Ciągi • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Ciągi

Ciągi
- Sposoby określania ciągu
  - Zadanie 1.
    Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu
    a) a_n= 3n – n²
    b) a_n = (-1)ⁿ⁺¹·(n – 1)
  - Zadanie 2.
    Które wyrazy ciągu są równe zero
    a) a_n = 5n – n²
    b) $b_{n}=\frac{n^{2}-4}{n+3}$
  - Zadanie 3.
    Które wyrazy ciągu są dodatnie
    a) a_n = 2n – 10
    b) b_n = – n² – 7n – 10
    c) $c_{n}=\frac{4-n}{n+3}$
  - Zadanie 4.
    Wykres ciągu (a_n) jest zawarty w wykresie funkcji liniowej do którego należą punkty A=(3,4) B=(-2,-5). Wyznacz wzór ogólny ciągu.
  - Zadanie 5.
    Wykres ciągu $\left ( a_{n} \right )$ jest zawarty w prostej m prostopadłej do prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x-3$ . Wyznacz wzór ogólny ciągu wiedząc, że $a_{4}=8$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz te wyrazy ciągu $a_{n}=\frac{n+6}{n}$ , które są liczbami całkowitymi.
  - Zadanie 7.
    Wykres ciągu (a_n) jest zawarty w paraboli o wierzchołku W=(-2,4). Wiedząc, że przechodzi ona przez punkt A=(0,3) wyznacz wzór ogólny ciągu.
- Ciągi monotoniczne
  - Zadanie 1.
    Oblicz a_n+1 jeżeli:
    a) a_n = – 3n + n²
    b) a_n = (-1)ⁿ⁺¹·(n + 13)
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że ciąg (a_n) jest rosnący
    a) a_n = 3n + 1
    b) a_n = n² + 3n
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest malejący
    a) $a_{n}=-\sqrt{3}n+1$
    b) $a_{n}=-4n^{2}+5$
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ nie jest monotoniczny, jeżeli:
    
    $a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{n^{2}}$
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości k ciąg (a_n) jest rosnący jeśli: a_n = (2k – 1)n + 5
- Ciągi monotoniczne (2)
  - Zadanie 1.
    Wykaż, że ciąg a_n = n² +4n jest rosnący.
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+1}{2n+1}$ jest rosnący
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{3n+2}{4n-1}$ jest malejący
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{2}{n^{2}+2}$ jest malejący
  - Zadanie 5.
    Wykaż, że ciąg $a_{n}=\frac{n^{2}}{n+4}$ jest monotoniczny
  - Zadanie 6.
    Wykaż, że ciąg a_n = 6n -n² nie jest monotoniczny
- Ciągi określone rekurencyjnie
  - Zadanie 1.
    Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\a_{n+1}=2a_{n}+3,\, gdy\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
  - Zadanie 2.
    Wyznacz pięć początkowych wyrazów ciągu $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=0\\a_{2}=3\\a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1},\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ określonego rekurencyjnie
  - Zadanie 3.
    Określ rekurencyjnie ciąg a_n = n² + 1
  - Zadanie 4.
    Określ rekurencyjnie ciąg a_n = 5·3ⁿ
  - Zadanie 5.
    Określ rekurencyjnie ciąg $a_{n}=\sqrt{n+2}$
  - Zadanie 6.
    Uzasadnij, że ciąg $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}+2n^{2}-1,\, dla\, n\geq 2 \end{array}\right.$ jest monotoniczny
- Ciąg arytmetyczny
  - Zadanie 1.
    Oblicz czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego : 2, 5, 8, 11, . . .
  - Zadanie 2.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego : -2, -5, -8, -11, . . .
  - Zadanie 3.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym a₂ = 3, a₇ = 8.
  - Zadanie 4.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym
    a) a₁ = 3, a₇ = 8
    b) a₃ = 4, a₈ = 12
    c) r = -5, a₁₁ = 4
  - Zadanie 5.
    Wyznacz liczby m, k tak, aby liczby 1, k, 9, m tworzyły kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
  - Zadanie 6.
    Wstaw między liczby 1 i 25 pięć liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny
  - Zadanie 7.
    Wyznacz x tak, aby liczby 2x – 1, 5, x + 3 tworzyły ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności)
  - Zadanie 8.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest arytmetyczny
    a) $a_{n}=-\sqrt{7}n-3$
    
