Planimetria • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Planimetria

Planimetria
- Trójkąty przystające
  - Zadanie 1.
    Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.
  - Zadanie 2.
    Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB $\left | \right |$ DE i |AC|=|CE|
  - Zadanie 3.
    W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków A i B środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 4.
    W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, poprowadzono z wierzchołków AB dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.
  - Zadanie 5.
    Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.
  - Zadanie 6.
    Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|
  - Zadanie 7.
    Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH ( tak jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.
- Trójkąty podobne
  - Zadanie 1.
    Dane są długości boków pierwszego trójkąta wynoszą 6,8,12, a drugiego 9,12,18. Czy trójkąty te są podobne ? Jeżeli są podobne wyznacz skalę podobieństwa.
  - Zadanie 2.
    Dany jest trójkąt o bokach długości 6, 8, 12. Najdłuższy bok trójkąta jest równy 16 oraz $\bigtriangleup ABC\sim A'B'C'$ . Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Oblicz obwód trójkąta .
  - Zadanie 3.
    Trójkąt ABC, którego obwód jest równy 55, jest podobny do trójkąta o bokach długości : 4, 8, 10. Oblicz długości boków trójkąta ABC
  - Zadanie 4.
    Oblicz długość x, jeśli BE||CD (rysunek w filmie)
  - Zadanie 5.
    Oblicz długość x, jeśli czworokąt ABCD jest równoległobokiem (rysunek w filmie)
  - Zadanie 6.
    Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym 6. Oblicz długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.
  - Zadanie 7.
    W trójkącie prostokątnym ACB o kącie prostym w wierzchołku C poprowadzono wysokość na podstawę AB. Udowodnij, że $h=\frac{ab}{c}$ , gdzie i są długościami przyprostokątnych i c długością przeciwprostokątnej.
  - Zadanie 8.
    W trójkącie prostokątnym o kącie prostym w wierzchołku poprowadzono wysokość na podstawę . Udowodnij, że $h^{2}=\left | AD \right |\cdot \left | DB \right |$ , gdzie punkt jest spodkiem wysokości na przeciwprostokątną .
  - Zadanie 9.
    W okręgu poprowadzono dwie cięciwy i przecinające się w punkcie . Udowodnij, że $\bigtriangleup PAC\sim \bigtriangleup PDB$ , następnie wykaż, że $\left | PA \right |\cdot \left | PB \right |=\left | PC \right |\cdot \left | PD \right |$
  - Zadanie 10.
    Dany jest trapez o podstawach AB i CD. Jego przekątne przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że $\bigtriangleup ABO\sim \bigtriangleup CDO$ Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6 cm, a długości podstaw są odpowiednio równe 4 cm i 8 cm. Oblicz pola trójkątów ABO i CDO.
- Wielokąty podobne
  - Zadanie 1.
    Prostokąt $P_{1}$ ma boki długości 12 cm i 16 cm. Prostokąt $P_{2}$ ma przekątną długości 25 cm i jeden z boków długości 20 cm. Uzasadnij, że prostokąty są podobne i podaj skalę podobieństwa.
  - Zadanie 2.
    Prostokąt ma boki długości 12 cm i 15 cm i jest podobny do prostokąta o obwodzie 36 cm. Oblicz długość przekątnej mniejszego prostokąta.
  - Zadanie 3.
    Prostokąt $P_{1}$ ma boki długości 6 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta $P_{2}$ o obwodzie 60 cm. Oblicz pole większego prostokąta.
  - Zadanie 4.
    Trapez równoramienny o podstawach długości 4 cm i 9 cm podzielono na dwa trapezy podobne prostą równoległą do podstaw. Oblicz skalę podobieństwa otrzymanych trapezów.
  - Zadanie 5.
    Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i . Po odcięciu kwadratu o boku 1, otrzymujemy prostokąt podobny do prostokąta wyjściowego.
    Wykaż, że $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ( rysunek w filmie )
- Trójkąty prostokątne
  - Zadanie 1.
    Oblicz x (rysunek w filmie)
  - Zadanie 2.
    Oblicz x (rysunek w filmie)
  - Zadanie 3.
    Sprawdź czy trójkąt o bokach długości
    a) $\frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2}$ b) 5,9,11 jest prostokątny ?
  - Zadanie 4.
    Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że:
    a) przekątna kwadratu o boku długości ma długość $a\sqrt{2}$
    b) wysokość w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
  - Zadanie 5.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie
  - Zadanie 6.
    Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie
  - Zadanie 7.
    Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy $6\left ( 1+\sqrt{2} \right )$
  - Zadanie 8.
    Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę $120^{0}$ . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.
  - Zadanie 9.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa $2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$
  - Zadanie 10.
    Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABD (rysunek w filmie), jeśli pole trójkąta BCD jest równe $3\sqrt{3}$ .
- Pole trójkąta
  - Zadanie 1.
    Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, $P_{\Delta }=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ . Wyznacz obwód trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi $4\sqrt{3}$ .
  - Zadanie 2.
    Wyprowadź wzór na pole trójkąta $P_{\bigtriangleup }=\frac{1}{2} a bsin\alpha$ , gdzie są długościami boków trójkąta i kąt $\alpha$ jest kątem zawartym między tymi bokami. Oblicz pole trójkąta , w którym $\left | AB \right |=4\sqrt{3},\left | AC \right |=\sqrt{3},\left | \measuredangle ABC \right |=35^{0}\left | \measuredangle ACB \right |=100^{0}$
  - Zadanie 3.
    Obwód trójkąta równoramiennego ( rysunek w filmie) jest równy $(12+8\sqrt{3})$ cm. Punkt jest środkiem odcinka , a punkt dzieli odcinek w stosunku . Oblicz pole trójkąta a) b)
  - Zadanie 4.
    W trójkącie równoramiennym o polu $12\sqrt{3}$ $cm^{2}$ stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .
    Oblicz miary kątów $\bigtriangleup$ .
  - Zadanie 5.
    Zastosuj wzór Herona, na pole trójkąta o bokach długości $P_{\bigtriangleup }=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}$ , gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ ( połowa obwodu trójkąta ). Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4,7,5.
  - Zadanie 6.
    Dany jest trójkąt, w którym kąt między bokami o długościach x i 2x ma miarę $120^{0}$ . Uzasadnij, ze pole tego trójkąta jest dwukrotnie większe od pola trójkąta równobocznego o boku długości x.
  - Zadanie 7.
    Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie równej i kącie przy podstawie $15^{0}$ . Uzasadnij, że jeśli wysokość opuszczona na podstawę równa się , to ramię tego trójkąta ma długość $\sqrt{2ah}$
- Pole czworokąta
  - Zadanie 1.
    Kąt rozwarty równoległoboku to $120^{o}$ , oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.
  - Zadanie 2.
    Uzasadnij wzór na pole równoległoboku $P=abin\alpha$ , gdzie i są długościami boków równoległoboku, $\alpha$ jest kątem jaki tworzą te boki. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 10 cm wiedząc, że kąt rozwarty w tym równoległoboku to $150^{o}$ .
  - Zadanie 3.
    Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm². Oblicz wysokości i miary kątów tego równoległoboku.
  - Zadanie 4.
    Jeden z boków równoległoboku ma długość 15 cm i tworzy z drugim bokiem kąt $\alpha$ taki, że $sin\alpha =\frac{2}{3}$ . Oblicz obwód tego równoległoboku, jeśli pole jest równe 45 cm².
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij wzór na pole równoległoboku , $P=\frac{1}{2}\left | AC \right |\left | BC \right |sin\varphi$ ( $\varphi$ – kąt między przekątnymi równoległoboku ). Oblicz pole równoległoboku, w którym przekątne o długości 10 cm i 14 cm przecinają się pod kątem 30⁰.
  - Zadanie 6.
    Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości opuszczonej na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku wiedząc, że jego pole jest równe 10 i $sin\alpha =\frac{3}{4}$ , gdzie $\alpha$ jest kątem ostrym równoległoboku.
  - Zadanie 7.
    Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?
  - Zadanie 8.
    Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.
  - Zadanie 9.
    Oblicz pole rombu o kącie ostrym 40⁰ i dłuższej przekątnej równej 30 cm.
  - Zadanie 10.
    Oblicz pole rombu o boku 12 i kącie ostrym 60⁰ oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.
  - Zadanie 11.
    Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm². Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.
  - Zadanie 12.
    Przekątne rombu maja długości 12 cm i 16 cm, a jego kąt ostry ma miarę $\alpha$ . Oblicz $sin\alpha$ .
  - Zadanie 13.
    Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm.
  - Zadanie 14.
    Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm, 6 cm i przekątnej długości 9 cm.
