Ostrosłupy • Strona 3 z 4 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Ostrosłupy
- Ostrosłup prawidłowy czworokątny
  - Zadanie 1.
    Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4, a wysokość ściany bocznej
    ma długość 6 cm.
  - Zadanie 2.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość $2\sqrt{2}$ , a krawędź boczna ma długość 3.
  - Zadanie 3.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 12 cm i wysokość jego ściany bocznej
    tworzą taki kąt $\alpha$ , że $sin\alpha =\frac{5}{13}$ .
  - Zadanie 4.
    Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość długości 9 cm i krawędź boczna tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{3}{5}$ .
  - Zadanie 5.
    Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰, a obwód podstawy wynosi 8.
  - Zadanie 6.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.
  - Zadanie 7.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10 cm.
  - Zadanie 8.
    Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.
  - Zadanie 9.
    Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 2 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni całkowitej jest równe 21 cm².
  - Zadanie 10.
    W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
- Ostrosłup prawidłowy trójkątny
  - Zadanie 1.
    W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 2.
    W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 3.
    W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość i krawędź boczna tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 3 cm .
  - Zadanie 4.
    W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jego wysokość o długości 16 cm i wysokość ściany bocznej tworzą taki kąt $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{4}{5}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 5.
    Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.
  - Zadanie 6.
    Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 6, a krawędź boczna ma długość 4. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 7.
    Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60⁰. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.
  - Zadanie 8.
    Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$ , że $sin\alpha =\frac{3}{5}$ . Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy $2\sqrt{3}$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
  - Zadanie 9.
    Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $\alpha$ , że $cos\alpha =\frac{12}{13}$ . Pole podstawy wynosi $9\sqrt{3}$ . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 10.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰. Oblicz objętość tej bryły.
  - Zadanie 11.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Koło opisane na podstawie ma pole równe 16π. Objętość tego ostrosłupa jest równa $20\sqrt{3}$ . Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
  - Zadanie 12.
    Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości wyraża się wzorem $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .
  - Zadanie 13.
    Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej $18\sqrt{2}\, \, cm^{3}$ .
- Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
  - Zadanie 1.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60⁰. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 2.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30⁰. Krótsza przekątna podstawy wynosi $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 3.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 4.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
  - Zadanie 5.
    Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość ściany bocznej jest równa 9 cm. Różnica między polem koła opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a polem koła wpisanego w podstawę wynosi 8π cm². Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
- Przekroje ostrosłupów
  - Zadanie 1.
    Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przekątną podstawy. Pole przekroju jest równe 36 cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 2.
    Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
  - Zadanie 3.
    Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 6 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątna podstawy i punkt E będący środkiem krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju wiedząc, że wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
  - Zadanie 4.
    Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wysokość i środek krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.
  - Zadanie 5.
    Czworościan foremny o krawędzi długości 4 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole przekroju.
- Inne ostrosłupy
  - Zadanie 1.
    Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS.
  - Zadanie 2.
    Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.
  - Zadanie 3.
    Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa $\frac{80}{3}$ , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.
  - Zadanie 4.
    Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
  - Zadanie 5.
    Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.