• Szkoła podstawowa
  • Szkoła podstawowa

    • Liczby i działania na nich

      Często nawet proste działania na liczbach naturalnych, całkowitych, czy wymiernych sprawiają problem uczniom szkół podstawowych. Opanowanie tych umiejętności to przepustka do bardziej zaawansowanych dziedzin matematyki. W sposób przystępny tłumaczę zasady działań na liczbach, uczę logiki w wykonywaniu działań, pomagam stworzyć swoistą bazę, bez której ciężko poruszać się w świecie matematyki.

      • Liczby naturalne

        • Liczby pierwsze i liczby złożone

          • Zadanie 1.

            Podaj wszystkie liczby pierwsze a) mniejsze od 25 b) mniejsze od 33 i większe od 11

          • Zadanie 2.

            Zadanie 2. Podaj wszystkie liczby złożone a) mniejsze od 24 b) mniejsze od 30 i większe od 12

          • Zadanie 3.

            Oceń prawdziwość zdania a) suma pierwszych siedmiu liczb pierwszych jest parzysta b) iloczyn liczb pierwszych może być liczbą parzystą c) iloczyn dowolnych dwóch liczb pierwszych jest liczba złożoną

        • Podzielność liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Podaj wszystkie dzielniki naturalne liczby a) 38 b) 52

          • Zadanie 2.

            Oblicz ile dzielników naturalnych ma liczba 7200

          • Zadanie 3.

            Uzasadnij, że liczba  a) 123456789 jest podzielna przez 3 b) 268013570 jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 3

          • Zadanie 4.

            Uzasadnij, że liczba  12342345345645675678 jest podzielna przez 6.

          • Zadanie 5.

            Uzasadnij, że liczba  12345+234561+345672  jest podzielna przez 3

          • Zadanie 6.

            Uzasadnij, że liczba 111111111+333333333+666666666 jest podzielna przez 9

          • Zadanie 7.

            Uzasadnij, że liczba  a) 234567812 jest podzielna przez 4 b) 1234 +100000020 + 100000010 jest podzielna przez 4

          • Zadanie 8.

            Uzasadnij, że liczba  a) 123456 + 654321 + 15 dzieli się przez 5 b) 12341 +23452 + 34563 nie dzieli się przez 5

          • Zadanie 9.

            Uzasadnij, że liczba  1234567899876543210 dzieli się przez 90

          • Zadanie 10.

            Wyznacz cyfrę k, jeżeli liczba 123456789k876543210 dzieli się przez 9

        • NWD i NWW

          • Zadanie 1.

            Wyznacz największy wspólny dzielnik liczb a) 112 i 48 b) 96 i 144

          • Zadanie 2.

            Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a) 18 i 48 b) 72 i 108

          • Zadanie 3.

            Wyznacz a) NWD(x , y) oraz NWW(x, y) jeżeli: a) x = 60 y = 210 b) y = 348 x = 186

          • Zadanie 4.

            Oblicz  \frac{NWW(x,y)}{NWD(x,y)},  jeżeli  x=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7,y=3^{3}\cdot 5\cdot 7^{2} 

        • System dziesiątkowy zapisu liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Zapisz w systemie dziesiątkowym liczbę naturalną trzycyfrową , której cyfra setek to 2, cyfra dziesiątek jest trzy razy większa od cyfry setek, a liczba jedności jest o 3 mniejsza od cyfry dziesiątek

          • Zadanie 2.

            Karol zapisał pewna liczbę dwucyfrową. O ile zwiększy się ta liczba jeżeli: a) przed jej cyfrą dziesiątek dopiszemy cyfrę 7 b) po jej cyfrze jedności dopiszemy cyfrę 6

          • Zadanie 3.

            Cyfrą dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej jest cyfra a, cyfra jedności tej liczby wynosi b, zapisz symbolicznie tę liczbę oraz liczbę o przestawionych cyfrach.

          • Zadanie 4.

            Do liczby naturalnej dwucyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

          • Zadanie 5.

            Do liczby naturalnej trzycyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

          • Zadanie 6.

            Suma cyfr pewnej liczby naturalnej dwucyfrowej wynosi 9. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną dwucyfrową o 45 większą od liczby początkowej. Jaka liczba dwucyfrowa spełnia warunki zadania?

          • Zadanie 7.

            Suma cyfry setek i jedności  pewnej liczby naturalnej trzycyfrowej wynosi 10, cyfra dziesiątek jest równa 2. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną trzycyfrową o 396 większą od liczby początkowej. Jaka liczba naturalna trzycyfrowa spełnia warunki zadania?

        • System rzymski zapisu liczb naturalnych

          • Zadanie 1.

            Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 52 b) 110 c) 1530

          • Zadanie 2.

            Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 45 b) 498 c) 989

          • Zadanie 3.

            Rok urodzenia Marka w systemie rzymskim to MCMLXXXVIII. Zapisz rok urodzenia w systemie dziesiątkowym.

          • Zadanie 4.

            Pewien filozof grecki urodził się w roku CDLXIX p.n.e., a zmarł w roku CCCXCIX p.n.e.. Oblicz ile żył lat ten filozof.

          • Zadanie 5.

            W jakich latach, w systemie dziesiątkowym, budowano katedrę w Krakowie, jeżeli lata budowy w systemie rzymskim to MCCCXII – MCCCLXIV

      • Liczby całkowite

        • Zadanie 1.

          Podaj wszystkie liczby całkowite ujemne a) większe od -5 b) większe od -8 i mniejsze od -4

        • Zadanie 2.

          Zaznacz na osi liczbowej liczby całkowite, które są: a) dodatnie i nie większe od 6 b) nieparzyste ujemne i większe od -10

        • Zadanie 3.

          Wyznacz liczbę przeciwną do liczby a) -5  b) -3-(-4)  c)  -7+(-2)\cdot (-1)

        • Zadanie 4.

          Wyznacz wartość bezwzględną liczby , jeżeli:
          a)  a=(-16):(-8)-(-3)\cdot (-2)-(-3) 
          b)  a=(-1)\cdot (-8)-(-2)\cdot (-2)-(-3)\cdot 0

        • Zadanie 5.

          Oblicz a) o ile liczba 144 jest większa od liczby 72 b) ile razy liczba 72 jest większa od liczby 12

        • Zadanie 6.

          Wykonaj obliczenia stosując zasady dotyczące kolejności działań:
          (207+495:15):(27\cdot 3:9-3)

      • Liczby wymierne

        • Zadanie 1.

          Skróć ułamek a) \frac{128}{18}  b) \frac{255}{25}  c) \frac{36}{216} 

        • Zadanie 2.

          Rozszerz ułamek do mianownika równego x, jeżeli:

          a) \frac{3}{8} , x =32  b) \frac{13}{18} , x = 72

        • Zadanie 3.

          Przedstaw w postaci liczby mieszanej ułamek:

          a) \frac{48}{3}   b) -\frac{130}{32}

        • Zadanie 4.

          Przedstaw liczbę mieszaną w postaci ułamka zwykłego (niewłaściwego )

          a) 2\frac{4}{23}   b) -13\frac{13}{32} 

        • Zadanie 5.

          Wyznacz najmniejszy wspólny mianownik ułamków:

          a) \frac{7}{18}    i   \frac{5}{9}   b) \frac{9}{28}   i \frac{1}{12}

        • Zadanie 6.

          Porównaj ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika

          a) \frac{7}{18}  i  \frac{11}{13}   b) \frac{5}{18}  i \frac{7}{22}

        • Zadanie 7.

          Wykonaj działania na ułamkach, wynik przedstaw w najprostszej postaci:

            a) \frac{1}{18}+\frac{13}{18}    b) \frac{1}{18}-\frac{4}{27}   c) \frac{1}{8}-\frac{5}{4}+\frac{17}{12} 

        • Zadanie 8.

          Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

          a) 2\frac{1}{9}+\frac{13}{9}  

          b) 3\frac{1}{18}-2\frac{4}{27}  

          c) 1\frac{1}{3}-\frac{5}{9}+\frac{17}{12} 

        • Zadanie 9.

          Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

          a) \frac{1}{9}\cdot \frac{13}{9}  

          b) \frac{1}{18}\cdot \frac{9}{25}  

          c) 1\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{18}{15} 

        • Zadanie 10.

          Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

          a) \frac{1}{9}:\frac{13}{9}  

          b) \frac{1}{18}:\frac{5}{36}  

          c)  1\frac{1}{3}:\frac{4}{5}:\frac{18}{15}

        • Zadanie 11.

          Oblicz

          a) \left ( \frac{2}{7}+\frac{5}{21} \right )\cdot \frac{42}{11} 

          b) \left ( 1\frac{2}{7}-\frac{5}{14} \right ):\frac{13}{28}

        • Zadanie 12.

          Oblicz

          a) \frac{\left ( \frac{2}{3}+\frac{5}{21} \right )\cdot \frac{2}{3}}{\frac{38}{63}}  

          b) \frac{\left ( 1\frac{2}{3}-\frac{5}{9} \right )\cdot \frac{20}{27}}{\frac{3}{7}\cdot 1\frac{3}{4}}

        • Zadanie 13.

          Oblicz wartość wyrażenia dla x=-\frac{1}{3},y=\frac{3}{4},z=1\frac{1}{5}  

          a) \frac{x+y-z}{x+z} 

          b) \frac{3x+2y-z}{x-y+z}   

        • Zadanie 14.

          Udowodnij, że \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\cdot \left ( n+1 \right )} 

          Oblicz wartość wyrażenia  \frac{1}{10\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 12}+\frac{1}{12\cdot 13}+\frac{1}{13\cdot 14}  na podstawie udowodnionego wzoru.

        • Zadanie 15.

          Oblicz wartość a=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}}   . Zapisz liczbę odwrotną do a

        • Zadanie 16.

          Oblicz
          a) 0,2\cdot 1,3  
          b) 0,125:1,5  
          c) -4,8:1,2\cdot 0,5

        • Zadanie 17.

          Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,7777… b) 1,(6)

        • Zadanie 18.

          Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,(17) b) 3,(29)

        • Zadanie 19.

          Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,(123) b) 2,(235)

        • Zadanie 20.

          Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,0(3) b) 1,0(7)

        • Zadanie 21.

          Zaokrąglij liczbę 0,234579 z dokładnością do części
          a) setnych
          b) dziesięciotysięcznych
          c) jedności.
          Czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy niedomiarem ?

        • Zadanie 22.

          Zamień ułamek zwykły \frac{3}{7} na postać dziesiętną, zaokrąglij wynik z dokładnością do części
          a) tysięcznych
          b) stutysięcznych
          Czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy niedomiarem?

        • Zadanie 23.

          Oblicz wartość wyrażenia

          \frac{4,275+1\frac{1}{8}}{\frac{21}{40}-0,3}-\frac{\left ( 4,45-2\frac{1}{2} \right ):0,3}{\left ( 2,323+0,177 \right )\cdot 20} 

          Zaokrąglij wynik z dokładnością do całości.

        • Zadanie 24.

          Oblicz wartość wyrażenia   

          \frac{125\frac{9}{16}-118\frac{3}{4}+0,5}{0,0001:0,005}-362\frac{5}{8}

        • Zadanie 25.

          Podaj przykład liczby a spełniającej warunek

           \frac{3}{11}< a< \frac{4}{11} . Wyznacz odwrotność liczby a.

      • Sprawdź czy umiesz

    • Potęgowanie

      Poznaj definicję potęgi i reguły związane z potęgowaniem. Czy to podstawowe działania na potęgach, czy bardziej skomplikowane obliczenia, wszystkiego możesz się nauczyć w tempie przystosowanym do Twoich predyspozycji. Zdobyte umiejętności sprawdzisz, rozwiązując ćwiczenia o różnym stopniu trudności, skonstruowane w oparciu o poznany materiał.

      • Potęga o wykładniku naturalnym

        • Zadanie 1.

          Oblicz:  a) \left ( \frac{2}{5} \right )^{3}  b) \left ( -3 \right )^{2} 

          c) \left ( -5 \right )^{3}   d) \left ( -\frac{2}{5} \right )^{0} e)  0^{0}

        • Zadanie 2.

          Porównaj liczby:

          a) 5^{30} i 5^{36} b) \left ( \frac{1}{3} \right )^{5} i \left ( \frac{1}{3} \right )^{4}

          c) \left ( -2 \right )^{5}  i  \left ( -2 \right )^{7}  d) \left ( -\frac{1}{2} \right )^{5}  i  \left ( -\frac{1}{2} \right )^{7}

        • Zadanie 3.

          Uporządkuj potęgi rosnąco:

          a) \left ( \frac{1}{2} \right )^{4} , \left ( \frac{1}{2} \right )^{7} , \left ( \frac{1}{2} \right )^{3} 

          b)  5^{7}5^{5}5^{10} 

          c) \left ( -\frac{1}{3} \right )^{5} ,  \left ( -\frac{1}{3} \right )^{3}

        • Zadanie 4.

          Dla jakich liczb naturalnych n liczba 5^{n} jest większa od 500?

      • Wykonywanie zadań w których występuje potęgowanie

      • Działania na potęgach

        • Zadanie 1.

          Zapisz iloczyn w postaci jednej potęgi:

          a) 3^{10}\cdot3^{20} b) \left ( -5 \right )^{100}\cdot \left ( -5 \right )^{101}  

          c) \left ( \frac{1}{7} \right )^{4}\cdot\left ( \frac{1}{7} \right )^{5}\cdot \left ( \frac{1}{7} \right )^{11} 

          d) a^{4}\cdot a^{5}\cdot a^{6}\cdot a^{7}

        • Zadanie 2.

          Zapisz iloraz w postaci jednej potęgi o wykładniku naturalnym

          a) 3^{10}:3^{8}  b) \left ( -5 \right )^{103}:\left ( -5 \right )^{101}  c) \frac{a^{3}\cdot a^{7}}{a^{8}}

        • Zadanie 3.

          Zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi o wykładniku naturalnym

          a) \frac{3^{15}\cdot 3^{10}}{3^{20}\cdot 3^{3}}  

          b) \frac{\frac{5}{4}\cdot \left ( 1\frac{1}{4} \right )^{3}}{\left (\frac{5}{4} \right )^{3}}

        • Zadanie 4.

          Oblicz
          a) \frac{49\cdot 7^{4}:7^{2}}{7\cdot 7^{3}} 

          b) \frac{x^{9}\cdot x^{5}:x^{4}}{x^{20}:x^{16}}

        • Zadanie 5.

          Zapisz wyrażenie w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą pierwszą
          a) \left ( 16^{3} \right )^{4} 
          b) \left ( \left ( 27 \right )^{7} \right )^{3}

        • Zadanie 6.

          Uporządkuj liczby

           \left ( \frac{4}{3} \right )^{5},\left ( \frac{16}{9} \right )^{3},\left ( \frac{4}{3} \right )^{12}:\left ( \frac{4}{3} \right )^{4}

          rosnąco, zapisując każdą z liczb w postaci a^{x}.

        • Zadanie 7.

          Uporządkuj liczby

          \left ( \frac{2}{5} \right )^{4},\left ( \frac{4}{25} \right )^{3},\left ( \frac{2}{5} \right )^{12}:\left ( \frac{2}{5} \right )^{4}

          rosnąco, zapisując każdą z liczb w postaci a^{n},\, \, gdzie \, \, n\in N.

        • Zadanie 8.

          Oblicz
          a) \frac{64^{5}\cdot 256^{4}}{512^{6}} 

          b) \frac{25^{5}\cdot 125^{3}}{625^{4}}

        • Zadanie 9.

          Zapisz w postaci jednej potęgi
          a ) połowę liczby 16^{5} 
          b) trzecią część liczby 27^{5}\cdot 81^{9}

        • Zadanie 10.

          Przedstaw iloczyn w postaci jednej potęgi o wykładniku naturalnym
          a) 51^{12}\cdot \left ( \frac{1}{17} \right )^{12}  

          b) \left ( -\frac{1}{36} \right )^{5}:\left ( \frac{4}{125} \right )^{5}

        • Zadanie 11.

          Przedstaw potęgę w postaci iloczynu potęg, których podstawą są liczby pierwsze
          a) 54^{9}   b)  500^{10}

        • Zadanie 12.

          Przedstaw iloraz w postaci jednej potęgi o wykładniku naturalnym
          a) 5^{11}:7^{11} 

          b) \left ( \frac{2}{5} \right )^{5}:\left ( \frac{4}{125} \right )^{5}

        • Zadanie 13.

          Oblicz
          a) 72^{4}:24^{3} 

          b) 100^{2}\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{4}

        • Zadanie 14.

          Oblicz
          a) \frac{27^{3}\cdot 8^{5}}{6^{7}} 

          b) \frac{-256\cdot 25^{2}\cdot \left ( -7 \right )^{0}}{125\cdot 4^{3}}

        • Zadanie 15.

          Oblicz

          a) \left ( \left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\cdot 5^{5} \right )^{3}

          b) \frac{7^{50}+7^{50}+7^{50}+7^{50}+7^{50}+7^{50}+7^{50}}{\left (7^{25} \right )^{2}}

        • Zadanie 16.

          Która z liczb jest większa
          a) 17^{24}\, \, czy\, \, 2^{96}   
          b) 2^{57}\, \, czy\, \, 3^{38} 
          c)  2^{100}\, \, czy\, \, 10^{30}

        • Zadanie 17.

          Wykaż, że liczba 2^{47}+4^{24}+8^{15} jest podzielna przez 13

        • Zadanie 18.

          Oblicz
          a) \frac{2\cdot 5^{16}-9\cdot 5^{15}}{25^{7}}  

          b) \frac{10\cdot 4^{30}+3\cdot 2^{61}}{8^{21}}

        • Zadanie 19.

          Oblicz
          a) \left ( \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}} \right )^{3}

          b) \left ( \frac{2^{2n+1}\cdot 2^{5}}{2^{2n+2}} \right )^{2}

        • Zadanie 20.

          Udowodnij, że liczba 10^{25}+8  jest podzielna przez 9.

      • Sprawdź czy umiesz

    • Pierwiastkowanie

      Jak znaleźć liczbę, która podniesiona do określonej potęgi da liczbę pod pierwiastkiem? To i inne zagadnienia z dziedziny pierwiastkowania poznasz od podstaw, aby poradzić sobie również z zadaniami na wyższym poziomie i na kolejnych szczeblach edukacji. Przy okazji powtórzysz tabliczkę mnożenia, utrwalisz ją, aby jej używanie stało się naturalne.

      • Pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny

        • Zadanie 1.

          Oblicz pierwiastki kwadratowe z liczb:

          a) 16 b) 0 c) 1 d) 2,25

          e) 0,0001  f) \frac{4}{25}  g) 6\frac{1}{4}

        • Zadanie 2.

          Oblicz pierwiastki sześcienne z liczb:

          a) 27 b) 0 c) 1 d) -125

          e) 0,001 f) \frac{8}{125}  g) -3\frac{3}{8}

        • Zadanie 3.

          Oblicz długość boku kwadratu , którego pole wynosi:
          a) 400 cm2 b) 0,04 m2

        • Zadanie 4.

          Oblicz długość boku sześcianu , którego objętość wynosi a) 8000 cm3 b) 0,216 m3

      • Wykonywanie działań w których występuje pierwiastkowanie

      • Prawa działań na pierwiastkach

      • Sprawdź czy umiesz

    • Wyrażenia algebraiczne

      Kolejny etap zmagań z matematyką to połączenie liter oraz liczb, pozwalających zapisać określone wartości. Tutaj również występować mogą potęgi oraz pierwiastki, a także różne stałe oraz zmienne, dlatego w przypadku braków z powyższych dziedzin nadrobimy także i te zaległości. Z wyrażeniami algebraicznymi spotkasz się też przy poszczególnych wzorach i twierdzeniach.

      • Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

        • Zadanie 1.

          Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego:
          a) x^{2}-2x dla x=-2
          b) a^{2}-3b+c dla a=-1,b=2,c=5

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartość wyrażenia algebraicznego:
          a) \left ( 2x-1 \right )^{2}  dla x=-\frac{1}{2}  
          b) \left ( x-\frac{1}{5} \right ): \left ( x+\frac{1}{5} \right ) dla x=\frac{1}{5}

        • Zadanie 3.

          Zadanie 3. Magda kupiła x cukierków, a Kasia 3 razy więcej. Jadąc do domu Kasia zgubiła 5 cukierków, a w domu oddała połowę cukierków Magdzie.
          a) Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych liczby  cukierków, które ma każda z dziewcząt.
          b) Wiedząc, że Magda kupiła 15 cukierków, oblicz ile cukierków ma każda z dziewcząt

      • Jednomiany

        • Zadanie 1.

          Które z podanych wyrażeń są jednomianami
          a) x+2y   b)  2x^{2}   c)  \frac{x\cdot y}{3}   d)  \frac{4}{5}

        • Zadanie 2.

          Oblicz wartość liczbową jednomianu:

          a) \frac{1}{5}x^{2}y  dla x=\sqrt{5},y=125 

          b) -3a^{3}b^{2}c dla a=\sqrt[3]{8},b=-1,c=\frac{1}{9}

        • Zadanie 3.

          Wykonaj redukcję wyrazów podobnych
          a) 13ab-2a-3ab+3a  
          b) 4x^{3}y-3y^{2}+2yx^{3}+4y^{2}

        • Zadanie 4.

          Wykonaj redukcję wyrazów podobnych w wyrażeniu 4a^{2}-3a-5a^{2}+7a-1, następnie oblicz wartość wyrażenia dla a=-2^{2}

        • Zadanie 5.

          Pani Zofia ma x lat, a jej mąż jest o 8 lat od niej starszy. Ich córka ma połowę lat mamy, a jej brat jest od niej starszy o 5 lat
           a) Opisz wyrażeniem algebraicznym wiek każdego członka rodziny
           b) Napisz w najprostszej postaci sumę lat wszystkich członków rodziny

        • Zadanie 6.

          Cyfrą dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest  jej cyfra jedności jest dwa razy większa od cyfry dziesiątek, cyfra setek jest o 1 mniejsza od cyfry jedności. Zapisz liczbę trzycyfrową w postaci wyrażenia algebraicznego.

      • Mnożenie wielomianu przez jednomian

        • Zadanie 1.

          Wykonaj mnożenie:
          a) 3(2x-5) 
          b) \left (-5+4a \right )\cdot \left ( -2 \right ) 
          c) -3\cdot \left [ \left ( -y-1 \right )\cdot \left ( -2 \right ) \right ]

        • Zadanie 2.

          Wykonaj mnożenie:

          a) \frac{1}{3}\cdot \left ( 3x-6 \right ) 

          b) \left ( -\frac{3}{2}+\frac{5}{2}a \right )\cdot \left ( -2 \right ) 

          c) -12\cdot \frac{2x-3}{6}  

          d) \frac{3a-4}{7}\cdot \left ( -14 \right )

        • Zadanie 3.

          Wykonaj dzielenie
          a) \left ( 3x-6 \right ):\frac{1}{2} 

          b) \left ( -\frac{3}{2}+\frac{5}{2}a \right ):\left ( -\frac{1}{4} \right )

           c) \frac{2x-12}{6} 

          d) \frac{3a-4}{-7}

        • Zadanie 4.

          Wykonaj mnożenie
          a) -b\cdot \left ( b^{2}-2b-3 \right ) 
          b) ab\cdot \left ( 2a-3b \right ) 
          c) -3x^{2}y\cdot \left ( xy-2x+5y \right )

        • Zadanie 5.

          Wykonaj mnożenie
          a) 15xyz\cdot \left ( \frac{xy}{3}+\frac{xz}{5}-\frac{yz}{15} \right ) 
          b) -\frac{2}{3}ab^{2}c^{3}\cdot \left ( 6a^{2}b-12b^{3}c+15ab^{2} \right )

        • Zadanie 6.

          Wykonaj mnożenie -2x\cdot \left ( -x^{2}+2x-1 \right ), a następnie oblicz wartość wyrażenia dla x=-1

      • Wyłączanie czynnika przed nawias

        • Zadanie 1.

          Wyłącz przed nawias możliwie największą liczbę naturalną
          a) 12x-6y 
          b) 7-21ab 
          c) 46x^{2}-69y^{3}

        • Zadanie 2.

          Wyłącz przed nawias liczbę a jeżeli:
          a) \frac{2}{3}x-\frac{4}{9}  , a=\frac{2}{3} 

          b) 2\frac{3}{4}y+1\frac{1}{4}x,a=\frac{1}{4} ,

          c) \frac{4}{5}x^{2}-0,4,a=\frac{2}{5}

        • Zadanie 3.

          Wyłącz przed nawias liczbę  jeżeli:
          a) -\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}, a=\frac{2}{3}  

          b) -2\frac{3}{4}y+1\frac{1}{4}x,a=-\frac{1}{4}

           c) -\frac{4}{5}x^{2}-0,6,a=-\frac{2}{5}

        • Zadanie 4.

          W liczniku wyłącz przed nawias liczbę stojącą w mianowniku, następnie uprość wyrażenie
          a) \frac{48-12}{12} 

          b) \frac{45ab-15}{15} 

          c) \frac{-36xy-24}{12}

        • Zadanie 5.

          Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, następnie oblicz wartość wyrażenia
          a) a^{2}b^{2}-a^{2}b+ab^{2},\,\, dla\,\, a=-2,b=-1
          b) 11x^{2}-22x,\, dla\, \, x=-\frac{1}{11}

        • Zadanie 6.

          Wiedząc, że 3a-b=4, oblicz wartość wyrażenia:
          a) -3a+b  
          b) -6a+2b-3 
          c) \frac{b-3a-6}{10}

        • Zadanie 7.

          Podaj w postaci wyrażenia algebraicznego
          a) długość boku kwadratu o obwodzie 2x^{2}-16x-8 
          b) długość boku sześcianu wiedząc, że suma wszystkich krawędzi to 48z-24 
          c) długość obwodu prostokąta o bokach długości 2a+3\, \, i\, \, 3a+5

      • Dodawanie i odejmowanie wielomianów

        • Zadanie 1.

          Wykonaj działania i wykonaj redukcję wyrazów podobnych
          a) \left ( 2x^{2}-3x-4 \right )+\left ( -3x^{2}+2x-2 \right )  
          b) \left ( a^{3}-2a-3 \right )+\left ( 2-4a-3a^{3} \right )

        • Zadanie 2.

          Wykonaj działania i wykonaj redukcję wyrazów podobnych
          a) \left ( 2x^{2}-3x-4 \right )-\left ( -3x^{2}+2x-2 \right )  
          b) \left ( a^{3}-2a-3 \right )-\left ( 2-4a-3a^{3} \right )

        • Zadanie 3.

          Wykonaj działania i wykonaj redukcję wyrazów podobnych, następnie oblicz wartość liczbową wyrażenia
          -\left ( 2x^{2}-3x \right )-\left ( -3x^{2}-4x+1 \right ), dla\, \, x=-\frac{1}{2}

        • Zadanie 4.

          Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci
          a) 10a-3\left ( a-1\frac{1}{3} \right )+\frac{16a-12}{4}
          b) -\left [ -\left ( 4x-3 \right )-\left ( 5x+4 \right )-5 \right ]-\left ( 4-3x \right )

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że:
           \frac{1}{3}\left ( 3x-12 \right )-\frac{1}{5}\left ( 5-25x \right )-6x=-5

        • Zadanie 6.

          Na rysunku w filmie przedstawiono trapez. Zapisz pole tego trapezu w najprostszej postaci wyrażenia algebraicznego.

        • Zadanie 7.

          Na wycieczkę pojechało  kobiet, mężczyzn o 5 więcej niż kobiet, a dzieci 4 razy więcej niż mężczyzn. Zapisz w najprostszej postaci wyrażenia algebraicznego liczbę wszystkich uczestników wycieczki.

        • Zadanie 8.

          Dokończ zdanie. Wybierz jedną z prawidłowych odpowiedzi:
          Wyrażenie \frac{2}{3}\left ( 6x-12 \right )-\frac{4x-24}{4}-3\left ( 1-2x \right )  zapisane w prostszej postaci to:
          A) 8x-5   B) -9x-5   
          C) 9x-5   D) -8x+5

      • Mnożenie wielomianów

        • Zadanie 1.

          Wykonaj mnożenie wielomianów
          a) \left ( x+1 \right )\left ( 2x+4 \right ) 
          b) \left ( x-3 \right )\left ( 3x-5 \right ) 
          c) \left ( -2x-1 \right )\left ( x+3 \right )

        • Zadanie 2

          Wykonaj mnożenie wielomianów
          a) 3(x+1)(2x-4) 
          b) 5(x+3)(3x-5) 
          c) 4(-2x-1)(x-3)

        • Zadanie 3.

          Wykonaj mnożenie wielomianów
          a) \left ( x-1 \right )\left ( x^{2}-3x-4 \right )  
          b) \left ( 2y+3 \right )\left ( 4y^{2}-2y+1 \right )

        • Zadanie 4.

          Wykonaj mnożenie wielomianów
          a) \left ( x-3 \right )^{2}  
          b) \left ( 2x+3 \right )^{2} 
          c) \left ( -3-2y \right )^{2}

        • Zadanie 5.

          Wykaż, że \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} .
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( 2x+1 \right )^{2}

        • Zadanie 6.

          Wykaż, że \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} .
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( 3x-2 \right )^{2}

        • Zadanie 7.

