Geometria analityczna • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP+PR
Geometria analityczna

Geometria analityczna
- Długość odcinka
  - Zadanie 1.
    Oblicz długość odcinka:
    
    a) AB, jeśli A=(-3,-1), B=(-5,-1)
    
    b) CD jeśli $C=\left (3+\sqrt{3},\sqrt{7} \right )$ , $D=\left ( \sqrt{3},-4+\sqrt{7} \right )$
  - Zadanie 2.
    Sprawdź, czy trójkąt ABC jest równoramienny jeśli A=(1,3) B=(6,4) C=(4,-1)
  - Zadanie 3.
    Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(3,0) B=(-6,8) C=(-2,-2)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB jeżeli A=(-2,6) B=(10,0)
  - Zadanie 5.
    Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz taki punkt S na osi OX, aby jego odległość od punktu P wyniosła $\sqrt{74}$
  - Zadanie 6.
    Na prostej o równaniu y=2x wyznacz punkt, który jest jednakowo odległy od punktów A=(3,1), B=(7,3)
- Środek odcinka
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne środka odcinka:
    
    a) AB jeśli A=(-2,-4) B=(4,6)
    
    b) CD jeśli $C=\left (-\sqrt{2},-3 \right )$ $D=\left ( \sqrt{2}+2,\sqrt{3}+3 \right )$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz współrzędne punktu K wiedząc, że środkiem odcinka MK jest punkt S=(-1,3) i M=(2,5)
  - Zadanie 3.
    Dane są punkty A=(x,-2) B=(7,y). Oblicz długość odcinka AB, jeżeli jego środkiem jest punkt K=(2,1)
  - Zadanie 4.
    W równoległoboku dane są sąsiednie wierzchołki A=(4,2), B=(1,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku oraz jego obwód, jeżeli przekątne przecinają się w punkcie S=(0,3)
- Równanie kierunkowe i równanie ogólne prostej na płaszczyźnie
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty
    
    a) A=(1,3) B=(-3, -5)
    
    b) C=(-4,-2) D=(1,3)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AB jeśli:
    a)
    b) $A=(\sqrt{2},2),B=(\sqrt{3},-3)$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie kierunkowe prostej CD, jeżeli C=(-2,4) D=(3,-5) korzystając ze wzoru y = a(x – x_o) + y_o
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli A=(-1,-4) B=(2,5)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz równanie ogólne prostej AB jeżeli a) A=(-1,-4) B=(2,-4) b) A=(-3,5) B=(-3,-2)
- Proste równoległe
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y =2x -3 i przechodzącej przez punkt A=(-3,4)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x + 4y – 7 = 0 i przechodzącej przez punkt A=(2,4)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD równoległoboku ABCD wiedząc, że A=(-2,-3) B=(3,1) C=(1,4)
  - Zadanie 4.
    Dla jakiej wartości parametru m proste o danych równaniach są równoległe
    a) y = -3x – 4 i y = ( m² – 4 )x -7
    b) ( m – 2 )x -3y +4 = 0 i y = 3x -6
  - Zadanie 5.
    Sprawdź czy czworokąt o wierzchołkach A=(-5,-3) B=(4,-1) C=(7,4) D=(-2,2) jest równoległobokiem.
- Proste prostopadłe
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = -2x – 3 i przechodzącej przez punkt A=(5,4)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x-4y+3=0 i przechodzącej przez punkt B=(-1,4)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
    a) y=3 i przechodzącej przez punkt C=(-2,4)
    b) x=2 i przechodzącej przez punkt A=(-4,1)
  - Zadanie 4.
    Sprawdź algebraicznie czy trójkąt ABC jest prostokątny jeśli A=(-2,-1) B=(0,-3) C=(4,5)
  - Zadanie 5.
    Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte przekątne tego rombu, jeżeli A=(-2,-6) B=(5,-3) C(8,4)
  - Zadanie 6.
    Punkty A=(0,0) i C(2,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD, którego przekątna BD zawarta jest w prostej o równaniu $y=-\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}$ . Uzasadnij, że prostokąt jest kwadratem.
  - Zadanie 7.
    Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość w trójkącie ABC opuszczoną z wierzchołka B, jeśli A=(-3,-2) B=(4,1) C=(2,5)
  - Zadanie 8.
    Wyznacz równanie symetralnej odcinka CD, jeśli C=(-3,2) D=(5,6)
  - Zadanie 9.
    Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach $y=(m^{2}-5m+6)x+3\, \, i\, \, y=-\frac{1}{2}x-5$ są prostopadłe ?
  - Zadanie 10.
    Punkty A=(2,5) i C(6,7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
  - Zadanie 11.
    Punkty A=(2,0) i B=(12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz współrzędne punktu C.
  - Zadanie 12.
    Okrąg ośrodku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.
- Odległość punktu od prostej
  - Zadanie 1.
    Oblicz odległość punktu:
    
