fbpx

  • Równania

    Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości – brzmi poważnie, ale jest do opanowania zaledwie podczas kilku lekcji. Obecność zmiennych, redukcja wyrazów podobnych oraz inne właściwości, które należy poznać, to niezbędne kwestie. Będziesz wiedzieć, kiedy należy zastosować dodawanie lub odejmowanie, a kiedy mnożenie albo dzielenie stron równania.

    • Pierwiastek równania

      • Zadanie 1.

        Sprawdź, które z liczb a,b spełniają równanie
        a) 2x-3=5x+9, a=4,b=-4   
        b) 3(x-2)-5(x+2)=-4,a=-5,b=-6

      • Zadanie 2.

        Sprawdź, czy liczba jest pierwiastkiem równania
        a) 3(-x+4)-3=2x-1 
        b) x^{2}-2x=0 
        c) \left ( x+2 \right )\left ( x-3 \right )=0

      • Zadanie 3.

        Wartość wyrażenia 2(x-4) jest 5 razy mniejsza od wartości wyrażenia 5x+10. Opisz tę zależność równaniem. Sprawdź, czy liczba 10 spełnia to równanie.

    • Rozwiązywanie równań

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równania
        a) 2x-5=1  

        b) \frac{7a-6}{4}=2 

        c) -3(2x-4)=-12

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równania, wynik zapisz bez znaku pierwiastka w mianowniku
        a) \sqrt{3}x=9
        b) 5\sqrt{5}x=10
        c) \sqrt{2}x-8=-2\sqrt{2}x

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż równania
        a) \frac{2}{3}x-4=2x 

        b) \frac{5}{6}x-\frac{x}{6}=2 

        c) \frac{2}{3}\left ( x-5 \right )=4

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż równania
        a) 2x-4\left [ 3-\left ( 1-3x \right ) \right ]=2 
        b) \frac{1}{2}\left [ 2\left ( x-3 \right )-3\left ( x+2 \right ) \right ]=-4

      • Zadanie 5.

        Rozwiąż równania
        a) \frac{2}{3}x-\frac{4}{5}=-\frac{2}{15}-x 

        b) \frac{x-1}{2}+\frac{2-x}{3}=1

      • Zadanie 6.

        Rozwiąż równania
        a) \frac{x-3}{5}-\frac{2x-3}{2}=-x+1 

        b) -\frac{1}{5}\left ( y+1 \right )=3-\frac{1}{4}y

      • Zadanie 7.

        Rozwiąż równania
        a) x^{2}-x^{2}\left ( 1-x \right )=x\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right ) 
        b) \left ( x-1 \right )^{2}-\left ( x+1 \right )^{2}=2\left ( x-1 \right )

      • Zadanie 8.

        Uzasadnij, że każda liczba rzeczywista spełnia równanie
        a) \frac{1}{3}\left ( 6x-12 \right )=2\left ( x-1 \right )-2 

        b) \left ( 2x-3 \right )\left ( 1-x \right )=-\frac{1}{2}\left ( 4x^{2}-10x \right )-3

      • Zadanie 9.

        Uzasadnij, że nie istnieje  liczba rzeczywista spełniająca równanie
        a) -\frac{1}{3}\left ( 6x-12 \right )=-2\left ( x-1 \right )-2 

        b) \left ( 2x-3 \right )\left ( 1-x \right )=-\frac{1}{3}\left ( 6x^{2}-15x \right )-1

      • Zadanie 10.

        Rozwiąż równanie
        a) \left ( \sqrt{2}-1 \right )x=0  
        b) x\sqrt{3}-2x=0
        c)  \left ( 2-\sqrt{3} \right )x=\sqrt{3}-2

    • Rozwiązywanie zadań za pomocą równań

      • Zadanie 1.

        Córka ma 8 lat, a jej mama 30 lat. Za ile lat córka będzie 3 razy młodsza od mamy?

      • Zadanie 2.

        Pole trapezu o wysokości 8 cm jest równe 80 cm2. Jedna z podstaw jest o 10 cm dłuższa od drugiej. Jaką długość ma krótsza z podstaw trapezu?

      • Zadanie 3.