          Wykaż, że \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}
           Na podstawie wzoru oblicz \left ( 4y-3 \right )\left ( 4y+3 \right )

        • Zadanie 8.

          Wykonaj mnożenie
          a) \left ( x-2 \right )\left ( x+3 \right )\left ( x-1 \right ) 
          b) \left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )\left ( 3n-1 \right )

        • Zadanie 9.

          Wykonaj mnożenie
          a) \left ( x^{2}-3x-1 \right )\left ( x^{2}+4x-2 \right ) 
          b) \left ( -2x^{2}+1 \right )\left ( x^{4}-2x^{2}-5 \right )

        • Zadanie 10.

          Zapisz pole prostokąta przedstawionego w filmie w postaci wyrażenia algebraicznego, następnie oblicz to pole dla a=\frac{3}{4}

        • Zadanie 11.

          Udowodnij, że \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( x+2 \right )^{3}

        • Zadanie 12.

          Udowodnij, że \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( x-3 \right )^{3}

        • Zadanie 13.

          Udowodnij, że \left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )=a^{3}+b^{3} 
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )

        • Zadanie 14.

          Udowodnij, że \left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} )=a^{3}-b^{3}
          Na podstawie wzoru oblicz \left ( x-3 \right )\left ( x^{2}+3x+9 \right )

      • Sprawdź czy umiesz

    • Równania

      Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości – brzmi poważnie, ale jest do opanowania zaledwie podczas kilku lekcji. Obecność zmiennych, redukcja wyrazów podobnych oraz inne właściwości, które należy poznać, to niezbędne kwestie. Będziesz wiedzieć, kiedy należy zastosować dodawanie lub odejmowanie, a kiedy mnożenie albo dzielenie stron równania.

      • Pierwiastek równania

        • Zadanie 1.

          Sprawdź, które z liczb a,b spełniają równanie
          a) 2x-3=5x+9, a=4,b=-4   
          b) 3(x-2)-5(x+2)=-4,a=-5,b=-6

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem równania
          a) 3(-x+4)-3=2x-1 
          b) x^{2}-2x=0 
          c) \left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=0

        • Zadanie 3.

          Wartość wyrażenia 2(x-4) jest 5 razy mniejsza od wartości wyrażenia 5x+10. Opisz tę zależność równaniem. Sprawdź, czy liczba 10 spełnia to równanie.

      • Rozwiązywanie równań

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równania
          a) 2x-5  

          b) \frac{7a-6}{4}=2 

          c) -3(2x-4)=-12

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równania, wynik zapisz bez znaku pierwiastka w mianowniku
          a) \sqrt{3}x=9
          b) 5\sqrt{5}x=10
          c) \sqrt{2}x-8=-2\sqrt{2}x

        • Zadanie 3.

          Rozwiąż równania
          a) \frac{2}{3}x-4=2x 

          b) \frac{5}{6}x-\frac{x}{6}=2 

          c) \frac{2}{3}\left ( x-5 \right )=4

        • Zadanie 4.

          Rozwiąż równania
          a) 2x-4\left [ 3-\left ( 1-3x \right ) \right ]=2 
          b) \frac{1}{2}\left [ 2\left ( x-3 \right )-3\left ( x+2 \right ) \right ]=-4

        • Zadanie 5.

          Rozwiąż równania
          a) \frac{2}{3}x-\frac{4}{5}=-\frac{2}{15}-x 

          b) \frac{x-1}{2}+\frac{2-x}{3}=1

        • Zadanie 6.

          Rozwiąż równania
          a) \frac{x-3}{5}-\frac{2x-3}{2}=-x+1 

          b) -\frac{1}{5}\left ( y+1 \right )=3-\frac{1}{4}y

        • Zadanie 7.

          Rozwiąż równania
          a) x^{2}-x^{2}\left ( 1-x \right )=x\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right ) 
          b) \left ( x-1 \right )^{2}-\left ( x+1 \right )^{2}=2\left ( x-1 \right )

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że każda liczba rzeczywista spełnia równanie
          a) \frac{1}{3}\left ( 6x-12 \right )=2\left ( x-1 \right )-2 

          b) \left ( 2x-3 \right )\left ( 1-x \right )=-\frac{1}{2}\left ( 4x^{2}-10x \right )-3

        • Zadanie 9.

          Uzasadnij, że nie istnieje  liczba rzeczywista spełniająca równanie
          a) -\frac{1}{3}\left ( 6x-12 \right )=-2\left ( x-1 \right )-2 

          b) \left ( 2x-3 \right )\left ( 1-x \right )=-\frac{1}{3}\left ( 6x^{2}-15x \right )-1

        • Zadanie 10.

          Rozwiąż równanie
          a) \left ( \sqrt{2}-1 \right )x=0  
          b) x\sqrt{3}-2x=0
          c)  \left ( 2-\sqrt{3} \right )x=\sqrt{3}-2

      • Rozwiązywanie zadań za pomocą równań

        • Zadanie 1.

          Córka ma 8 lat, a jej mama 30 lat. Za ile lat córka będzie 3 razy młodsza od mamy?

        • Zadanie 2.

          Pole trapezu o wysokości 8 cm jest równe 80 cm2. Jedna z podstaw jest o 10 cm dłuższa od drugiej. Jaką długość ma krótsza z podstaw trapezu?

        • Zadanie 3.

          W pewnej restauracji cena porcji naleśników była równa cenie porcji pierogów. Gdy cenę naleśników podwyższono o 10%, a cenę pierogów obniżono o 20%, wówczas naleśniki stały się droższe od pierogów o 1,5 zł. Ile kosztowały naleśniki po zmianie cen ?

        • Zadanie 4.

          Godzina wynajęcia sali gimnastycznej kosztuje 100 zł. W zajęciach sportowych bierze udział 4 dorosłych i 15 dzieci. Dorośli płacili po 10 zł za bilet. Oblicz, ile złotych zapłaciło za wynajęcie sali dziecko?

        • Zadanie 5.

          W hotelu jest 74 miejsca noclegowe. Pokoi dwuosobowych jest o 10 więcej niż jednoosobowych, pokoi trzyosobowych jest 3 razy mniej niż dwuosobowych. Ile pokoi jest w tym hotelu, jeżeli jest jeszcze 3 pokoje czteroosobowe.

        • Zadanie 6.

          Sprzedawca sprzedał trzem klientom jabłka. Pierwszy kupił  wszystkich jabłek i jeszcze 10 kg, drugi kupił  reszty i 10 kg, a trzeci pozostałe 50 kg. Ile jabłek kupił drugi klient?

        • Zadanie 7.

          W pewnym zakładzie kobiety stanowią 40% załogi, przy czym 10% zatrudnionych kobiet i 20 mężczyzn wkracza w wiek emerytalny. Okazuje się, że przejście tych osób na emeryturę spowoduje zmniejszenie stanu załogi o 8%. Ile osób pracuje w tym zakładzie

        • Zadanie 8.

          Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 366. Jakie to liczby?

        • Zadanie 9.

          Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 9. Jeżeli od liczby utworzonej z przestawienia jej cyfr odejmiemy 15, to otrzymamy liczbę trzy razy mniejszą od liczby
          wyjściowej. Jaka to liczba?

        • Zadanie 10.

          W sklepie sportowym sprzedawano dwa rodzaje piłek: do siatkówki i do piłki ręcznej. Wszystkich piłek na zapleczu sklepu było 32. Grupa chłopców kupiła 2 piłki do siatkówki i trzy do piłki ręcznej. Na zapleczu sklepu zostało wówczas dwa razy więcej piłek do siatkówki niż do piłki ręcznej. Ile piłek do piłki ręcznej zostało na zapleczu sklepu?

        • Zadanie 11.

          Rowerzysta pojechał z miasta A do miasta B i wrócił z powrotem. Wracając z miasta B jechał z prędkością o 4 km/h mniejszą, niż gdy jechał z miasta A do miasta B. Jazda z miasta A do miasta B trwała 2,5 godziny, a z powrotem o godzinę dłużej. Oblicz prędkość z jaką rowerzysta pokonał trasę jadąc z miasta A do B. Oblicz odległość między miastami.

        • Zadanie 12.

          Ktoś kupił dwa przedmioty za 1000 zł i sprzedał je z łącznym zyskiem 8%. Ile zapłacił za każdy przedmiot, jeżeli pierwszy sprzedał z zyskiem 20%, drugi ze stratą 10%?

      • Proporcjonalność

        • Zadanie 1.

          Belkę długości 270 cm rozcięto na trzy części, których stosunek długości to 2:3:4. Oblicz długość najkrótszej części.

        • Zadanie 2.

          Długości boków pewnego trójkąta są w stosunku 2:3:4. Oblicz długość najdłuższego boku wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 72 cm.

        • Zadanie 3.

          W pewnym czworokącie stosunek miar kątów wewnętrznych jest równy 1:2:3:4. Oblicz miarę największego kąta tego czworokąta.

        • Zadanie 4.

          Odległość środków dwóch stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 21, a stosunek długości promieni to 4:3. Oblicz długość promienia każdego z okręgów.

      • Proporcje

        • Zadanie 1.

          Rozwiąż równanie

          a) \frac{x}{3}=\frac{5}{2} 

          b) \frac{x-1}{2}=\frac{4}{3}  

          c) \frac{2x-1}{3}=5

        • Zadanie 2.

          Rozwiąż równanie

          a) \frac{x-3}{3}=\frac{5-x}{2}  

          b) \frac{x-1}{2}=\frac{4x+1}{3}  

          c) \frac{2x+1}{3}=5x-1

        • Zadanie 3.

          Podaj potrzebne założenia i rozwiąż równania
          a) \frac{2}{x-1}=\frac{-3}{x+2} 

          b) \frac{-5}{x+1}=\frac{-3}{x-4}

        • Zadanie 4.

          Zapisz odpowiednie założenia i rozwiąż równanie
          a) \frac{2x-3}{x-3}=\frac{5}{2} 

          b) \frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x-3} 

        • Zadanie 5.

