fbpx

  • Funkcja kwadratowa

    W tym dziale poznasz postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową funkcji kwadratowej,  zagadnienia potrzebne do zrozumienia metod rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Przechodząc systematycznie przez kolejne tematy dotyczące funkcji kwadratowej utrwalisz jej własności, zrozumiesz sens ich stosowania w zadaniach praktycznych.

    • Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

      • Zadanie 1.

        Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = -4x2 + 8x + 1 i zapisz jej postać kanoniczną

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:
        a) f(x) = 2x2 – 4x + 8
        b) f(x) = -3(x – 3)2 – 4
        c) f(x) = 3x2 – 5

      • Zadanie 3.

        Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + bx – 1 jeśli prosta o równaniu x = – 1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji

      • Zadanie 4.

        Wyznacz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f(x) = 2x2 + bx + c jeśli punkt W=(1,3) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji

      • Zadanie 5.

        Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej      
        a) f(x) = 2x2 – 3x + 1         
        b) f(x) = x2 – 3x + 5      
        c) f(x) = -3(x – 1)2 + 5

      • Zadanie 6.

        Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej      
        a) f(x) = 2x2 +3x + 1
        b) f(x) = – x2 – 3x + 5      
        c) f(x) = 3(x – 1)2 + 5

      • Zadanie 7.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku W=(2,-3), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=(4,-1)

      • Zadanie 8.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = x2 + kx +m, której zbiorem wartości jest przedział (-∞,4> wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji
        jest równa 2.

      • Zadanie 9.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem  tej funkcji jest równa 4, średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi 2 i wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0,3)

    • Równania kwadratowe

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie:
        a) x2 – 2x = 3
        b) 2x2 – 4x + 2 = 0
        c) 3x2 – 2x + 3 = 0
        d) x2 – 4x + 2 = 0

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równania:
        a) 3x2 – 2x = 0
        b) 4x2 – 25 = 0
        c) 2x2 – 3 = 0
        d) 2x2 + 3 = 0
        e) (2x – 1)(3 + 4x) = 0

    • Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

      • Zadanie 1.

        Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:
        a) y = 2x2 – 3x – 2
        b) y = 4x2 – x + 1
        c) y = 2x2 – 3x + 2
        d) y = 2x2 – 3x
        e) y = 2x2 – 2

      • Zadanie 2.

        Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
        a) y = (x – 2)(x + 3)  
        b) y = 2(3x – 2)(x – 3) 
        c) y = -4(3x +2)(5 – 3x)

      • Zadanie 3.

        Oblicz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y = x2 + bx + c , którego pierwiastkami są liczby 3 i 5.

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = 2(x – 3)(x + 5)

      • Zadanie 5.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x1=2, x2=-3, a zbiorem wartości tej funkcji
        jest Y = <4,∞)

    • Nierówności kwadratowe

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż nierówność 2x2 – 3x + 1 ≤ 0

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż nierówność – 3x2 – 2x + 1 ≤ 0

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż nierówność – x2 + 2x – 1 ≤ 0

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż nierówność 4x2 + 4x + 1 ≤ 0

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż nierówność x2 + 4x + 5 < 0

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż nierówność – x2 – 2x – 5 < 0

      • Zadanie 7.

        Rozwiąż nierówność (x – 1)( + 2) < 0

      • Zadanie 8.

        Rozwiąż nierówność (3 – 5x)(2x + 2) > 0

      • Zadanie 9.

        Rozwiąż nierówność -(1 + 4x)(2 – x) > 0

      • Zadanie 10.

        Rozwiąż nierówność 4x2 – 1 >0

      • Zadanie 11.

        Rozwiąż nierówność x2 + 9 > 0

      • Zadanie 12.

        Rozwiąż nierówność 3x2 + 2x < 0

      • Zadanie 13.

        Rozwiąż nierówność -3x2 + 4x + 1 < 0

    • Funkcja kwadratowa - zastosowania

      • Zadanie 1.

        Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

        a) f(x) = 2x2 – 4x + 3 w przedziale <-1,2>

        b) f(x) = – x2 – 2x + 3 w przedziale <-3,2>

        c) f(x) = 3x2 – 5x + 3 w przedziale <-3,-1>

      • Zadanie 2.

        Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 24.

      • Zadanie 3.

        Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.

      • Zadanie 4.

        Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m2.

    • Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

    • Układy równań stopnia drugiego

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie \left\{\begin{matrix} y=x^{2}+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż układ równań graficznie i algebraicznie \left\{\begin{matrix} y=-x^{2}-4x-1\\y=x^{2}+2x-1 \end{matrix}\right.