fbpx

  • Pochodna funkcji

    • Definicja pochodnej funkcji w punkcie

      • Zadanie 1.

        Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=x^{2}+3 w x_{0}=-1

      • Zadanie 2.

        Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=x^{3}-2 w x_{0}=2

      • Zadanie 3.

        Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=\frac{2}{x} w x_{0}=1

      • Zadanie 4.

        Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=\sqrt{x+1} w x_{0}=3

      • Zadanie 5.

        Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x)=x^{2} w punkcie A=\left ( 2,4 \right ). Oblicz miarę kąta jaki ta styczna tworzy z osią OX.

      • Zadanie 6.

        Uzasadnij, że funkcja f(x)=\left | x-4 \right | nie ma pochodnej w punkcie x_{0}=4

    • Funkcja pochodna

      • Zadanie 1.

        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór (x3)’ = 3x2.

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3 w punkcie A=(-2-8).

      • Zadanie 3.

        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór \left ( \frac{1}{x} \right )^{'}=-\frac{1}{x^{2}}\, \, dla\, \, x\neq 0

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=\frac{1}{x} wiedząc, że jest ona równoległa do prostej o równaniu y = -4x +1

      • Zadanie 5.

        Na podstawie definicji pochodnej wprowadź wzór \left ( \sqrt{x} \right )^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\, \, dla\, \, x> 0

      • Zadanie 6.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=\sqrt{x} wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej o równaniu y = -2x +1

      • Zadanie 7.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 wiedząc, że jest ona nachylona do osi OX pod kątem 150°.

      • Zadanie 8.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 +1 wiedząc, że przechodzi ona przez punkt (0,0).

    • Działania na pochodnych

      • Zadanie 1.

        Wyznacz pochodną funkcji
        a) f(x)=-3x^{4}
        b)f(x)=2x^{3}-3x+1
        c) f(x)=-\frac{4}{x}
        d) f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}

      • Zadanie 2.

        Wyznacz pochodną funkcji
        a) f(x)=\left ( 2x^{3}-1 \right )\left ( 3x^{2}+2x-1 \right )
        b) f(x)=-5x^{3}\sqrt{x}

      • Zadanie 3.

        Wyznacz pochodną funkcji
        a) f(x)=\frac{x^{2}-5}{x+2}

        b) f(x)=\frac{3x^{4}-2}{x^{3}}

      • Zadanie 4.

        Wyznacz pochodną funkcji
        a) f(x)=\frac{\sqrt{x}-5}{x}

        b) f(x)=\frac{2}{x^{2}-3}-\frac{1}{2x^{3}}

      • Zadanie 5.

        Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x)=\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+1}{2x^{3}-5x^{2}-3} w punkcie o odciętej x_{0}=1

      • Zadanie 6.

        Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=2x^{2}\sqrt{x} w punkcie o odciętej x_{0}=4

    • Interpretacja fizyczna pochodnej

      • Zadanie 1.

        Położenie punktu na osi liczbowej w chwili t opisuje wzór s(t) = t2 . Oblicz prędkość średnią od chwili t1 = 1 do chwili t2 = 3 oraz prędkości w chwilach
        t1 = 1, t2 = 2, t3 = 3.

      • Zadanie 2.

        Przyjmując, że drogę przebytą przez spadające swobodnie ciało opisuje funkcja s(t) = 4,9·t2  (gdzie droga mierzona jest w metrach , a czas w sekundach) oblicz prędkość ciała w chwili t0 = 3,  odpowiedź podaj w \frac{m}{s} i \frac{km}{h}