• Liczby i działania na nich

    Często nawet proste działania na liczbach naturalnych, całkowitych, czy wymiernych sprawiają problem uczniom szkół podstawowych. Opanowanie tych umiejętności to przepustka do bardziej zaawansowanych dziedzin matematyki. W sposób przystępny tłumaczę zasady działań na liczbach, uczę logiki w wykonywaniu działań, pomagam stworzyć swoistą bazę, bez której ciężko poruszać się w świecie matematyki.

    • Liczby naturalne

      • Liczby pierwsze i liczby złożone

        • Zadanie 1.

          Podaj wszystkie liczby pierwsze a) mniejsze od 25 b) mniejsze od 33 i większe od 11

        • Zadanie 2.

          Zadanie 2. Podaj wszystkie liczby złożone a) mniejsze od 24 b) mniejsze od 30 i większe od 12

        • Zadanie 3.

          Oceń prawdziwość zdania a) suma pierwszych siedmiu liczb pierwszych jest parzysta b) iloczyn liczb pierwszych może być liczbą parzystą c) iloczyn dowolnych dwóch liczb pierwszych jest liczba złożoną

      • Podzielność liczb naturalnych

        • Zadanie 1.

          Podaj wszystkie dzielniki naturalne liczby a) 38 b) 52

        • Zadanie 2.

          Oblicz ile dzielników naturalnych ma liczba 7200

        • Zadanie 3.

          Uzasadnij, że liczba  a) 123456789 jest podzielna przez 3 b) 268013570 jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 3

        • Zadanie 4.

          Uzasadnij, że liczba  12342345345645675678 jest podzielna przez 6.

        • Zadanie 5.

          Uzasadnij, że liczba  12345+234561+345672  jest podzielna przez 3

        • Zadanie 6.

          Uzasadnij, że liczba 111111111+333333333+666666666 jest podzielna przez 9

        • Zadanie 7.

          Uzasadnij, że liczba  a) 234567812 jest podzielna przez 4 b) 1234 +100000020 + 100000010 jest podzielna przez 4

        • Zadanie 8.

          Uzasadnij, że liczba  a) 123456 + 654321 + 15 dzieli się przez 5 b) 12341 +23452 + 34563 nie dzieli się przez 5

        • Zadanie 9.

          Uzasadnij, że liczba  1234567899876543210 dzieli się przez 90

        • Zadanie 10.

          Wyznacz cyfrę k, jeżeli liczba 123456789k876543210 dzieli się przez 9

      • NWD i NWW

        • Zadanie 1.

          Wyznacz największy wspólny dzielnik liczb a) 112 i 48 b) 96 i 144

        • Zadanie 2.

          Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a) 18 i 48 b) 72 i 108

        • Zadanie 3.

          Wyznacz a) NWD(x , y) oraz NWW(x, y) jeżeli: a) x = 60 y = 210 b) y = 348 x = 186

        • Zadanie 4.

          Oblicz  \frac{NWW(x,y)}{NWD(x,y)},  jeżeli  x=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7,y=3^{3}\cdot 5\cdot 7^{2} 

      • System dziesiątkowy zapisu liczb naturalnych

        • Zadanie 1.

          Zapisz w systemie dziesiątkowym liczbę naturalną trzycyfrową , której cyfra setek to 2, cyfra dziesiątek jest trzy razy większa od cyfry setek, a liczba jedności jest o 3 mniejsza od cyfry dziesiątek

        • Zadanie 2.

          Karol zapisał pewna liczbę dwucyfrową. O ile zwiększy się ta liczba jeżeli: a) przed jej cyfrą dziesiątek dopiszemy cyfrę 7 b) po jej cyfrze jedności dopiszemy cyfrę 6

        • Zadanie 3.

          Cyfrą dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej jest cyfra a, cyfra jedności tej liczby wynosi b, zapisz symbolicznie tę liczbę oraz liczbę o przestawionych cyfrach.

        • Zadanie 4.

