• Funkcja kwadratowa

    W tym dziale poznasz postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową funkcji kwadratowej,  zagadnienia potrzebne do zrozumienia metod rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Przechodząc systematycznie przez kolejne tematy dotyczące funkcji kwadratowej utrwalisz jej własności, zrozumiesz sens ich stosowania w zadaniach praktycznych.

    • Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

      • Zadanie 1.

        Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=-4x^{2}+8x+1 i zapisz jej postać kanoniczną

      • Zadanie 2.

        Wyznacz równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem funkcji:

        a)  f(x)=2x^{2}-4x+8  

        b)  f(x)=-3\left ( x-3 \right )^{2}-4  

        c)  f(x)=3x^{2}-5

      • Zadanie 3.

        Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x)=2x^{2}+bx-1 jeśli prosta o równaniu x=-1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji

      • Zadanie 4.

        Wyznacz współczynniki b i c funkcji kwadratowej f(x)=2x^{2}+bx+c jeśli punkt W=\left ( 1,3 \right ) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji

      • Zadanie 5.

        Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej      
        a) f(x)=2x^{2}-3x+1          
        f(x)=x^{2}-3x+5       
        c) f(x)=-3\left ( x-1 \right )^{2}+5

      • Zadanie 6.

        Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej      
        a) f(x)=2x^{2}+3x+1
        b)f(x)=-x^{2}-3x+5       
        c) f(x)=3\left ( x-1 \right )^{2}+5

      • Zadanie 7.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku W=\left ( 2,-3 \right ), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt A=\left ( 4,-1 \right )

      • Zadanie 8.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y=x^{2}+kx+m, której zbiorem wartości jest przedział (-\infty ,4\rangle, wiedząc, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa 2.

      • Zadanie 9.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y=ax^{2}+bx+c wiedząc, że rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem  tej funkcji jest równa 4, średnia arytmetyczna miejsc zerowych tej funkcji wynosi 2 i wykres przecina oś Y w punkcie o współrzędnych \left ( 0,3 \right )

    • Równania kwadratowe

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie:

        a) x^{2}-2x=3  

        b) 2x^{2}-4x+2=0  

        c)  3x^{2}-2x+3=0  

        d)  x^{2}-4x+2=0

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równania:

        a) 3x^{2}-2x=0  

        b) 4x^{2}-25=0  

        c) 2x^{2}-3=0  

        d) 2x^{2}+3=0  

        e) \left ( 2x-1 \right )\left (3+4x \right )=0

    • Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

      • Zadanie 1.

        Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej:

        a) y=2x^{2}-3x-2  

        b) y=4x^{2}-4x+1  

        c) y=2x^{2}-3x+2  

        d) y=2x^{2}-3x  

        e) y=2x^{2}-2

      • Zadanie 2.

        Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego
        a) y=(x-2)\left ( x+3 \right )    
        b) y=2(3x-2)(x-3)   
        c) y=-4(3x+2)(5-3x)

      • Zadanie 3.

        Oblicz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y=x^{2}+bx+c , którego pierwiastkami są liczby 3 i 5

      • Zadanie 4.

        Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu  y=2(x-3)(x+5)

      • Zadanie 5.

        Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, wiedząc, że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby x1=2, x2=-3, a zbiorem wartości tej funkcji jest Y=\left \langle 4,\infty )

    • Nierówności kwadratowe

    • Funkcja kwadratowa - zastosowania

      • Zadanie 1.

        Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji:

        a) f(x)=2x^{2}-4x+3 w przedziale  \left \langle -1, \right 2 \rangle

        b) f(x)=-x^{2}-2x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right 2 \rangle

        c) f(x)=3x^{2}-5x+3 w przedziale  \left \langle -3, \right-1\rangle

      • Zadanie 2.

        Wyznacz największą wartość iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi 24.

      • Zadanie 3.

        Z prostokątnego arkusza papieru o bokach 4 cm i 6 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz to pole.

      • Zadanie 4.

        Wokół basenu o wymiarach 4 m i 8 m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa , jeśli jego pole powierzchni wynosi 45 m2.