        W pewnej restauracji cena porcji naleśników była równa cenie porcji pierogów. Gdy cenę naleśników podwyższono o 10%, a cenę pierogów obniżono o 20%, wówczas naleśniki stały się droższe od pierogów o 1,5 zł. Ile kosztowały naleśniki po zmianie cen ?

      • Zadanie 4.

        Godzina wynajęcia sali gimnastycznej kosztuje 100 zł. W zajęciach sportowych bierze udział 4 dorosłych i 15 dzieci. Dorośli płacili po 10 zł za bilet. Oblicz, ile złotych zapłaciło za wynajęcie sali dziecko?

      • Zadanie 5.

        W hotelu jest 74 miejsca noclegowe. Pokoi dwuosobowych jest o 10 więcej niż jednoosobowych, pokoi trzyosobowych jest 3 razy mniej niż dwuosobowych. Ile pokoi jest w tym hotelu, jeżeli jest jeszcze 3 pokoje czteroosobowe.

      • Zadanie 6.

        Sprzedawca sprzedał trzem klientom jabłka. Pierwszy kupił  wszystkich jabłek i jeszcze 10 kg, drugi kupił  reszty i 10 kg, a trzeci pozostałe 50 kg. Ile jabłek kupił drugi klient?

      • Zadanie 7.

        W pewnym zakładzie kobiety stanowią 40% załogi, przy czym 10% zatrudnionych kobiet i 20 mężczyzn wkracza w wiek emerytalny. Okazuje się, że przejście tych osób na emeryturę spowoduje zmniejszenie stanu załogi o 8%. Ile osób pracuje w tym zakładzie

      • Zadanie 8.

        Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 366. Jakie to liczby?

      • Zadanie 9.

        Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 9. Jeżeli od liczby utworzonej z przestawienia jej cyfr odejmiemy 15, to otrzymamy liczbę trzy razy mniejszą od liczby
        wyjściowej. Jaka to liczba?

      • Zadanie 10.

        W sklepie sportowym sprzedawano dwa rodzaje piłek: do siatkówki i do piłki ręcznej. Wszystkich piłek na zapleczu sklepu było 32. Grupa chłopców kupiła 2 piłki do siatkówki i trzy do piłki ręcznej. Na zapleczu sklepu zostało wówczas dwa razy więcej piłek do siatkówki niż do piłki ręcznej. Ile piłek do piłki ręcznej zostało na zapleczu sklepu?

      • Zadanie 11.

        Rowerzysta pojechał z miasta A do miasta B i wrócił z powrotem. Wracając z miasta B jechał z prędkością o 4 km/h mniejszą, niż gdy jechał z miasta A do miasta B. Jazda z miasta A do miasta B trwała 2,5 godziny, a z powrotem o godzinę dłużej. Oblicz prędkość z jaką rowerzysta pokonał trasę jadąc z miasta A do B. Oblicz odległość między miastami.

      • Zadanie 12.

        Ktoś kupił dwa przedmioty za 1000 zł i sprzedał je z łącznym zyskiem 8%. Ile zapłacił za każdy przedmiot, jeżeli pierwszy sprzedał z zyskiem 20%, drugi ze stratą 10%?

    • Proporcjonalność

      • Zadanie 1.

        Belkę długości 270 cm rozcięto na trzy części, których stosunek długości to 2:3:4. Oblicz długość najkrótszej części.

      • Zadanie 2.

        Długości boków pewnego trójkąta są w stosunku 2:3:4. Oblicz długość najdłuższego boku wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 72 cm.

      • Zadanie 3.

        W pewnym czworokącie stosunek miar kątów wewnętrznych jest równy 1:2:3:4. Oblicz miarę największego kąta tego czworokąta.

      • Zadanie 4.

        Odległość środków dwóch stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 21, a stosunek długości promieni to 4:3. Oblicz długość promienia każdego z okręgów.

    • Proporcje

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie

        a) \frac{x}{3}=\frac{5}{2} 

        b) \frac{x-1}{2}=\frac{4}{3}  

        c) \frac{2x-1}{3}=5

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równanie

        a) \frac{x-3}{3}=\frac{5-x}{2}  

        b) \frac{x-1}{2}=\frac{4x+1}{3}  

        c) \frac{2x+1}{3}=5x-1

      • Zadanie 3.