    a) P=(-1,3) od prostej o równaniu 3x – 4y + 6 = 0
    
    b) A=(2,-3) od prostej o równaniu $y=\frac{2}{3}x-1$
  - Zadanie 2.
    Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A=(-1,0) B=(1,2) C=(2,-2)
  - Zadanie 3.
    Podstawa AB trójkąta ABC jest zawarta w prostej l o równaniu y=3x+6. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że punkty A i B są punktami przecięcia prostej l z osiami układu współrzędnych i C=(2,-4)
  - Zadanie 4.
    Punkty A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu $y=\frac{3}{5}x-6$ z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D=(1,4)
  - Zadanie 5.
    Oblicz odległość między prostymi o równaniach $3x-2y-4=0\, \, i\, \, y=\frac{3}{2}x+1$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej m: y = 2x -3, jeżeli odległość między tymi prostymi jest równa 4.
- Symetria osiowa i symetria środkowa
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(-2,3) w symetrii względem:
    a) osi OX
    b) osi OY
    c) punktu (0,0)
    d) punktu (-3,5)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu (x -3)² + (y +4)² = 25 w symetrii względem osi
    a) OX
    b) osi OY
    c) punktu (0,0)
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem
    a) osi OX
    b) osi OY
    c) punktu A=(0,0)
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie prostej będącej obrazem prostej o równaniu y = -2x +1 w symetrii względem punktu A=(-1,-3)
  - Zadanie 5.
    Wyznacz a i b wiedząc, że punkt A’=(-a+2,4) jest obrazem punktu A=(-5,b+3) w symetrii względem a) osi OX b) osi OY
- Równanie okręgu
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równanie okręgu:
    