          Do liczby naturalnej dwucyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

        • Zadanie 5.

          Do liczby naturalnej trzycyfrowej dopisano taką samą liczbę. Ile razy otrzymana w ten sposób liczba jest większa od liczby wyjściowej?

        • Zadanie 6.

          Suma cyfr pewnej liczby naturalnej dwucyfrowej wynosi 9. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną dwucyfrową o 45 większą od liczby początkowej. Jaka liczba dwucyfrowa spełnia warunki zadania?

        • Zadanie 7.

          Suma cyfry setek i jedności  pewnej liczby naturalnej trzycyfrowej wynosi 10, cyfra dziesiątek jest równa 2. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę naturalną trzycyfrową o 396 większą od liczby początkowej. Jaka liczba naturalna trzycyfrowa spełnia warunki zadania?

      • System rzymski zapisu liczb naturalnych

        • Zadanie 1.

          Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 52 b) 110 c) 1530

        • Zadanie 2.

          Zapisz w systemie rzymskim liczby a) 45 b) 498 c) 989

        • Zadanie 3.

          Rok urodzenia Marka w systemie rzymskim to MCMLXXXVIII. Zapisz rok urodzenia w systemie dziesiątkowym.

        • Zadanie 4.

          Pewien filozof grecki urodził się w roku CDLXIX p.n.e., a zmarł w roku CCCXCIX p.n.e.. Oblicz ile żył lat ten filozof.

        • Zadanie 5.

          W jakich latach, w systemie dziesiątkowym, budowano katedrę w Krakowie, jeżeli lata budowy w systemie rzymskim to MCCCXII – MCCCLXIV

    • Liczby całkowite

      • Zadanie 1.

        Podaj wszystkie liczby całkowite ujemne a) większe od -5 b) większe od -8 i mniejsze od -4

      • Zadanie 2.

        Zaznacz na osi liczbowej liczby całkowite, które są: a) dodatnie i nie większe od 6 b) nieparzyste ujemne i większe od -10

      • Zadanie 3.

        Wyznacz liczbę przeciwną do liczby a) -5  b) -3-(-4)  c)  -7+(-2)\cdot (-1)

      • Zadanie 4.

        Wyznacz wartość bezwzględną liczby , jeżeli:
        a)  a=(-16):(-8)-(-3)\cdot (-2)-(-3) 
        b)  a=(-1)\cdot (-8)-(-2)\cdot (-2)-(-3)\cdot 0

      • Zadanie 5.

        Oblicz a) o ile liczba 144 jest większa od liczby 72 b) ile razy liczba 72 jest większa od liczby 12

      • Zadanie 6.

        Wykonaj obliczenia stosując zasady dotyczące kolejności działań:
        (207+495:15):(27\cdot 3:9-3)

    • Liczby wymierne

      • Zadanie 1.

        Skróć ułamek a) \frac{128}{18}  b) \frac{255}{25}  c) \frac{36}{216} 

      • Zadanie 2.

        Rozszerz ułamek do mianownika równego x, jeżeli:

        a) \frac{3}{8} , x =32  b) \frac{13}{18} , x = 72

      • Zadanie 3.

        Przedstaw w postaci liczby mieszanej ułamek:

        a) \frac{48}{3}   b) -\frac{130}{32}

      • Zadanie 4.

        Przedstaw liczbę mieszaną w postaci ułamka zwykłego (niewłaściwego )

        a) 2\frac{4}{23}   b) -13\frac{13}{32} 

      • Zadanie 5.

        Wyznacz najmniejszy wspólny mianownik ułamków:

        a) \frac{7}{18}    i   \frac{5}{9}   b) \frac{9}{28}   i \frac{1}{12}

      • Zadanie 6.

        Porównaj ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika

        a) \frac{7}{18}  i  \frac{11}{13}   b) \frac{5}{18}  i \frac{7}{22}

      • Zadanie 7.

