Trygonometria • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Trygonometria

Trygonometria
Poznasz tu określenie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, dowiesz się jak rozszerzyć definicję funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do dowolnego kąta wypukłego, jak udowodnić i zastosować w zadaniach podstawowe wzory trygonometryczne jak np. ” jedynka trygonometryczna „. Takie pojęcia jak sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta przestaną być tajemnicą.
- Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
  - Zadanie 1.
    Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długości : $2,3,\sqrt{13}$
  - Zadanie 2.
    Przekątna prostokąta o bokach długości 2 cm i 3 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest cztery razy dłuższa od drugiej.
  - Zadanie 4.
    Przekątne rombu o długościach 10 cm i 14 cm dzielą romb na cztery trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.
  - Zadanie 5.
    W równoległoboku niebędącym prostokątem o bokach długości 10 cm i 9 cm. Jedna z przekątnych dzieli równoległobok na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.
  - Zadanie 6.
    W trapezie równoramiennym podstawy maja długości 20 cm i 12 cm, a wysokość 10 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta zawartego między dłuższą podstawą trapezu oraz jego a) przekątną b) ramieniem .
- Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane długości jego przyprostokątnych 4 cm i 10 cm.
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż trójkąt prostokątny, jeśli przeciwprostokątna ma długość 15 cm, a jeden z kątów ma miarę 37⁰ .
  - Zadanie 3.
    Przekątne rombu mają długości 12 cm i 20 cm .Oblicz kąty i jego obwód .
  - Zadanie 4.
    Trapez równoramienny ma podstawy długości 2 cm i 10 cm, a jego przekątna ma długość 8 cm. Oblicz miary katów tego trapezu .
  - Zadanie 5.
    W równoległoboku o bokach długości 10 cm i 30 cm krótsza przekątna tworzy z jednym bokiem kąt 90⁰. Oblicz miary kątów równoległoboku.
- Funkcje trygonometryczne kątów 30, 45, 60 stopni
  - Zadanie 1.
    Wyznacz długość x korzystając z rysunku w filmie
  - Zadanie 2.
    Na morzu widać z żaglówki światło latarni morskiej pod kątem o mierze 30⁰ do poziomu. Po wypłynięciu 50 m w kierunku latarni światło latarni widać pod kątem o mierze 60⁰ do poziomu. Oblicz wysokość latarni. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 m.
- Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego
  - Zadanie 1.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$ jeśli $sin\alpha=\frac{4}{5}$
  - Zadanie 2.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli $cos\alpha =\frac{12}{13}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli tgα = 3
  - Zadanie 4.
    Oblicz bez użycia tablic
    a) sin²62⁰ + sin²28⁰
    b) tg44⁰.tg45⁰.tg46⁰
    c) ( sin35⁰ + cos35⁰ )( sin35⁰ – cos35⁰ ) + 2sin²55⁰
  - Zadanie 5.
    Sprawdź tożsamość
    a) $(sin\alpha +cos\alpha )^{2}+(sin\alpha -cos\alpha )^{2}=2$
    
    b) $\frac{1}{cos\alpha }-cos\alpha =sin\alpha \cdot tg\alpha$
    
    c) $\frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }+\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2}{sin\alpha }$
    
    Założenie : α – kąt ostry
  - Zadanie 6.
    Dla danego kąta ostrego $\alpha$ prawdziwa jest równość
    
    $tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha }=\frac{5}{cos\alpha }$
    
    Oblicz wartość $sin\alpha ,cos\alpha ,tg\alpha$ .
  - Zadanie 7.
    Dany jest kąt ostry $\alpha$ taki, że $tg\alpha =2$ . Oblicz wartość wyrażenia $W=\frac{10sin\alpha }{(1-5cos\alpha )^{2}}$
  - Zadanie 8.
    Dla pewnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość
    $sin\alpha +cos\alpha =\sqrt{2}$ . Oblicz wartość $sin\alpha\cdot cos\alpha$
  - Zadanie 9.
    Wiedząc, że $tg\alpha =5$ , oblicz $\frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha -cos\alpha }$
- Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego
  - Zadanie 1.
    Do ramienia końcowego kąta α należy punkt P. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta jeśli:
    a) P = (3,4) b) P = (-1,3)
  - Zadanie 2.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli $cos\alpha =-\frac{1}{4}$
  - Zadanie 3.
    Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego α, jeżeli tgα = – 2
  - Zadanie 4.
    Oblicz bez użycia tablic : a) sin120° b) cos150° c) tg135° d) sin2137° + cos243°
- Trygonometria - zastosowania
  - Zadanie 1.
    Oblicz obwód prostokąta, wiedząc , że jego przekątna ma długość 15 i tworzy z jednym z boków kąt α, którego cosinus wynosi $\frac{1}{5}$
  - Zadanie 2.
    Podaj przybliżoną miarę kąta jaki tworzy z ziemią drabina o długości
    a) 6,5 m oparta o mur dotykając go na wysokości 5,5 m
    b) długości 4,5 m, jeżeli jej koniec opierający się o ziemię jest odległy o 1 m od ściany budynku
  - Zadanie 3.
    Drabina wozu strażackiego może być rozsunięta na długość 20 m i podniesiona pod kątem 72°. Na jaką wysokość sięgnie drabina, jeśli zamocowana jest 2,4 m nad ziemią .
  - Zadanie 4.
    Startujący samolot wznosi się pod kątem 15° z prędkością 80 m/s. Jaką wysokość osiągnie samolot po 2 minutach od momentu oderwania od ziemi.