Ciągi • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Ciągi

Ciągi
Jeżeli potrzebujesz wiedzy z ciągów liczbowych, definicji ciągu, zagadnień związanych z ciągiem arytmetycznym, geometrycznym, a następnie utrwalenia tej wiedzy na potrzeby rozwiązywania zadań, zapoznaj się z nagraniami i przejdź do ćwiczeń.
- Sposoby określania ciągu
  - Zadanie 1.
    Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu
    a) a_n= 3n – n²
    b) a_n = (-1)ⁿ⁺¹·(n – 1)
  - Zadanie 2.
    Które wyrazy ciągu są równe zero
    a) a_n = 5n – n²
    b) $b_{n}=\frac{n^{2}-4}{n+3}$
  - Zadanie 3.
    Które wyrazy ciągu są dodatnie
    a) a_n = 2n – 10
    b) b_n = – n² – 7n – 10
    c) $c_{n}=\frac{4-n}{n+3}$
  - Zadanie 4.
    Wykres ciągu (a_n) jest zawarty w wykresie funkcji liniowej do którego należą punkty A=(3,4) B=(-2,-5). Wyznacz wzór ogólny ciągu.
  - Zadanie 5.
    Wykres ciągu $\left ( a_{n} \right )$ jest zawarty w prostej m prostopadłej do prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x-3$ . Wyznacz wzór ogólny ciągu wiedząc, że $a_{4}=8$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz te wyrazy ciągu $a_{n}=\frac{n+6}{n}$ , które są liczbami całkowitymi.
  - Zadanie 7.
    Wykres ciągu (a_n) jest zawarty w paraboli o wierzchołku W=(-2,4). Wiedząc, że przechodzi ona przez punkt A=(0,3) wyznacz wzór ogólny ciągu.
- Ciągi monotoniczne
  - Zadanie 1.
    Oblicz a_n+1 jeżeli:
    a) a_n = – 3n + n²
    b) a_n = (-1)ⁿ⁺¹·(n + 13)
  - Zadanie 2.
    Wykaż, że ciąg (a_n) jest rosnący
    a) a_n = 3n + 1
    b) a_n = n² + 3n
  - Zadanie 3.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest malejący
    a) $a_{n}=-\sqrt{3}n+1$
    b) $a_{n}=-4n^{2}+5$
  - Zadanie 4.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ nie jest monotoniczny, jeżeli:
    
    $a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{n^{2}}$
  - Zadanie 5.
    Dla jakich wartości k ciąg (a_n) jest rosnący jeśli: a_n = (2k – 1)n + 5
- Ciąg arytmetyczny
  - Zadanie 1.
    Oblicz czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego : 2, 5, 8, 11, . . .
  - Zadanie 2.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego : -2, -5, -8, -11, . . .
  - Zadanie 3.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym a₂ = 3, a₇ = 8.
  - Zadanie 4.
    Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego w którym
    a) a₁ = 3, a₇ = 8
    b) a₃ = 4, a₈ = 12
    c) r = -5, a₁₁ = 4
  - Zadanie 5.
    Wyznacz liczby m, k tak, aby liczby 1, k, 9, m tworzyły kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
  - Zadanie 6.
    Wstaw między liczby 1 i 25 pięć liczb tak, aby otrzymać ciąg arytmetyczny
  - Zadanie 7.
    Wyznacz x tak, aby liczby 2x – 1, 5, x + 3 tworzyły ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności)
  - Zadanie 8.
    Wykaż, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest arytmetyczny
    a) $a_{n}=-\sqrt{7}n-3$
    