        Wykonaj działania na ułamkach, wynik przedstaw w najprostszej postaci:

          a) \frac{1}{18}+\frac{13}{18}    b) \frac{1}{18}-\frac{4}{27}   c) \frac{1}{8}-\frac{5}{4}+\frac{17}{12} 

      • Zadanie 8.

        Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

        a) 2\frac{1}{9}+\frac{13}{9}  

        b) 3\frac{1}{18}-2\frac{4}{27}  

        c) 1\frac{1}{3}-\frac{5}{9}+\frac{17}{12} 

      • Zadanie 9.

        Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

        a) \frac{1}{9}\cdot \frac{13}{9}  

        b) \frac{1}{18}\cdot \frac{9}{25}  

        c) 1\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{18}{15} 

      • Zadanie 10.

        Wykonaj działania, wynik przedstaw w najprostszej postaci 

        a) \frac{1}{9}:\frac{13}{9}  

        b) \frac{1}{18}:\frac{5}{36}  

        c)  1\frac{1}{3}:\frac{4}{5}:\frac{18}{15}

      • Zadanie 11.

        Oblicz

        a) \left ( \frac{2}{7}+\frac{5}{21} \right )\cdot \frac{42}{11} 

        b) \left ( 1\frac{2}{7}-\frac{5}{14} \right ):\frac{13}{28}

      • Zadanie 12.

        Oblicz

        a) \frac{\left ( \frac{2}{3}+\frac{5}{21} \right )\cdot \frac{2}{3}}{\frac{38}{63}}  

        b) \frac{\left ( 1\frac{2}{3}-\frac{5}{9} \right )\cdot \frac{20}{27}}{\frac{3}{7}\cdot 1\frac{3}{4}}

      • Zadanie 13.

        Oblicz wartość wyrażenia dla x=-\frac{1}{3},y=\frac{3}{4},z=1\frac{1}{5}  

        a) \frac{x+y-z}{x+z} 

        b) \frac{3x+2y-z}{x-y+z}   

      • Zadanie 14.

        Udowodnij, że \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\cdot \left ( n+1 \right )} 

        Oblicz wartość wyrażenia  \frac{1}{10\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 12}+\frac{1}{12\cdot 13}+\frac{1}{13\cdot 14}  na podstawie udowodnionego wzoru.

      • Zadanie 15.

        Oblicz wartość a=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}}   . Zapisz liczbę odwrotną do a

      • Zadanie 16.

        Oblicz
        a) 0,2\cdot 1,3  
        b) 0,125:1,5  
        c) -4,8:1,2\cdot 0,5

      • Zadanie 17.

        Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,7777… b) 1,(6)

      • Zadanie 18.

        Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,(17) b) 3,(29)

      • Zadanie 19.

        Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,(123) b) 2,(235)

      • Zadanie 20.

        Zamień ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły a) 0,0(3) b) 1,0(7)

      • Zadanie 21.

        Zaokrąglij liczbę 0,234579 z dokładnością do części
        a) setnych
        b) dziesięciotysięcznych
        c) jedności.
        Czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy niedomiarem ?

      • Zadanie 22.

        Zamień ułamek zwykły \frac{3}{7} na postać dziesiętną, zaokrąglij wynik z dokładnością do części
        a) tysięcznych
        b) stutysięcznych
        Czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy niedomiarem?

      • Zadanie 23.

        Oblicz wartość wyrażenia

        \frac{4,275+1\frac{1}{8}}{\frac{21}{40}-0,3}-\frac{\left ( 4,45-2\frac{1}{2} \right ):0,3}{\left ( 2,323+0,177 \right )\cdot 20} 

        Zaokrąglij wynik z dokładnością do całości.

      • Zadanie 24.

        Oblicz wartość wyrażenia   

        \frac{125\frac{9}{16}-118\frac{3}{4}+0,5}{0,0001:0,005}-362\frac{5}{8}

      • Zadanie 25.

        Podaj przykład liczby a spełniającej warunek

         \frac{3}{11}< a< \frac{4}{11} . Wyznacz odwrotność liczby a.

    • Sprawdź czy umiesz