          Wiedząc, że  \frac{2x-5y}{3}=\frac{4x+3y}{2} wykaż, że  \frac{x}{y}=-\frac{19}{8}

        • Zadanie 6.

          Oblicz iloraz \frac{y}{x}, wiedząc, że \frac{3x+9y}{10}=\frac{9x+3y}{8}

        • Zadanie 7.

          Licznik pewnego ułamka jest równy 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 20, mianownik o 30, to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek ?

        • Zadanie 8.

          Ania kupiła cukierki owocowe w cenie x zł/kg i zapłaciła 24 zł. Dorota kupiła taką samą ilość cukierków czekoladowych droższych o 4 zł/kg i zapłaciła 30 zł. Ile kosztuje kilogram cukierków owocowych, a ile kilogram cukierków czekoladowych?

        • Zadanie 9.

          Mama Jacka jest o sześć lat młodsza od jego taty. Stosunek wieku mamy i taty jest jak 8 do 9. Ile lat mam mama Jacka, a ile jego tata ?

        • Zadanie 10.

          Boki prostokąta mają długości x cm i 2x cm. Gdyby jego krótszy bok wydłużyć o 6 cm, a dłuższy o 5 cm, to stosunek długości boków byłby równy 2:3. Oblicz obwód tego prostokąta.

        • Zadanie 11.

          Samochód A jadący ze średnią prędkością v pokonał odległość 195 km. Samochód B jadący z prędkością o 20 km/h większą pokonał w tym samym czasie 260 km. Oblicz średnie prędkości obu samochodów?

      • Wielkości wprost proporcjonalne

        • Zadanie 1.

          Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

        • Zadanie 2.

          Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

        • Zadanie 3.

          Wiedząc, że wielkości x, y są wprost proporcjonalne, oblicz współczynnik proporcjonalności i uzupełnij tabelę ( tabela w filmie )

        • Zadanie 4.

          Sto ziaren grochu waży 25 g. Oblicz, ile ziaren jest w 1 kg grochu.

        • Zadanie 5.

          Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. Oblicz, w czasie ilu godzin Ziemia obróci się o kąt 1500.

        • Zadanie 6.

          Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. O jaki kąt obraca się Ziemia w ciągu 45 minut.

        • Zadanie 7.

          Taką samą ilością karmy jaką zjada 8 kaczek, można nakarmić 20 kur. Oblicz jaką ilość kur, nakarmimy ilością karmy, jaką zjada 12 kaczek ( tabela w filmie )

        • Zadanie 8.

          Sześć puszek farby wystarczy  na pomalowanie 90 m2 powierzchni. Oblicz ile należy kupić puszek farby aby pomalować powierzchnię 240 m2.

        • Zadanie 9.

          Jeśli podczas burzy grzmot słychać po 3 sekundach od błyskawicy, to znaczy, że piorun uderzył w odległości około 1 km. W jakiej odległości uderzył piorun, jeżeli od błyskawicy do grzmotu minęło 7 sekund?

        • Zadanie 10.

          Głos przenosi się w powietrzu na odległość 825 metrów w czasie 2,5 sekundy. Po ilu sekundach od wystrzału usłyszymy odgłos karabinu odległego o 1650 m?

      • Sprawdź czy umiesz

    • Obliczenia procentowe

      W zadaniach ze szkoły podstawowej przedstawiane są proste przykłady obliczeń procentowych i na tym poziomie jest to wystarczające. Ważne jednak, żeby korepetycje uczyły praktycznego zastosowania zdobytej wiedzy, na przykład jak obliczyć procent z danej liczby, a w bardziej zaawansowanych zadaniach policzyć VAT lub inne podatki.

      • Obliczanie procentu danej liczby

        • Zadanie 1.

          Oblicz a) 4% z 400 b) 200% z 12 c) 4,5% z 50 d) 0,05% z 80

        • Zadanie 2.

          Oblicz, wynik podaj w minutach a) 20% z 1 h b) 30% z 4 h

        • Zadanie 3.

          Spodnie kosztują 300 zł. Oblicz cenę tych spodni po a) obniżce o 10% b) po podwyżce o 20%

        • Zadanie 4.

          Cena pewnego towaru wynosi x zł a) o ile procent obniżono cenę towaru jeżeli jego obecna cena to 0,8x b) o ile procent podwyższono cenę towaru jeżeli jego obecna cena to 1,3x?

        • Zadanie 5.

          Oblicz liczbę, która jest a) o 25% większa od liczby 72 b) o 25% mniejsza od liczby 36

        • Zadanie 6.

          O ile % zwiększyła się cena towaru, jeżeli: a) cenę podwojono b) cena zwiększyła się 2,5 razy

        • Zadanie 7.

          O ile procent zwiększy się pole kwadratu, jeżeli jego długość boku zwiększymy o 20%.

        • Zadanie 8.

          Początkowa cena towaru wynosiła p zł. Cenę tę najpierw obniżono o 10%, następnie po pewnym czasie podwyższono o 10%. Jaka jest obecna cena tego towaru?

        • Zadanie 9.

          Początkowa cena towaru wynosiła p zł. Udowodnij, że jeżeli tę cenę najpierw podwyższymy o 25%, następnie po pewnym czasie obniżymy o 20%, to otrzymamy cenę początkową, czyli p zł.

        • Zadanie 10.

          W ciągu roku cukier drożał dwukrotnie, za każdym razem o 5%. O ile procent wzrosła cena cukru w ciągu roku?

      • Obliczanie liczby z danego jej procentu

        • Zadanie 1.

          Oblicz liczbę, której: a) 30% jest równe 60 b) 0,5% jest równe 2

        • Zadanie 2.

          Cenę komputera obniżono o 20%. Oblicz cenę komputera przed obniżką, jeżeli nowa cena jest o 250 zł niższa od poprzedniej.

        • Zadanie 3.

          Na wycieczkę klasową pojechało 10 osób co stanowiło 40% wszystkich uczniów tej klasy. Ile jest uczniów w klasie?

        • Zadanie 4.

          Na półce z grami komputerowymi jest 60% gier strategicznych. Ile jest wszystkich gier na półce, jeśli gier innego gatunku jest 80?

        • Zadanie 5.

          Ile waży człowiek, którego organizm zawiera 56 kg wody, wiedząc, że organizm dorosłego człowieka zawiera około 70% wody?

        • Zadanie 6.

          Oblicz liczbę y wiedząc, że 2% z 5% tej liczby wynosi 2.

        • Zadanie 7.

          Oblicz liczbę, której 18% jest większe o 12 od 12% tej liczby.

      • Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

        • Zadanie 1.

          Oblicz, jakim procentem a) liczby 12 jest liczba 18 b) liczby 18 jest liczba 12

        • Zadanie 2.

          Oblicz o ile procent obniżono cenę książki, która przed obniżką kosztowała 60 zł, a po obniżce kosztuje 36 zł.

        • Zadanie 3.

          Oblicz liczbę k, wiedząc, że liczba 35 jest o 40% większa od liczby k.

        • Zadanie 4.

          Oblicz liczbę k, wiedząc, że liczba 45 jest o 40% mniejsza od liczby k.

        • Zadanie 5.

          Obwód kwadratu jest równy obwodowi prostokąta o wymiarach 3 cm i 15 cm. Oblicz jakim procentem a) pola kwadratu jest pole prostokąta b) pola prostokąta jest pole kwadratu

      • Stężenia procentowe

        • Zadanie 1.

          Do szklanki zawierającej 200 g wody wsypano 4 g cukru. Oblicz ilu procentowy roztwór cukru otrzymano? Wynik podaj z dokładnością do 1%.

        • Zadanie 2.

          Do 100 g roztworu soli o stężeniu 5% dosypano 20 g soli. Oblicz stężenie procentowe tak otrzymanego roztworu. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%

        • Zadanie 3.

          Ile soli należy wsypać do 12 kg wody, aby otrzymać roztwór 15%?

        • Zadanie 4.

          Ile wody potrzeba, aby rozpuszczając w niej 30 g soli otrzymać roztwór 20-procentowy?

        • Zadanie 5.

          Zmieszano 3 litry 7% roztworu soli z 6 litrami 4% roztworu soli. Jakie jest stężenie soli w mieszaninie?

      • Stopy metali

        • Zadanie 1.

          Złota bransoleta ma próbę 960 i waży 30 gram, a pierścionek ma próbę 750 i waży 8 gram. Ile gramów czystego złota zawierają oba te przedmioty łącznie?

        • Zadanie 2.

          Jaką próbę ma złoty pierścionek ważący 8 g, wiedząc, że zawarte jest w nim 6 g czystego złota?

        • Zadanie 3.

          Ile gramów czystego złota należy dodać do 20 gram złota próby 583, aby otrzymać złoto próby 750?

        • Zadanie 4.

          Kawałek stopu miedzi z ołowiem waży 12 kg i zawiera 45% miedzi. Ile kilogramów czystego ołowiu należy stopić z tym stopem, aby nowy stop zawierał 30% miedzi?

      • VAT i inne podatki

        • Zadanie 1.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę brutto komputera, jeśli cena netto wynosi 2200 zł.

        • Zadanie 2.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Oblicz cenę netto, jeśli cena brutto komputera wynosi 3198 zł.

        • Zadanie 3.

          Cena brutto komputera jest równa cenie netto plus 23% podatku VAT. Podatek VAT doliczony do ceny netto komputera wynosi 483 zł. Jak jest cena brutto tego komputera?

        • Zadanie 4.

          Dochód brutto Pana Nowaka w ciągu roku wyniósł 70000 zł . Oblicz dochód netto pana Nowaka po zapłaceniu 18% podatku PIT. Podaj kwotę podatku.

        • Zadanie 5.

          Pani Kasia zapłaciła 5400 zł podatku PIT obliczonego według stawki 18%. Jaki był dochód brutto ( przed opodatkowaniem)

        • Zadanie 6.