  - Zadanie 15.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 60⁰.
  - Zadanie 16.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.
  - Zadanie 17.
    W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45⁰ i polu równym 90 cm² dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt $\alpha$ taki, że $tg\alpha =\frac{1}{3}$ . Oblicz obwód tego trapezu.
  - Zadanie 18.
    Oblicz pole trapezu prostokątnego w którym $\left | BC \right |$ = 10 cm, $\left | AB \right |$ = 14 cm, sinus kąta wynosi $\frac{\sqrt{5}}{3}$
  - Zadanie 19.
    Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego kąt ostry ma miarę 30⁰, a podstawy mają długości 4 cm i 10 cm.
  - Zadanie 20.
    Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach długości $6\sqrt{3}$ cm i $2\sqrt{3}$ cm opisanego na okręgu o promieniu 3 cm.
- Długość okręgu i pole koła
  - Zadanie 1.
    a) Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 120⁰
    
    b) Jaką miarę ma kąt AOB, jeśli punkty A, B leżące na okręgu o środku O i promieniu 8, wyznaczają łuk długości $2\pi$
  - Zadanie 2.
    Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm, $\left | AB \right |$ = 5 cm. Ile jest równa długość łuku
  - Zadanie 3.
    a) Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o obwodzie równym 32
    b) Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 6
  - Zadanie 4.
    a) Oblicz pole wycinka koła o promieniu 9 wyznaczonego przez kąt 40⁰
    b) Pole wycinka koła o promieniu 6 wyznaczonego przez kąt jest równe $2\pi$ . Oblicz miarę kąta $\alpha$
  - Zadanie 5.
    Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 4 wyznaczają kąt AOB o mierze 60⁰. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
  - Zadanie 6.
    Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB o mierze 90⁰. Oblicz pole odcinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
  - Zadanie 7.
    W kole o promieniu 4 poprowadzono cięciwę o długości $4\sqrt{2}$ . Oblicz pola figur, na które podzieliła ona koło.
- Kąty w okręgu
  - Zadanie 1.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 2.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 3.
    Promień okręgu jest równy r. Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 6.
    Wyznacz miary kątów: α, β, γ (rysunek w filmie)
  - Zadanie 7.
    Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)
  - Zadanie 8.
    Wyznacz miary kątów: α, β (rysunek w filmie)
  - Zadanie 9.
    Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)
  - Zadanie 10.
    Wyznacz miarę kąta α (rysunek w filmie)
- Okrąg opisany na trójkącie
  - Zadanie 1.
    W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 45°, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 2.
    W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta ( rozważ dwa przypadki )
  - Zadanie 3.
    Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 7 cm i 12 cm.
  - Zadanie 4.
    Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm². Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 5.
    Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3 : 4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości wyraża się wzorem $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .
  - Zadanie 7.
    Oblicz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opisano okrąg o promieniu 6 cm.
  - Zadanie 8.
    Oblicz promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód wynosi $4+2\sqrt{2}$
  - Zadanie 9.
    Na trójkącie równoramiennym rozwartokątnym do którego podstawy poprowadzono wysokość równą 8, opisano okrąg o promieniu 13. Oblicz obwód trójkąta.
- Okrąg wpisany w trójkąt
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 7 i 24.
  - Zadanie 2.
    Na okręgu o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
  - Zadanie 3.
    Na okręgu o promieniu długości 2 cm opisano trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 10 cm. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.
  - Zadanie 4.
    Uzasadnij wzór na pole trójkąta $P_{\bigtriangleup }=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$ , gdzie są długościami boków trójkąta i długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16.
  - Zadanie 5.
    Uzasadnij, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku jest równa $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ . Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu 4.
  - Zadanie 6.
    Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120^°. Oblicz długości boków tego trójkąta.
  - Zadanie 7.
    Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o obwodzie równym $12+6\sqrt{2}$
- Okrąg opisany na czworokącie
  - Zadanie 1.
    Na trapezie o kolejnych kątach $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ opisano okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu jeżeli $\alpha =\frac{1}{4}\gamma$
  - Zadanie 2.
    Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Miara kąta przy wierzchołku A jest mniejsza o 50° od miary kąta przy wierzchołku C i o 50° większa od miary kąta przy wierzchołku B. Oblicz miary kątów tego czworokąta.
  - Zadanie 3.
    Przekątna czworokąta wpisanego w okrąg o środku S jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku A jest ostry i $\left | \sphericalangle BSD \right |=100^{\circ}$ , oblicz miary kątów czworokąta ABCD.
