• Geometria przestrzenna

    Jeżeli potrzebujesz wsparcia w opanowaniu wiedzy z dziedziny graniastosłupów i ostrosłupów, MATEMATYKA NA TAK to właściwy adres. Figury geometryczne w przestrzeni trójwymiarowej wymagają większej liczby obliczeń, dlatego pomagamy opanować umiejętność obliczania pola powierzchni bryły oraz jej objętości. Poznasz wzory, utrwalisz je i dowiesz się jak można zastosować zdobytą wiedzę w praktyce.

    • Graniastosłupy

      • Rodzaje graniastosłupów

        • Zadanie 1.

          Pewien graniastosłup ma 45 krawędzi. Ile ma wierzchołków i krawędzi bocznych ?

        • Zadanie 2.

          Ile krawędzi ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 18 mniejsza od liczby wierzchołków tego graniastosłupa?

        • Zadanie 3.

          Ile wierzchołków  ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 28 mniejsza od liczby krawędzi tego graniastosłupa?

        • Zadanie 4.

          Który z przedstawionych graniastosłupów prostych jest graniastosłupem prawidłowym? Odpowiedź uzasadnij ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 5.

          Oblicz długości krawędzi graniastosłupa prostego trójkątnego na podstawie danych z rysunku

        • Zadanie 6.

          Oblicz długość krawędzi graniastosłupa prostego, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 7.

          Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.

        • Zadanie 8.

          Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym  \alpha =30^{0} Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.

        • Zadanie 9.

          Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt \alpha =60^{0}. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.

        • Zadanie 10.

          Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600 ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

        • Zadanie 11.

          Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.

        • Zadanie 12.

          Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4. Oblicz długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa oraz długość dłuższej przekątnej podstawy.

      • Siatki graniastosłupów

        • Zadanie 1.

          W filmie przedstawiono siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Sporządź rysunek tego graniastosłupa.

        • Zadanie 2.

          Narysuj siatkę prostopadłościanu o wymiarach 1cm x 2 cm x 3 cm. Następnie oblicz pole tego prostopadłościanu.

        • Zadanie 3.

          Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.

        • Zadanie 4.

          Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.

      • Pola i objętości graniastosłupów

        • Sześcian

          • Zadanie 1.

            Pole sześcianu jest równe 216 cm2. Oblicz objętość tego sześcianu.

          • Zadanie 2.

            Objętość sześcianu jest równa 64 cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu oraz długość przekątnej sześcianu.

          • Zadanie 3.

            Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju oraz objętość sześcianu.

          • Zadanie 4.

            Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta DBC’ oraz pole sześcianu.

          • Zadanie 5.

            Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta KLM oraz objętość sześcianu.

        • Prostopadłościan

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 300 wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.

          • Zadanie 4.

            Oblicz objętość  prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60o, a długości podstaw to 5 cm i 12 cm.

          • Zadanie 5.

            Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

        • Graniastosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 300.

          • Zadanie 2.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300.

          • Zadanie 3.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 300.

          • Zadanie 4.

            Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.

          • Zadanie 5.

            Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

          • Zadanie 6.

            Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 48\sqrt{3} cm2. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.

        • Graniastosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt \alpha =30^{0}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi 32\sqrt{3}. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.

          • Zadanie 3.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi \frac{9\sqrt{3}}{4} .

          • Zadanie 4.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli długość wysokości podstawy jest równa \sqrt{3}.

        • Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

          • Zadanie 3.

            Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4\sqrt{3}. Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600 . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa 2\sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

        • Inne graniastosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 1200 i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.

          • Zadanie 2.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 300 i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.

          • Zadanie 3.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm2, następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadanie 4.

            Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym \alpha =60^{0}  Oblicz objętość tego graniastosłupa.

        • Zadania praktyczne

          • Zadanie 1.

            Krawędź podstawy pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm. Oblicz ile cm2 papieru należy zużyć, aby okleić całe pudełko, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 600. Podaj potrzebną ilość papieru doliczając 10% na ścinki. 

          • Zadanie 2.

            Skrzynka na kwiaty ma kształt graniastosłupa o podstawie trapezu równoramiennego ( odczytaj dane z rysunku w filmie ). Czy zmieści się w niej 30 dm3 ziemi?

          • Zadanie 3.

            Stodoła ma kształt przedstawiony na rysunku w filmie. Na strychu stodoły zgromadzono siano. Ile metrów sześciennych siana możemy zgromadzić na strychu, jeżeli możemy wykorzystać 90% objętości strychu?

          • Zadanie 4.

            Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 30 cm x 50 cm i wysokości 40 cm, wypełnionego wodą do \frac{3}{4} wysokości, wrzucono dwie kostki sześcienne o krawędzi podstawy 10 cm. O ile cm podniósł się poziom wody w akwarium?

    • Ostrosłupy

      • Rodzaje ostrosłupów

        • Zadanie 1.

          Pewien ostrosłup ma 35 wierzchołków. Ile krawędzi ma ten ostrosłup?

        • Zadanie 2.

          Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.

        • Zadanie 3.

          Oblicz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 2 cm, a krawędź boczna ma długość 5 cm.

        • Zadanie 4.

          Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.

        • Zadanie 5.

          Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 300. Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

        • Zadanie 6.

          Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600, a dłuższa przekątna podstawy ma długość 10 cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.

        • Zadanie 7.

          Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300, a krótsza przekątna podstawy ma długość 4\sqrt{3} cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości a wyraża się wzorem \frac{a\sqrt{6}}{3}

      • Siatki ostrosłupów

        • Zadanie 1.

          Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie trójkątnej ( rysunek w filmie ). Dwie ściany są prostopadłe do jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Zadanie 2.

          Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa czworokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

        • Zadanie 3.

          Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

      • Pola i objętości ostrosłupów

        • Ostrosłup prawidłowy czworokątny

          • Zadanie 1.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość 2\sqrt{2}, a krawędź boczna ma długość 3.

          • Zadanie 3.

            Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300, a obwód podstawy wynosi 8.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego ostrosłupa ma długość 10 cm.

          • Zadanie 6.

            W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 7.

            Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni bocznej jest równe 24 cm2.

          • Zadanie 8.

            Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.

        • Ostrosłup prawidłowy trójkątny

          • Zadanie 1.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.

          • Zadanie 4.

            Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa oraz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600. Oblicz objętość tej bryły.

          • Zadanie 6.

            Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej 18\sqrt{2} cm3.

        • Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

          • Zadanie 1.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300. Krótsza przekątna podstawy wynosi 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

        • Inne ostrosłupy

          • Zadanie 1.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS oraz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.

          • Zadanie 3.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa \frac{80}{3} , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.

          • Zadanie 4.

            Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

    • Sprawdź czy umiesz