    a) o środku w punkcie S=(-1,3) i promieniu 3
    
    b) o środku S=(2,-3), wiedząc, że przechodzi on przez punkt A=(-4,5)
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB gdzie A=(1,2) B=(7,2)
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru k punkt P=(-6,-1) należy do okręgu o środku w punkcie S=(k,-1) i promieniu 4?
  - Zadanie 4.
    Wyznacz promień i współrzędne środka okręgu o równaniu
    a) x² + y² +2x +10y – 10 = 0
    b) x² + y² -4x = 0
  - Zadanie 5.
    Sprawdź czy podane równanie jest równaniem okręgu
    a) x² + y² + 6x – 4y +13 = 0
    b) x² + y² – x – 3y +3 = 0
  - Zadanie 6.
    Wyznacz równanie okręgu o promieniu $r=3\sqrt{5}$ przechodzącego przez punkty A=(2,1) B(2,-5)
  - Zadanie 7.
    Prosta $l:y=\frac{1}{2}x+4$ jest styczną do okręgu, którego środkiem jest punkt A=(-3,0). Wyznacz długość promienia i zapisz równanie tego okręgu.
  - Zadanie 8.
    Ile punktów wspólnych z okręgiem o równaniu (x -3)² + (y + 2)² = 4 ma prosta o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+3$
- Wektory w układzie współrzędnych
  - Zadanie 1.
    Dane są punkty A=(-1,-3), B=(5,1), C=(2,8). Oblicz
    a) współrzędne wektorów $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}$ b) długości wektorów $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}$
  - Zadanie 2.
    Dane są punkty A=(-2,0), B=(3,5), C=(6,4) .Wyznacz współrzędne punktu D, tak aby wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ były równe.
  - Zadanie 3.
    W równoległoboku ABCD dane są A=(-6,-3), B=(5,-1), C=(2,4). Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
  - Zadanie 4.
    Wyznacz współrzędne wektora $\vec{a}=2\cdot \vec{u}+3\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}\cdot \vec{w}$ jeżeli $\vec{u}=\left [ -1,3 \right ],\vec{v}=\left [ 2-4 \right ],\vec{w}=\left [ 6,-2 \right ]$
  - Zadanie 5.
    Udowodnij, że środkiem odcinka AB, gdzie $A=(x_{A},y_{A})$ , $B=\left ( x_{B},y_{B} \right )$ jest punkt $S=\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right )$ .
  - Zadanie 6.
    Na odcinku AB wyznacz taki punkt P, aby spełniony był warunek |AP|:|PB|=3:1 wiedząc, że A=(-2,3), B=(6,5).
  - Zadanie 7.
    Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC, jeżeli A=(2,2), B=(0,-2), C=(5/2,-3).
  - Zadanie 8.
    Punkty A, B, C nie są współliniowe i leżą w układzie współrzędnych. Punkty M, N są odpowiednio środkami odcinków AB i AC, a punkt P jest środkiem odcinka MN. Wykaż, że dla dowolnego punktu O, różnego od wymienionych punktów, zachodzi równość $2\cdot\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\cdot \overrightarrow{OP}$
  - Zadanie 9.
    W równoległoboku ABCD, punkt K dzieli bok CD w stosunku 4:1 licząc od punktu C, zaś punkt L dzieli przekątną BD w stosunku 5:1 licząc od punktu B. Udowodnij, że punkty A, K, L są współliniowe wiedząc, że A=(-5,-3), B=(5,-8), C=(9,-1), D=(-1,4).
  - Zadanie 10.
    Punkt M jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC, w którym A=(0,0), B=(6,0) , a punkt C ma obie współrzędne dodatnie.
    Udowodnij, że $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ .
  - Zadanie 11.
    Wyznacz równanie ogólne prostej k przechodzącej przez punkt P=(-12,9) wiedząc, że wektor $\vec{u}=\left [ 2,-3 \right ]$ jest prostopadły do prostej k.
  - Zadanie 12.
    Wyznacz, wykorzystując wektory, równanie symetralnej odcinka AB, jeżeli A=(-2,4), B=(6,8).
  - Zadanie 13.
    W trójkącie ABC dany jest wierzchołek A=(-4,-1), środek S=(2,1) boku AB i wektor $\overrightarrow{BC}=\left [ -4,4 \right ]$ . Wyznacz równanie symetralnej boku BC.
  - Zadanie 14.
    Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(-2,-1), wektor $\overrightarrow{AB}=\left [ 8,4 \right ]$ , a punkt przecięcia środkowych M=(1,4). Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
  - Zadanie 15.
    W trójkąt równoboczny wpisano okrąg o środku w punkcie S=(3,-1). Wiedząc, że C=(1,-3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.
  - Zadanie 16.
    Bok AB trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu y = 2x + 2, a środkowa poprowadzona z wierzchołka C zawiera się w prostej x – 3y + 21 = 0. Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC wiedząc, że $\overrightarrow{BC}=\left [ 4,-2 \right ]$ .
  - Zadanie 17.
    Punkt S=(0,0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że $\overrightarrow{AB}=\left [ 4,3 \right ]$ i $\overrightarrow{BC}=\left [ 6,2 \right ]$
  - Zadanie 18.
    Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się bok ML trójkąta KLM, jeśli wiadomo, że K=(-6,-2), $\overrightarrow{KL}=\left [ 10,1 \right ]$ i środkowe trójkąta przecinają się w punkcie E=(0,0).
  - Zadanie 19.
    Prosta o równaniu y = -x + 3 przecina parabolę o równaniu y = x² -6x +7 w punktach A i B. Napisz równanie obrazu tej paraboli w przesunięciu o wektor $\overrightarrow{WA}+\overrightarrow{WB}$ , gdzie W jest wierzchołkiem danej paraboli.