    b) $a_{n}=\frac{2-3n}{5}$
  - Zadanie 9.
    Wykaż, że ciąg a_n = – n² + 4 nie jest arytmetyczny.
  - Zadanie 10.
    Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.
  - Zadanie 11.
    Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 10. Oblicz długości przyprostokątnych wiedząc, że długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny.
  - Zadanie 12.
    Miary kątów czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Największy z tych kątów to 135°. Oblicz miary pozostałych katów tego czworokąta.
  - Zadanie 13.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100
  - Zadanie 14.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych
  - Zadanie 15.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.
  - Zadanie 16.
    Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez 3.
  - Zadanie 17.
    Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego -24, -22, -20, … należy dodać , aby otrzymać liczbę 546?
  - Zadanie 18.
    Rozwiąż równanie 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + x = 190
  - Zadanie 19.
    Oblicz sumę S₁₀₀ciągu arytmetycznego, w którym a₂ = b², a₃ = (b +1 )², a₄– a₂ = 2 .
  - Zadanie 20.
    Wyznacz wzór ogólny rosnącego ciągu arytmetycznego (a _n) o wyrazach całkowitych wiedząc, że suma wyrazów siódmego i jedenastego wynosi 30, zaś iloczyn wyrazów drugiego i szóstego wynosi 9.
- Ciąg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego a) 1,3,9,27, … b) -2,-10,-50, …
  - Zadanie 2.
    Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego wiedząc, że:
    a) a₂ = 9 , a₅ = $\frac{1}{3}$
    b) a₃ = 4 , a₅ = 1
  - Zadanie 3.
    Wyznacz wzór ogólny monotonicznego ciągu geometrycznego wiedząc, że:
    a₂ · a₄= 1, (a₂)² + (a₃)² = 5.
  - Zadanie 4.
    Wykaż, ze ciąg dany wzorem
    a) $a_{n}=\frac{1}{5}\cdot 4^{n}$ b) b_n = 3^2n-1
    jest ciągiem geometrycznym.
  - Zadanie 5.
    Wyznacz x wiedząc, że liczby
    a) 36, x, $\frac{1}{9}$ b) 1, (x-2), 9
    są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
  - Zadanie 6.
    Oblicz S₇ ciągu geometrycznego, w którym
    a) a₁ = 3, q = -2 b) $a_{n}=2^{n+1}$
  - Zadanie 7.
    Ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a _n) w którym a₁ = 5 i q = 2 należy dodać , aby otrzymać 635 ?
  - Zadanie 8.
    Liczby x, 15, y są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby wiedząc, że ich suma wynosi 65.
  - Zadanie 9.
    Piłka odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość równą $\frac{3}{4}$ poprzedniej, a za trzecim razem wysokość 54 cm. Na jaką wysokość odbiła się piłka za pierwszym razem.
  - Zadanie 10.
    W pierwszym miesiącu Rafał roznosząc ulotki zarobił 440 zł. W każdym następnym miesiącu zarabiał o 5% więcej niż w miesiącu poprzednim. Ile złotych zarobił Rafał w 8 miesiącu pracy ?
- Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
  - Zadanie 1.
    Ciąg ( x, y, 12 ) jest geometryczny o wyrazach różnych od zera, natomiast ciąg ( 1, x, y-1 ) jest arytmetyczny. Oblicz x i y.
  - Zadanie 2.
    Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.
  - Zadanie 3.
    Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny maja pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.
  - Zadanie 4.
    Trzy liczby o sumie 15 tworzą ciąg arytmetyczny. Środkowa liczba zmniejszona o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
  - Zadanie 5.
    Trzy różne liczby, których suma równa się 63 tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby ?
- Procent składany
  - Zadanie 1.
    Trzy banki podają różne informacje o stopie procentowania: w Banku A: oprocentowanie w skali roku wynosi 14%, w Banku B oprocentowanie w skali roku wynosi 13%, ale odsetki dopisywane są co pół roku, w Banku C oprocentowanie w skali roku wynosi 12%, ale odsetki dopisywane są co kwartał. W którym z banków najkorzystniejsze jest umieszczenie rocznej lokaty w wysokości 10000 zł.
  - Zadanie 2.
    Firma X zaciągnęła w banku kredyt w wysokości 10000 zł. Co roku bank nalicza odsetki w wysokości 10%. Kredyt wraz z odsetkami ma być spłacony jednorazowo po n latach. Na ile lat został zaciągnięty kredyt, jeżeli firma X będzie musiała spłacić 13310 zł ?