fbpx
  • Język matematyki

    Ten etap to możliwość opanowania wiedzy dotyczącej zbiorów, przedziałów, metod rozwiązywania nierówności, a także praktycznego zastosowania wzorów skróconego mnożenia. Nauczysz się również oznaczać, obliczać wartość bezwzględną. Poznasz własności wartości bezwzględnej, jej interpretację geometryczną oraz sposoby rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną.

    • Zbiory

      • Zadanie 1.

        Czy zbiory A i B są równe jeśli : a)  A=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 27 \right \}  i  B=\left \{ x\in N:x^{2}\leq 30 \right \}  b) A=\left \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \right \}  i  B=\left \{ x\in C:x^{2}\leq 9 \right \}

      • Zadanie 2.

        Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli:
        a) A=\left \{ 1,3,5,7,11 \right \},B=\left \{ 0,1,2,3,4,7,10 \right \}
        b) A=\left \{ x\in N:1\leq x< 8 \right \},B=\left \{ x\in N:1< x\leq 16 \right \}

      • Zadanie 3.

        Wyznacz sumę , iloczyn ( część wspólną ) oraz różnicę zbiorów A i B jeżeli zbiór A jest zbiorem spółgłosek słowa arytmetyka, zbiór B zbiorem spółgłosek w słowie geometria, zbiór C zbiorem spółgłosek w słowie algebra

    • Przedziały

      • Zadanie 1.

        Wyznacz zbiór A\cup B  jeśli:
        a)  A=\left \langle -2, 3\right \rangle B=\left (0,6\right)
        b)  A=\left (-\infty \displaystyle,3\ \right \rangle    B=\left (-4 \displaystyle,1\ \right \rangle
        c)  A=\left ( -3,2\right ) B=\left \langle2,3 \right )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz zbiór A\cap B jeżeli:
        a) A=\left \langle -2,3 \right \rangle,B=\left ( 0,6 \right )  
        b) A=(-\infty ,5\rangle,B=(-4,1\rangle 
        c) A=\left ( -3,-2 \right ),B=\left \langle 2,5\right )
        d) A=\left ( -3, 2 \right \rangle,B=\left \langle 2, 5 \right )

      • Zadanie 3.

        Wyznacz zbiory A\setminus B,B\setminus A  jeżeli:
        a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,5 \right )  
        b)A=(-\infty ,6 \rangle,B=(-3,1\rangle 
        c) A=\left ( -3,2\right \rangle,B=\left \langle 2,5\right ) 

      • Zadanie 4.

        Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A jeżeli:
        a) A=\left \langle -4,2 \right \rangle,B=\left ( 0,4 \right )\cup \left ( 6,\infty \right )  
        b) A=\left ( -\infty ,-2 \right\rangle \cup \left \langle 1,7 \right),B=\left (-3,1 \right\rangle 

      • Zadanie 5.

        Wyznacz zbiory A\cup B,A\cap B,A\setminus B,B\setminus A jeżeli:
        a) A=\left \langle -4,0\cup \left \{ 3 \right \} \right \rangle,B=\left \langle 3,5 \right \rangle
        b) A=\left \langle 3,\infty\right),B=\left \{ 2,3,4 \right \} 

      • Zadanie 6.

        Ile elementów należy do zbioru X jeśli:
        a) X=\left ( -\pi ,\pi \right )\cap N 
        b) X=(-3,4\rangle\cap C 
        c) X=\left [ \left ( -3,4)\setminus \left \langle 1,5 \right \rangle \right ) \right ]\cap C

      • Zadanie 7.

        Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cap B^{'}  jeżeli:
        A=\left ( -3,0 \right ),B=\left \langle 1,3 \right \rangle

      • Zadanie 8.

        Wyznacz zbiory A^{'},B^{'},A^{'}\cup B^{'}  jeżeli:
        A=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,5 \right ),B=\left ( -5,-1 \right )

    • Rozwiązywanie nierówności

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż nierówności a) 3\left ( 2x-4 \right )< 4x+8    b) 4-2\left ( x-1 \right )< 3x+1 . Rozwiązanie zapisz przedziałem.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż nierówności a) \frac{2-3x}{3}\geq x-1  b) 1-\frac{3x+2}{5}\leq \frac{2-x}{3} . Rozwiązanie zapisz przedziałem.

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż nierówności a) 3\left ( x-2 \right )< \frac{1}{3}\left ( 9x-12 \right )  b) \frac{2-3x}{3}\geq -x+1

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż nierówność  \frac{2}{3}x-\frac{5x-2}{4}\leq -x+\frac{11}{6}. Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż nierówność podwójną  3\left ( -2-x \right )+1< -2x\leq -5x+1

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż nierówność podwójną  \frac{2-x}{5}\leq 3-x< 2x-9

      • Zadanie 7.

        Rozwiąż nierówności a) x+\sqrt{3}x< 2+2\sqrt{3}    b) x-\sqrt{5}\geq \sqrt{5}x-1

      • Zadanie 8.

        Rozwiąż nierówności a) 2x+3> \pi x   b) \sqrt{2}x-3\pi x\leq 3\pi ^{2}-\pi \sqrt{2}

      • Zadanie 9.

        Liczby x+1,2x+2,2x-2  są długościami boków trójkąta. Wyznacz do jakiego przedziału należy liczba x?

      • Zadanie 10.

        Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 5, jeżeli suma tych liczb jest większa od 110 i nie większa od 150.

    • Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

      • Zadanie 1.

        Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia a) \left ( 3x+4 \right )^{2}  b)  \left (2x^{2}-3 \right )^{2}  c) \left ( 2-3x^{2} \right )\cdot \left ( 2+3x^{2} \right )

      • Zadanie 2.

        Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
        a) \left ( -3x+4 \right )^{2}  
        b) \left ( -2x^{2}-3 \right )^{2} 
        c)  \left ( 2-3x^{2} \right )\left ( 3x^{2}+2 \right )

      • Zadanie 3.

        Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
        a) \left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )  
        b) \left ( 2x+1 \right )\left ( 4x^{2}+1 \right )\left ( 1-2x \right ) 
        c) \left ( x^{2}-2x+1 \right )\left ( x+1 \right )^{2}

      • Zadanie 4.

        Wykonaj działania, odpowiedź podaj w najprostszej postaci
        a) \left ( 2x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( 2x+\frac{1}{2} \right )^{2} 
        b) \left ( x^{3}-3x \right )^{2}-\left ( x^{3}-3x^{2} \right )^{2}-\left ( x^{3}-1 \right )\left ( x^{3}+1 \right )

      • Zadanie 5.

        Wyznacz iloczyn
        a) \left ( 2x-3 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )^{2} 
        b) \left ( 2x^{3}+x^{2} \right )^{2}\left ( x^{2}-2x^{3} \right )^{2}

      • Zadanie 6.

        Uzasadnij równość
        a) \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right ) 
        b) \left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2}=4xy

      • Zadanie 7.

        Oblicz wartość wyrażenia  
         \left ( x-3 \right )^{2}+\left ( 2x+1 \right )^{2}+5\left ( x+1 \right )\left ( 1-x \right ) 

        dla  x=\frac{15-\sqrt{2}}{2}

      • Zadanie 8.

        Oblicz 
        a) \left ( 2\sqrt{5}-\sqrt{10} \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{5}+1 \right )\left ( 1-2\sqrt{5} \right )

        b) \sqrt{4-2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}}

      • Zadanie 9.

        Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych:
        a=8+\sqrt{2},b=4-2\sqrt{2}

      • Zadanie 10.

        Oblicz
        a) \left ( \sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}} \right )^{2}  
        b) \left ( \sqrt{2+\sqrt{5}} +\sqrt{-2+\sqrt{5}}\right)^{2}

      • Zadanie 11.

        Wyprowadź wzór
        a) \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac 
        b) \left ( a-b-c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ac
        stosując wzory skróconego mnożenia.

      • Zadanie 12.

        Usuń niewymierność z mianownika
        a) \frac{1}{6+\sqrt{2}}    

        b) \frac{2}{4-3\sqrt{2}} 

        c) \frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3+2}} 

      • Zadanie 13.

        Usuń niewymierność z mianownika 

        \frac{1}{-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}

      • Zadanie 14.

        Oblicz

        \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}

      • Zadanie 15.

        Oblicz a) \left ( 2x+3 \right )^{3}   b) \left ( 1-3x \right )^{3}

      • Zadanie 16.

        Zapisz w postaci sumy algebraicznej
        a) \left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right ) 
        b)\left ( 2x^{2}-1 \right )\left ( 4x^{2}+2x^{2}+1 \right ) 
        c) \left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}+4 \right )

      • Zadanie 17.

        Usuń niewymierność z mianownika

        a) \frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}  b) \frac{5}{2-\sqrt[3]{3}}

      • Zadanie 18.

        Wyznacz x, podaj wynik usuwając niewymierność w mianowniku, jeżeli:
        2x-\sqrt{3}=x\sqrt{2}-3

    • Wartość bezwzględna

      • Zadanie 1.

        Oblicz a) \left | 2 \right |  b) \left | \frac{-1}{2} \right |  c) \left | -1+\sqrt{3} \right |  d) \left | 2\sqrt{2} -5\right |  e) \sqrt{\left ( \sqrt{3}-2 \right )^{2}}  f)  \sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \right )^{2}}

      • Zadanie 2.

        Wykaż, że:
        \sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}=2

      • Zadanie 3.

        Wykaż, że:
        \sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}=1

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż równanie
        a) \left | x-2 \right |=4 
        b) \left | x+3 \right |=2 
        c)  \left | x-3 \right |=0
        d) \left | x+5 \right |=-2

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż nierówność
        a) \left | x-2 \right |< 4 
        b) \left | x+3 \right |\leq 2 
        c) \left | x-3 \right |< -4

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż nierówność
        a) \left | x+2 \right |> 4  
        b) \left | x-2 \right |\geq 5 
        c)  \left | x-1 \right |> -4

      • Zadanie 7.

        Rozwiąż nierówność
        \left | x+1 \right |\geq \sqrt{\left ( 3-2\sqrt{3} \right )^{2}}-\sqrt{\left ( 2\sqrt{3}-2 \right )^{2}}

      • Zadanie 8.

        Uprość wyrażenie dla x< 0 
        a) \sqrt{\left ( x-3 \right )^{2}}-\sqrt{x^{2}}
        b) \sqrt{x^{2}-4x+4}+x

      • Zadanie 9.

        Wykaż, że wyrażenie przyjmuje stale tę samą wartość dla podanych wartości x
        a) \left | -x \right |+\left | 2-x \right |-\left | 3-2x \right | dla x\geq 2 
        b) \sqrt{x^{2}+6x+9}+\left | -x \right |-\left | -2x-6 \right | dla x\leq -3

      • Zadanie 10.

        Jakie liczby x spełniają równanie
        a) \left | x-3 \right |=x-3  
        b) \left | x+\sqrt{2} \right |=-x-\sqrt{2}