- Prosta w układzie współrzędnych(2)
  - Zadanie 1.
    Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt A=(-2,3) nachylonej do osi OX pod kątem 30°.
  - Zadanie 2.
    Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez A=(4,-2) nachylonej do osi OX pod kątem 120°.
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równanie prostej AB wiedząc, że A=(-2,5), B=(3,-4), a następnie wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, kąt nachylenia tej prostej do osi OX.
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A=(-3,5), która tworzy z osią odciętych kąt o mierze dwa razy większej od kąta jaki tworzy z tą osią prosta o równaniu y = 2x – 7.
  - Zadanie 5.
    Dwa wierzchołki trójkąta równobocznego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = x² – 4x + 7 zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
- Kąt między prostymi
  - Zadanie 1.
    Wyznacz, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta ostrego między dwiema prostymi o równaniach y = 2x – 1 i y = -5x + 2.
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie prostej p, w której zawiera się ramię AC trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że podstawa AB zawiera się w prostej k: 3x + 2y – 12 = 0, ramię BC zawiera się w prostej
    l: x + 4 = 0 oraz punkt P=(1,-3) należy do ramienia AC.
  - Zadanie 3.
    Wyznacz miary kątów i równania prostych, w których zawierają się boki trapezu prostokątnego, jeśli wiadomo, że podstawa AB zawiera się w prostej k:y=x-1 , ramię AD zawiera się w prostej $l:y=\left ( 2-\sqrt{3} \right )x+4$ , zaś wierzchołek C=(6,13).
  - Zadanie 4.
    W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie AB. Podstawa AB zawiera się w prostej o równaniu y = -4, zaś ramię AD zawiera się w prostej o równaniu $y=\sqrt{3}x-2$ . Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe $9\sqrt{3}$ .
- Odległość punktu od prostej(2)
  - Zadanie 1.
    Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach 2x + y -5 = 0 i x – 2y = 0
  - Zadanie 2.
    Znajdź równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach x + y – 8 = 0 i 7x – y – 8 =0
  - Zadanie 3.
    Prosta k o równaniu 3x – 2y – 6 = 0 przecina okrąg o środku w punkcie S=(1,5) w punktach P i Q. Wyznacz równanie tego okręgu wiedząc, że $\left | PQ \right |=2\sqrt{13}$
- Styczna do okręgu
  - Zadanie 1.
    Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x² + y² = 4 przechodzących przez punkt P=(0,4).
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 równoległych do prostej o równaniu y – 2x = 0.
  - Zadanie 3.
    Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2)² + (y + 1)² = 9 prostopadłych do prostej o równaniu x + y + 1 = 0.
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu (x – 2√3)² + (y – 1)² = 16 nachylonych do osi pod kątem 120°.
  - Zadanie 5.
    Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu o równaniu x² + y² + 2x – 2y – 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A=(2,0).
  - Zadanie 6.
    Wyznacz równania okręgu o promieniu r = 3 stycznego jednocześnie do prostych o równaniach x + y = 0 i x – y = 0.
  - Zadanie 7.
    Do współśrodkowych okręgów poprowadzono styczne przecinające się w punkcie P=(0,4) jak na rysunku (rysunek w filmie).
    Mniejszy okrąg ma równanie x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0, a styczna do większego okręgu ma równanie 12x – 5y + 20 = 0.
    a) Oblicz grubość pierścienia b) Wykaż, że te styczne są prostopadłe.
- Wzajemne położenie dwóch okręgów
  - Zadanie 1.
    Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach (x – 2)² + (y + 3)² = 25 i x² + y² -2√3x + 2 = 0.
  - Zadanie 2.
    Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach x² + y² + 4x – 2y + 3 = 0 i x² + y² + 6x + 5 = 0.
  - Zadanie 3.
    Dla jakich wartości parametru okręgi o równaniach (x + 2)² + (y – m)² = 9 i (x + m)² + (y – 1)² = 4 mają tylko jeden punkt wspólny?
- Zbiory punktów o danej własności
  - Zadanie 1.
    Wyznacz zbiór punktów (x,y), których odległość od punktu A=(-6,2) i prostej o równaniu y + 4 = 0 jest jednakowa.
  - Zadanie 2.
    Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu (0,0) była dwa razy większa niż odległość od prostej o równaniu x – √3y = 0.
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że każdy punkt paraboli o równaniu $y=\frac{1}{4}{x^{2}}+1$ jest równoodległy od osi OX i od punktu F=(0,2).
  - Zadanie 4.
    Znajdź zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt A=(3,2) i stycznych do osi OX.
  - Zadanie 5.
    Wyznacz równanie krzywej, którą tworzą punkty jednakowo odległe od okręgu o równaniu x² + (y – 1)² = 1 i prostej o równaniu y + 1 =0.
  - Zadanie 6.
    Wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli o równaniu y = x² -1 przechodzących przez punkt A=(0,0).