    b) $a_{n}=\frac{2-3n}{5}$
  - Zadanie 9.
    Wykaż, że ciąg a_n = – n² + 4 nie jest arytmetyczny.
  - Zadanie 10.
    Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.
  - Zadanie 11.
    Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 10. Oblicz długości przyprostokątnych wiedząc, że długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny.
  - Zadanie 12.
    Miary kątów czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Największy z tych kątów to 135°. Oblicz miary pozostałych katów tego czworokąta.
  - Zadanie 13.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100
  - Zadanie 14.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych
  - Zadanie 15.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.
  - Zadanie 16.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez 3.
  - Zadanie 17.
    Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego -24, -22, -20, … należy dodać , aby otrzymać liczbę 546?
  - Zadanie 18.
    Rozwiąż równanie 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + x = 190
  - Zadanie 19.
    Oblicz sumę S₁₀₀ciągu arytmetycznego, w którym a₂ = b², a₃ = (b +1 )², a₄– a₂ = 2 .
  - Zadanie 20.
    Wyznacz wzór ogólny rosnącego ciągu arytmetycznego (a _n) o wyrazach całkowitych wiedząc, że suma wyrazów siódmego i jedenastego wynosi 30, zaś iloczyn wyrazów drugiego i szóstego wynosi 9.
- Ciąg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego a) 1,3,9,27, … b) -2,-10,-50, …
  - Zadanie 2.
    Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego wiedząc, że:
    a) a₂ = 9 , a₅ = $\frac{1}{3}$
    b) a₃ = 4 , a₅ = 1
  - Zadanie 3.
    Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego wiedząc, że:
    a₂ · a₄= 1, (a₂)² + (a₃)² = 5.
  - Zadanie 4.
    Wykaż, ze ciąg dany wzorem
    a) $a_{n}=\frac{1}{5}\cdot 4^{n}$ b) b_n = 3^2n-1
    jest ciągiem geometrycznym.
  - Zadanie 5.
    Wyznacz x wiedząc, że liczby
    a) 36, x, $\frac{1}{9}$ b) 1, (x-2), 9
    są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
  - Zadanie 6.
    Oblicz S₇ ciągu geometrycznego, w którym
    a) a₁ = 3, q = -2 b) $a_{n}=2^{n+1}$
  - Zadanie 7.
    le początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a _n) w którym a₁ = 5 i q = 2 należy dodać , aby otrzymać 635 ?
  - Zadanie 8.
    Liczby x, 15, y są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby wiedząc, że ich suma wynosi 65.
  - Zadanie 9.
    Piłka odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość równą $\frac{3}{4}$ poprzedniej, a za trzecim razem wysokość 54 cm. Na jaką wysokość odbiła się piłka za pierwszym razem.
  - Zadanie 10.
    W pierwszym miesiącu Rafał roznosząc ulotki zarobił 440 zł. W każdym następnym miesiącu zarabiał o 5% więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile złotych zarobił Rafał w 8 miesiącu pracy ?
- Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Ciąg ( x, y, 12 ) jest geometryczny o wyrazach różnych od zera, natomiast ciąg ( 1, x, y-1 ) jest arytmetyczny. Oblicz x i y.
  - Zadanie 2.
    Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.
  - Zadanie 3.
    Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny maja pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.
  - Zadanie 4.
    Trzy liczby o sumie 15 tworzą ciąg arytmetyczny. Środkowa liczba zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
  - Zadanie 5.
    Trzy różne liczby, których suma równa się 63 tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby ?
- Procent składany
  - Zadanie 1.
    Trzy banki podają różne informacje o stopie procentowania: w Banku A: oprocentowanie w skali roku wynosi 14%, w Banku B oprocentowanie w skali roku wynosi 13%, ale odsetki dopisywane są co pół roku, w Banku C oprocentowanie w skali roku wynosi 12%, ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 10000 zł.
  - Zadanie 2.
    Firma X zaciągnęła w banku kredyt w wysokości 10000 zł. Co roku bank nalicza odsetki w wysokości 10%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony jednorazowo po n latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma X będzie musiała spłacić 13310 zł ?
- Granica ciągu
  - Zadanie 1.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{5-3n}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n^{2}+1}{5n^{2}-3n+3}$ c) $\lim_{n \to \infty }\frac{2n-4}{5-3n^{3}}$
  - Zadanie 2.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 2n+1 \right )\left ( 5n-1 \right )}{\left ( 4n-3 \right )\left ( n+5 \right )}$
    
