Układy równań • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Układy równań

Układy równań
- Rozwiązywanie układów równań
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż układ równań
    
    $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\3x-4y=2 \end{matrix}\right.$
    
    metodą podstawiania.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż układy równań metodą podstawiania
    
    a) $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=1\\ 4x-6y=2\end{matrix}\right.$
    
    b) $\left\{\begin{matrix} -x+3y=4\\ 2x-6y=-1\end{matrix}\right.$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników
    
    a) $\left\{\begin{matrix} 5x-3y=2\\ 3x-2y=1\end{matrix}\right.$
    
    b) $\left\{\begin{array}{l} -x+3y-4=0\\ 2x-6y=-8\end{array}\right.$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie
    
    $\left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ x-2y=1\end{matrix}\right.$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie
    
    $\left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=1\end{matrix}\right.$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż układ równań algebraicznie i graficznie
    
    $\left\{\begin{matrix} -2x+y=5\\ -x+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$
  - Zadanie 7.
    Do równania dopisz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań
    a) oznaczony b) nieoznaczony c) sprzeczny
  - Zadanie 8.
    Dla jakich wartości parametrów m i k para liczb: x=3, y=2 jest rozwiązaniem układu równań :
    
    $\left\{\begin{array}{l} mx+ky=5\\ (k-1)x-2my=-4\end{array}\right.$
  - Zadanie 9.
    Dla jakich wartości parametru a układ równań
    
    a) $\left\{\begin{matrix} ay-3x=-2\\ 3x-5y=2\end{matrix}\right.$ jest układem nieoznaczonym
    
    b) $\left\{\begin{matrix} 2ax-5y=4\\ 4x+\frac{3}{2}y=-1\end{matrix}\right.$ jest układem sprzecznym ?
  - Zadanie 10.
    Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach
    
    a) $2x-3y-5=0\, \, i\,\, -3x-y+2=0$
    
    b) $y=\frac{1}{2}x-1\, \, i\, \, y=-3x+7$
  - Zadanie 11.
    Sprawdź algebraicznie czy punkty A=(-2,-5) B=(-123,-247) C=(4,7) są współliniowe ?
  - Zadanie 12.
    Wyznacz t, wiedząc, że punkty A=(t,0) B=(-2,-6) C=(2,-3) należą do tej samej prostej.
  - Zadanie 13.
    Wierzchołki B i C trójkąta prostokątnego ABC są punktami przecięcia prostej $y=-\frac{3}{4}x+3$ z osiami układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołka A, jeśli przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x-2$
  - Zadanie 14.
    Wyznacz równanie prostej AB jeżeli A=(-2,5) B=(4,-7), a następnie wyznacz współrzędne punktu przecięcia tej prostej z prostą o równaniu $y=\frac{1}{2}x+2$
- Zadania tekstowe
  - Zadanie 1.
    Przewieziono 44 tony towaru 9 samochodami o ładowności 4 tony i 6 ton. Ile było samochodów mniejszych, a ile większych, jeżeli każdy został wykorzystany maksymalnie?
  - Zadanie 2.
    W dwóch sadach owocowych rosło razem 1500 drzewek. W ciągu roku liczba drzewek w każdym sadzie powiększyła się o 25% i wtedy okazało się, że liczba drzewek w drugim sadzie stanowiła $\frac{2}{3}$ liczby drzewek w pierwszym sadzie. Ile drzewek było w każdym sadzie na początku roku?
  - Zadanie 3.
    Znajdź dwie takie liczby, aby suma $\frac{1}{3}$ pierwszej z nich i 25% drugiej wynosiła 9, zaś różnica podwojonej pierwszej i 75% drugiej wynosiła również 9.
  - Zadanie 4.
    Obwód prostokąta wynosi 54 cm. Jeżeli dłuższy bok powiększymy o 1 cm, a krótszy zmniejszymy o 1 cm, to pole zmniejszy się o 4 cm². Oblicz długości boków prostokąta.
  - Zadanie 5.
    Zmieszano dwa rodzaje syropu, syrop zawierający 70% czystego cukru z syropem zawierającym 20% czystego cukru. Po zmieszaniu otrzymano 10 kg syropu zawierającego 50% czystego cukru. Oblicz masę każdego rodzaju syropu.
  - Zadanie 6.
    Zmieszano dwa rodzaje roztworów soli kuchennej, roztwór o stężeniu 10% z roztworem o stężeniu 25%. W wyniku zmieszania otrzymano 12 kg roztworu
    o stężeniu 15%. Oblicz masę każdego z roztworów.
  - Zadanie 7.
    Dwa kawałki stopu – pierwszy o zawartości 80% czystego złota, a drugi o zawartości 30% czystego złota stopiono i otrzymano stop o zawartości 40% czystego złota. Oblicz, ile było kilogramów każdego stopu, jeśli wiadomo, że stopu drugiego było o 6 kg więcej niż stopu pierwszego.
  - Zadanie 8.
    W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. W wyniku przestawienia miejscami cyfr otrzymamy liczbę o 27 mniejszą od liczby początkowej. Jaka to liczba? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
  - Zadanie 9.
    W pewnej liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa 5. Suma cyfry setek i jedności tej liczby jest równa 10. W wyniku przestawienia miejscami cyfry setek i cyfry jedności otrzymamy liczbę o 396 większą od liczby początkowej. Jaka to liczba? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
  - Zadanie 10.
    Trzy lata temu córka była trzy razy młodsza od matki. Za siedem lat matka będzie starsza od córki o 20 lat. Ile lat mają obecnie matka i córka?
  - Zadanie 11.
    Statek płynący ze stałą prędkością z prądem rzeki pokonuje odległość 60 km w czasie 5 godzin, płynąc zaś pod prąd tę samą odległość pokonuje w czasie 7,5 godziny. Oblicz prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.