          Dochód brutto pana X w ciągu roku wyniósł 54000 zł. Pan X mógł od tej kwoty odliczyć ulgę podatkową w wysokości 4000 zł i od pozostałej kwoty zapłacił 18% podatek PIT. Ile podatku PIT oddał pan X do skarbu państwa.

      • Sprawdź czy umiesz

    • Figury geometryczne na płaszczyźnie

      Kurs z geometrii na płaszczyźnie tzw. planimetrii, pozwoli Ci poznać metody obliczanie obwodów i pól figur geometrycznych według wzorów, pozwoli Ci z powodzeniem rozwiązać różne zadania geometryczne. Poznasz też rodzaje kątów i ich własności w poszczególnych figurach geometrycznych. Geometria rozwija  wyobraźnię, jakże potrzebną w codziennym życiu.

      • Rodzaje kątów

        • Zadanie 1.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 3.

          Wyznacz miary kątów  na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 4.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 5.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 6.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 7.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 8.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 9.

          Wyznacz miary kątów na podstawie danych z rysunku ( rysunek poniżej ), wiedząc, że DC || AB

      • Trójkąty

        • Klasyfikacja trójkątów

          • Zadanie 1.

            Czy istnieje trójkąt o bokach długości a) 3 cm, 4 cm, 6 cm b) 3 cm, 3 cm, 7 cm?

          • Zadanie 2.

            Oblicz miarę trzeciego kąta trójkąta, którego dwa kąty mają miary:
            a) 350 i 700
            b) kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego maja miarę 480

          • Zadanie 3.

            Oblicz miary kątów w trójkącie prostokątnym równoramiennym.

          • Zadanie 4.

            Oblicz miary kątów w trójkącie ABC, wiedząc, że  ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 5.

            Dany jest trójkąt równoramienny ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

          • Zadanie 6.

            Dany jest trójkąt równoramienny ABC ( rysunek w filmie ) . Oblicz miarę kąta .

          • Zadanie 7.

            Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że stosunek miar tych kątów to a) 1:2:3 b) 1:5:6.

          • Zadanie 8.

            Wyznacz sumę kątów , na podstawie rysunku w filmie.

          • Zadanie 9.

            W trójkącie równoramiennym, w którym , odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz miary katów trójkąta ABD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 10.

            W trójkącie równoramiennym, w którym , półproste AO i  BO dzielą kąty przy podstawie na połowy. Oblicz miarę kąta  ( rysunek w zadaniu )

        • Cechy przystawania trójkątów

          • Zadanie 1.

            Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

          • Zadanie 2.

            Czy trójkąty ABC i DEF są przystające? ( rysunki w filmie )

          • Zadanie 3.

            Udowodnij, że w równoległoboku ABCD trójkąt ABC jest przystający do trójkąta ADC.

          • Zadanie 4.

            Udowodnij, że trójkąt ACB jest przystający do trójkąta DCE, jeśli AB II DE i IACI=ICEI

          • Zadanie 5.

            W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków AB środkowe AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

          • Zadanie 6.

            W trójkącie równoramiennym ABC, o podstawie AB,  poprowadzono z wierzchołków A i B dwusieczne AD i BE. Wykaż, że trójkąt ABE jest przystający do trójkąta BAD.

          • Zadanie 7.

            Udowodnij, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion kąta.

          • Zadanie 8.

            Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak jak na rysunku w filmie ( w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty ). Wykaż, że |AD|=|BE|.

          • Zadanie 9.

            Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF BCGH ( tak  jak na rysunku w filmie ). Udowodnij, że |AC|=|FG|.

        • Twierdzenie Pitagorasa

          • Zadanie 1.

            W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 5 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?

          • Zadanie 2.

            W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna ma długość  \sqrt{21} cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość odcinka AB ( rysunek w zadaniu )

          • Zadanie 4.

            Oblicz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, którego podstawa ma długość 6 cm, a ramię ma długość 9 cm.

          • Zadanie 5.

            W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 8 cm, a długość drugiej przyprostokątnej jest o 2 cm krótsza od długości przeciwprostokątnej. Oblicz jaka jest długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie?

          • Zadanie 6.

            W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych to 3 cm, a długość przeciwprostokątnej jest o 2 cm dłuższa od długości drugiej przyprostokątnej. Oblicz odwód trójkąta.

          • Zadanie 7.

            Drabinę długości 4 m oparto o pionową ścianę. Odległość dolnej części drabiny od ściany to 1,5 m. Oblicz na jakiej wysokości oparto drabinę.

          • Zadanie 8.

            Samolot leci 12 km na południe, potem 16 km na wschód, po czym ląduje na lotnisku. Oblicz odległość lotniska od startu samolotu.

          • Zadanie 9.

            Oblicz x ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 10.

            Oblicz x ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 11.

            Sprawdź czy trójkąt o bokach długości:

            a) \frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2} ,   

            b) 5,9,11

            jest prostokątny ?

          • Zadanie 12.

            Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że przekątna kwadratu o boku długości   ma długość  a\sqrt{2}

          • Zadanie 13.

            Udowodnij, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, że wysokość h w trójkącie równobocznym ABC o boku długości , wynosi  \frac{a\sqrt{3}}{2}.

        • Trójkąty prostokątne

          • Zadanie 1.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 8 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

          • Zadanie 2.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

          • Zadanie 3.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  dłuższa przyprostokątna ma długość 10 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

          • Zadanie 4.

            W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym  krótsza przyprostokątna ma długość 6 . Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

          • Zadanie 5.

            Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 6.

            Oblicz obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 7.

            Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

          • Zadanie 8.

            Oblicz x i y korzystając z rysunku w filmie.

          • Zadanie 9.

            Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|,  ma miarę . Oblicz obwód tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 15 cm.

          • Zadanie 10.

            Oblicz długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 2\sqrt{6}+4\sqrt{2}.

          • Zadanie 11.

            Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli |BC|=6.

        • Pole trójkąta

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 2.

            Oblicz długość odcinka
            a) CP jeżeli P_{\bigtriangleup }=60 
            b) AC jeżeli P_{\bigtriangleup }=28
            c) BC jeżeli P_{\bigtriangleup }=12

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość odcinka AD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 4.

            Oblicz długość odcinka CD ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeżeli jego obwód jest równy 6(2+\sqrt{2})

          • Zadanie 6.

            Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę . Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego najdłuższy bok ma długość 16 cm.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta, a suma długości przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej jest równa 4\sqrt{6}+8\sqrt{2} .

          • Zadanie 8.

            Oblicz pole trójkąta prostokątnego ADB ( rysunek w filmie ), jeśli pole trójkąta BDC jest równe 3\sqrt{3} .

          • Zadanie 9.

            Udowodnij wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a, P_{\bigtriangleup}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}  . Wyznacz obwód  trójkąta równobocznego, jeżeli jego pole wynosi 4\sqrt{3}.

          • Zadanie 10.

            W trójkącie równoramiennym o polu 12\sqrt{3} cm^{2} stosunek długości wysokości opuszczonej na podstawę do długości tej podstawy jest równy \frac{\sqrt{3}}{6}. Oblicz długość podstawy i wysokości tego trójkąta.

          • Zadanie 11.

            Udowodnij, że pole trójkąta równoramiennego ABC, o kącie przy podstawie 30^{0} jest równe polu trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości ramienia trójkąta ABC

      • Czworokąty

        • Kwadrat

          • Zadanie 1.

            Oblicz długość boku kwadratu, którego:
            a) pole jest równe 169
            b) obwód jest równy 24

          • Zadanie 2.

            Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 6, następnie oblicz pole i obwód tego kwadratu.

          • Zadanie 3.

            Udowodnij, ze jeżeli przekątna kwadratu ma długość d, to jego pole można wyrazić wzorem P=\frac{1}{2}d^{2}.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli długości boków kwadratu ACKM są równe 4 ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole czworokąta AKCL, wiedząc, że czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 2 i \left | CK \right |=\left | CL \right |=\frac{4}{3} ( rysunek w filmie )

        • Prostokąt

          • Zadanie 1.

            Udowodnij, że długość d przekątnej prostokąta o bokach długości a\, \, i\, \, b można wyrazić wzorem d=\sqrt{a^{2}+b^{2}} . Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 5\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm

          • Zadanie 2.

            Oblicz długości boków prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość drugiego boku oraz długość przekątnej prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole i obwód prostokąta ABCD na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 5.

            Oblicz długość promienia okręgu opisanego na  prostokącie ABCD, oraz pole i obwód tego prostokąta, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 6.

            Oblicz długości boków i pole prostokąta o obwodzie L=48, wykorzystując dane z rysunku ( rysunek w filmie )

        • Równoległobok

          • Zadanie 1.

            Oblicz na podstawie rysunku w filmie miary kątów w równoległoboku ABCD

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole równoległoboku, którego długości boków to 12 cm i 6 cm, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 30^{0}

          • Zadanie 3.

            Pole równoległoboku o bokach długości 5 cm i 8 cm wynosi 24 cm2. Oblicz długości wysokości tego równoległoboku.

          • Zadanie 4.

            Pole równoległoboku o bokach długości 6 cm i 16 cm jest równe 48 cm2. Oblicz długości wysokości i miary kątów tego równoległoboku.

          • Zadanie 5.

            Kąt rozwarty równoległoboku to 120^{0} , oblicz pole tego równoległoboku wiedząc, że długości jego boków to 6 cm i 10 cm.

          • Zadanie 6.

            Kąt rozwarty równoległoboku to 135^{0}. Oblicz długość drugiego boku równoległoboku wiedząc, że długość podstawy to 10 cm, a długość wysokości na nią opuszczonej to 8 cm.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z ramieniem długości 6 cm kąt prosty, a kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 600.

          • Zadanie 8.

            Oblicz pole równoległoboku, którego krótsza przekątna tworzy z bokiem AD kąt prosty, kąt ostry tego równoległoboku ma miarę 600, a podstawa AB ma długość 4, jak na rysunku w filmie.

          • Zadanie 9.

            W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AD. Punkt M jest środkiem boku AB. Udowodnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta AMD. Wykonaj odpowiednie obliczenia.

        • Romb

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole rombu, którego obwód wynosi 16 cm, a wysokość tego rombu ma długość 3 cm.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole rombu, którego przekątne mają długości 2\sqrt{2}+2\, \, i\, \, 3\sqrt{2}+1 . Wynik podaj w najprostszej postaci.

          • Zadanie 3.

            Pole rombu jest równe 96, a jedna z przekątnych ma długość 12. Oblicz długość drugiej przekątnej, długość wysokości, długość boku oraz obwód rombu.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole rombu o kącie ostrym 45^{0} wiedząc, że długość boku rombu wynosi 12 cm.

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole rombu o kącie ostrym 60^{0} wiedząc, że długość wysokości rombu wynosi 8 cm.

          • Zadanie 6.

            Pole rombu wynosi 54 cm2. Przekątne rombu pozostają w stosunku 1:3. Oblicz długości przekątnych , długość boku oraz długość wysokości rombu.

          • Zadanie 7.

            Krótsza przekątna rombu ma taką samą długość jak długość boku rombu. Podaj miary kątów wewnętrznych tego rombu oraz miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej rombu z jego bokiem.

          • Zadanie 8.

            Ile jest równa wysokość rombu o przekątnych długości 6 cm i 8 cm ?

          • Zadanie 9.

            Oblicz pole rombu o boku długości 13 cm i dłuższej przekątnej równej 24 cm.

          • Zadanie 10.

            Oblicz pole rombu o boku długości 12 cm i kącie ostrym 600 oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten romb.

          • Zadanie 11.

            Obwód rombu jest równy 24 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

        • Trapez

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 12 cm i 8 cm oraz kącie ostrym 600.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm oraz kącie rozwartym 1500.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole trapezu prostokątnego o podstawach długości 13 cm i 19 cm oraz kącie ostrym 600.

          • Zadanie 4.

            Oblicz pole trapezu prostokątnego o ramionach długości 5 cm i 10 cm oraz krótszej podstawie długości 4 cm.

          • Zadanie 5.

            Oblicz pole i miary kątów trapezu równoramiennego o podstawach 6\sqrt{3}\, cm\, \, i\, \, 2\sqrt{3}\, cm opisanego na okręgu o promieniu 3\, cm.

          • Zadanie 6.

            W trapezie prostokątnym długość krótszej przekątnej jest równa 13 cm, a długość krótszej podstawy wynosi 5 cm. Wiedząc, że miara kąta rozwartego tego trapezu równa się 150^{0} . Oblicz pole trapezu.

          • Zadanie 7.

            Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 16 cm i 10 cm i ramieniu długości 5 cm.

          • Zadanie 8.

            Oblicz pole trapezu o podstawach długości 15 cm i 25 cm i ramionach długości 6 cm i 8 cm ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 9.

            Oblicz pole trapezu o podstawach długości 8 cm i 4 cm. Oblicz pole trójkąta BKC, na podstawie danych z rysunku  ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 10.

            Obwód trapezu równoramiennego jest równy 72 cm, ramię ma długość 20 cm, a różnica długości podstaw wynosi 24 cm. Oblicz pole trapezu.

          • Zadanie 11.

            Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli ten trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest trójkątem równobocznym o boku a. Udowodnij, że pole tego trapezu może być opisane wzorem P=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}

          • Zadanie 12.

            Czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 10 cm. Z kwadratu odcięto trójkąt prostokątny KBC ( jak na rysunku w filmie ). Oblicz długość krótszej podstawy trapezu AKCD wiedząc, że pole trójkąta KBC jest dwa razy mniejsze od pola trapezu .

        • Deltoid

          • Zadanie 1.

            Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.

          • Zadanie 2.

            Oblicz pole i długości boków deltoidu przedstawionego na rysunku w filmie.

          • Zadanie 3.

            Oblicz pole deltoidu  w którym, \left | CB \right |=\left | AB \right |=6\sqrt{13},\left | CD \right |=\left | AD \right |=20\, oraz\, \left | AC \right |=24 

      • Wielokąty foremne

        • Zadanie 1.

          Oblicz miarę kąta wewnętrznego a) pięciokąta foremnego b) sześciokąta foremnego

        • Zadanie 2.

          Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości  a  długość
          a) dłuższej przekątnej jest równa 2a 
          b) krótszej przekątnej jest równa a\sqrt{3}

        • Zadanie 3.

          Uzasadnij, że w sześciokącie foremnym o boku długości  pole wyraża się wzorem P=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2} . Oblicz pole sześciokąta foremnego o obwodzie 12\sqrt{3} .

        • Zadanie 4.

          Pole sześciokąta foremnego wynosi 8\sqrt{3} . Oblicz długość krótszej przekątnej tego sześciokąta.

        • Zadanie 5.

          Oblicz pole sześciokąta foremnego, jeżeli długość krótszej przekątnej tego sześciokąta wynosi 6 cm.

        • Zadanie 6.

          Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o polu 216\sqrt{3} cm2.

        • Zadanie 7.

          Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma miarę 1500. Jaki to wielokąt foremny?

        • Zadanie 8.

          W pięciokącie foremnym ABCDE poprowadzono z wierzchołka B przekątne BD i BE. Przekątne te podzieliły pięciokąt na trzy trójkąty. Oblicz miary kątów tych trójkątów.

        • Zadanie 9.

          W pewnym kwadracie ABCD odcięto naroża. Otrzymano w ten sposób ośmiokąt foremny  o boku długości 8 cm. Wykaż, że długość boku kwadratu to 8\left ( \sqrt{2}+1 \right )

      • Sprawdź czy umiesz

    • Geometria przestrzenna

      Jeżeli potrzebujesz wsparcia w opanowaniu wiedzy z dziedziny graniastosłupów i ostrosłupów, MATEMATYKA NA TAK to właściwy adres. Figury geometryczne w przestrzeni trójwymiarowej wymagają większej liczby obliczeń, dlatego pomagamy opanować umiejętność obliczania pola powierzchni bryły oraz jej objętości. Poznasz wzory, utrwalisz je i dowiesz się jak można zastosować zdobytą wiedzę w praktyce.

      • Graniastosłupy

        • Rodzaje graniastosłupów

          • Zadanie 1.

            Pewien graniastosłup ma 45 krawędzi. Ile ma wierzchołków i krawędzi bocznych ?

          • Zadanie 2.

            Ile krawędzi ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 18 mniejsza od liczby wierzchołków tego graniastosłupa?

          • Zadanie 3.

            Ile wierzchołków  ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 28 mniejsza od liczby krawędzi tego graniastosłupa?

          • Zadanie 4.

            Który z przedstawionych graniastosłupów prostych jest graniastosłupem prawidłowym? Odpowiedź uzasadnij ( rysunek w filmie ).

          • Zadanie 5.

            Oblicz długości krawędzi graniastosłupa prostego trójkątnego na podstawie danych z rysunku

          • Zadanie 6.

            Oblicz długość krawędzi graniastosłupa prostego, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )

          • Zadanie 7.

            Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.

          • Zadanie 8.

            Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym  \alpha =30^{0} Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.

          • Zadanie 9.

            Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt \alpha =60^{0}. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.

          • Zadanie 10.

            Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600 ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

          • Zadanie 11.

            Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.

          • Zadanie 12.

            Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4. Oblicz długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa oraz długość dłuższej przekątnej podstawy.

        • Siatki graniastosłupów

          • Zadanie 1.

            W filmie przedstawiono siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Sporządź rysunek tego graniastosłupa.

          • Zadanie 2.

            Narysuj siatkę prostopadłościanu o wymiarach 1cm x 2 cm x 3 cm. Następnie oblicz pole tego prostopadłościanu.

          • Zadanie 3.

            Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.

          • Zadanie 4.

            Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.

        • Pola i objętości graniastosłupów

          • Sześcian

            • Zadanie 1.

              Pole sześcianu jest równe 216 cm2. Oblicz objętość tego sześcianu.

            • Zadanie 2.

              Objętość sześcianu jest równa 64 cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu oraz długość przekątnej sześcianu.

            • Zadanie 3.

              Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju oraz objętość sześcianu.

            • Zadanie 4.

              Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta DBC’ oraz pole sześcianu.

            • Zadanie 5.

              Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta KLM oraz objętość sześcianu.

          • Prostopadłościan

            • Zadanie 1.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.

            • Zadanie 2.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.

            • Zadanie 3.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość  prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 300 wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.

            • Zadanie 4.

              Oblicz objętość  prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60o, a długości podstaw to 5 cm i 12 cm.

            • Zadanie 5.

              Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

          • Graniastosłup prawidłowy czworokątny

            • Zadanie 1.

              Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 300.

            • Zadanie 2.

              Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300.

            • Zadanie 3.

              Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 300.

            • Zadanie 4.

              Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.

            • Zadanie 5.

              Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

            • Zadanie 6.

              Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 48\sqrt{3} cm2. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 300. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.

          • Graniastosłup prawidłowy trójkątny

            • Zadanie 1.

              Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt \alpha =30^{0}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość 6 cm.

            • Zadanie 2.

              Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi 32\sqrt{3}. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.

            • Zadanie 3.

              Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 300. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi \frac{9\sqrt{3}}{4} .

            • Zadanie 4.

              Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli długość wysokości podstawy jest równa \sqrt{3}.

          • Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

            • Zadanie 1.

              Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

            • Zadanie 2.

              Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.

            • Zadanie 3.

              Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4\sqrt{3}. Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

            • Zadanie 4.

              Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600 . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa 2\sqrt{3}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

          • Inne graniastosłupy

            • Zadanie 1.

              Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 1200 i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.

            • Zadanie 2.

              Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 300 i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.

            • Zadanie 3.

              Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm2, następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.

            • Zadanie 4.

              Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym \alpha =60^{0}  Oblicz objętość tego graniastosłupa.

          • Zadania praktyczne

            • Zadanie 1.