  - Zadanie 4.
    Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz długości przekątnych tego trapezu wiedząc, że kąt ostry tego trapezu to 30° i promień okręgu ma długość 4 cm.
  - Zadanie 5.
    Średnica okręgu jest podstawą trapezu wpisanego w ten okrąg. Oblicz obwód tego trapezu wiedząc, że kąt ostry między przekątnymi tego trapezu to 60° , a ramię trapezu ma długość 2 cm
  - Zadanie 6.
    W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30° oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.
  - Zadanie 7.
    W trapezie równoramiennym ABCD jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Pole tego trapezu wynosi 9 cm². Oblicz długości boków trapezu oraz pole koła opisanego na trapezie.
- Okrąg wpisany w czworokąt
  - Zadanie 1.
    W czworokącie KLMN bok KL jest o 3 krótszy od boku MN. Wiedząc, że w ten czworokąt można wpisać okrąg i |LM|=8, |KN|=9 oblicz długości boków KL i MN.
  - Zadanie 2.
    W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Bok AB tego czworokąta jest siedem razy krótszy niż bok CD, zaś bok AD jest trzy razy krótszy niż bok BC. Ile razy bok BC jest dłuższy niż bok AB?
  - Zadanie 3.
    Oblicz pole trapezu równoramiennego i długości jego ramion wiedząc, że długości jego podstaw wynoszą 6 cm, 10 cm i można w niego wpisać okrąg.
  - Zadanie 4.
    W trapez o kątach ostrych przy dłuższej podstawie 30° i 60° wpisano okrąg o promieniu 1. Oblicz długości podstaw trapezu.
  - Zadanie 5.
    Oblicz pole rombu o kącie rozwartym 150° w którego wpisano okrąg o promieniu 4 cm.
  - Zadanie 6.
    Trapez prostokątny o kącie ostrym 60° jest opisany na okręgu o promieniu długości 2. Oblicz pole trapezu.
- Twierdzenie sinusów
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż trójkąt, mają dane: a=4, α=45°, β=60°.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż trójkąt, mają dane: b=5 cm, c=4 cm, β=60°.
  - Zadanie 3.
    Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt w którym a=4, b=8, α=45°.
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż trójkąt w którym dane są a=3, b=5, α=30°.
  - Zadanie 5.
    W $\Delta \, ABC$ dane są: $\left | AC \right |=4,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ},\left | \sphericalangle ACB \right |=105^{\circ}$ . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 6.
    W trójkącie równoramiennym ramię ma długość b, kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz pole tego trójkąta i długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
  - Zadanie 7.
    Jeden z boków trójkąta ma długość a, zaś kąty przyległe do tego boku mają miary α, β. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie oraz długości boków tego trójkąta.
  - Zadanie 8.
    Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt K, że |KB|:|KC|=4:1
    a) Oblicz stosunek pól trójkątów ABK i AKC
    b) Oblicz stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABK i AKC
    c) Wyznacz sinus kąta BAK
  - Zadanie 9.
    W trójkącie ABC dwusieczna kąta przy wierzchołku C podzieliła bok AB na odcinki długości x i y licząc od punktu A. Przyjmując, że $\left | AC \right |=a,\left | BC \right |=b$ wykaż, że $\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$ .
- Twierdzenie cosinusów
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC w którym $\left | AB \right |=10,\left | AC \right |=6,\left | \sphericalangle CAB \right |=30^{\circ}$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach długości $\sqrt{2},2,1+\sqrt{3}$
  - Zadanie 3.
    Sprawdź czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 długości jest trójkątem rozwartokątnym?
  - Zadanie 4.
    Oblicz długości boków równoległoboku o bokach długości 3 cm i 5 cm oraz kącie ostrym 30°.
  - Zadanie 5.
    Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie w którym, długości dwóch boków to 1 i 4, a miara kąta zawartego między tymi bokami to 60°.
  - Zadanie 6.
    Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.
  - Zadanie 7.
    W równoległoboku ABCD, gdzie $\left | AB \right |=a,\left | BC \right |=b,\left | \sphericalangle DAB \right |=\alpha \,$ , połączono wierzchołek A ze środkami boków BC i CD otrzymując odpowiednio punkty K i L. Oblicz obwód trójkąta AKL.
  - Zadanie 8.
    Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.