Logarytmy • Strona 3 z 4 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Logarytmy

Logarytmy
Przedstawiamy definicję logarytmu, udostępniamy zadania, które utrwalają sposoby wykonywania działań na logarytmach. Logarytmy pozwalają ustalić, do której potęgi należy podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać określoną liczbę logarytmowaną. Logarytm naturalny, dziesiętny, logarytm iloczynu, ilorazu – te i inne zagadnienia dzięki rozwiązaniom video przygotowanym przez MATEMATYKA NA TAK przyswoisz bez trudu.
- Logarytm - definicja
  - Zadanie 1.
    Oblicz
    
    a) $log_{2}64$   b) $log_{2}0,125$
    
    c) $log_{\frac{1}{3}}27$   d) $log_{\sqrt{2}}4$
    
    e) $log_{7}7\sqrt{7}$   f) $log_{5}5$
    
    g) $log_{4}1$
  - Zadanie 2.
    Oblicz
    a) $log_{\sqrt[3]{2}}4$
    
    b) $log_{\frac{\sqrt{5}}{25}}125$
    
    c) $log_{0,01}\frac{\sqrt{10}}{10}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz
    a) $log_{2}\left ( log100 \right )$
    
    b) $log_{9}\left ( log_{8}\left ( log_{3}9 \right ) \right )$
  - Zadanie 4.
    Oblicz $\sqrt{a\cdot b}$ jeżeli $a=log_{3}9,b=log_{2}256$
  - Zadanie 5.
    Oblicz jeżeli:
    a) $log_{4}x=\frac{3}{2}$
    
    b) $log_{\frac{1}{8}}x^{2}=\frac{1}{3}$
    
    c) $log_{2\sqrt{2}}\left | x \right |=4$
  - Zadanie 6.
    Oblicz wartość wyrażenia $log_{a}\sqrt{a\cdot b}$ wiedząc, że $log_{a}b=5$ , gdzie $a\, \, i\, \, b$ są liczbami dodatnimi i $a\neq 1$
  - Zadanie 7.
    Oblicz wartość wyrażenia wiedząc, że i $log\frac{10}{b}=1020$
  - Zadanie 8.
    Oblicz
    a) $log_{2}2^{10}$ b) $4^{log_{2}9}$
    
    c) $27^{log_{3}2}$ d) $\left ( \sqrt{8} \right )^{\frac{2}{3}+log_{4}81}$
  - Zadanie 9.
    Określ dziedzinę wyrażenia
    $log_{x-2}\left ( x^{2}-1 \right )$
  - Zadanie 10.
    Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równość
    $log_{1-2a}\left ( a+7 \right )=2$
- Działania na logarytmach
  - Zadanie 1.
    Oblicz
    a) log₁₅3 + log₁₅5 b) $log_{\frac{1}{2}}3,5+log_{\frac{1}{2}}7$ c) log₇49 d) $log_{2}\left ( log_{3}\sqrt{5} \right )-log_{2}\left ( log_{3}5 \right )$
  - Zadanie 2.
    Przedstaw wyrażenie w postaci logarytmu pewnej liczby
    a) 2 + log₃5 b) 4 – log₃36
  - Zadanie 3.
    Oblicz przybliżoną wartość liczby
    a) log50 b) log0,05
    jeśli log5 ≈ 0,7
  - Zadanie 4.
    Oblicz przybliżoną wartość liczby log₅70, jeśli:
    log₅2 ≈ 0,43 i log₅7 ≈ 1,21
  - Zadanie 5.
    Niech p = log₂3, q = log₂5.
    Uzasadnij równość log₂75 = p + 2q
  - Zadanie 6.
    Wykaż, że dla dowolnych x, y ∈ R₊ prawdziwa jest równość
    logx³y⁴ – logx²y³ = logx + logy
  - Zadanie 7.
    Uzasadnij równość 4log₉3 + 9log₃9 = 5log₃81
  - Zadanie 8.
    Uzasadnij, że liczba $log_{2}\sqrt{6}+log_{2}\sqrt{8}-log_{2}\sqrt{3}$ jest wymierna.
  - Zadanie 9.
    Przedstaw log₄9 w postaci logarytmu o podstawie
    a) 2 b) 0,25
    c) udowodnij, że $log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
  - Zadanie 10.
    Wykaż, że: log₂3 · log₃4 · log₄5 · log₅6 · log₆7 · log₇8 = 3
  - Zadanie 11.
    Wykaż, że jeżeli i są liczbami dodatnimi oraz $a\neq 1$ ,
    to dla dowolnych $\alpha ,\beta \in R$ spełniony jest wzór:
    $log_{a^{\beta }}x^{\alpha }=\frac{\alpha }{\beta }log_{a}x$
  - Zadanie 12.
    Sprawdź, czy liczba $\frac{log_{8}49}{log_{2}7}$ jest liczbą wymierną?
  - Zadanie 13.
    O ile procent liczba log8 jest mniejsza od liczby log²4 + lo25·log4?
  - Zadanie 14.
    Oblicz
    a) $log_{4}\sqrt{5}\cdot log_{25}8$
    b) log2·log50 + log²5
  - Zadanie 15.
    Sprawdź, czy liczba (log₃36)² – log₃16·log₃18 jest liczbą całkowitą ?
  - Zadanie 16.
    Oblicz
    a) log₇2·log7 + log50
    
    b) $\frac{log_{2}36\cdot log_{3}36}{log_{2}36+ log_{3}36}$
  - Zadanie 17.
    Niech $m=log_{21}7$ . Wykaż, że $log_{7}21=\frac{3\left ( 1-m \right )}{m}$
  - Zadanie 18.
    Uzasadnij, że liczby 2^log₃5 i 5^log₃2 są równe.
- Funkcja logarytmiczna
  - Zadanie 1.
    Sporządź wykresy funkcji f(x) = log₂x i g(x) = log₂(x-2) + 3
  - Zadanie 2.
    Sporządź wykresy funkcji $f(x)=log_{\frac{1}{2}}x$ i $g(x)=\left |log _{\frac{1}{2}}\left ( x+3 \right )-1 \right |$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej do wykresu której należy punkt A=(3,-2) . Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $\left ( -\frac{2}{3} \right )$ ?
    Sporządź wykres funkcji g(x) = f(-x+2)
  - Zadanie 4.
    Punkt A=(2,-1) należy do wykresu funkcji f(x) = log₂(x+k) + m. Wyznacz k i m wiedząc, że dziedziną funkcji f jest przedział (-2,∞).
    Sporządź wykres funkcji f.
  - Zadanie 5.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=log_{3}\sqrt{x^{2}}$ . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
  - Zadanie 6.
    Sporządź wykres funkcji $f(x)=7^{log_{7}\left ( x^{2}-2 \right )}$ . Dla jakich wartości parametru równanie f(x)=m ma rozwiązanie?