Zadanie 8. • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Zadanie 8.

● ● ● ● ● ●

Wszystkie filmy: Wektory w układzie współrzędnych
- Zadanie 1.
  Dane są punkty A=(-1,-3), B=(5,1), C=(2,8). Oblicz
  a) współrzędne wektorów $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}$ b) długości wektorów $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}$
- Zadanie 2.
  Dane są punkty A=(-2,0), B=(3,5), C=(6,4) .Wyznacz współrzędne punktu D, tak aby wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ były równe.
- Zadanie 3.
  W równoległoboku ABCD dane są A=(-6,-3), B=(5,-1), C=(2,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
- Zadanie 4.
  Wyznacz współrzędne wektora $\vec{a}=2\cdot \vec{u}+3\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}\cdot \vec{w}$ jeżeli $\vec{u}=\left [ -1,3 \right ],\vec{v}=\left [ 2-4 \right ],\vec{w}=\left [ 6,-2 \right ]$
- Zadanie 5.
  Udowodnij, że środkiem odcinka AB, gdzie $A=(x_{A},y_{A})$ , $B=\left ( x_{B},y_{B} \right )$ jest punkt $S=\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )$ .
- Zadanie 6.
  Na odcinku AB wyznacz taki punkt P, aby spełniony był warunek |AP|:|PB|=3:1 wiedząc, że A=(-2,3), B=(6,5).
- Zadanie 7.
  Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC, jeżeli A=(2,2), B=(0,-2), C=(5/2,-3).
- Zadanie 8.
  Punkty A, B, C nie są współliniowe i leżą w układzie współrzędnych. Punkty M, N są odpowiednio środkami odcinków AB i AC, a punkt P jest środkiem odcinka MN. Wykaż, że dla dowolnego punktu O, różnego od wymienionych punktów, zachodzi równość $2\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\cdot \overrightarrow{OP}$
- Zadanie 9.
  W równoległoboku ABCD, punkt K dzieli bok CD w stosunku 4:1 licząc od punktu C, zaś punkt L dzieli przekątną BD w stosunku 5:1 licząc od punktu B. Udowodnij, że punkty A, K, L są współliniowe wiedząc, że A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1), D=(-1,4).
- Zadanie 10.
  Punkt M jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC, w którym A=(0,0), B=(6,0) , a punkt C ma obie współrzędne dodatnie.
  Udowodnij, że $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ .
- Zadanie 11.
  Wyznacz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez punkt P=(-12,9) wiedząc, że wektor $\vec{u}=\left [ 2,-3 \right ]$ jest prostopadły do prostej k.
- Zadanie 12.
  Wyznacz, wykorzystując wektory, równanie symetralnej odcinka AB, jeżeli A=(-2,4), B=(6,8).
- Zadanie 13.
  W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A=(-4,-1), środek S=(2,1) boku AB i wektor $\overrightarrow{BC}=\left [ -4,4 \right ]$ . Wyznacz równanie symetralnej boku BC.
- Zadanie 14.
  Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(-2,-1), wektor $\overrightarrow{AB}=\left [ 8,4 \right ]$ , a punkt przecięcia środkowych M=(1,4). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
- Zadanie 15.
  W trójkąt równoboczny wpisano okrąg o środku w punkcie S=(3,-1). Wiedząc, że C=(1,-3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.
- Zadanie 16.
  Bok AB trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu y = 2x + 2, a środkowa poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w prostej x – 3y + 21 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC wiedząc, że $\overrightarrow{BC}=\left [ 4,-2 \right ]$ .
- Zadanie 17.
  Punkt S=(0,0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że $\overrightarrow{AB}=\left [ 4,3 \right ]$ i $\overrightarrow{BC}=\left [ 6,2 \right ]$
- Zadanie 18.
  Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok ML trójkąta KLM, jeśli wiadomo, że K=(-6,-2), $\overrightarrow{KL}=\left [ 10,1 \right ]$ i środkowe trójkąta przecinają się w punkcie E=(0,0).
- Zadanie 19.
  Prosta o równaniu y = -x + 3 przecina parabolę o równaniu y = x² -6x +7 w punktach A i B. Napisz równanie obrazu tej paraboli w przesunięciu o wektor $\overrightarrow{WA}+\overrightarrow{WB}$ , gdzie W jest wierzchołkiem danej paraboli.