Logarytm i funkcja logarytmiczna • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Logarytm i funkcja logarytmiczna

Logarytm i funkcja logarytmiczna
- Logarytm - definicja
  - Zadanie 1.
    Oblicz
    
    a) $log_{2}64$   b) $log_{2}0,125$
    
    c) $log_{\frac{1}{3}}27$   d) $log_{\sqrt{2}}4$
    
    e) $log_{7}7\sqrt{7}$   f) $log_{5}5$
    
    g) $log_{4}1$
  - Zadanie 2.
    Oblicz
    a) $log_{\sqrt[3]{2}}4$
    
    b) $log_{\frac{\sqrt{5}}{25}}125$
    
    c) $log_{0,01}\frac{\sqrt{10}}{10}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz
    a) $log_{2}\left ( log100 \right )$
    
    b) $log_{9}\left ( log_{8}\left ( log_{3}9 \right ) \right )$
  - Zadanie 4.
    Oblicz $\sqrt{a\cdot b}$ jeżeli $a=log_{3}9,b=log_{2}256$
  - Zadanie 5.
    Oblicz jeżeli:
    a) $log_{4}x=\frac{3}{2}$
    
    b) $log_{\frac{1}{8}}x^{2}=\frac{1}{3}$
    
    c) $log_{2\sqrt{2}}\left | x \right |=4$
  - Zadanie 6.
    Oblicz wartość wyrażenia $log_{a}\sqrt{a\cdot b}$ wiedząc, że $log_{a}b=5$ , gdzie $a\, \, i\, \, b$ są liczbami dodatnimi i $a\neq 1$
  - Zadanie 7.
    Oblicz wartość wyrażenia wiedząc, że i $log\frac{10}{b}=1020$
  - Zadanie 8.
    Oblicz
    a) $log_{2}2^{10}$ b) $4^{log_{2}9}$
    
    c) $27^{log_{3}2}$ d) $\left ( \sqrt{8} \right )^{\frac{2}{3}+log_{4}81}$
  - Zadanie 9.
    Określ dziedzinę wyrażenia
    $log_{x-2}\left ( x^{2}-1 \right )$
  - Zadanie 10.
    Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równość
    $log_{1-2a}\left ( a+7 \right )=2$
- Działania na logarytmach
  - Zadanie 1.
    Oblicz
    a) log₁₅3 + log₁₅5 b) $log_{\frac{1}{2}}3,5+log_{\frac{1}{2}}7$ c) log₇49 d) $log_{2}\left ( log_{3}\sqrt{5} \right )-log_{2}\left ( log_{3}5 \right )$
  - Zadanie 2.
    Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu pewnej liczby
    a) 2 + log₃5 b) 4 – log₃36
  - Zadanie 3.
    Oblicz przybliżoną wartość liczby
    a) log50 b) log0,05
    jeśli log5 ≈ 0,7
  - Zadanie 4.
    Oblicz przybliżoną wartość liczby log₅70, jeśli:
    log₅2 ≈ 0,43 i log₅7 ≈ 1,21
  - Zadanie 5.
    Niech p = log₂3, q = log₂5.
    Uzasadnij równość log₂75 = p + 2q
  - Zadanie 6.
    Wykaż, że dla dowolnych x, y ∈ R₊ prawdziwa jest równość
    logx³y⁴ – logx²y³ = logx + logy
  - Zadanie 7.
    Uzasadnij równość 4log₉3 + 9log₃9 = 5log₃81
  - Zadanie 8.
    Uzasadnij, że liczba $log_{2}\sqrt{6}+log_{2}\sqrt{8}-log_{2}\sqrt{3}$ jest wymierna.
  - Zadanie 9.
    Przedstaw log₄9 w postaci logarytmu o podstawie
    a) 2 b) 0,25
    c) udowodnij, że $log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
  - Zadanie 10.
    Wykaż, że: log₂3 · log₃4 · log₄5 · log₅6 · log₆7 · log₇8 = 3
  - Zadanie 11.
    Wykaż, że jeżeli i są liczbami dodatnimi oraz $a\neq 1$ ,
    to dla dowolnych $\alpha ,\beta \in R$ spełniony jest wzór:
    $log_{a^{\beta }}x^{\alpha }=\frac{\alpha }{\beta }log_{a}x$
  - Zadanie 12.
    Sprawdź, czy liczba $\frac{log_{8}49}{log_{2}7}$ jest liczbą wymierną?
  - Zadanie 13.
    O ile procent liczba log8 jest mniejsza od liczby log²4 + lo25·log4?
  - Zadanie 14.
    Oblicz
    a) $log_{4}\sqrt{5}\cdot log_{25}8$
    b) log2·log50 + log²5
  - Zadanie 15.
    Sprawdź, czy liczba (log₃36)² – log₃16·log₃18 jest liczbą całkowitą ?
  - Zadanie 16.
    Oblicz
    a) log₇2·log7 + log50
    
    b) $\frac{log_{2}36\cdot log_{3}36}{log_{2}36+ log_{3}36}$
  - Zadanie 17.
    Niech $m=log_{21}7$ . Wykaż, że $log_{7}21=\frac{3\left ( 1-m \right )}{m}$
  - Zadanie 18.
    Uzasadnij, że liczby 2^log₃5 i 5^log₃2 są równe.
- Działania na logarytmach (2)
  - Zadanie 1.
    Wyznacz A, jeśli A = 2^B + 6^C, gdzie $B=\frac{2}{log_{\sqrt{3}}2}$ , $C=\frac{1}{log_{2}6}$
  - Zadanie 2.
    Wiadomo, że log₆2 = a. Wyznacz log₂₄36 w zależności od a.
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartość $\left ( 5^{\frac{log_{100}3}{log3}}\cdot 3^{\frac{log_{100}5}{log5}} \right )^{2log_{15}8}$
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że jeżeli są liczbami dodatnimi takimi, że $a\neq 1,b\neq 1,c\neq 1$ i $a\cdot b\neq 1$ , to zachodzi równość $log_{ab}c=\frac{log_{a}c\cdot log_{b}c}{log_{a}c+log_{b}c}$
  - Zadanie 5.
    Uporządkuj rosnąco liczby: $\frac{1}{log_{3}\pi }+\frac{1}{log_{4}\pi }$ , $\left ( 0,125 \right )^{-\frac{1}{3}}$ , $log_{3}11$
  - Zadanie 6.
    Oblicz log₆2·log₆18 + log₆²3
  - Zadanie 7.
    Wykaż, że liczby $\frac{1}{log_{3}2},\frac{1}{log_{6}2},\frac{1}{log_{12}2}$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
    a) oblicz różnicę tego ciągu arytmetycznego b) wyraź sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego.
  - Zadanie 8.
    Wiedząc, że log₂5 = a i log₅3 = b oblicz log₈9
  - Zadanie 9.
    Wiedząc, że log₃4 = a i log₃5 = b wyznacz log₂₇0,8 w zależności od a i b.
  - Zadanie 10.
    Wiedząc, że log₃20 = a i log₃15 = b, wyznacz log₂360 w zależności od a i b.
  - Zadanie 11.
    Wiedząc, że $a=\frac{log8}{log81}$ i $b=\frac{1}{log64}$ , oblicz wartość wyrażenia $27^{4a}+16^{3b}$ .
  - Zadanie 12.
    Oblicz $\frac{log^{3}4+log^{3}25}{4\left ( log^{2}2-log2\cdot log5+log^{2}5 \right )}$
- Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej
  - Zadanie 1.
    Sporządź wykresy funkcji f(x) = log₂x i g(x) = log₂(x-2) + 3
  - Zadanie 2.
    Sporządź wykresy funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{2}}x$ i $g(x)=\left |log _{\frac{1}{2}}\left ( x+3 \right )-1 \right |$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej do wykresu której należy punkt A=(3,-2) . Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $\left ( -\frac{2}{3} \right )$ ?
    Sporządź wykres funkcji g(x) = f(-x+2)
  - Zadanie 4.
    Punkt A=(2,-1) należy do wykresu funkcji f(x) = log₂(x+k) + m. Wyznacz k i m wiedząc, że dziedziną funkcji f jest przedział (-2,∞).
    Sporządź wykres funkcji f.
  - Zadanie 5.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\sqrt{x^{2}}$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 6.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=7^{log_{7}\left ( x^{2}-2 \right )}$ . Dla jakich wartości parametru równanie f(x)=m ma rozwiązanie?
  - Zadanie 7.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\left | g(x) \right |}$ , gdzie funkcja g jest funkcją logarytmiczną do wykresu której należy punkt $A=\left ( \frac{1}{8},-3 \right )$ .
  - Zadanie 8.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left | \left | x \right |-3 \right |$
  - Zadanie 9.
    Sporządź wykres funkcji $g(x)=log_{\frac{1}{3}}\frac{9}{x-1}$ przekształcając wykres funkcji $f(x)=log_{3}x$
  - Zadanie 10.
    Sporządź wykres funkcji f(x) = log₂(4x²)
  - Zadanie 11.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{2}\frac{1}{x^{2}}\cdot log_{x^{2}}\left ( x+2 \right )$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 12.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=-log_{\frac{1}{2}}\left | -x-2 \right |$
  - Zadanie 13.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\frac{x^{2}-4}{\left | x \right |-2}$ . Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=m nie ma rozwiązań?
  - Zadanie 14.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-2x+10 \right )$
- Równania logarytmiczne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie $log_{\sqrt{2}}x+log_{\sqrt{2}}\left ( x-6 \right )-8=0$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równanie $log_{\frac{1}{2}}\left ( x-1 \right )-log_{\frac{1}{2}}\left ( x-2 \right )=-1$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż równanie 9^log₃(x-3) = 4
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie x^1+logx = 100x²
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie x – log5 = xlog5 + 2log2 – log(1 + 2^x)
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż równanie $logx+4\sqrt{logx}=5$
- Nierówności logarytmiczne
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność log₃(2x-3) < log₃x
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność $2log_{\frac{1}{2}}x< log_{\frac{1}{2}}\left ( 5x-6 \right )$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność log_x(x+2) < 2
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność 1 – log₅(5^x-4) ≥ x
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $log_{2}\left [ log_{\frac{1}{2}}\left ( x-4 \right ) \right ]\leq 1$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $\frac{2}{1+logx}+\frac{1}{logx}> 2$
- Zadania różne
  - Zadanie 1.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają równanie log_x²+y²(2y).
  - Zadanie 2.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{2}\frac{xy}{2}=log_{2}x\cdot log_{2}y$
  - Zadanie 3.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $\frac{x+3}{log_{2}\left ( x+2 \right )}=log_{x+2}\left ( y+2 \right )$ i $y^{2}\leq 36$
  - Zadanie 4.
    W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne (x,y) spełniają warunek $log_{\frac{1}{3}}\left ( y-x^{2} \right )\geq -1$
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = log[(m-2)x² – 3x + mx + 1] jest zbiór liczb rzeczywistych?
  - Zadanie 6.
    Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = x³log²m – 3x²logm – 6m -2logm jest podzielny przez dwumian (x+1)
  - Zadanie 7.
    Dla jakich wartości parametru m równanie $x^{2}-2x-log_{\frac{1}{3}}m^{2}=0$ ma takie dwa różne pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 6?