        Podaj potrzebne założenia i rozwiąż równania
        a) \frac{2}{x-1}=\frac{-3}{x+2} 

        b) \frac{-5}{x+1}=\frac{-3}{x-4}

      • Zadanie 4.

        Zapisz odpowiednie założenia i rozwiąż równanie
        a) \frac{2x-3}{x-3}=\frac{5}{2} 

        b) \frac{x-1}{x}=\frac{x+1}{x-3} 

      • Zadanie 5.

        Wiedząc, że  \frac{2x-5y}{3}=\frac{4x+3y}{2} wykaż, że  \frac{x}{y}=-\frac{19}{8}

      • Zadanie 6.

        Oblicz iloraz \frac{y}{x}, wiedząc, że \frac{3x+9y}{10}=\frac{9x+3y}{8}

      • Zadanie 7.

        Licznik pewnego ułamka jest równy 10. Jeśli licznik tego ułamka zwiększymy o 20, mianownik o 30, to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek ?

      • Zadanie 8.

        Ania kupiła cukierki owocowe w cenie x zł/kg i zapłaciła 24 zł. Dorota kupiła taką samą ilość cukierków czekoladowych droższych o 4 zł/kg i zapłaciła 30 zł. Ile kosztuje kilogram cukierków owocowych, a ile kilogram cukierków czekoladowych?

      • Zadanie 9.

        Mama Jacka jest o sześć lat młodsza od jego taty. Stosunek wieku mamy i taty jest jak 8 do 9. Ile lat mam mama Jacka, a ile jego tata ?

      • Zadanie 10.

        Boki prostokąta mają długości x cm i 2x cm. Gdyby jego krótszy bok wydłużyć o 6 cm, a dłuższy o 5 cm, to stosunek długości boków byłby równy 2:3. Oblicz obwód tego prostokąta.

      • Zadanie 11.

        Samochód A jadący ze średnią prędkością v pokonał odległość 195 km. Samochód B jadący z prędkością o 20 km/h większą pokonał w tym samym czasie 260 km. Oblicz średnie prędkości obu samochodów?

    • Wielkości wprost proporcjonalne

      • Zadanie 1.

        Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

      • Zadanie 2.

        Sprawdź, czy wielkości x i y dane w tabeli poniżej są wprost proporcjonalne ( tabela w filmie )

      • Zadanie 3.

        Wiedząc, że wielkości x, y są wprost proporcjonalne, oblicz współczynnik proporcjonalności i uzupełnij tabelę ( tabela w filmie )

      • Zadanie 4.

        Sto ziaren grochu waży 25 g. Oblicz, ile ziaren jest w 1 kg grochu.

      • Zadanie 5.

        Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. Oblicz, w czasie ilu godzin Ziemia obróci się o kąt 1500.

      • Zadanie 6.

        Ziemia obraca się wokół własnej osi o kąt 3600 w czasie 24 godzin. O jaki kąt obraca się Ziemia w ciągu 45 minut.

      • Zadanie 7.

        Taką samą ilością karmy jaką zjada 8 kaczek, można nakarmić 20 kur. Oblicz jaką ilość kur, nakarmimy ilością karmy, jaką zjada 12 kaczek ( tabela w filmie )

      • Zadanie 8.

        Sześć puszek farby wystarczy  na pomalowanie 90 m2 powierzchni. Oblicz ile należy kupić puszek farby aby pomalować powierzchnię 240 m2.

      • Zadanie 9.

        Jeśli podczas burzy grzmot słychać po 3 sekundach od błyskawicy, to znaczy, że piorun uderzył w odległości około 1 km. W jakiej odległości uderzył piorun, jeżeli od błyskawicy do grzmotu minęło 7 sekund?

      • Zadanie 10.

        Głos przenosi się w powietrzu na odległość 825 metrów w czasie 2,5 sekundy. Po ilu sekundach od wystrzału usłyszymy odgłos karabinu odległego o 1650 m?

    • Sprawdź czy umiesz