Funkcja kwadratowa • MATEMATYKA NA TAK • matura, szkoła średnia, liceum, technikum, szkoła podstawowa

Szkoła średnia - PP
Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa
W tym dziale poznasz postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową funkcji kwadratowej, zagadnienia potrzebne do zrozumienia metod rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Przechodząc systematycznie przez kolejne tematy dotyczące funkcji kwadratowej utrwalisz jej własności, zrozumiesz sens ich stosowania w zadaniach praktycznych.
- Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
  - Zadanie 1.
    Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f(x)=-4x^{2}+8x+1$ i zapisz jej postać kanoniczną
  - Zadanie 2.
    Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:
    
    a) $f(x)=2x^{2}-4x+8$
    
    b) $f(x)=-3\left ( x-3 \right )^{2}-4$
    
    c) $f(x)=3x^{2}-5$
  - Zadanie 3.
    Wyznacz współczynnik $b$ funkcji kwadratowej $f(x)=2x^{2}+bx-1$ jeśli prosta o równaniu $x=-1$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji
  - Zadanie 4.
    Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ funkcji kwadratowej $f(x)=2x^{2}+bx+c$ jeśli punkt $W=\left ( 1,3 \right )$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji
  - Zadanie 5.
    Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej
    a) $f(x)=2x^{2}-3x+1$
    b $f(x)=x^{2}-3x+5$
    c) $f(x)=-3\left ( x-1 \right )^{2}+5$
  - Zadanie 6.
    Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej
    a) $f(x)=2x^{2}+3x+1$
    b) $f(x)=-x^{2}-3x+5$
    c) $f(x)=3\left ( x-1 \right )^{2}+5$
  - Zadanie 7.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku $W=\left ( 2,-3 \right )$ , wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt $A=\left ( 4,-1 \right )$
  - Zadanie 8.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $y=x^{2}+kx+m$ , której zbiorem wartości jest przedział $(-\infty ,4\rangle$ , wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa $2$ .
  - Zadanie 9.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $y=ax^{2}+bx+c$ wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa $4$ , średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi $2$ i wykres przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $\left ( 0,3 \right )$
- Równania kwadratowe
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż równanie:
    
    a) $x^{2}-2x=3$
    
    b) $2x^{2}-4x+2=0$
    
    c) $3x^{2}-2x+3=0$
    
    d) $x^{2}-4x+2=0$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż równania:
    
    a) $3x^{2}-2x=0$
    
    b) $4x^{2}-25=0$
    
    c) $2x^{2}-3=0$
    
    d) $2x^{2}+3=0$
    
    e) $\left ( 2x-1 \right )\left (3+4x \right )=0$
- Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
  - Zadanie 1.
    Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:
    
    a) $y=2x^{2}-3x-2$
    
    b) $y=4x^{2}-4x+1$
    
    c) $y=2x^{2}-3x+2$
    
    d) $y=2x^{2}-3x$
    
    e) $y=2x^{2}-2$
  - Zadanie 2.
    Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
    a) $y=(x-2)\left ( x+3 \right )$
    b) $y=2(3x-2)(x-3)$
    c) $y=-4(3x+2)(5-3x)$
  - Zadanie 3.
    Oblicz współczynniki $b$ i $c$ trójmianu kwadratowego $y=x^{2}+bx+c$ , którego pierwiastkami są liczby $3$ i $5$
  - Zadanie 4.
    Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu $y=2(x-3)(x+5)$
  - Zadanie 5.
    Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x₁=2, x₂=-3, a zbiorem wartości tej funkcji jest $Y=\left \langle 4,\infty\right\)$
- Nierówności kwadratowe
  - Zadanie 1.
    Rozwiąż nierówność $2x^{2}-3x+1\leq 0$
  - Zadanie 2.
    Rozwiąż nierówność $-3x^{2}-2x+1\leq 0$
  - Zadanie 3.
    Rozwiąż nierówność $-x^{2}+2x-1\leq 0$
  - Zadanie 4.
    Rozwiąż nierówność $4x^{2}+4x+1\leq 0$
  - Zadanie 5.
    Rozwiąż nierówność $x^{2}+4x+5< 0$
  - Zadanie 6.
    Rozwiąż nierówność $-x^{2}-2x-5< 0$
  - Zadanie 7.
    Rozwiąż nierówność $\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )< 0$
  - Zadanie 8.
    Rozwiąż nierówność $\left ( 3-5x \right )\left ( 2x+2 \right )> 0$
  - Zadanie 9.
    Rozwiąż nierówność $-\left ( 1+4x \right )\left ( 2-x \right )> 0$
  - Zadanie 10.
    Rozwiąż nierówność $4x^{2}-1> 0$
  - Zadanie 11.
    Rozwiąż nierówność $x^{2}+9> 0$
  - Zadanie 12.
    Rozwiąż nierówność $3x^{2}+2x< 0$
  - Zadanie 13.
    Rozwiąż nierówność $3x^{2}+4x+1< 0$
- Funkcja kwadratowa - zastosowania
  - Zadanie 1.
    Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:
    
    a) $f(x)=2x^{2}-4x+3$ w przedziale $\left \langle -1,2 \right \rangle$
    
    b) $f(x)=-x^{2}-2x+3$ w przedziale $\left \langle -3,2 \right \rangle$
    
    c) $f(x)=3x^{2}-5x+3$ w przedziale $\left \langle -3,-1\right\rangle$
  - Zadanie 2.
    Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi $24$ .
  - Zadanie 3.
    Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.
  - Zadanie 4.
    Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m².