fbpx

  • Wielomiany

    Zagadnienia związane z wielomianami, działania na jednomianach, dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie wielomianów, występują w wielu działach algebry i są bazą do rozwiązywania równań, nierówności oraz wykonywania złożonych działań na wyrażeniach algebraicznych. Odpowiednio skonstruowane przez nas zadania o określonym stopniu trudności, pozwolą Ci wykształcić umiejętności, które wykorzystasz w dalszym etapie edukacji

    • Działania na sumach algebraicznych

      • Zadanie 1.

        Dane są sumy algebraiczne S = x4 – 2x3 – 1 i T = 3x3 – 4x2. Oblicz wartość wyrażenia
        a) S – T  dla x = 3
        b) 2S + 4T dla x = – 1

      • Zadanie 2.

        Wyznacz iloczyn sum algebraicznych 
        a) (x + 2)(x2 – 3x)
        b) (2x^{3}+\frac{1}{2}x+1)(x^{2}-x-\frac{1}{4})

      • Zadanie 3.

        Wykonaj działania
        a) x2(x – 1) + 4(x – 2)(x2 + 1) 
        b) x(x – 3)(x – 2) -x(x + 4)(x – 5)

      • Zadanie 4.

        Ile wynosi współczynnik a, jeśli wartość sumy algebraicznej x3 + ax2 + 3  dla x = – 4 jest równa 3?

      • Zadanie 5.

        Ile wynoszą współczynniki a i b, jeśli suma algebraiczna x4 + ax3 + bx2 + 2 przyjmuje wartość 11 dla x = -3 oraz wartość 7 dla x = 1?

      • Zadanie 6.

        Podaj potrzebne założenia, a następnie oblicz
        a) sumę obwodów
        b) różnicę obwodów
        c) pole 
        prostokąta o bokach długości 2x – 3 i 4x – 2

      • Zadanie 7.

        Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na objętość sześcianu o boku długości 3x + 2

      • Zadanie 8.

        Podaj potrzebne założenia, a następnie wyznacz wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach a = x + 1, b = x + 2, c = 2x – 4

      • Zadanie 9.

        Uzasadnij, że objętość prostopadłościanu o krawędziach: x -2, x, x + 4  opisana jest za pomocą wzoru V = x3 + 2x2 – 8x gdzie x>0. Sprawdź, czy dla x=2\sqrt{2} objętość tego prostopadłościanu jest liczbą wymierną?

    • Rozkład wielomianu na czynniki

      • Zadanie 1.

        Rozłóż wielomian na czynniki:
        a) W(x) = 12x5 – 8x4
        b) W(x) = 6x3 + 12x2 + 6x
        c) W(x) = x5 – 625x

      • Zadanie 2.

        Rozłóż wielomian na czynniki
        a) W(x) = – 4x4 + 3x3 – 7x2
        b) W(x) = – 2x3 – x2 – 6x

      • Zadanie 3.

        Rozłóż wielomian na czynniki
        a) W(x) = 2x6 + 12x4 + 18x2 
        b) W(x) = – 2x5 + 20x3 – 50x 
        c) W(x) = 8x6 – 27x3

      • Zadanie 4.

        Rozłóż wielomian na czynniki
        a) W(x) = x3 + 5x2 + x + 5 
        b) W(x) = x3 + 3x2 – x – 3 
        c) W(x) = 8x5 + 16x3 – x2 – 2

      • Zadanie 5.

        Rozłóż wielomian na czynniki
        a) W(x) = x3 – 3x – 2
        b) W(x) = x3 – 7x + 6
        c) W(x) = 3x4 – 10x3 + 10x – 3

      • Zadanie 6.

        Rozłóż wielomian na czynniki
        a) W(x) = x4 + 1 
        b) W(x) = 4x4 + 1
        c) W(x) = x4 + x2 + 1

    • Równania wyższych stopni

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równania:
        a) 7x3-56=0
        b) 2x3 + 54 = 0
        c) x3 – 9x = 0
        d) 9x3 + x = 0

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równania
        a) (4x + 1)(6x – 9)(2x – 8) = 0
        b) (x2 + 2x)(x – 1) = 0
        c) x3 – 6x2 + 9x = 0

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż równania
        a) x3 – 3x2 – 10x = 0 
        b) x4 – 6x3 + 5x2 = 0 
        c) (4x2 – 1)(x2 – 16) = 0

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż równania
        a) x3 – x2 – x + 1 = 0  
        b) x3 + 2x2 – 4x – 8 = 0
        c) x3 – 13x + 12 = 0

      • Zadanie 5.

        Oblicz \sqrt{p}, gdzie p jest sumą pierwiastków równania x(x – 1)(16x – 9) = 0

      • Zadanie 6.

        Ile wspólnych pierwiastków mają równania x2 + x – 12 = 0 i (x + 4)(x2 + 8x) = 0

      • Zadanie 7.

        Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej objętość prostopadłościanu o bokach długości x+4, x, x-1. Dla jakiej wartości x objętość prostopadłościanu wynosi 12?

    • Dzielenie wielomianów

      • Zadanie 1.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 2x2 + 3x – 12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 2.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 + 3x -12 przez wielomian Q(x) = x + 2. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 3.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 4x3 + 8x2 + 4x – 9 przez wielomian Q(x) = 2x + 1. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + r.

      • Zadanie 4.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 2x4 – 3x3 + 4x + 2 przez wielomian Q(x) = x2 + x. Zapisz wielomian W(x) = P(x)·Q(x) + R(x).

    • Schemat Hornera

      • Zadanie 1.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = x3 – 9x2 + 2x – 1 przez dwumian Q(x) = x – 1 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

      • Zadanie 2.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 3x4 – 10x3 – 29x + 2 przez dwumian Q(x) = x – 4 w sposób tradycyjny, a następnie wykorzystaj schemat Hornera.

      • Zadanie 3.

        Wykonaj dzielenie wielomianu W(x) = 8x3 + 27 przez dwumian Q(x) = x + 1 wykorzystując schemat Hornera, wykonaj działanie sprawdzające.

    • Twierdzenie o reszcie

      • Zadanie 1.

        Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x3 – 7x2 – 2x + 3 przez dwumian Q(x) = x + 1.

      • Zadanie 2.

        Sprawdź czy wielomian W(x) = -x4 + 2x2 – 3x + 1 jest podzielny przez dwumian G(x) = x – 2.

      • Zadanie 3.

        Dla jakich wartości a wielomian W(x) = x3 + (a2-1)x – 3 jest podzielny przez P(x) = x – 1.

      • Zadanie 4.

        Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x4 – (m+1)x2 – 3(m-1)x – 5 przez dwumian x – 1 wynosi 2

    • Twierdzenie Bezouta

      • Zadanie 1.

        Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 – x2 – 10x – 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 2.

        Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Rozłóż wielomian na czynniki.

      • Zadanie 3.

        Liczba -5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + 2x2 – 11x + 20. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 4.

        Liczby -2 i 2 są pierwiastkami wielomianu W(x) = x4 + x3 – 5x2 – 4x + 4. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

      • Zadanie 5.

        Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x) = x3 + (2m – 3)x -2 jest podzielny przez dwumian x – 3.

    • Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

      • Zadanie 1.

        Rozwiąż równanie x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0.

      • Zadanie 2.

        Rozwiąż równanie 3x3 + 3x2 – 5x + 2 = 0.

      • Zadanie 3.

        Rozwiąż równanie x4 – 4x3 + 8x2 – 20x + 15 = 0.

      • Zadanie 4.

        Rozwiąż równanie x4 + 3x3 -5x2 – 12x + 4 = 0.