    b) $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( 3n-7 \right )^{4}}{\left ( 4n+1 \right )^{4}}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3}{2^{n}+5}$ b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}+1}$
  - Zadanie 4.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3^{n+1}}{2^{n}+5\cdot 3^{n}}$
    
    b) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-3\cdot 7^{n+1}}{2^{n+1}+10^{n}}$
  - Zadanie 5.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+4+6+ ... + 2n}{3n^{2}-2}$
  - Zadanie 6.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{2+5+8+ ... +\left ( 3n+5 \right )}{n^{2}+3}$
  - Zadanie 7.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1+3+9+ ... +3^{n-1}}{3^{n}-2}$
  - Zadanie 8.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+2} \right )$
  - Zadanie 9.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{9n^{2}+n}-3n \right )$
  - Zadanie 10.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt{n^{2}+16n}-n}$
  - Zadanie 11.
    Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty }\left (\sqrt[3]{n^{3}+12n}-n \right )$
  - Zadanie 12.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 2n^{3}-5n+7 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -2n+3n^{2}-5n^{4} \right )$
  - Zadanie 13.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\left ( 4^{n}-3\cdot 2^{n}+3 \right )$ b) $\lim_{n \to \infty }\left ( -10^{n}+5^{n}+1 \right )$
  - Zadanie 14.
    Oblicz granice
    a) $\lim_{n \to \infty }\frac{2^{n}-5\cdot 16^{n}}{8^{n}-3}$ b) $\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+4}+\sqrt{n+2}$
  - Zadanie 15.
    Oblicz granicę ciągu $a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{n}\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, dla\, \, n\leq 45\\\frac{n^{2}-3}{2-3n^{2}}\, \, dla\, \, n> 45 \end{array}\right.$
  - Zadanie 16.
    Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{kn+3}{\left ( k+1 \right )n-2}$ ma granicę równą 4.
  - Zadanie 17.
    Dla jakich wartości parametru k ciąg $a_{n}=\frac{4n+5}{\left ( k-2 \right )n+2}$ ma granicę niewłaściwą?
- Szereg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Sprawdź czy szereg geometryczny jest zbieżny, jeżeli jest oblicz jego sumę
    a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...$ b) $\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\sqrt{3}-3+...$
  - Zadanie 2.
    Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły
    a) 1,(21) b) 0,2(17)
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?
    a) 1 + (2x – 3) + (2x – 3)² + . . .
    b) $\frac{2}{x-1}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( x-1 \right )^{3}}+...$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż równanie (x + 3) + (x + 3)² + (x + 3)³ + . . . = 2 -x
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż równanie $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...=\lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-7}{5+n^{2}}$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność 1 + x + x² + . . . ≤ 4
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+...< 2$
  - Zadanie 8.
    Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f(x) = -x + x² – x³ + . . .
  - Zadanie 9.
    Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^{2}}+...$
  - Zadanie 10.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 64. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 56.
  - Zadanie 11.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $\frac{4}{3}$ . Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy -1.
  - Zadanie 12.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 12. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma kwadratów jego wyrazów jest równa 48.
  - Zadanie 13.
    W nieskończonym ciągu geometrycznym a₁ = 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest trzy razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
  - Zadanie 14.
    W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
  - Zadanie 15.
    Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 3. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu wiedząc, że suma sześcianów jego wyrazów jest równa $\frac{27}{19}$ .
  - Zadanie 16.
    W kwadrat o boku długości a wpisujemy drugi kwadrat tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego kwadratu, następnie w analogiczny sposób wpisujemy kwadrat w drugi kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób kwadratów.
  - Zadanie 17.
    W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisujemy drugi trójkąt równoboczny tak, że jego wierzchołkami są środki boków poprzedniego trójkąta, następnie w analogiczny sposób wpisujemy trójkąt w drugi trójkąt itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów.