Geometria przestrzenna • Strona 7 z 9 • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła podstawowa
Geometria przestrzenna

Geometria przestrzenna
Jeżeli potrzebujesz wsparcia w opanowaniu wiedzy z dziedziny graniastosłupów i ostrosłupów, MATEMATYKA NA TAK to właściwy adres. Figury geometryczne w przestrzeni trójwymiarowej wymagają większej liczby obliczeń, dlatego pomagamy opanować umiejętność obliczania pola powierzchni bryły oraz jej objętości. Poznasz wzory, utrwalisz je i dowiesz się jak można zastosować zdobytą wiedzę w praktyce.
- Graniastosłupy
  - Rodzaje graniastosłupów
    - Zadanie 1.
      Pewien graniastosłup ma 45 krawędzi. Ile ma wierzchołków i krawędzi bocznych ?
    - Zadanie 2.
      Ile krawędzi ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 18 mniejsza od liczby wierzchołków tego graniastosłupa?
    - Zadanie 3.
      Ile wierzchołków ma graniastosłup, w którym liczba ścian jest o 28 mniejsza od liczby krawędzi tego graniastosłupa?
    - Zadanie 4.
      Który z przedstawionych graniastosłupów prostych jest graniastosłupem prawidłowym? Odpowiedź uzasadnij ( rysunek w filmie ).
    - Zadanie 5.
      Oblicz długości krawędzi graniastosłupa prostego trójkątnego na podstawie danych z rysunku
    - Zadanie 6.
      Oblicz długość krawędzi graniastosłupa prostego, na podstawie danych z rysunku ( rysunek w filmie )
    - Zadanie 7.
      Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.
    - Zadanie 8.
      Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym $\alpha =30^{0}$ Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.
    - Zadanie 9.
      Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt $\alpha =60^{0}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.
    - Zadanie 10.
      Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰ ( rysunek w filmie ). Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.
    - Zadanie 11.
      Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa.
    - Zadanie 12.
      Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $\sqrt{3}$ , a jego wysokość jest równa 4. Oblicz długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa oraz długość dłuższej przekątnej podstawy.
  - Siatki graniastosłupów
    - Zadanie 1.
      W filmie przedstawiono siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Sporządź rysunek tego graniastosłupa.
    - Zadanie 2.
      Narysuj siatkę prostopadłościanu o wymiarach 1cm x 2 cm x 3 cm. Następnie oblicz pole tego prostopadłościanu.
    - Zadanie 3.
      Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.
    - Zadanie 4.
      Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego siatkę przedstawiono na rysunku w filmie.
  - Pola i objętości graniastosłupów
    - Sześcian
      - Zadanie 1.
        Pole sześcianu jest równe 216 cm². Oblicz objętość tego sześcianu.
      - Zadanie 2.
        Objętość sześcianu jest równa 64 cm³. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu oraz długość przekątnej sześcianu.
      - Zadanie 3.
        Sześcian o krawędzi 4 cm przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez równoległe przekątne podstaw. Oblicz pole otrzymanego przekroju oraz objętość sześcianu.
      - Zadanie 4.
        Sześcian o krawędzi długości 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD dolnej podstawy i wierzchołek C’ górnej podstawy ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta DBC’ oraz pole sześcianu.
      - Zadanie 5.
        Punkty K, L, M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 ( rysunek w zadaniu ). Oblicz pole trójkąta KLM oraz objętość sześcianu.
    - Prostopadłościan
      - Zadanie 1.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o wymiarach 6 cm, 15 cm, 20 cm.
      - Zadanie 2.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 10 cm i krawędziach podstawy długości 4 cm i 5 cm.
      - Zadanie 3.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość prostopadłościanu o przekątnej długości 8 cm tworzącej z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰ wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy ma długość 4 cm.
      - Zadanie 4.
        Oblicz objętość prostopadłościanu wiedząc, że jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^o, a długości podstaw to 5 cm i 12 cm.
      - Zadanie 5.
        Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
    - Graniastosłup prawidłowy czworokątny
      - Zadanie 1.
        Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰.
      - Zadanie 2.
        Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰.
      - Zadanie 3.
        Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 30⁰.
      - Zadanie 4.
        Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16 cm². Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego przekątna ma długość 9 cm.
      - Zadanie 5.
        Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli tworzy ona z przekątną podstawy kat 30⁰. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
      - Zadanie 6.
        Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $48\sqrt{3}$ cm². Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 30⁰. Oblicz długość tej przekątnej oraz objętość tego graniastosłupa.
    - Graniastosłup prawidłowy trójkątny
      - Zadanie 1.
        Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt $\alpha =30^{0}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli krawędź boczna ma długość 6 cm.
      - Zadanie 2.
        Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a jego objętość wynosi $32\sqrt{3}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i pole powierzchni całkowitej.
      - Zadanie 3.
        Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt 30⁰. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli pole podstawy tego graniastosłupa wynosi $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ .
      - Zadanie 4.
        Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeżeli długość wysokości podstawy jest równa $\sqrt{3}$ .
    - Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
      - Zadanie 1.
        Dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
      - Zadanie 2.
        Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $\sqrt{3}$ , a jego wysokość jest równa 4.Oblicz objętość i długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa.
      - Zadanie 3.
        Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $4\sqrt{3}$ . Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
      - Zadanie 4.
        Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰ . Krótsza przekątna podstawy tego graniastosłupa jest równa $2\sqrt{3}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
    - Inne graniastosłupy
      - Zadanie 1.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o jednym z kątów 120⁰ i ramionach długości 8 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość jest równa 11 cm.
      - Zadanie 2.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 30⁰ i boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 8 cm.
      - Zadanie 3.
        Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości : 12 cm, 5 cm, 6 cm, 5 cm. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa, jeśli pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 492 cm², następnie oblicz objętość tego graniastosłupa.
      - Zadanie 4.
        Cztery ściany graniastosłupa pochyłego są kwadratami o boku długości 5 cm, a odcinek EP jest jego wysokością ( rysunek w filmie ). Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami o kącie ostrym $\alpha =60^{0}$ Oblicz objętość tego graniastosłupa.
    - Zadania praktyczne
      - Zadanie 1.
        Krawędź podstawy pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm. Oblicz ile cm² papieru należy zużyć, aby okleić całe pudełko, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt 60⁰. Podaj potrzebną ilość papieru doliczając 10% na ścinki.
      - Zadanie 2.
        Skrzynka na kwiaty ma kształt graniastosłupa o podstawie trapezu równoramiennego ( odczytaj dane z rysunku w filmie ). Czy zmieści się w niej 30 dm³ ziemi?
      - Zadanie 3.
        Stodoła ma kształt przedstawiony na rysunku w filmie. Na strychu stodoły zgromadzono siano. Ile metrów sześciennych siana możemy zgromadzić na strychu, jeżeli możemy wykorzystać 90% objętości strychu?
      - Zadanie 4.
        Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 30 cm x 50 cm i wysokości 40 cm, wypełnionego wodą do $\frac{3}{4}$ wysokości, wrzucono dwie kostki sześcienne o krawędzi podstawy 10 cm. O ile cm podniósł się poziom wody w akwarium?
- Ostrosłupy
  - Rodzaje ostrosłupów
    - Zadanie 1.
      Pewien ostrosłup ma 35 wierzchołków. Ile krawędzi ma ten ostrosłup?
    - Zadanie 2.
      Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.
    - Zadanie 3.
      Oblicz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 2 cm, a krawędź boczna ma długość 5 cm.
    - Zadanie 4.
      Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60⁰. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa.
    - Zadanie 5.
      Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 30⁰. Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
    - Zadanie 6.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60⁰, a dłuższa przekątna podstawy ma długość 10 cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.
    - Zadanie 7.
      Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30⁰, a krótsza przekątna podstawy ma długość $4\sqrt{3}$ cm. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.
    - Zadanie 8.
      Uzasadnij, że wysokość czworościanu foremnego o boku długości wyraża się wzorem $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
  - Siatki ostrosłupów
    - Zadanie 1.
      Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie trójkątnej ( rysunek w filmie ). Dwie ściany są prostopadłe do jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 2.
      Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa czworokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
    - Zadanie 3.
      Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ( rysunek w filmie ). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
  - Pola i objętości ostrosłupów
    - Ostrosłup prawidłowy czworokątny
      - Zadanie 1.
        Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4 cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 6 cm.
      - Zadanie 2.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna podstawy ma długość $2\sqrt{2}$ , a krawędź boczna ma długość 3.
      - Zadanie 3.
        Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰, a obwód podstawy wynosi 8.
      - Zadanie 4.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰, a promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość 8 cm.
      - Zadanie 5.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego ściana boczna jest trójkątem równobocznym, a wysokość tego ostrosłupa ma długość 10 cm.
      - Zadanie 6.
        W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ( rysunek w filmie ) krawędź podstawy ma długość 6, a kąt ASC jest prosty. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 7.
        Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa wiedząc, że jego pole powierzchni bocznej jest równe 24 cm².
      - Zadanie 8.
        Kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60⁰. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli długość krawędzi podstawy jest równa 4 cm.
    - Ostrosłup prawidłowy trójkątny
      - Zadanie 1.
        W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a krawędź boczna 10 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 2.
        W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość jest równa 8 cm, a wysokość ściany bocznej jest równa 15 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 3.
        Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest siedem razy większe od jego pola podstawy. Wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 2.
      - Zadanie 4.
        Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60⁰. Oblicz wysokość podstawy tego ostrosłupa oraz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 5.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy 24. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰. Oblicz objętość tej bryły.
      - Zadanie 6.
        Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o objętości równej $18\sqrt{2}$ cm³.
    - Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
      - Zadanie 1.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60⁰. Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 90. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 2.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30⁰. Krótsza przekątna podstawy wynosi $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 3.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Promień okręgu wpisanego w podstawę ma długość $2\sqrt{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 4.
        Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 30⁰. Dłuższa przekątna podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
    - Inne ostrosłupy
      - Zadanie 1.
        Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punk D jest środkiem krawędzi AB, a odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS oraz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 2.
        Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa ( rysunek w filmie ). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.
      - Zadanie 3.
        Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o ramionach AC, BC. Krawędź boczna SC jest wysokością tego ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa $\frac{80}{3}$ , a pole ściany bocznej BCS jest równe 20. Wyznacz długość krawędzi AC i SC ostrosłupa.
      - Zadanie 4.
        Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 8, 6, 4. Długość wysokości ostrosłupa jest równa połowie obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
      - Zadanie 5.
        Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 10 i 4. Krawędzie boczne mają długości równe długości przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
- Sprawdź czy umiesz
  - Zestaw 1.