              Krawędź podstawy pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm. Oblicz ile cm2 papieru należy zużyć, aby okleić całe pudełko, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 600. Podaj potrzebną ilość papieru doliczając 10% na ścinki. 

            • Zadanie 2.

              Skrzynka na kwiaty ma kształt graniastosłupa o podstawie trapezu równoramiennego ( odczytaj dane z rysunku w filmie ). Czy zmieści się w niej 30 dm3 ziemi?

            • Zadanie 3.

              Stodoła ma kształt przedstawiony na rysunku w filmie. Na strychu stodoły zgromadzono siano. Ile metrów sześciennych siana możemy zgromadzić na strychu, jeżeli możemy wykorzystać 90% objętości strychu?

            • Zadanie 4.

              Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 30 cm x 50 cm i wysokości 40 cm, wypełnionego wodą do \frac{3}{4} wysokości, wrzucono dwie kostki sześcienne o krawędzi podstawy 10 cm. O ile cm podniósł się poziom wody w akwarium?

      • Ostrosłupy

        • Rodzaje ostrosłupów

          • Zadanie 1.

            Pewien ostrosłup ma 35 wierzchołków. Ile krawędzi ma ten ostrosłup?

          • Zadanie 2.

            Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.

          • Zadanie 3.

            Oblicz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 2 cm, a krawędź boczna ma długość 5 cm.

          • Zadanie 4.

            Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.

          • Zadanie 5.

            Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 300. Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

          • Zadanie 6.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600, a dłuższa przekątna podstawy ma długość 10 cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.

          • Zadanie 7.

            Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300, a krótsza przekątna podstawy ma długość 4\sqrt{3} cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.

          • Zadanie 8.

            Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości a wyraża się wzorem \frac{a\sqrt{6}}{3}

        • Siatki ostrosłupów

          • Zadanie 1.

            Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie trójkątnej ( rysunek w filmie ). Dwie ściany są prostopadłe do jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 2.

            Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa czworokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

          • Zadanie 3.

            Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

        • Pola i objętości ostrosłupów

          • Ostrosłup prawidłowy czworokątny

            • Zadanie 1.

              Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.

            • Zadanie 2.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość 2\sqrt{2}, a krawędź boczna ma długość 3.

            • Zadanie 3.

              Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 300, a obwód podstawy wynosi 8.

            • Zadanie 4.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.

            • Zadanie 5.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego ostrosłupa ma długość 10 cm.

            • Zadanie 6.

              W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 7.

              Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni bocznej jest równe 24 cm2.

            • Zadanie 8.

              Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 600. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.

          • Ostrosłup prawidłowy trójkątny

            • Zadanie 1.

              W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 2.

              W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 3.

              Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.

            • Zadanie 4.

              Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 600. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa oraz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 5.

              Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 600. Oblicz objętość tej bryły.

            • Zadanie 6.

              Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej 18\sqrt{2} cm3.

          • Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

            • Zadanie 1.

              Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 2.

              Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 300. Krótsza przekątna podstawy wynosi 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 3.

              Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 2\sqrt{3}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 4.

              Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 300. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

          • Inne ostrosłupy

            • Zadanie 1.

              Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS oraz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 2.

              Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.

            • Zadanie 3.

              Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa \frac{80}{3} , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.

            • Zadanie 4.

              Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

            • Zadanie 5.

              Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

      • Sprawdź czy umiesz

    • Figury w układzie współrzędnych

      Układ współrzędnych, współrzędne punktów, odległość między punktami, współrzędne środka odcinka to podstawowe pojęcia tzw. geometrii analitycznej.  Otrzymasz tu solidne wsparcie merytoryczne bardzo pomocne w opanowaniu materiału, który będzie też bardzo przydatny w szkole średniej.

      • Układ współrzędnych

        • Zadanie 1.

          Odczytaj z układu współrzędnych współrzędne punktów A, B, C, D ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 2.

          Odczytaj z układu współrzędnych współrzędne punktów A, B, C, D ( rysunek w filmie )

        • Zadanie 3.

          Odczytaj z układu współrzędnych współrzędne punktów A, B, C, D, E, F. Określ w których ćwiartkach układu współrzędnych leżą te punkty ( rysunek w filmie ).

        • Zadanie 4.

          Zaznacz w układzie współrzędnych trzy punkty, w których odcięta jest cztery razy większa od rzędnej.

        • Zadanie 5.

          Zaznacz w układzie współrzędnych trzy punkty, w których rzędna jest o trzy większa od odciętej.

        • Zadanie 6.

          Określ, w której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt, jeżeli:
          a) A=\left ( 2,k \right )\, \, i\, \, k> 0 
          b) B=\left ( -3,k \right )\, \, i\, \, k> 0 
          c) C=\left ( 4,k \right )\, \, i\, \, k< 0
          d) D=\left ( -2,k \right )\, \, i\, \, k< 0

        • Zadanie 7.

          Zaznacz w układzie współrzędnych wszystkie punkty, których współrzędne x,y są liczbami naturalnymi spełniającymi warunki -2\leq x\leq 2,\, 0\leq y\leq 1

        • Zadanie 8.

          Zaznacz w układzie współrzędnych wszystkie punkty, których współrzędne x,y są liczbami całkowitymi spełniającymi warunki -2< x\leq 1,\, -1\leq y< 0

        • Zadanie 9.

          Odczytaj z układu współrzędnych współrzędne punktów B, C ( rysunek w filmie ). Współrzędne, którego z punktów spełniają jednocześnie warunki xy=-10\, \, i\, \, x^{2}+y^{2}=29

      • Odległość w układzie współrzędnych

        • Zadanie 1.

          Oblicz odległość między punktami A\, \, i\, \, B  jeśli:
          a) A=\left ( -1,3 \right ),B=\left ( -4,-1 \right )  
          b) A=\left ( -4,-3 \right ),B=\left ( 2,-3 \right ) 

        • Zadanie 2.

          Oblicz odległość między punktami A\, \, i\, \, B jeśli:
          a) A=\left ( -\sqrt{2},3 \right ),B=\left ( -4\sqrt{2},1 \right )  
          b)  A=\left ( \frac{2}{3},-3 \right ),B=\left ( -\frac{4}{3},-3 \right )

        • Zadanie 3.

          Oblicz obwód trójkąta ABC, w którym A=\left ( -2,-3 \right ),B=\left ( 2,-1 \right ),C=\left ( 1,4 \right )   

        • Zadanie 4.

          Wykaż, że czworokąt ABCD o wierzchołkach A=\left ( 0,-8 \right ),B=\left ( 1,-1 \right ),C=\left (-4,4 \right ),D=\left ( -5,-3 \right )    jest rombem.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, jeżeli A=\left ( 2,7 \right ),B=\left ( -1,4 \right ),C=\left ( 3,0 \right )   

        • Zadanie 6.

          Oblicz pole trójkąta  przedstawionego na rysunku w filmie.

        • Zadanie 7.

          Oblicz pole trójkąta  przedstawionego na rysunku w filmie. 

        • Zadanie 8.

          Odcinek AB jest średnicą pewnego okręgu. Wyznacz długość promienia tego okręgu, jeśli A=\left ( 2,-3 \right ),B=\left ( 3,5 \right )  

        • Zadanie 9.

          Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego długość boku jest równa długości przekątnej kwadratu ABCD w którym, A=\left ( 5,-2 \right ),B=\left ( 1,2 \right ) 

      • Środek odcinka

        • Zadanie 1.

          Oblicz współrzędne środka
          a) odcinka AB, jeżeli A=\left ( 2,-3 \right ),B=\left ( -2,5 \right )  
          b) odcinka CD, jeżeli C=\left ( 0,3 \right ),D=\left ( -4,-5 \right )
          Po obliczeniach zaznacz punkty w układzie współrzędnych.

        • Zadanie 2.

          Oblicz współrzędne środka
          a) odcinka AB, jeżeli A=\left ( \frac{1}{2},-3 \right ),B=\left ( -\frac{3}{8},5 \right )  
          b) odcinka CD, jeżeli C=\left ( \sqrt{3},0 \right ),D=\left ( -4+2\sqrt{3},-5 \right ) 

        • Zadanie 3.

          Oblicz współrzędne punktu A wiedząc, że punkt S=\left ( 2,-3 \right ), jest środkiem odcinka AB i B=\left ( 3,1 \right ). Po obliczeniach zaznacz punkty w układzie współrzędnych.

        • Zadanie 4.

          Oblicz współrzędne punktu C wiedząc, że punkt S=\left ( -2,-3 \right ) jest środkiem odcinka AC\, \, i\, \, A=\left ( 1,-1 \right ) . Po obliczeniach zaznacz punkty w układzie współrzędnych.

        • Zadanie 5.

          Oblicz współrzędne punktu E wiedząc, że punkt S=\left ( -\frac{1}{3},-3 \right ) jest środkiem odcinka EF\, \, i\, \, F=\left ( \frac{4}{5},-1 \right )

        • Zadanie 6.

          Oblicz odległość
          a) środka S odcinka AB od osi X, jeżeli A=\left ( 2,-3 \right ),B=\left ( -2,5 \right )  
          b) środka S odcinka CD od osi Y, jeżeli C=\left ( 0,3 \right ),D=\left ( -4,-5 \right )
          Po obliczeniach zaznacz punkty w układzie współrzędnych.

        • Zadanie 7.

          Punkty C,D,E dzielą odcinek AB na 4 odcinki o równych długościach. Oblicz współrzędne punktów C,D,E, jeżeli A=\left ( 15,-15 \right ),B=\left ( 3,3 \right )

        • Zadanie 8.

          Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 1:3 licząc od punktu A Oblicz współrzędne punktu C, jeżeli A=\left ( -6,1 \right ),B=\left ( 2,-5 \right ). Po obliczeniach zaznacz punkty w układzie współrzędnych.

        • Zadanie 9.

          W równoległoboku ABCD dane są A=\left ( -4,-1 \right ),B=\left ( 5,2 \right ),C=\left ( 3,4 \right ). Oblicz współrzędne D wierzchołka  tego równoległoboku.