz sumę czwartych potęg pierwiastków równania kwadratowego x² – 5x + 3 = 0 bez obliczania tych pierwiastków.
  - Zadanie 9.
    Określ znaki pierwiastków ( o ile istnieją ) równania kwadratowego bez obliczania tych pierwiastków
    a) x² – 3x + 2 = 0
    b) x² + 3x + 2 = 0
    c) x² + x – 2 = 0
- Równania kwadratowe z parametrem
  - Zadanie 1.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania $x^{2}-\left ( 3m-1 \right )x+\frac{9}{4}m+\frac{1}{4}=0$ w zależności od parametru m.
  - Zadanie 2.
    Zbadaj ilość rozwiązań równania mx² + 2mx – 3 = 0 w zależności od parametru m.
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k+2)x + 9k – 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki
    a) jednakowych znaków
    b) ujemne
    c) dodatnie
  - Zadanie 4.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (2k-3)x + 2k + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków.
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x² + (3m-2)x + m + 2 = 0 spełniają warunek x₁² + x₂² > 8.
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru m równanie x² – (m-3)x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 2.
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości parametru k równanie x² + (k-1)x + k + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek |x₁| + |x₂| < 3
  - Zadanie 8.
    Dla jakich wartości parametru m równanie x² – 2mx + m² – 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki większe od 1.
  - Zadanie 9.
    Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x² – (m-5)x + 6 – 2m = 0 osiąga wartość najmniejszą?
  - Zadanie 10.
    Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x⁴ – 2(m+3)x² + m – 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki?
- Nierówności kwadratowe z parametrem
  - Zadanie 1.
    Dla jakich wartości parametru m nierówność x² – mx + m + 3 > 0 jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x?
  - Zadanie 2.
    Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności (5-m)x² – 2(1-m)x + 2 – 2m < 0 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x^{2}-2mx-m}$ jest zbiór R?
  - Zadanie 4.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left ( m-1 \right )x^{2}-\left ( m-1 \right )x+1}}$ jest zbiór R?
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości m wartości funkcji f(x) = (2m+1)x² + (m-1)x + 3m są mniejsze od wartości funkcji g(x) = (1-m)x + 3 dla każdego x∈R?